Caracterización Espectral Mediante el Método Modificado por

IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 3, JULY 2005
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Caracterización Espectral Mediante el Método
Modificado por Regularización de Prony
Fusionado con Estimadores Espectrales No
Paramétricos de Alta Resolución
J. L. Ponce-Dávalos, Member, IEEE y Y.V. Shkvarko, Senior Member, IEEE
Resumen—En este trabajo se presenta una técnica novedosa
para la caracterización espectral con alta resolución de procesos
armónicos ocultos en ruido coloreado. La aproximación propuesta
enfoca el problema de la estimación espectral a través la fusión
inteligente de dos paradigmas: (i) estimación paramétrica de
líneas espectrales que identifica la señal multi-armónica aplicando
el método modificado por regularización de Prony (MORP) y (ii)
estimación espectral no paramétrica de Máxima Entropía (ME) y
de Mínima Varianza (MV) para la caracterización del espectro
distribuido que representa el ruido coloreado. Mediante la
propuesta de la fusión de estrategias se alcanza una mejora
substancial tanto en la resolución de líneas espectrales cercanas
entre si, como en la reconstrucción de las características de
espectro distribuido del ruido de fondo. Se verifica el método
propuesto fusionado en dos versiones: MORP-ME y MORP-MV
mediante los resultados de simulaciones computacionales y
aplicaciones particulares.
Palabras Clave— Análisis Espectral, Estimador de Máxima
Entropía (ME), Estimador de Mínima Varianza (MV), Método
Modificado por Regularización de Prony (MORP).
I. INTRODUCCIÓN
L
a estimación de la densidad espectral de potencia (PSD
por sus siglas en inglés Power Spectral Density) es tema
de gran importancia en el ámbito del procesamiento de datos
en diversas áreas de las ciencias y la ingeniería. La
teledetección o percepción remota, procesamiento de voz,
procesamiento de imágenes, procesamiento de señales
biomédicas, comunicaciones y econometría son sólo algunos
ejemplos de su aplicación [1], [2], [3], [4]. De manera
específica, el aspecto de la resolución, tanto espacial de
objetos tipo fuentes puntuales cercanamente espaciados como
la temporal generada por tonos de frecuencias cercanas, y la
caracterización de procesos armónicos inmersos en ruido
coloreado, han sido tópicos clave en el desarrollo
contemporáneo de métodos de estimación espectral [1], [2],
[3], [5], [6].
J. L. Ponce-Dávalos pertenece al Departamento de Ingeniería Electrónica
del ITESM, Campus Guadalajara, Av. Gral. Ramón Corona 2514, Zapopan,
Jal., C.P. 45214, México. (e-mail: [email protected]).
Y.V. Shkvarko pertenece al Departamento de Telecomunicaciones del
CINVESTAV del IPN, Unidad Guadalajara, Av. López Mateos Sur 590,
Guadalajara, Jal., México. (e-mail: [email protected]).
A la fecha, se ha propuesto una amplia variedad de métodos
de estimación espectral, entre los que destacan diferentes
versiones de los métodos de máxima entropía de Burg [1], el
de máxima verosimilitud de Capon [2], métodos basados en la
descomposición de la matriz de correlación de datos en
términos de sus eigenvalores y eigenvectores (Pisarenko [2],
MUSIC [1] ESPRIT [3]) y la formulación Bayesiana de
máxima entropía [5], [6].
La intención principal de las diferentes propuestas de
estimación espectral consiste en obtener métodos que puedan
manifestar un buen desempeño tanto de superresolución (i.e.
poder distinguir fuentes puntuales cercanas entre sí [2]), como
de alta resolución, (i. e. poder estimar la PSD de
observaciones con espectro distribuido de banda limitada
como, por ejemplo, las generadas por el ruido coloreado [12]).
Para evaluar el desempeño de las diversas propuestas de
estimación espectral, es conveniente proponer secuencias de
datos obtenidas de manera sintética, esto tiene la ventaja de
que se podrá trabajar con datos controlados, que pueden ser de
valor real o de valor complejo permitiendo así incluir
espectros no simétricos.
La alta resolución y la superresolución son situaciones
incompatibles cuando se analiza la estimación espectral en
forma global [1], [2], [3], [7], [8]. Por ello, los métodos
referidos se han enfocado principalmente a situaciones en las
que la escena de fondo se considera como ruido blanco
Gaussiano, y desafortunadamente poco se ha trabajado en
escenarios en los que las señales de interés se encuentran
inmersos en ruido coloreado. Más aún, a la fecha no existe
método que aborde la problemática de la alta resolución y la
superresolución de manera conjunta [1], [2], [3], [5], [7], [10],
[17], [18].
Por otra parte, entre los métodos de estimación de líneas
espectrales para el caso de modelos de señales multiarmónicas, los métodos de Prony y el de descomposición
armónica de Pisarenko son de los más extensamente
empleados [3], [8] [9], [10], [11]. Sin embargo, estos son
altamente sensibles al ruido coloreado y sus resultados arrojan
líneas espectrales falsas en diversas posiciones [10], [17], [18].
El método que proponemos permite establecer un hecho
importante, esto es: con el método modificado por
regularización de Prony (MORP) para estimación espectral
que se describe en este trabajo, y bajo diferentes hipótesis
acerca del número presente de componentes armónicas, resulta
256
que las líneas espectrales que verdaderamente están presentes
permanecen relativamente inalteradas en su posición espectral,
en tanto que las líneas falsas cambian su posición en el
espectro para cada realización experimental. En caso de no
existir componentes armónicas, el método arroja resultados en
posiciones espectrales aleatorias. A esta característica le
llamamos Invariancia en la Posición Espectral (SPI por sus
siglas en inglés Spectral Positional Invariance).
La característica SPI se estableció en primera instancia de
manera experimental, pero ha sido corroborada en
aplicaciones prácticas con resultados favorables. Su
justificación matemática se basa en el hecho de que las
posiciones espectrales verdaderas tienen mayor probabilidad
de ocurrir que las espurias [11].
El objetivo principal de este trabajo es proponer una
aproximación alternativa a la estimación espectral/espacial de
alta resolución y super resolución que agrega los paradigmas
de estimación espectral paramétrica y no paramétrica de
manera cooperativa. La propuesta hace uso de la propiedad de
SPI de las líneas espectrales, obtenidas bajo diferentes
hipótesis mediante el método MORP, el cual es una
modificación del método de estimación espectral modificado
mediante regularización (MORSE por sus siglas en inglés
Modified Regularized Spectral Estimation) que fue propuesta
recientemente en [10].
La estimación espectral propuesta en este trabajo supone
que los datos representan una señal de observación compuesta,
formada por una parte multi-armónica y otra parte de ruido
coloreado. El procedimiento consiste primeramente en la
aplicación iterada del método MORP varias veces bajo
diferentes hipótesis acerca del número de posibles líneas
espectrales, las cuales corresponderán a las componentes
armónicas de la señal. Este procedimiento ha permitido
desarrollar una estrategia para obtener la caracterización
paramétrica explícita del modelo multi-armónico. Después,
realizamos un innovación regularizada a partir del registro de
observaciones iniciales restando la componente multiarmónica (estimada previamente aplicando el método MORP)
de la señal original. El siguiente paso es reconstruir la parte
distribuida del espectro PSD aplicando estimadores no
paramétricos adaptivos de alta resolución a los datos
innovados.
En este trabajo proponemos cómo emplear los métodos no
paramétricos de máxima entropía (ME) y de mínima varianza
(MV) por producir los mejores desempeños en el sentido de
alta resolución en balance con su eficiencia computacional [1],
[2]. La fusión de estos métodos con MORP presenta una
mejora sustancial en la reconstrucción espectral de la PSD
resultante, tanto de la parte de alta resolución de líneas
espectrales como de la parte distribuida del espectro continuo
de banda limitada.
El trabajo se ha organizado de la siguiente forma: en la
sección II se enmarca el problema a estudiar con un análisis de
los métodos de estimación existentes y la elección de los
modelos de prueba; en la sección III se presenta un breve
panorama de los métodos modernos de análisis y estimación
espectral, los cuales se ilustran con simulaciones
computacionales; en la parte IV se presenta el método
propuesto MORP y la estructura computacional de su
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aplicación; en la sección V se presentan la estrategia de fusión
propuesta y los resultados de la agregación de métodos
MORP-ME y MORP-MV. Las simulaciones computacionales
obtenidas permiten verificar la eficiencia de los métodos
propuestos. Finalmente en la sección VI se presentan las
conclusiones.
II. MARCO DE TRABAJO DEL PROBLEMA A ESTUDIAR
Dos características inherentes limitan el desempeño de los
métodos de estimación de la PSD, tanto clásicos como
paramétricos modernos [1], [2]: primeramente, la resolución,
es decir, la habilidad de distinguir dos o más objetos puntuales
cercanos unos de otros; la segunda limitante es debida al
proceso de ventaneo implícito de los datos cuando se trabaja
mediante procesamiento de la transformada discreta de Fourier
(DFT, por sus siglas en inglés Discrete Fourier Transform) la
cual produce una limitación finita en el ancho de banda. El
ventaneo temporal, o registro finito de datos, se refleja
espectralmente como un “desparramamiento”, es decir, la
energía del lóbulo principal en el espectro estimado se
“desparrama” hacia los lóbulos laterales traslapando y
distorsionando cualquier otra respuesta espectral cercana [1],
[2]. Los métodos de alta resolución tienen por objetivo hacer
una extrapolación fuera de la banda para corregir dicho
problema [12].
Los métodos paramétricos (basados en modelo espectral)
permiten obtener resultados con superresolución pero no
pueden reconstruir la parte continua o distribuida de la PSD, la
cual está relacionada con el ruido coloreado [1], [2]. Por otra
parte, los métodos no paramétricos (sin modelo espectral) no
son capaces de resolver con superresolución líneas espectrales
cercanas, sólo proporcionan la envolvente espectral [1], [7].
A fin de explorar los métodos existentes y los métodos
propuestos, se considerarán dos conjuntos de datos de prueba,
los cuales se encuentran reportados en la literatura [1], [2] y
son de uso frecuente como “test data”. Estos dos casos son
secuencias de K valores de naturaleza compleja {u[k]; k = 0,
1,…, K−1}. Es importante aclarar que si bien en cualquier
aplicación ordinaria los datos medidos son cantidades de valor
real, la razón de emplear datos de valor complejo obedece a
que como lo que se quiere estimar es el espectro el cual es
inherentemente complejo, entonces, para tener un escenario
controlado y que abarque cualquier posibilidad de estimación
espectral, independientemente de la simetría de este, es
necesario generar de manera sintética espectros que no sean
necesariamente simétricos, para así poder evaluar las ventajas
y limitaciones de los métodos de estimación espectral [2]. Los
procesos de valor real quedarán contenidos dentro de la
formulación compleja, como es usual en muchas aplicaciones
semejantes.
En el dominio de la frecuencia el espectro se encuentra
dentro de una banda limitada de frecuencia normalizada con
| f | < 1/2 [2].
El primer modelo de prueba detallado en la [1] consiste en
una secuencia de K = 32 datos complejos obtenidos de la suma
de tres sinusoides de frecuencias normalizadas localizadas en
0.05, 0.40 y 0.42 respectivamente. Así como una señal de
ruido coloreado extendido en toda la banda, el cual se obtiene
PONCE-DÁVALOS AND SHKVARKO : SPECTRAL CARACTERIZATION VIA FUSING
al hacer pasar ruido blanco gaussiano a través de un filtro
auto-regresivo de orden 1. La razón señal a ruido (SNR, por
sus siglas en inglés Signal-to-Noise Ratio) es aproximadamente de 30 dB en f = 0.4 y alrededor de 15 dB en f = 0.05. El
espectro teórico es simétrico y se ilustra en la Fig. 1.a.
El segundo conjunto de datos de prueba obtenido de la
referencia [2] es una secuencia de K = 64 muestras de un
proceso que consiste de cuatro sinusoides complejas inmersas
en un proceso de ruido coloreado. Las sinusoides a analizar
son las frecuencias ubicadas en –0.15 y 0.1 (las cuales están
por debajo del nivel de ruido coloreado), y otras dos que se
encuentran cercanas entre sí, en 0.2 y 0.21, respectivamente.
La señal de ruido coloreado se obtiene al hacer pasar una señal
de ruido blanco Gaussiano a través de un filtro de coseno
alzado. En la Fig. 1.b se muestra el espectro teórico para estos
datos de prueba. En este caso se tiene un espectro no simétrico
con SNR promedio de 15 dB.
PSD Relativa (dB)
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Frecuencia Normalizada
a)
PDS Relativa (dB)
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Frecuencia Normalizada
b)
Fig. 1. Espectros teóricos de los procesos de ejemplo: a) Espectro simétrico
especificado en la ref. [1]; b) Espectro no simétrico especificado en la ref. [2].
III. BREVE PANORAMA DE LOS MÉTODOS MODERNOS
PARA LA ESTIMACIÓN ESPECTRAL
La PSD está definida sólo para señales de potencia [1], [2].
En el tiempo continuo se determina como [1]
1
T → ∞ 2T
P ( f ) = lím
∫
T
−T
2
u (t ) exp( − j 2π f t ) dt
(1)
en donde, u(t) es la señal de observación y es la representación
matemática del fenómeno a estudiar, T es el tiempo de
observación. La PSD, también se puede calcular por el método
indirecto [1] como
P( f ) =
∫
∞
−∞
r (τ ) exp( − j 2π f τ ) dτ
(2)
en donde r(τ) es la función de autocorrelación (FAC) definida
257
por
1
T →∞ 2T
r (τ ) = E{u (t + τ )u * (t )} = lím
∫
T
−T
u (t + τ )u * (t ) dt
(3)
con E{⋅} denotando el valor esperado y * el complejo
conjugado.
Al tratar de evaluar las ecuaciones (1) ó (2) y (3), surgen
dificultades prácticas, ya que en la realidad el proceso a
estudiar es observado en una ventana de tiempo dentro de la
cual sólo se tiene un conjunto limitado de muestras. Por ello,
es necesario tratar hipótesis acerca del comportamiento
estadístico del fenómeno observado, con el objetivo de obtener
un valor estimado de la PSD. Como hipótesis estadística de
trabajo se considera que los datos son procesos ergódicos
estacionarios en sentido amplio [1].
La estimación de la densidad espectral de potencia
(PSD) de procesos aleatorios, ha sido estudiada en una amplia
variedad de enfoques [1], [2], [3]. Una manera de catalogar los
métodos es categorizarlos en dos clases. La primera
comprende los Métodos No-Paramétricos, (clásicos y
modernos), los cuales obtienen la estimación de la PSD
mediante el procedimiento estándar de la DFT y el cálculo de
la función de autocorrelación, la cual es determinada mediante
diferentes hipótesis como se explicará adelante. La siguiente
clase comprende los Métodos Paramétricos, los cuales están
basados en un modelo paramétrico del espectro, algunos de los
métodos frecuentemente usuales son descritos brevemente en
seguida. Se presentarán sólo las generalidades de dichos
métodos para ilustrar los resultados obtenidos por estos
estimadores y se compararán con el método propuesto en este
trabajo. Para una descripción de mayor detalle se hace
referencia a la literatura citada [1], [2], [3], [7].
A. Estimación Espectral No-Paramétrica
1) Métodos Clásicos:
Usualmente se consideran de manera representativa dos
estimadores espectrales clásicos desarrollados a partir de los
métodos directo e indirecto de manera discretizada, ellos son:
el Periodograma y el Estimador de Blackman-Tukey [7].
El periodograma es la aplicación del método directo
discretizado, dado por [7]
T
PˆPG ( f ) =
K
K −1
∑
2
u[ k ] exp( − j 2π f kT )
(4)
k =0
en donde {u[k]; k = 0, 1…, K−1} representa un conjunto de
datos de valor real tomados como muestras durante el
intervalo de tiempo T del proceso a estudiar. El método realiza
una estimación relativamente pobre debido al efecto de
“desparramamiento” espectral [1]. En la Fig. 2.a y 2.b y se
ilustran los periodogramas (4) relativos a los datos de prueba
cuyos espectros son presentados en las Fig. 1.a) y 1.b)
respectivamente. Es fácil ver que Pˆ ( f ) produce estimaPG
ciones muy burdas de los espectros originales.
La discretización del método indirecto se conoce como
correlograma [1] y su aplicación implica una ventana
rectangular intrínseca en el dominio de las frecuencias, la cual
provoca variabilidad estadística [7]. Blackman y Tukey
258
IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 3, JULY 2005
desarrollaron un método alternativo (referido como estimador
BT) que emplea una ventana en el dominio de las frecuencias
para reducir la varianza suavizando el periodograma. La
ecuación que determinan el estimador BT es:
PˆBT ( f ) =
K
∑ rˆ[k ]w[k ]exp( − j 2π f k T )
(5)
k =− K
en donde se ha empleado una estimación de la FAC definida
como [7]
1
K
{rˆ[ m ] =
K − m −1
∑ u[k + m]u [k ]; rˆ[− m ] = rˆ * [− m];
*
k =0
(6)
0 ≤| m |≤ K − 1}
y w[k] es una secuencia real llamada ventana de retardo [1].
Dicha ventana puede ser alguna de las conocidas como la de
Hamming, Hanning, Bartlett, etc. [7]. En la Fig. 2.c y 2.d se
ilustra el estimador Pˆ ( f ) de los datos empleados como
BT
casos de prueba con una de las ventanas más frecuentemente
usadas de Hamming de ancho K/4.
2) Métodos Modernos:
Los métodos de alta resolución (que en la literatura de
mayor reconocimiento [1], [2] en análisis espectral se les
nombra como métodos modernos) plantean hipótesis sobre el
comportamiento de los datos o del espectro. Los hay
paramétricos y no paramétricos. Dentro de los más usuales
tenemos: el método de Mínima Varianza (MV) [1], el de
Máxima Entropía (ME) [1] y el de clasificación de múltiples
señales MUSIC (por sus siglas en inglés Multiple Signal
Classification) [3].
Estimador de MV: El estimador de MV es una adaptación
del Método de Máxima Verosimilitud desarrollado por Capon
[2]. Este método permite estimar la PSD a partir de los datos
muestreados {u[k]; k = 0, 1,..., K − 1} del proceso a estudiar,
mediante la minimización de la potencia de salida o varianza
de un arreglo de I filtros pasa-banda de banda angosta [13],
cada uno con respuesta al impulso {gi[k]} centrado en una
frecuencia determinada fi; i = 1,..., I, y restringidos a tener una
ganancia unitaria para asegurar que no introduzcan distorsión
en su respuesta. Los filtros son altamente selectivos y cada uno
rechaza cualquier potencia residual de salida debido a
contribuciones fuera de banda [13].
En la aproximación de MV, cada filtro pasa-banda se
modela como un filtro transversal de orden P+1. La respuesta
de cada filtro para la secuencia de datos de entrada u[k] se
obtiene como [7]
P
{ y i [k ] =
∑ g [ p]u[k − p] ; i = 1,..., I
i
y k = 0,1,..., K − 1} . (7)
p =0
Para asegurar que el filtro no altera la potencia de la señal
de entrada se establece como restricción de calibración que la
ganancia del filtro es unitaria en cada fi, es decir [7]
{Gi ( f i ) =
P
∑ g i [ p] exp(− j 2π p f i ) = 1 ;
p =0
i = 1,..., I } .
(8)
El objetivo del método de MV es estimar la potencia de la
señal observada {u[k]} en la frecuencia de interés fi con la
mayor precisión posible. Esto se logra si el filtro pasa-banda
centrado en fi cancela tanta potencia residual de salida como
sea posible. Por lo tanto el criterio de optimización de MV es
la minimización del valor esperado de la potencia de salida del
banco de filtros, es decir la minimización de la varianza
E { | y i [ k ] | 2 } , la cual representa indirectamente la PSD de
la señal original {u[k]} en la frecuencia de interés fi [7].
En forma vectorial-matricial, definiendo u = [u[0] u[1] …
u[K−1]T, gi = [gi[0] gi[1] … gi[P]]T y ei( fi ) = [1 e j2πfi ...
e j2πfi P]T, la potencia de salida del filtro de MV es por
definición
E { | y i [ k ] | 2 } = E { ( g iH u )( u H g i )} =
en
donde
H
g iH E { u u H } g i = g iH R P g i
denota la transposición Hermitiana y
RP = E{ u u H } representa la matriz de auto-correlación
restingida a un orden (P+1)×(P+1) con P < K de los datos
observados. La restricción de ganancia unitaria se impone a
través de
g iH e i = e iH g i = 1 .
Efectuando el cálculo de minimización con restricciones
mediante la técnica usual de multiplicadores de Lagrange [7]
se deduce que el estimador de MV para un espacio continuo
de frecuencias viene a ser [1]
PˆMV ( f ) =
1
ˆ −1e( f )
e ( f )R
P
H
(9)
donde e( f ) = [1 e j2π f ... ej2π f P]T es un vector formado por las
potencias de la exponencial compleja {ej2π f p ; p = 0, 1…, P}
definido para un continuo de frecuencias | f | < 1/2. Este vector
es denominado usualmente como “vector de asignación de
frecuencias” [1] o “steering vector” en el análisis de
estimación espacial espectral [13]. En (9), la matriz
ˆ
R
P
⎡ rˆ[0]
rˆ[ −1]
⎢ˆ
r[1]
rˆ[0]
=⎢
⎢ M
M
⎢
ˆ
ˆ
⎣⎢ r[ P ] r[ P − 1]
rˆ[ − P ] ⎤
⎥
L rˆ[ − P + 1]⎥
⎥
O
M
⎥
rˆ[0] ⎦⎥
L
L
(10)
representa la estimación de la matriz de autocorrelación
restringida definida mediante (6) [2]. En la Fig. 2.e y 2.f se
muestran los espectros estimados mediante el método de MV
de los datos de prueba de las Fig. 1.a) y 1.b) respectivamente.
Estimador de ME: El estimador de ME de Burg [1]
pretende aliviar el problema del “desparramamiento”
provocado por el truncamiento en los datos. La estrategia
consiste en estimar por extrapolación a la función de
autocorrelación definida por (6) fuera de un segmento de
longitud P<K, es decir, si se conoce { r̂ [0], r̂ [1],…, r̂ [P]}.
Entonces se estima { r̂ [P+1], r̂ [P+2],… r̂ [K]} mediante un
proceso recursivo de predicción lineal mediante la expresión
[2]
PONCE-DÁVALOS AND SHKVARKO : SPECTRAL CARACTERIZATION VIA FUSING
B. Breve Panorama de Estimación Espectral Paramétrica
P
{rˆ[ k ] = −
∑ αˆ[ p]rˆ[k − p] ;
k = P + 1, K , K }
(11)
p =1
en donde los coeficientes αˆ [ p] son los parámetros estimados
del modelo auto-regresivo de predicción lineal, los cuales se
determinan a través del algoritmo recursivo clásico de
Levinson detallado en [1] o [2], por ejemplo.
La estimación es tal que la entropía dentro del segmento P
de observación es máxima, en tanto que la aportación de la
información fuera de dicho segmento es mínima. El cálculo
está sujeto a la restricción de que { rˆ[ p ] ; p = 1,…, P)} y la
PSD son pares de Fourier, es decir
1/ 2
∫ Pˆ
ME (
f ) exp( j 2π f p)df = rˆ[ p], p = 1, K , P .
(12)
−1 / 2
El resultado es el estimador normalizado de ME [7]
1
PˆME ( f ) =
2
P
1+
.
(13)
∑αˆ[ p] exp(− j 2π f p)
p =1
En la Fig. 2.g y 2.h se muestran los espectros de los
procesos de prueba de Fig. 1 estimados mediante el método
ME.
Método MUSIC: Este método es uno de los más populares
para la estimación espectral de alta resolución [3]. En este
caso, la idea consiste en separar los subespacios de señal y de
ruido. Si la señal consiste de P sinusoides inmersas en ruido
blanco, entonces la descomposición en autovalores de la
matriz de autocorrelación R K de la señal completa muestra
una separación acentuada entre los autovalores el espacio de la
señal y el de ruido, determinada por la magnitud de estos.
Los autovalores que pertenecen al ruido son sustancialmente
más pequeños que los de la señal para razones de señal a ruido
altas. Definimos al conjunto {vp; p = P+1, P+2,…, P+K}
como el conjunto de eigenvectores que representan al ruido,
caracterizado por ser los de menor autovalor. Los
eigenvectores correspondientes al subespacio de señal son
ortogonales a los del subespacio de ruido y por lo tanto la
K
magnitud espectral (e H ( f ) v p )( v Hp e( f )) =
∑
e H ( f )v p
2
p = P +1
es nula al ser evaluada en las frecuencias de las componentes
armónicas presentes en la señal. Por lo tanto el recíproco de
esta cantidad tiende a infinito en las frecuencias existentes en
la señal. Schmidt [1] nota este resultado y define la PSD
estimada por el método de “Múltiple clasificación de señales”
MUSIC como
PˆMUSIC ( f ) =
1
H
e ( f ) v p v Hp e( f )
.
(14)
Los espectros MUSIC estimados para los datos de prueba se
presentan en la Fig. 2.i y 2.j.
La estimación espectral paramétrica consiste en proponer un
modelo que describa al espectro mismo [1], [2], [6] o a la
señal [1], [2], [7]. Los modelos usualmente empleados [1], [2],
[6], [7] son los llamados auto-regresivo de promedio móvil
(ARMA por sus siglas en inglés Auto-Regressive Moving
Average), de promedio móvil (MA) y el auto-regresivo (AR).
Los parámetros del modelo son estimados usando sólo los
datos disponibles. Existen diversas técnicas para obtener
dichos parámetros [1], [2], [6], [7].
Otra forma de estimación espectral es aquella en la que se
propone un modelo para la señal [1], [2], [10], [11]. En este
trabajo se considera un modelo de señales armónicas inmersas
en ruido coloreado como se detallada por ejemplo, en [10] y
[11]. Los parámetros a determinar son las amplitudes, las
frecuencias y las fases. En el dominio de las frecuencias este
tipo de señales están representadas por líneas espectrales y un
espectro distribuido dentro de una banda limitada de
frecuencias.
La propuesta desarrollada en este trabajo consiste en la
fusión inteligente de métodos paramétricos y no paramétricos.
La ventaja de dicha fusión de métodos es que los resultados
bajo esta estrategia superan los resultados obtenidos por otras
metodologías. Por una parte, los métodos paramétricos
permiten determinar las componentes armónicas correspondientes al espacio de señal y, por otro lado, los métodos no
paramétricos permiten identificar la componente distribuida
del espectro. Los resultados se muestran adelante.
C. Problemática de Estimación de Alta Resolución en Ruido
Coloreado
Los métodos de eigenvalores y eigenvectores para la
estimación espectral de alta resolución, como el MUSIC, el de
descomposición armónica Pisarenko o el ESPRIT, han sido
desarrollados principalmente para señales inmersas en ruido
blanco.
La descomposición en eigenvalores de la matriz de
correlación para señales armónicas en ruido blanco exhibe un
comportamiento que permite identificar el subespacio de ruido
del subespacio de señal. Por inspección directa (dentro de
ciertos límites de probabilidad de detección determinados por
de la razón señal a ruido [14]) se nota que los eigenvalores de
la matriz de correlación asociados a la componente armónica
son considerablemente mayores a los que corresponden al
ruido y por lo tanto, se puede discriminar bajo este criterio de
comparación a los dos subespacios (señal armónica y ruido)
[14].
En el caso de ruido coloreado no hay un umbral de decisión
ni es posible definir un criterio de comparación que permita
una distinción clara de dichos subespacios [1], [2], [14]. En
consecuencia no es posible separar directamente los
subespacios de señal y éste tipo de ruido. Esto provoca
inexactitudes en los resultados de la estimación espectral bajo
cualquier método.
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10
PSD Relativa (dB)
PSD Relativa (dB)
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
-10
-20
-30
-40
-50
-0.5
0.5
-0.4
-0.3
Frecuencia Normalizada
-0.2
-0.1
(a)
PSD Relativa (dB)
PSD Relativa (dB)
-10
-20
-30
-40
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.4
0.5
-40
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
(d)
10
0
PSD Relativa (dB)
PSD Relativa (dB)
0.3
-30
Frecuencia Normalizada
-10
-20
-30
-40
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0
-10
-20
-30
-40
-50
-0.5
Frecuencia Normalizada
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.3
0.4
0.5
0.3
0.4
0.5
Frecuencia Normalizada
(e)
(f)
10
PSD Relativa (dB)
10
PSD Relativa (dB)
0.5
-20
(c)
0
-10
-20
-30
-40
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
-10
-20
-30
-40
-50
-0.5
0.5
-0.4
-0.3
Frecuencia Noramlizada
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Frecuencia Normalizada
(g)
(h)
10
PSD Relativa (dB)
10
PSD Relativa (dB)
0.4
-10
-50
-0.5
0.5
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-0.5
0.3
0
Frecuencia Normalizada
-50
-0.5
0.2
10
0
-50
-0.5
0.1
(b)
10
-50
-0.5
0
Frecuencia Normalizada
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Frecuencia Normalizada
(i)
0.3
0.4
0.5
0
-10
-20
-30
-40
-50
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Frecuencia Normalizada
(j)
Fig. 2. Panorama de los diferentes estimadores espectrales más usuales, aplicados a los datos de prueba. La columna izquierda corresponde a
los datos de la Fig. 1.a. y la columna derecha a los datos de la Fig. 1b. (a) y (b): Periodograma. (c) y (d): Estimación de Blackman-Tukey. (e) y
(f): Estimación de Mínima Varianza. (g) y (h): Estimación de Máxima Entropía. (i) y (j): Estimación MUSIC.
PONCE-DÁVALOS AND SHKVARKO : SPECTRAL CARACTERIZATION VIA FUSING
IV. MÉTODO PROPUESTO
A. Modelo de Datos
Dos de los principales estimadores de líneas espectrales son
el método de Prony [8] y el de descomposición armónica de
Pisarenko [2]. El método de Pisarenko supone que las
frecuencias de las sinusoides ocultas en una señal pueden ser
obtenidas a través del cálculo de los autovalores mínimos de
la matriz de autocorrelación (10). Sin embargo, este método es
altamente sensible al ruido coloreado que es el considerado en
este trabajo, y por ello su uso práctico es limitado [1], [2] y
[7]. Debido a esto, en el trabajo presente desarrollamos el
método modificado por regularización de Prony (MORP)
como se detalla en seguida.
El modelo considerado para los datos es la composición
{u[k ] = s ( M ) [k ] + n[k ]; k = 0,1, K , K − 1}
(15)
es decir, la superposición de un número M < K (usualmente
desconocido) de sinusoides complejas con amplitudes Am,
frecuencias características fm, y fases θm; m = 1, …, M, las
cuales están contaminadas por ruido coloreado {n[k]} cuya
densidad espectral de potencia Pn( f ) es desconocida. El
modelo de la parte multi-armónica en (15) es dado por
M
M
m=1
m=1
k −1
s ( M ) [k ] = ∑ Am exp[ j 2π f m (k − 1) + jθ m ] = ∑ d m z m
(16)
en donde {dm=Amexp(jθm) y zm= exp(j2πfm); m = 1, …, M}.
En el caso determinístico (i.e. sin ruido {n[k] = 0; k =
0, 1…K−1} en (15)), el problema tiene solución exacta si el
orden del modelo M es conocido y además M ≡ K/2 [2]. En
cualquier otro escenario (i.e. datos ruidosos y/o M
desconocida) el modelo (15) es sobre-dimensionado [2]. En
estos casos, sólo es posible obtener estimaciones aproximadas
de los parámetros característicos { Aˆ , fˆ y θˆ ; m = 1,..., Mˆ }
m
m
m
del modelo (16), en donde M̂ es un estimado del verdadero
valor de M.
B. Planteamiento del Problema
El objetivo principal a desarrollar en este trabajo consiste en
realizar una caracterización fusionada espectral explícita para
el modelo de datos combinados (15). Primero, desarrollamos
una estrategia que ofrece la posibilidad a estimar el orden del
modelo M, y mediante las definiciones de {dm} y {zm} estimar
los parámetros característicos { Aˆ , fˆ y θˆ ; m = 1,..., Mˆ }
m
m
m
para así reconstruir el modelo multi-armónico (16) y obtener el
espectro de líneas. Luego, proponemos una estrategia adaptiva
basada en métodos de MV y/o ME, para estimar la densidad
espectral del espectro distribuido Pˆ ( f ) . Finalmente
n
261
alternativos para mejorar la estimación de los parámetros
característicos del modelo (16). En este trabajo nos basamos
en las técnicas de regularización [10], [12] para desarrollar un
nuevo método consistente en la caracterización adaptiva del
espectro de armónicos inmersos en ruido coloreado que
superan todos los métodos de caracterización espectral
paramétrica de espectro de líneas reportados en la literatura
previamente, e.g. [1], [2], [3] y [7]. A este método nosotros lo
llamamos método modificado por regularización de Prony,
detallado en la siguiente subsección.
C. Generalización del Método de Prony Mediante
Regularización
El método original de Prony [2] calcula los parámetros
característicos {Am, fm y θm} desacoplando la ecuación no
lineal (16) mediante un sistema auxiliar de ecuaciones lineales
en el que se determina primero {zm} como las raíces de un
polinomio característico. Luego, con los valores estimados de
{ ẑ } obtiene { dˆ } resolviendo (16).
m
m
Para el caso no determinístico en el que se considera ruido
coloreado el problema es no lineal y sobre-dimensionado [2].
Referenciado al análisis detallado de este problema presentado
en [1] y [2] mencionamos los factores principales los cuales
dificultan la solución del mismo. Primeramente, debido a la no
linealidad no existe solución analítica en forma cerrada del
problema. Como segundo aspecto, la presencia de una
componente distribuida de PSD resulta en una sobreestimación
de líneas espectrales correspondientes a la parte multiarmónica del espectro, las cuales pueden ser producidos
solamente por métodos de estimación espectral paramétrica
[1], [2]. Por ello, como ha sido resumido en [1] y [2], el
problema de estimación espectral no lineal bajo estudio debe
ser tratado mediante la fusión inteligente de métodos
paramétricos y no paramétricos. Esta aproximación tiene que
considerar algunas pruebas basadas en experimentos con
estrategias de estimación espectral paramétrica para
reconstruir el espectro de líneas de la componente multiarmónica eliminando el efecto de sobre-estimación del orden
del modelo. Este problema fue discutido y analizado
explícitamente en [1] y [2], donde los autores declaran que
este problema está abierto y aún sin solución.
El aspecto innovador principal que proponemos en este
trabajo es una nueva aproximación del problema bajo estudio
basado en una nueva estrategia de estimación espectral
fusionada que elimina el efecto de sobreestimación del orden
del modelo de la parte multi-armónica en los datos de
observación. Esta aproximación está justificada en pruebas de
hipótesis que corresponden a diferentes órdenes del modelo de
Prony con una elección adaptiva de decisión a favor de la
hipótesis que proporciona el mínimo error en la localización y
caracterización de las líneas espectrales en el espectro
combinado.
Para tratar diferentes hipótesis del orden M del modelo
fusionando el espectro de líneas con el espectro distribuido del
ruido coloreado reconstruimos adaptivamente la PSD total
combinada Pˆ ( f ) .
paramétrico en (16) consideramos que el orden estimado M̂
La característica principal de los estimadores espectrales de
líneas, como el de Pisarenko y el de Prony, es la aparición de
líneas espectrales falsas asociadas al ruido [1], [2], [7], [8]. En
trabajos recientes [10], [11], [12] se han propuesto métodos
se sitúa dentro de un rango, es decir M̂ ∈ [Mmín, Mmáx], en el
que Mmín > Mverdadero y Mmáx < K. Nótese que la condición Mmín
> Mverdadero implica que el modelo supuesto es sobre estimado
y por lo tanto forzosamente aparecerán componentes
262
IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 3, JULY 2005
armónicas adicionales (falsas). En procesos armónicos ocultos
en ruido blanco esta situación se puede reducir, pues es fácil
discriminar el subespacio de ruido del subespacio de señal. Sin
embargo, en el caso de ruido coloreado el estimador de Prony
es sensible al ruido y produce componentes espurias en todos
los casos sobredeterminados, como fue analizado en detalle en
[1] y [2].
Para cada una de las hipótesis bajo análisis M̂ ∈ [Mmín,
Mmáx], el sistema de ecuaciones de desacoplamiento que
permiten calcular los valores de {zm} es [2]
⎡u ˆ
L
u 0 ⎤ ⎡ a1
⎢ M −1
⎥⎢
O
M
⎢ M
⎥⎢ M
⎢u
⎥⎢
⎣ K − 2 L u K − Mˆ −1 ⎦ ⎣ a Mˆ
⎤
⎡ u Mˆ ⎤ ⎡ ε Mˆ ⎤
⎥
⎢ M ⎥+⎢ M ⎥
=
−
⎥
⎥
⎥ ⎢
⎢
⎥
⎢⎣u K −1 ⎥⎦ ⎢⎣ε K −1 ⎥⎦
⎦
(17.a)
que nosotros reescribimos ahora en forma vectorial-matricial
como
U M̂ a M̂ = − u M̂ + ε M̂ .
(17.b)
En (17.b), los parámetros {am; m = 1,…, M̂ } se identifican
como los coeficientes del polinomio característico φ M̂ (z) = z M̂
+ a1z M̂ −1 +… a M̂ , cuyas raíces {zm = exp(j2πfm); m = 1,…,
M̂ } especifican las posiciones de las líneas espectrales {fm;
m = 1,…, M̂ } para cada una de las hipótesis de prueba M̂ ∈
[Mmín, Mmáx]. El vector ε M̂ = [ε M̂ … εK−1 ]T en (17.b)
representa el error de predicción.
Ahora el punto de partida es estimar los coeficientes
{am; m = 1,…, M̂ } resolviendo (17.b) y luego mediante
factorización polinomial de φ M̂ obtener sus ceros {zm} para
cada una de las hipótesis de prueba.
A partir del conjunto de ceros {zm} se obtienen los
correspondientes valores de {dm} de (16) mediante el método
de regularización, con lo cual se tiene
dˆ Mˆ = ( Z H Z + μ I ) − 1 Z H u Mˆ
(18)
con
⎡ 1
⎢ z
⎢ 1
2
Z = ⎢ z1
⎢
⎢ M
⎢ z K −1
⎣⎢ 1
1
L
z2
L
z 22
L
M
O
z 2K −1 L
1 ⎤
z Mˆ ⎥⎥
z 2ˆ ⎥
M ⎥
M ⎥
K −1 ⎥
z ˆ ⎥
M ⎦
en donde u M̂ está definido en (17), I representa la matriz de
identidad, Z es la matriz de Vandermonde compuesta de los
ceros {zm; m = 1,…, M̂ } del polinomio característico
estimados previamente, y μ representa el parámetro de
regularización. Este último representa un grado de libertad del
algoritmo (18) que con una adecuada selección proporciona la
posibilidad de controlar el desempeño de la estimación d̂ M̂ .
En este estudio seguimos el método de Tikhonov [5] para
ajustar el parámetro μ como el recíproco de la relación señal a
ruido, i.e. μ = SNR-1.
Como una alternativa, el método MORSE propuesto
recientemente en [10] resuelve (17) realizando una
descomposición en valor singular (SVD por sus siglas en
inglés Singular Value Decomposition) de U M̂ , minimizando el
error de predicción y eligiendo los autovalores que minimizan
la norma de a M̂ . Este método puede tratar el problema de
estimación espectral de armónicas inmersas en ruido blanco en
el que el resultado permite distinguir los subespacios de señal
y ruido. Sin embargo, en el caso de ruido coloreado la
discriminación del espacio de señal con este método es pobre,
debido a que el MORSE enfrenta el problema obteniendo la
pseudo-inversa mediante regularización y calculando el
parámetro de regularización para cada eigenvector. En este
trabajo se incorpora el método de regularización en la
determinación de la solución (18). En la siguiente sección se
presenta un método adaptivo robusto para determinar tanto el
orden M̂ del modelo como la posición de las líneas
espectrales que aparecen realmente en los datos de prueba.
D. Invariancia de Posición Espectral
Para cualquier hipótesis de prueba M̂ ∈ [Mmín, Mmáx] en los
casos sobredeterminados, M̂ > Mverdadera, la descomposición
SVD de U M̂ produce un conjunto de líneas espectrales, de las
cuales un subespacio asociado a la señal, de dimensión
Mverdadera, representa a las líneas que verdaderamente están
presentes en los datos observados y otro subespacio asociado
al ruido de dimensión M̂ − Mverdadera que representa a las
líneas falsas [14]. En esta subsección proponemos una
estrategia que permite identificar este subespacio de señal.
Al aplicar iteradamente diferentes hipótesis de prueba sobre
M̂ ∈ [Mmín, Mmáx] para resolver (17) se observa en resultados
experimentales [11] que un subconjunto de M̂ P líneas,
aparecen en posiciones espectrales cercanas incluso sobre las
posiciones que realmente están presentes, para todas las
hipótesis probadas, todas ellas dentro de un rango de
tolerancia Δf. A esta condición le llamamos invariancia en la
posición espectral (SPI por sus siglas en inglés Spectral
Positional Invariance).
De los resultados experimentales tratados en este estudio y
también otros analizados previamente [11], se observa que
para diferentes datos de prueba sintéticos las M̂ P < M̂
líneas que corresponden al subespacio de señal se mantienen
fijas (dentro del rango de tolerancia aceptado Δf) y el resto M̂
− M̂ P correspondientes al subespacio de ruido cambian
aleatoriamente en su posición espectral.
En base a las observaciones anteriores el SPI produce una
mecanismo de prueba para separar los subespacios de señal y
de ruido resolviendo (17) para diversas hipótesis sobredeterminadas M̂ > Mverdadera.
Aplicando el método de regularización (18) a cada hipótesis
hacemos una caracterización de las M̂ P líneas que en las
pruebas de análisis aparecen en posiciones espectrales fijas
dentro de la ventana de tolerancia Δf. Estableceremos que
dichas líneas representan las armónicas que realmente están
PONCE-DÁVALOS AND SHKVARKO : SPECTRAL CARACTERIZATION VIA FUSING
presentes en el modelo (15). En el caso particular estudiado
en este trabajo el rango de tolerancia para identificar la SPI fue
ajustado experimentalmente a Δf = 10−2.
A manera de ejemplo, la Fig. 3 ilustra los espectros de
líneas obtenidos por el método propuesto bajo dos hipótesis de
prueba con M̂ = 12 y M̂ = 16, en los que se aprecia la
manifestación de las líneas espectrales verdaderas y falsas. Se
muestra la aparición de las líneas del subespacio de señal en
las posiciones fijas para las dos hipótesis de muestra. Esta
prueba ilustra claramente la posibilidad de formar un ensamble
de las M̂ P líneas espectrales que se adaptaron a la hipótesis
SPI. Dicho valor, vendrá a ser considerado como la mejor
estimación para el número verdadero M de armónicas
presentes en el conjunto de datos.
0
-10
-20
-30
-40
-50
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
m
m
m
P
separar, en los datos de medición, la componente que
corresponde al ruido. Este proceso tiene un significado
estadístico llamado innovación de datos
ˆ
{nˆ[ k ] = u[k ] − sˆ ( M P ) [ k ]; k = 0,1, K , K − 1}
(19)
ˆ
-10
-20
-30
-40
-50
-0.5
0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.4
0.5
Frecuencia Normalizada
a)
b)
10
Espectro de Líneas
10
Espectro de Líneas
E. Agregación de Métodos de Estimación Espectral
La estrategia de fusión de métodos paramétricos y no
paramétricos de estimación espectral se basa en la separación
de componentes del modelo (15). Una vez caracterizado el
espectro de líneas dado por las estimaciones paramétricas
{ Aˆ , fˆ y θˆ ; m = 1,..., Mˆ } , estos ofrecen la posibilidad de
en donde {sˆ ( M P ) [k ]} es la señal del modelo multi-armónico
reconstruida a través de (16) usando los parámetros de
caracterización { dˆ m , zˆ m ; m = 1,..., Mˆ P } de su espectro de
0
Frecuencia Normalizada
0
-10
-20
-30
-40
-50
-0.5
concepto SPI para la caracterización experimental de la
componente multi-armónica en los datos mixtos del modelo
(15).
10
Espectro de Líneas
Espectro de Líneas
10
263
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Frecuencia Normalizada
c)
0.4
0.5
0
-10
-20
-30
-40
-50
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Frecuecia Normalizada
d)
Fig. 3. Espectro de líneas mediante el método MORP para los modelos de
prueba bajo dos hipótesis de trabajo M̂ = 12 y M̂ = 16: a) y b) para los
datos de la Fig. 1.a, c) y d) para los datos de la Fig. 1.b.
líneas estimadas con el método propuesto modificado de
Prony. Esto es, los datos { nˆ [ k ]; k = 0 ,1, K , K − 1}
presentan la aproximación del ruido coloreado en el modelo
estudiado definido por (15). En seguida, habiendo innovado
los datos (19), la estrategia de reconstrucción de la
componente distribuida de la PSD es aplicar un método de
estimación espectral no paramétrica de alta resolución.
Basándonos en la experiencia con tratamiento de diferentes
métodos no paramétricos, en este trabajo proponemos fusionar
el método desarrollado de Prony modificado con métodos de
mínima varianza (MV) y/o de máxima entropía (ME) [7], para
obtener como resultado la reconstrucción del espectro del
ruido coloreado Pˆ ( f ) de alta resolución.
n
Finalmente, la estrategia de fusión que proponemos implica
la agregación de dos espectros: (i) el espectro de líneas
caracterizado por el método MORP y (ii) el espectro continuo
Pˆ ( f ) estimado mediante alguno de los métodos no
n
La propuesta SPI para determinar el orden del modelo de la
componente armónica de la señal tiene como sustento el hecho
de que es una prueba basada en la estadística del
comportamiento del proceso estudiado, ya que la probabilidad
de ocurrencia de una línea espectral es máxima si ésta
realmente existe en la señal mixta, independientemente de las
características espectrales del ruido. Esto es claro y
demostrable en el caso de ruido blanco [3], pero en el caso de
ruido coloreado no existe método analítico único que permita
determinar el número de componentes armónicas ya que el
problema es altamente no lineal [1], [2], [10] y por lo tanto
una prueba razonable es de tipo estadístico basado en prueba
de hipótesis. Para que el método propuesto sea válido, siempre
se deberá suponer casos sobredeterminado en los que M̂ >
Mverdadera.
Experimentalmente también se probaron situaciones en las
que los datos contienen sólo ruido coloreado, sin componentes
armónicas. Como resultado se obtiene que en este caso no hay
componentes espectrales que se repitan para todas las hipótesis
probadas, lo cual nuevamente verifica la eficiencia del
paramétricos MV y/o ME. A este método fusionado que
agregan los paradigmas de estimación espectral paramétricos y
no paramétricos nosotros lo presentamos en dos variantes
como método MORP-MV y/o MORP-ME, respectivamente.
La estructura computacional del método MORP-MV/
MORP-ME, se describen en la T ABLA I.
V. SIMULACIONES COMPUTACIONALES
Se presenta ahora la evaluación del desempeño del método
propuesto mediante una serie de experimentos y simulaciones
computacionales. Los datos sintéticos de valor complejo que
sirven como estándar para recuperar la PSD global del modelo
de datos, así como los datos de valor real, sirven para ilustrar
la eficacia del método en situaciones de aplicaciones típicas.
A. Caracterización del Orden del Modelo del Espectro MultiArmónico
En primer lugar se ilustra el procedimiento para la
determinación del orden del modelo. La estrategia para
identificar el orden del modelo es estadística de SPI basada en
264
IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 3, JULY 2005
prueba de hipótesis. Se emplearon doce hipótesis M̂ ∈[ M̂
mín,
M̂ máx] con M̂ mín = 11 y M̂ máx = 22, llevándose a cabo 12
realizaciones computacionales siguiendo el algoritmo de la
Tabla I. La Fig. 4 presenta la verificación experimental del
concepto SPI a través de los conteos de las veces en que
ocurrieron las diferentes líneas espectrales usando el método
observarse que las variaciones o errores de estimación siempre
se encuentran por debajo de la tolerancia aceptada de Δf =
10−2.
TABLA I
ALGORITMO MORP-MV/MORP-ME PARA LA ESTIMACIÓN DE LA
DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA
• Colectar datos
{u k } kK=−11 .
• Probar diferentes hipótesis de modelos de señal sobredeterminados,
a)
M̂ > M, M̂ ∈ [Mmín, Mmáx], Mmáx<K. Caracterizar la IP de las líneas
espectrales mediante el método MORP:
- Formar el vector u M̂ y la matriz U M̂ , como se especifica en (17).
- Mediante el algoritmo MORSE [10], resolver (17) para encontrar los
coeficientes del polinomio característico a M̂
- Mediante factorización polinomial, encontrar las raíces {z M̂ } de
φ M̂ (z).
- Estimar las frecuencias de todas las
m = 1, …,
M̂ líneas espectrales { fˆ ˆ ;
M
M̂ } para las raíces { z M̂ } en cada hipótesis.
b)
- Localizar las líneas espectrales que manifiestan IP analizando las
hipótesis propuestas mediante el conteo del número de repeticiones
de las frecuencias espectrales y definir el valor de M̂ P . Construir el
ensamble de frecuencias { fˆm ; m = 1, …, M̂ P }.
- Estimar el vector de fasores {d M̂ } usando (16).
ˆ
- Obtener un estimado para el modelo de señal de Prony sˆ(MP ) [k]
usando (16).
• Formar el vector de datos innovados n̂ como es definido en (19).
• Aplicar estimadores espectrales MV ó ME especificados en (9) y (13)
a los datos innovados obtenidos mediante (19)
• Reconstruir la PSD resultante mediante la agregación del espectro de
líneas obtenido por el método MORP con la componente del espectro
distribuido estimado mediante las técnicas MV ó ME.
MORP [10]. En estas gráficas se ilustra, mediante la
frecuencia de repetición, que las líneas espectrales {fm; m =
1,… M̂ P } que verdaderamente se encuentran presentes en los
datos referidos en la Fig.1 tienden a repetirse dentro del rango
de tolerancia Δf = 10-2 en cada realización. Por otra parte, las
líneas espectrales falsas no tienen ninguna frecuencia de
repetición. También, en la Fig. 4.c se muestra el resultado
obtenido al aplicar en un procedimiento similar a la
componente de solo ruido coloreado presente en los datos de
referencia de la Fig. 1.a, en la cual hay muy baja frecuencia de
repetición detectada por la SPI en comparación con los
resultados de caracterización espectral por la SPI que
corresponden al modelo combinado (15).
Finalmente, en la Tabla II se presentan los desempeños
cuantitativos del método propuesto para las estimaciones
asociadas a la frecuencia que verdaderamente están presentes
en cada uno de los modelos de prueba de este trabajo. Puede
c)
Fig. 4. Número de repeticiones en las que aparece cada frecuencia para los
casos prueba de este trabajo. a) para los datos de la Fig 1.a. y b) para los datos
de la Fig. 1.b. Se emplearon 12 hipótesis para el valor de M̂ . Y c) Ejemplo
del método aplicado al ruido coloreado correspondiente a los datos de la Fig.
1.a.
B. Resultados de las Simulaciones para los Datos Sintéticos
En la Fig. 5 se muestran los espectros reconstruidos
mediante el método fusionado propuesto en sus dos variantes:
MORP-MV y MORP-ME. Para el conjunto de datos de prueba
referidos en la Fig 1.a, se ha empleado un modelo MV y ME
de orden 4 y para el conjunto referido en la Fig. 1.b, se ha
empleado un modelo MV y ME de orden 8.
La comparación de los espectros resultantes obtenidos con
el método propuesto y los resultados obtenidos con los
métodos previos muestran efectivamente una superioridad del
método aquí desarrollado respecto de los previos, ya que se
logra una mejor reproducción con alta resolución de la
componente distribuida de la PSD con superresolución
paramétrica de las líneas espectrales que corresponden a la
componente armónica de los datos.
Es claro que al innovar los datos sustrayendo la componente
multi-armónica, los métodos de alta resolución en ambas
PONCE-DÁVALOS AND SHKVARKO : SPECTRAL CARACTERIZATION VIA FUSING
TABLA II
VALORES ESTIMADOS DE LAS FRECUENCIAS MÁS CERCANAS A LAS
FRECUENCIAS VERDADERAS PARA LOS MODELOS DE PRUEBA
PRESENTADOS EN LA FIG. 1, BAJO DIFERENTES HIPÓTESIS EN Mˆ .
fˆm
fˆm
fˆm
fˆm
fˆm
fˆm
con
con
con
con
con
con
M̂ =12 M̂ =15 M̂ =16 M̂ =19 M̂ =20 M̂ =22
0.0500
0.0519 0.0527 0.0523 0.0529 0.0529 0.0525
0.4000
0.4001 0.4037 0.4001 0.4019 0.4035 0.4032
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.3
0.4
0.5
0.3
0.4
0.5
0.3
0.4
0.5
Frecuencia Normalizada
a)
0.4200
-0.1500
0.1000
0.4282 0.4229 0.4236 9.4229 0.4212 0.4271
-0.1499 -0.1501 -0.1499 -0.1498 -0.1500 -0.1499
0.0997 0.1000 0.0999 0.0999 0.1000 0.1000
PSD Relativa (dB)
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Frecuencia Normalizada
0.2008 0.2006 0.2009 0.2008 0.2004 0.2002
0.2100
0.2132 0.2097 0.2096 0.2092 0.2098 0.2101
El empleo de datos de valor complejo permite ilustrar
detalles de la recuperación de la PSD tanto en espectros
simétricos como en espectros no simétricos. Por ejemplo, las
componentes espectrales de ruido coloreado en ambos
conjunto de prueba recuperados con los datos innovados
tienen mayor aproximación a los originales que con cualquier
otro método previo.
En la Tabla III se muestra una comparación cuantitativa de
los valores estimados de las frecuencias, amplitudes y fases
obtenidos con el método propuesto y los reportados en la
literatura de donde fueron tomados [1], [2]. El análisis de
datos muestra un error promedio porcentual de 4.54% en la
amplitud y 0.79% en la fase para los datos del modelo de la
Fig. 1.a. y un error promedio porcentual de 2.54% en la
amplitud y 0.84% en la fase para los datos del modelo de la
Fig. 1.b. Los cuales son resultados satisfactorios dentro de los
límites de tolerancia aceptados.
C. Simulaciones en Aplicaciones Reales
Una de las aplicaciones típicas y de interés histórico para la
estimación espectral es el registro de la actividad solar, la cual
se manifiesta por la aparición de manchas en el disco del Sol
[2]. El conteo del número de manchas es el parámetro
utilizado para medir la actividad solar. Para ello se cuenta con
un registro histórico de más de 300 años, encontrándose una
periodicidad aproximada de 11 años [2]. Los diversos métodos
de estimación espectral han permitido extrapolar la serie de
eventos de dicha actividad hasta 1500 años antes de Cristo
b)
10
PSD Relativa (dB)
0.2000
0
-10
-20
-30
-40
-50
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Frecuencia Normalizada
c)
10
PSD Relativa (dB)
Datos del modelo de la
Fig.1.b.
Datos del modelo de
la Fig.1.a.
Casos
fm
de prueba Verdadera
verificándola con registros geológicos de variaciones
climáticas y meteorológicas. Los métodos predicen que
además del ciclo de máxima actividad de 11 años, existen
otros dos, uno de 5 años y otro de 21 años aproximadamente.
PSD Relativa (dB)
versiones MV/ME logran una mejor aproximación que los
métodos previos (BT, Pisarenko, MUSIC, MORP, MV, ME,
etc.)
265
0
-10
-20
-30
-40
-50
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Frecuencia Normalizada
d)
Fig. 5. Espectros reconstruidos para los casos prueba de este trabajo. a)
MORP-MV para los datos de la Fig 1.a. b) MORP-MV para los datos de la
Fig 1.b. c) MORP-ME para los datos de la Fig 1.a. d) MORP-ME para los
datos de la Fig 1.b.
En la Tabla VI se presentan los resultados obtenidos
mediante diversos métodos modernos de estimación espectral
[2] y el propuesto en este trabajo en donde se muestra total
concordancia de resultados.
266
IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 3, NO. 3, JULY 2005
TABLA III
VALORES ESTIMADOS DE LOS PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS PARA LOS
MODELOS DE PRUEBA PRESENTADOS EN LA FIG..1. SE COMPRARA CON LOS
DATOS REPORTADOS EN LA LITERATURA
Datos del modelo de la
Fig. 1b
Datos del modelo de la
Fig.1. a
Casos
Frecuencia
de prueba
Amplitud Amplitud
estimada reportada
Fase
estimada
(rad)
Fase
reportada
(rad)
−0.4200
1.0041
1.0000
-0.0293
0.0000
−0.4000
1.0250
1.0000
-0.0185
0.0000
−0.0500
1.0260
1.0000
0.0965
0.0000
0.0500
1.2613
1.0000
-0.1469
0.0000
0.4000
0.9615
1.0000
0.0319
0.0000
−0.4200
0.9949
1.0000
0.0188
0.0000
−0.1500
0.1085
0.1050
-0.9088
-0.9112
0.1000
0.1046
0.1001
0.6100
0.5981
0.2000
0.9910
0.9810
1.2572
1.2369
0.2100
0.9949
0.9819
1.3009
1.3010
TABLA IV
CÁLCULO DEL PERIODO DE ACTIVIDAD SOLAR MEDIANTE LOS
MÉTODOS DE ESTIMACIÓN MODERNOS.
Método
Periodo 1
Periodo 2
Periodo 3
Autorregresivo
20.90 años
10.72 años
5.20 años
Media móvil
−
10.84 años
5.52 años
frecuencia, la duración mínima de la señal, potencia y valores
mínimos de razón señal a ruido. El problema a resolver es la
detección de los tonos de la señal en presencia de ruido, de tal
forma que se cumpla la norma del ITU. Existen diversos
métodos basados en la transformada discreta de Fourier (DFT)
agregado con un método de filtraje basado en el algoritmo de
Goertzel [15]. El método propuesto en este trabajo es capaz de
detectar los tonos duales con la ventaja de que requiere menos
datos que los especificados en el estándar para tomar la
decisión de cuál es el dígito presente en un registro de datos.
El análisis detallado de esta aplicación se encuentra en
desarrollo.
Detección del Pitch de la Voz: El procesamiento de la voz
es un tema de investigación que encuentra aplicaciones
principalmente en tres áreas de desarrollo: la síntesis, la
codificación y la compresión de la voz. A la fecha se siguen
desarrollando algoritmos para el tratamiento de la voz [16]. Un
parámetro fundamental en el procesamiento es el llamado
“pitch” de la voz. El parámetro identifica la componente
sonora de la voz diferenciándola de los sonidos sordos. El
origen de este parámetro está en el hecho de que las cuerdas
vocales vibran con una frecuencia determinada para la
componente sonora de la voz. En el dominio del tiempo el
pitch representa la pseudo-periodicidad de la voz, y en el
dominio de la frecuencia representa la separación de
frecuencias adyacentes generadas por los pulsos periódicos de
las cuerdas bucales [16]. Las pruebas parciales desarrolladas
hasta el momento muestran que el método propuesto, puede
recuperar el periodo de pitch y reconstruir la envolvente
espectral (la cual representa la característica del modelo del
tracto bucal). El análisis detallado de esta aplicación está en
progreso.
VI. CONCLUSIONES
Prony (modelo de 4
sinuoides)
24.48 años
10.96 años
5.96 años
Mínima varianza
−
10.67 años
5.35 años
Método propuesto
−
10.70 años
5.27 años
D. Sugerencias de Aplicaciones
En general, la estimación espectral tiene una amplia y
prácticamente ilimitada variedad de aplicaciones. Tan sólo
mencionaremos algunos tópicos que han sido probados con el
método propuesto que han dado resultados satisfactorios.
Detección DTMF: El tipo de señalización usado en la
telefonía digital es el llamado DTMF, i.e. Dual Tone MultiFrequency, el cual es empleado en la marcación, selección y
usos de servicios electrónicos. Es un estándar definido por la
International Telecommunication Union (ITU) que consiste en
la asignación de tonos duales para identificar los dígitos 0 a 9,
las letras A, B, C y D y los símbolos # y * mediante la
combinación de dos sinusoides de frecuencias bajas y altas, las
cuales en principio nunca se pueden generar mediante la voz
humana [15]. El estándar especifica los valores de las
frecuencias, el porcentaje de tolerancia de desviación en la
En este trabajo se ha propuesto una metodología novedosa
basada en la fusión o agregación de métodos paramétricos y no
paramétricos de estimación espectral que permiten resolver
eficientemente el problema de la caracterización del espectro
de procesos mixtos que están compuestos con una parte multiarmónica de orden desconocido inmersa en ruido coloreado
con espectro distribuido también desconocido.
Primero, el uso del método robusto de estimación
paramétrica como lo ha sido el método de Prony modificado
(MORP) propuesto en este trabajo ha permitido caracterizar
las componentes de líneas del espectro con superresolución. El
orden del modelo paramétrico ha sido determinado por la
estrategia de invariancia de posición espectral (SPI) verificada
experimentalmente con datos reales y sintéticos. La estrategia
desarrollada permite detectar la presencia de señales
armónicas ocultas en cualquier tipo de señal ruidosa mediante
la prueba de la hipótesis de SPI. En el método propuesto, los
errores cometidos en el cálculo de las frecuencias estimadas,
respecto de las frecuencias verdaderas, se absorben en el factor
de redondeo. Por lo tanto la hipótesis SPI es válida dentro de
los límites de tolerancia especificados en este trabajo. Es
importante desatacar que debido a la no linealidad del
problema bajo análisis no existe su solución analítica única. La
PONCE-DÁVALOS AND SHKVARKO : SPECTRAL CARACTERIZATION VIA FUSING
SPI es una prueba estadística propuesta cuya validez fue
demostrada experimentalmente en una variedad amplia de
simulaciones con datos sintéticos y reales. Como resultado, el
método paramétrico MORP ofrece la ventaja de identificar
componentes espectrales cercanas con superresolución
evitando la sobre estimación del orden del modelo del espectro
multi-armónico.
Por otra parte, la agregación de métodos no paramétricos
permite reconstruir la componente distribuida del espectro de
la señal asociada al ruido coloreado de fondo. Los métodos
que proponemos emplear tienen la ventaja de que reducen la
pérdida de resolución debida al registro finito de datos.
Como resultado de la estrategia de agregación de métodos
que se ha propuesto fue presentado el método fusionado de
estimación espectral en sus dos versiones: MORP-MV y
MORP-ME. La metodología no hace hipótesis acerca de la
distribución espectral del ruido y por lo tanto afirmamos que
este resultado es general tanto para ruido blanco como para
ruido coloreado. La fusión del método paramétrico MORP
para la localización y caracterización de líneas espectrales, con
los métodos de estimación espectral no paramétricos MV y
ME, presenta como resultado una estimación espectral
completa con alta resolución de la componente distribuida de
la PSD y superresolución paramétrica de las líneas espectrales
que corresponden a la componente multi-armónica de los
datos. Los desempeños de resolución/superresolución espectral del método MORP-MV/MORP-ME superan a aquellos
proporcionados por todos los métodos previos. Esto verifica la
eficiencia de la estrategia propuesta y el método desarrollado.
Finalmente, basándonos en los resultados del presente
estudio, planteamos que la metodología descrita abre un
panorama amplio de aplicaciones particulares para el método
desarrollado MORP-MV/MORP-ME en problemas de análisis
espectral, tanto en tiempo-frecuencia como espacio-frecuencia
espacial. Los resultados de las simulaciones computacionales
reportadas verifican claramente las ventajas de la propuesta.
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Scheme Based on Robust Estimators in Presence of Impulsive
Noise”, Real Time Imaging VII, 8(2), Elsevier Publ., NY, pp. 6980, 2004.
José Luis Ponce-Dávalos. Recibió el título de
Físico por parte de la Universidad Nacional
Autónoma de México (UNAM) en 1983.
Obtuvo el grado de Maestro en Ciencias por
parte de Centro de Investigaciones y Estudios
Avanzados
(CINVESTAV)
en
1993.
Actualmente es candidato a Doctor en Ciencias
en la Unidad Guadalajara del CINVESTAV.
Trabaja como profesor asociado en Instituto
Tecnológico de Estudios Superiores de
Monterrey, Campus Guadalajara. Sus áreas de
interés en investigación son en procesamiento
de señales, estimación espectral, teledetección y procesamiento de imágenes.
Yuriy V. Shkvarko (M’95−SM’04). Ingeniero
(con honores) en Radio Ingeniería en 1976,
Candidato en Ciencias (equivalente a PhD) en
radio sistemas en 1980 y Doctor en Ciencias en
físicas de radio, radar y navegación en 1990,
todos del Instituto de Aviación de Kharkov,
Ucrania, (ex URSS). De 1976 a 1991, estuvo en
el Departamento de Investigación Científica del
Instituto de Aviación de Kharkov, (ex URSS),
desempeñándose
como
investigador
en
diferentes categorías y finalmente como Jefe del
Laboratorio de Investigación en Tecnologías de
Información para radar y navegación. De 1991 a
1999 fue profesor de tiempo completo en el Departamento de Análisis de
Sistemas y Control del Instituto Politécnico Nacional de Ucrania en Kharkov,
Ucrania. De 1999 al 2001 fue profesor visitante en la Universidad de
Guanajuato en Salamanca, México. En 2001, se integró al CINVESTAV del
IPN en Guadalajara, México, como profesor titular de tiempo completo. Sus
intereses de investigación son en aplicaciones de procesamiento de señales
para percepción remota, radar de formación de imágenes, navegación y
comunicaciones, particularmente en problemas inversos, estimación de
campos aleatorios, análisis espacial adaptivo, procesamiento estadístico
multicanal, arreglo de sensor y fusión de sistemas. Posee 12 patentes y ha
publicado 2 libros y más de 100 artículos en Revistas y Memorias de
Conferencias sobre estos tópicos.
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