EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 9 – VECTORES Y RECTAS:

EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 9 – VECTORES Y RECTAS:
ECUACIÓN CONTÍNUA Y ECUACIÓN EXPLÍCITA
Pag 176 – 177:
Ejercicio 21: Calcula la ecuación continua de la recta que para por los puntos:
(3, -1) y (4, 5)
La ecuación continua de la recta tiene esta forma:
=
; donde “a” y “b” son las
coordenadas de cualquier punto de la recta, por ejemplo (3, -1) o (4, 5), da igual,
cualquiera de los dos vale y Vx y Vy son las coordenadas del vector director de la recta.
Por lo tanto lo que vamos a hacer es calcular el vector director y sustituir estos datos:
= (4 – 1, 5 – (-1)) = (3, 6)
Vector director
Ecuación continua de la recta:
=
Ejercicio 22: Halla la ecuación continua de la siguiente recta expresada en forma
paramétrica:
Lo que voy a hacer es despejar t en ambas ecuaciones e igualarlas y ya está:
1ª  t = (x – 2)/-3
2ª  t = y/2
Ahora igualo:
=
Y, aunque no lo pregunta, se puede decir que esta recta
pasa por el punto (2, 0) y su vector director es (-3, 2)
Ejercicio 23:
Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y su vector director es
(-1, 0)
Como no me dicen nada escribo la ecuación de la recta en la forma que quiero:
Vectorial: (x, y) = (2, 3) + t(-1, 0)
Y así estaría perfecta, pero vamos a fijarnos un poco más. La coordenada “y” del vector
director es 0, esto significa que esta recta NO AVANZA en el eje vertical, por lo tanto
deduzco que es horizontal. Si obtenemos la ecuación de la recta en forma paramétrica la
solución sería:
X=2–t
Y = 3 + 0t  y = 3.
A partir de estas dos ecuaciones vamos a dar valores a t pata obtener puntos de la recta.
Imaginemos que t = 1  (1, 3), imaginemos que t = 2  (0,3), imaginemos que t = -1
 (3, 3), imaginemos que t = 0  (2, 3).
¿Qué vemos? Que la parte y de todos los puntos es la misma, es 3; por lo tanto se puede
decir que la ecuación de la recta es y = 3. Y la parte x da igual, porque pongamos lo
que pongamos en la parte x la parte y siempre va a ser 3.
En el caso de que la recta fuese vertical habría ocurrido lo mismo pero ahora con la
parte x en vez de con la y.
Ejercicio 24. (Reflexiona) Expresa la ecuación de la recta que pasa por los puntos
(1, -2) y (1, 2) en forma vectorial y paramétrica. ¿Se puede expresar de forma
continua?
Vector director: (1 – 1, 2 – (-2)) = (0, 4)
Forma vectorial: (x, y) = (1, -2) + t(0, 4)
Forma paramétrica:
No se puede expresar de forma continua porque habría un denominador se sería 0 y la
división entre cero no existe.
Ejercicio 25: Determina la ecuación explícita que pasa por el punto (0, -4) y tiene
de vector director = (1, 7)
La ecuación explícita es de la forma y = ax + b, donde “a” es la pendiente y “b” es la
ordenada en el origen:
Pendiente: vy/vx = 7/1 = 7
Ordenada en el origen: Es el valor de la parte “y” del un punto de nuestra recta cuando
la “x” vale cero, es decir, está en el origen. Por eso se llama “ordenada en el origen”. En
nuestro caso el punto que nos dan es el (0, -4). Ya está, la parte x es cero y la y
corresponde a la ordenada en el origen:
Y = 7x – 4.
(Según los datos que nos den este ejercicio se puede resolver de varias formas. Lo más
fácil es cuando nos dan las coordenadas del vector director y calculamos la pendiente y
el punto con x = 0 y así sabemos que la “y” es la ordenada en el origen.)
Ejercicio 26: La ecuación de una recta es y = 3x – 3. ¿Cuál es la pendiente? Halla
un vector director de la recta.
LA pendiente es el coeficiente de la x: 3
La pendiente es también la división de la coordenada y del vector director entre la
coordenada x. Como esa división debe dar como resultado 3, un vector director podría
ser = (1, 3) Y así 3/1 = 3 que es la pendiente de la recta.
Pag 188. Ejercicio 75. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 2) y
tiene por vector director a = (-2, 3) de forma explícita.
La ecuación de forma explícita es y = ax + b. Lo que debemos calcular es “a” y “b”.
Sabemos que “a” es la pendiente y “b” es la ordenada en el origen. En este caso, con el
vector director calculamos la pendiente: a = 3/(-2) = -1,5 y b es la parte y del punto de la
recta cuya parte x es 0. Casualmente me dan ese punto, el (0, 2), por lo tanto b = 2 y la
ecuación de la recta en forma explícita es: y = -1,5x + 2