Ley de Gauss C. Eléctrico

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2º Bach. Física
- Ley de Gauss en el Campo eléctrico. Ejemplos -
20 / 03 / 2015
1.- LEY DE GAUSS PARA LOS CAMPOS VECTORIALES
La ley de Gauss para los campos vectoriales (también llamada teorema de Gauss) establece que el flujo
del campo a través de una superficie cerrada es proporcional a la correspondiente magnitud de la fuente
del campo que se encuentre encerrada en el interior de la superficie. Esta Ley es de aplicación en los
campos gravitatorio y electrostático cuya variación depende del inverso del cuadrado de la distancia y
cuyas magnitudes fuente son la masa y la carga eléctrica respectivamente.
2.- FLUJO Y LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELECTROSTÁTICO
* El Flujo elemental del Campo Eléctrico se define
como :
d Φ= ⃗
E⋅d⃗S=E.d S.cos α (1)
* El Flujo total del Campo Eléctrico a través de una
superficie cerrada es :
⃗ d⃗S (2)
Φ =∮S E⋅
* La Ley de Gauss para el Campo Eléctrico relaciona
el flujo del campo eléctrico a través de una superficie
cerrada con la carga encerrada por esa superficie.
⃗ d⃗S=
Φ =∮S E⋅
Qi
ε
; εo para el vacío (3)
* Flujo elemental del Campo E.
⃗ ⋅d⃗S =E.d S.cos α
d Φ= E
d⃗S
⃗
E
* Superficie de Gauss
α
* T. de Gauss – Campo E.
⃗
E
Qi
Qi
ε
Qi=Carga total encerrada
Φ = ∮S ⃗
E⋅d⃗S =
* Cuando se dan unas determinadas condiciones de simetría, es posible resolver la integral que aparece
en la ecuación (2) y después, utilizando la ecuación (3), obtener el valor del campo eléctrico.
3.- EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS ( CAMPO ELECTROSTÁTICO )
3.1.- Campo eléctrico de una superficie esférica de radio R, uniformemente cargada con una carga total
Q, en los puntos situados en el exterior y en el interior de la superficie esférica.
* Esfera hueca de carga total Q (+) homogénea
* Superficies de Gauss
Φ=∮S
Q
⃗
E⋅d⃗S =
ε
* Tomando como sup. de Gauss esferas de radios
r=r e ; r= ri y observando que el campo es radial
y que, por simetría, su módulo es constante en cada
superficie, tendremos :
⃗ d⃗S=E ∮ dS cos0º= E 4 π r2
Φ =∮S E⋅
re
R
⃗
dS
ri
⃗
E
Q
Eexterior =
4 πε r2e
puesto que :
Einterior = 0
Φ=
Q
ε
en r e tendremos :
E(exterior )=
Q
Q
=K 2
4 π ε r 22
re
2
* En la superficie de radio r i la carga encerrada es nula, por lo tanto : E 4 π r i =0 , que solo se
cumplirá si el campo en los puntos interiores es nulo : E interior =0
* Puede comprobarse que el campo en los puntos exteriores es el mismo que el correspondiente a una
carga puntual Q(+) que estuviera situada en el centro de la superficie esférica.
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2
3.2.- Campo eléctrico de un hilo infinito, uniformemente cargado con una densidad lineal de carga positiva
homogénea.
* Hilo infinito con densidad de carga (+) homogénea
* Densidad de carga :
⃗
dS
* Sup. de Gauss
Q
λ= (C / m)
L
⃗
E
r
* Tomando como sup. de Gauss un cilindro que rodea
al hilo, de radio r y altura L, observando que el campo
es radial y que, por simetría, su módulo es constante
a una distancia r fija, tendremos :
⃗ ∫ ⃗
⃗ ∫ E⋅
⃗
⃗ d⃗S=∫ E⋅
⃗ dS+
⃗ dS
Φ =∮S E⋅
E⋅dS+
I
II
III
λL
Φ=∮S ⃗
E⋅d⃗S =
ε
L
⃗
E
* El flujo es nulo en las superficies I y III (bases del
cilindro de Gauss) por ser perpendiculares el vector
superficie y el campo eléctrico, luego :
⃗
dS
E=
r
λ
2πε r
⃗ ∫ E dS cos 0=E∫ dS=E 2 π r L
Φ =∫II ⃗E⋅dS=
II
II
* Aplicando la Ley de Gauss obtenemos : E 2 π r L=
radial, proporcional a la densidad lineal de carga
λ L ⇒ E= λ
, de forma que el campo es
2πεr
ε
λ , e inversamente proporcional a la distancia al hilo.
3.3.- Campo eléctrico de un cilindro hueco, uniformemente cargado con una densidad superficial de carga
positiva homogénea.
* Cilindro hueco infinito con densidad de carga (+) homogénea
* Sup. de Gauss
* Densidad de carga :
⃗
dS
r
Q
σ=
(C / m2)
2π RL
⃗
E
R
* Tomando como sup. de Gauss un cilindro que rodea
al de carga, de radio r y altura L, observando que el
campo es radial y que, por simetría, su módulo es
constante a una distancia r fija, tendremos :
⃗ ∫ ⃗
⃗ ∫ E⋅
⃗
⃗ d⃗S=∫ E⋅
⃗ dS+
⃗ dS
Φ =∮S E⋅
E⋅dS+
I
II
III
σ2 π RL
Φ=∮S ⃗
E⋅d⃗S =
ε
L
⃗
E
⃗
dS
r
E exterior =
σR
εr
* El flujo es nulo en las superficies I y III (bases del
cilindro de Gauss) por ser perpendiculares el vector
superficie y el campo eléctrico, luego :
Einterior =0
⃗ ∫ E dS cos 0=E∫ dS=E 2 π r L
Φ =∫II ⃗E⋅dS=
II
II
σ2π RL ⇒ E
σR
exterior =
ε r , de forma que el campo
ε
en el exterior del cilindro es radial, proporcional a la densidad superficial de carga ( σ ) e inversamente
* Aplicando la Ley de Gauss obtenemos : E 2 π r L=
proporcional a la distancia a la superficie del cilindro. Por un razonamiento similar al de la esfera hueca, se
demuestra que el campo en los puntos interiores es nulo :
E interior =0
* Ampliación : suponiendo un cilindro macizo de radio R que está cargado de forma homogénea en todo
su volumen con una densidad de carga ρ (C / m 3 ) , demostrar que el campo eléctrico en los puntos del
exterior y del interior del cilindro es, respectivamente
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Eexterior =
ρR 2
2 ε re
E interior =
ρ ri
2ε
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3.4.- Campo eléctrico de una lámina plana infinita, uniformemente cargada con una densidad superficial
de carga positiva homogénea.
* Tomando como sup. de Gauss un cilindro
perpendicular a la lámina de radio a y observando
* Lámina plana infinita con densidad de carga (+) homogénea
que, por simetría, el campo será perpendicular a la
* Sup. de Gauss (cilindro transversal)
lámina en todos los puntos, tendremos :
* Densidad de carga :
⃗
dS
Q
2
σ= 2 (C /m )
πa
⃗
E
⃗
dS
⃗
E
⃗
E
a
a
⃗
dS
σ πa
Φ=∮S ⃗
E⋅d⃗S =
ε
E=
⃗ ∫ ⃗
⃗ ∫ E⋅
⃗
⃗ d⃗S=∫ E⋅
⃗ dS+
⃗ dS
Φ =∮S E⋅
E⋅dS+
I
II
III
2
σ
2ε
* El flujo es nulo en la superficie II (contorno del
cilindro de Gauss) por ser perpendiculares el vector
superficie y el campo eléctrico, luego :
2
⃗ ∫ ⃗
⃗
Φ =∫I ⃗E⋅dS+
E dS=2
E∫I dS=2 E π a
II
2
* Aplicando la Ley de Gauss obtenemos : 2 E π a =
σ π a2
⇒ E= σ , de forma que el campo es
2ε
ε
proporcional a la densidad superficial de carga ( σ ) y no depende de la distancia a la lámina, su módulo
es constante en todos los puntos.
3.5.- Campo eléctrico entre dos láminas planas infinitas, uniformemente cargadas con densidades
superficiales de carga de igual valor y signo opuesto.
* Aplicando el resultado obtenido en el apartado
anterior para la lámina plana infinita y el principio de
* Láminas planas infinitas con densidades de carga opuestas
superposición, obtendremos que en el exterior de las
placas los campos de cada una se anulan
σ (-)
σ (+)
mutuamente al ser de igual módulo y sentido
contrario:
σ
σ
E 1+E 2=
E⃗1+E⃗2=⃗0
⃗
E interior
∣E⃗1∣=∣E⃗2∣=
ε
E⃗1 + E⃗2= ⃗0
E interior =
⃗ exterior = E⃗1 + E⃗2 = ⃗
E
0
2ε
σ
ε
E exterior =0
* En el espacio entre las placas los campos son
iguales, luego :
σ
∣⃗
Einterior∣=∣E⃗1∣+∣E⃗2∣= 2∣E⃗1∣=
ε
* Entre las placas se tiene un campo uniforme en dirección perpendicular a las mismas y con sentido de la
placa positiva a la placa negativa.
3.6.- Ejercicios de aplicación
a) Demostrar que el campo eléctrico es nulo en el interior de cualquier conductor que se encuentra en
equilibrio electrostático (recordar que en un conductor toda la carga libre se sitúa en la superficie exterior y
aplicar la Ley de Gauss a los puntos del interior del conductor)
b) Calcular el campo eléctrico en los puntos exteriores e interiores de una esfera conductora maciza de
radio R =40 cm , cargada con una carga total negativa Q=−70 mC rodeada de un medio cuya
permitividad eléctrica es el doble que la del vacío : ε=2 εo
c) Calcular el campo eléctrico en los puntos exteriores e interiores de una esfera no conductora maciza de
radio R =40 cm , cargada con una carga total negativa Q=−70 mC rodeada de aire. La permitividad
eléctrica del material de la esfera es el doble que la del vacío : ε=2 εo
* Datos :
IES Vicente Aleixandre
K o=9.109 N m 2 C−2
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K o=1/ 4 π εo
[email protected]
K =1/4 πε