Métodos Matemáticos en Física

Métodos Matemáticos en Física
Lección 9: Transformada Integral de Fourier
(PROBLEMAS)
CONVOLUCION
Propiedad de simetría de CONVOLUCION
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Lección 9: Transformada Integral de Fourier
(PROBLEMAS)
PROBLEMA Clase: [EX09_10]
Calcular Transformada Fourier [TF=F] de producto de dos
funciones f(x)g(x) en función de TF correspondientes F(k) y G(k)
NOTA: Usar definición de TF [caso ssimétrico]
NOTA
ét co]
1
TF:  (k ) 
2

  ( x )e
 ikx
ik
dx

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(PROBLEMAS)
SOLUCION
Aquí presentamos f(x) con su TF inversa F(k`)
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(PROBLEMAS)
G(k-k´)
Aquí Hemos cambiado orden de integración por x y k´
Es convolucion entre dos Transformadas Fourier
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(METODO)
Método Fourier para soluciones de
Ec. Diferenciales con derivadas parciales (
Libro Asmar, Cap. 7
Consideramos TF
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TF de derivadas
(METODO)
u(x,t) es definida en
espacio infinito
1
2
3
4
6
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(METODO)
Comprobamos (1) [dir. inversa]
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(METODO)
Repitiendo procedimiento de diferenciación obtenemos (2)
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(METODO)
Aplicamos método Fourier para resolver Ec. de onda en 1D-infinito
Fijamos (t) y realizamos
TF e Ec.
E
+TF de CI
x
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(METODO)
TF de
Ec+CI
5
Es Ec. Dif
Ordinaria
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Solución
(METODO)
6
De CI
D
Entonces
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Solución
(METODO)
6
Usando TF inversa
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(METODO)
SUMARIO d
de Mét
Método
d F
Fourier
uri r
Paso 1: TF del problema de contorno dada en u(x
u(x,t)
t) y obtener una
ecuación diferencial ordinaria en û(,t) en la variable t.
Paso 2: Resolver la ecuación diferencial ordinaria y encontrar
û(,t).
Paso 3: Transformación inversa de Fourier de û(,t) p
para obtener
u(x,t).
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(METODO)
RROBLEMA (RESOLVER en clase):
Sol Ec. Fourier en una barra infinita
CI
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(METODO)
1. Aplicamos TF a Ec. y CI
2. Sol General de Ec. Diff.
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(METODO)
2. Aplicamos CI
3. Sol Final
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(METODO)
EJEMPLO de uso de Método Fourier en Ec. Diff con
derivadas mezcladas
CI
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(METODO)
1. Aplicamos TF (t=Const)
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1. Aplicamos TF a Ec. Diff
o
+CI
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(METODO)
1. Aplicamos TF a CIs
TF [CI] de TABLAS !
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(METODO)
2. Resolvemos Ec. Diff
De CI
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(METODO)
3. Hallamos
m TF inversa usando “Propiedad
p
de desplazamiento”
p
m
Si en espacio directo
En reciproco
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3. Además (de TABLAS)
TF inversa de
es
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(METODO)
Entonces
Sol. Final
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