Ecuaciones polinomicas de segundo grado

Ecuaciones e inecuaciones de Primer Grado con una incógnita
Sea P (x)=0 una ecuación polinómica , con P(x) un polinomio, resolver la misma es encontrar los
ceros o raíces de P(x), es decir, los valores de x que anulan dicho polinomio.
X se llama incógnita de la ecuación. El conjunto de raíces de P(x) se llama conjunto solución.
Ejemplos:
a) 3x-12 = 0 ⇒ x = 12:3 ⇒ x = 4
b) x 2 − 9 = 0 ⇒ ( x + 3).( x − 3) = 0 ⇒ x = 3 ∧ x = − 3
Grado de una ecuación
El grado de P(x) se llama grado de la ecuación polinómica.
Así por ejemplo tenemos:
2 x − 5 = 0 es una ecuación de primer grado
x 2 + 5 x − 3 = 0 es una ecuación de segundo grado
Ecuación polinómica de Primer grado con una incógnita
Toda ecuación que se pueda escribir de la forma :
ax + b = 0 ( siendo a ≠ 0)
se llama ecuación polinómica de primer grado con una incógnita.
Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjunto solución.
Propiedades
1) Si a ambos miembros de una ecuación se les suma un mismo polinomio P(x), se obtiene otra
ecuación equivalente a la dada.
2) Si se multiplican ambos miembros de una ecuación por una constante se obtiene una
ecuación equivalente a la dada.
Interpretación gráfica
La gráfica de una función polinómica de primer grado es una recta no paralela al eje OX.
En consecuencia : Una ecuación polinómica de primer grado tiene una y solo una raíz.
Inecuaciones polinómicas de primer grado
Sea P (x ) < 0
o
P(x)> 0 se denominan inecuaciones.
Para resolver las mismas se debe tener en cuenta las siguientes leyes.
a) a < b ⇒
a+c<b+c
b) a < b ⇒
a . c < b . c , si c> 0
Observación:
a) si el número es positivo, la desigualdad conserva el sentido.
b) Si el número es negativo, la desigualdad cambia el sentido.
Estas propiedades se extienden a las relaciones de : ≥ y ≤.
Por ejemplo:
Se le suma 6 a ambos miembros
3x–6>0
3x >6
Se divide por 3 ambos miembros
x>2
Por lo tanto el conjunto solución es el siguiente : S = { x ∈ ℜ / x > 2}
Ecuaciones polinómicas de segundo grado
Una ecuación polinómica tiene la forma : P ( x) = 0 ,siendo P ( x ) un polinomio.
Si en particular, P(x) es un polinomio de segundo grado tenemos una ecuación de segundo grado.
ax 2 + bx + c = 0, siendo a ≠ 0
ax 2 es el término cuadrático o de segundo grado.
bx
es el término lineal o de primer grado.
c
es el término independiente.
Resolver una ecuación polinómica significa encontrar los valores de x que anulan el polinomio.
Estos valores se llaman raíces de la ecuación o ceros del polinomio.
Si a es una raíz del polinomio se verifica que P(a) = 0.
Resolución de ecuaciones incompletas:
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando falta el término lineal, el término
independiente o ambos.
Es evidente que no puede faltar el término cuadrático pues en este caso no sería una ecuación de
segundo grado.
Entonces debe ser a ≠ 0 .
Sean los siguientes casos:
1) b = 0 y c = 0
La ecuación se transforma en ax 2 = 0
Si se divide por a ambos miembros se obtiene x 2 = 0 , por lo tanto el conjunto solución es
x=0
2) b = 0 y c ≠ 0
La ecuación se transforma en ax 2 + c = 0 .
Se despeja x.
ax 2 = − c
c
x2 = −
a
c
a
Se obtiene dos raíces que pueden ser ambas reales o complejas . En ambos casos son
Números opuestos.
x1, 2 = ± −
3) b ≠ 0 y c = 0
La ecuación se transforma en ax 2 + bx = 0
Se saca factor común x : x ( a x + b ) = 0
Si un producto de dos factores es cero entonces debe ser necesariamente cero uno de los factores.
x = 0 ⇒ x1 = 0
o
ax + b = 0
Entonces : ax = − b
b
b
x = − ⇒ x2 = −
a
a
donde x1 y x 2 son las raíces de la ecuación.
Resolución de ecuaciones completas.
Para resolver una ecuación de segundo grado completa se usan distintos procedimientos.
1)Factorizar el polinomio, es decir, transformarlo en un producto igual a cero. Las raíces se
obtienen igualando a cero cada uno de los factores.
2)Aplicar la fórmula que permite hallar las raíces en función de sus coeficientes.
3)Hallar gráficamente las raíces.
En el primer caso se puede dar que :
a)El trinomio es cuadrado perfecto
Por ejemplo : x 2 − 6 x + 9 = 0
Se verifica que hay dos términos que son cuadrados perfectos y uno que es el doble
producto de las bases. Al comprobar se concluye que la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto,
⇒ ( x − 3) = 0 ⇒ x = 3
por lo tanto se puede expresar como : ( x − 3) 2 = 0
b)El trinomio no es cuadrado perfecto.En este caso se utiliza el procedimiento de completar
cuadrados.
Por ejemplo: x 2 + 4 x + 3 = 0
Se considera el coeficiente del término lineal que en este caso es 4, se lo divide
2
 4
entre dos y se lo eleva al cuadrado , resultando en el ejemplo :   = 4 , este número obtenido se lo
 2
suma y resta a la ecuación, para poder obtener de allí un trinomio cuadrado perfecto:
( x 2 + 4 x + 4) − 4 + 3 = 0

 

trinomio
cuadrado
perfecto
Factorizando el trinomio :
( x + 2) 2 − 1 = 0
La expresión obtenida es una diferencia de cuadrados donde (x+2) y 1 son las bases, por lo tanto
esa diferencia de cuadrados se puede expresar como :
(x+2+1) . (x+2-1) =0
(x+3) . (x+1) = 0
Si el producto es cero, necesariamente uno de los factores es ceros , por lo tanto :
x+3 = 0 ⇒ x = -3
y
x+1= 0 ⇒ x = -1
Por lo tanto, los valores obtenidos son las raíces de la ecuación.
En el segundo caso la fórmula que se utiliza es la siguiente:
− b ± b 2 − 4ac
x1, 2 =
2a
Se puede conocer por anticipado la naturaleza de las raíces, sin resolver la ecuación teniendo en
cuenta el discriminante .Simbólicamente: ∆ .
Cuyo valor es : Δ = b2 − 4ac
1) Si ∆ > 0 las raíces son reales y distintas.
2) Si ∆ = 0 las raíces son reales y coincidentes.
3) Si ∆ < 0 las raíces son complejos conjugados.
En el tercer caso : La ecuación ax 2 + bx + c = 0 tiene dos raíces x1 y x 2 .
Las raíces de la ecuación son los valores que anulan al polinomio , es decir , los valores de x para
los cuales y = 0 y esos puntos son los puntos de intersección de la parábola con el eje x. En
consecuencia para resolver gráficamente una ecuación de segundo grado se construye la parábola y
se determinan los puntos de intersección de la misma con el eje OX.
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
El conjunto de dos ecuaciones P(x,y) = 0 y Q(x,y) = 0 se llama sistema de dos ecuaciones cn dos
incógnitas. Si ambas ecuaciones son de primer grado , se dice que es un sistema de dos ecuaciones
de primer grado con dos incógnitas. Para indicar que forman un sistema , se abarcan con una llave.
Resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas significa hallar el conjunto de raíces
comunes.
Métodos de resolución
1) Sustitución
 4x + y = 4

 2x − 3y = − 5
Despejamos y en la primera ecuación.
y = − 4 x + 4 (1)
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación: 2x-3y=-5
2x-3(-4x+4)=-5
Hemos obtenido por sustitución una ecuación de primer grado con una incógnita.
Resolvemos la ecuación obtenida.
2 x + 12 x − 12 = − 5
14 x = − 5 + 12
7
x=
14
1
x=
2
Reemplazamos el valor de x en la igualdad(1)
y = − 4x + 4
1
y = − 4. + 4
2
Resolvemos : y = - 2 + 4
y= 2
Sea el sistema
 1 
S=   ,2  
 2 
2) Igualación
 2x + y = − 1
Sea el sistema 
 5x + 3 y = − 5
Despejamos x en ambas ecuaciones .
− 1− y
De la primera : x =
(1)
2
− 5 − 3y
De la segunda: x =
(2)
5
Igualamos los dos valores de x.
− 1 − y − 5 − 3y
=
2
5
Hemos obtenido por igualación una ecuación de primer grado con na incógnita.
Resolvemos la ecuación obtenida:
− 5 − 5 y = − 10 − 6 y
− 5 y + 6 y = − 10 + 5
y = −5
Reemplazamos el valor de y en la igualdad (1) o en la (2).
− 1− y
x=
2
− 1 − (− 5)
x=
2
Resolvemos:
− 1+ 5
x=
2
x= 2
S= { ( 2,− 5)}
3) Suma o Resta
 x + 2y = 4
Sea el sistema: 
 − x − 3y = − 7
Es fácil ver que puede eliminarse la incógnita x sumando miembro a miembro
x + 2y = 4
− x − 3y = − 7
- y = -3
Obtenemos una ecuación de primer grado en y
Resolvemos: y=3
Reemplazamos y en la primera ecuación ( o en la segunda)
x + 2.3 = 4
x = 4− 6
x= −2
4) Determinante
 4x + y = 4
Sea el sistema: 
 2x − 3y = − 5
∆ =
4 1
= 4.( − 3) − 2.1 = − 14
2 −3
∆
X
=
4
1
= 4.(− 3) − (− 5).1 = − 7
−5 −3
∆
Y
=
4 4
= 4.(− 5) − 2.4 = − 28
2 −5
− 7
− 14
− 28
y=
− 14
x=
x=
1
2
y= 2
Simbólicamente:
 a1 x + b1 y = c1
Sea el sistema: 
 a 2 x + b2 y = c 2
∆ =
a1
a2
b1
b2
∆
X
=
c1
c2
b1
b2
∆
Y
=
a1
a2
c1
c2
Si :
a) ∆ ≠ 0 el sistema es compatible determinado. El sistema tiene solución única.
  ∆ x ∆ y  

,
S =  
  ∆ ∆  
b) ∆ = 0, ∆ x = 0 y ∆
soluciones.
c) ∆ = 0, ∆ x ≠ 0 ∨ ∆
y
= 0 el sistema es indeterminado. El sistema admite infinitas
y
≠ 0 el sistema es incompatible. El sistema no admite solución.
5) Método gráfico
 2x − y = 0
 y = 2x
⇒ 
Sea el sistema : 
x+ y− 9= 0  y = − x+ 9
La solución es el punto de intersección de las dos rectas que representan cada ecuación del
sistema y dicho punto es: P(3,6). Por lo consiguiente el conjunto solución es: S={(3,6)}.