CIRCUITOS EN CA - Electricidad Aplicada II

INACAP
ELECTRICIDAD – 2
GUIA DE APRENDIZAJE UNIDAD-2
CIRCUITOS BASICOS EN CORRIENTE ALTERNA SINUSOIDAL
En esta unidad se estudiará el comportamiento de circuitos puros ( resistivos, inductivos y
capacitivos) alimentados por una fuente alterna sinusoidal, es decir, los voltajes y corrientes presentes
en el circuito serán alternos sinusoidales con una frecuencia determinada.
CIRCUITO RESISTIVO PURO
En la figura se muestra un generador alterno sinusoidal conectado a una resistencia.
iR (t)
+
e (t)
vR (t)
R
El voltaje del generador es e(t) = Emax sen ( ω t ) que en forma de fasor se escribirá como:
E = Emax ø 0° (v).
El voltaje en la resistencia es el mismo del generadores, es decir : vR(t) = VRmax sen ( ω t )
donde Emax = VRmax
Escrito como de fasor:
VR = VRmax ø 0° (v)
Por Ley de Ohm se puede obtener la corriente que circula por la resistencia.
IR = VR / R = VR/ R ø 0° = IRmax ø 0°
Luego el voltaje y la corriente por la resistencia son:
VR = VRmax ø 0° (v) o en el dominio del tiempo vR(t) = VRmax sen (ω t +0° )
IR = IRmax ø 0° (A) o en el dominio del tiempo iR(t)= IRmax sen (ω t + 0° )
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UNIDAD-2
CIRCUITOS BASICOS EN CORRIENTE ALTERNA SINUSOIDAL
A continuación se indican el diagrama fasorial y la gráfica en el dominio del tiempo para el voltaje y la
corriente en la resistencia. Se puede observar que ambas señales están en fase.
Ir
Vr
DIAGRAMA FASORIAL DEL VOLTAJE Y
CORRIENTE EN LA RESISTENCIA
GRAFICA EN EL TIEMPO DEL VOLTAJE Y
LA CORRIENTE EN LA RESISTENCIA
Conclusión: En un circuito resistivo puro el voltaje y la corriente en la resistencia
siempre están en fase.
Ejemplo:
En el siguiente circuito e(t) = 100 cos (25 t + 30° ) y R = 50 Ω. Determinar la intensidad de corriente por
la resistencia y dibujar el diagrama fasorial.
IR
+
E
VR
R
Solución:
En forma de fasor el voltaje de la fuente es: E = 100 ø30° (v)
El voltaje en la resistencia es el mismo que el de la fuente, luego:
vR(t) = 100 cos (25 t + 30° )
Que expresado como fasor queda:
VR = 100 ø30° (v)
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CIRCUITOS BASICOS EN CORRIENTE ALTERNA SINUSOIDAL
Aplicando la Ley de Ohm se obtiene la intensidad de corriente por R:
IR = VR / R = 100 ø30° / 50 = 2 ø30° entonces: IR = 2 ø30° [ A ]
Y el diagrama fasorial es:
VR
IR
30
Observar que el voltaje y la corriente en la resistencia están en fase.
POTENCIA INSTANTANEA
La potencia instantánea se expresa como el producto entre el voltaje instantáneo y la corriente
instantánea:
p(t) = v(t) • i(t)
Si v(t) = Vm sen ( ω t ) e i(t) = Im sen (ω t ) entonces la potencia instantánea será:
p(t) = Vmax sen (ω t ) • Imax sen (ω t ) = Vmax Imax sen2 (ω t ) = Pmax sen2 (ω t )
donde: Pmax = Vmax Imax
La potencia instantánea es una función pulsante variable en el tiempo y su expresión gráfica es la
siguiente:
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CIRCUITOS BASICOS EN CORRIENTE ALTERNA SINUSOIDAL
La potencia instantánea en una resistencia es siempre positiva y su valor promedio en un periodo
( Pprom ) es positivo e igual al valor máximo dividido por dos: Pprom = Pmax / 2.
El valor promedio de la potencia instantánea es el valor de potencia que mediria un vatímetro y
se conoce con el nombre de potencia activa P.
Este resultado es concordante con lo ya estudiado en cursos anteriores, en donde se estableció
que la resistencia es un elemento pasivo que consume potencia electrica y la disipa en forma de calor.
Conclusión: La potencia instantánea en un circuito resistivo puro es siempre positiva y
su valor promedio es igual al valor máximo de potencia dividido por dos.
Esto indica que las resistencias consumen potencia activa.
CIRCUITO INDUCTIVO PURO
En la figura se muestra una fuente de corriente alterna sinusoidal conectada a una inductancia
pura.
iL(t)
+
i(t)
vL(t)
L
Si la corriente de la fuente de corriente es: i(t) = Imax sen ω t entonces la corriente por la bobina es la
misma, es decir:
iL(t) = ILmax sen ω t
donde: Imax = ILmax
El voltaje en la inductancia viene dado por la Ley de Faraday ya que se produce un efecto de
autoinducción en la bobina debido a la variación de la corriente ( lo que a su vez implica una variación
del flujo magnético que atraviesa a la bobina ) que circula por ella. Por lo tanto el voltaje en la bobina es:
vL = L diL /dt
Si iL(t) = ILmax sen ω t entonces la derivada es:
diL /dt = ω ILmax cos ω t = ω ILmax sen (ω t + 90°)
Luego el voltaje en la bobina es:
vL = L diL /dt = ω L ILmax sen (ω t + 90°) = VL max sen (ω t + 90°)
donde VL max = ω L ILmax
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CIRCUITOS BASICOS EN CORRIENTE ALTERNA SINUSOIDAL
Es decir, el voltaje y la corriente por la bobina vienen dados por las siguientes expresiones:
vL(t) = VL max sen (ω t + 90°)
e
iL(t) = ILmax sen ω t
Que expresados en forma de fasor quedan:
VL = VL max ø90° e IL = ILmax ø0°
A continuación se indican el diagrama fasorial y la gráfica en el dominio del tiempo para el voltaje
y la corriente por la inductancia. Puede observarse que el voltaje y la corriente en una inductancia están
desfasados en 90°, con la corriente en atraso con respecto al voltaje.
VL
I
DIAGRAMA FASORIAL DEL VOLTAJE Y
CORRIENTE EN LA INDUCTANCIA
GRAFICA EN EL TIEMPO DEL VOLTAJE Y
CORRIENTE EN LA INDUCTANCIA
Conclusión: En un circuito inductivo puro siempre la corriente está atrasada en 90° con
respecto al voltaje.
REACTANCIA INDUCTIVA
Cuando por una bobina ideal ( sin resistencia )circula una corriente variable entonces se produce
una caida de tensión en la bobina. Esto presupone la existencia de un parámetro parecido a la
resistencia en un circuito resistivo. El equivalente a este parámetro en la bobina ideal recibe el nombre
de reactancia inductiva y representa la oposición al paso de la corriente que ejerce la bobina y se mide
en ohm ( Ω ). Este parámetro se calcula usando la Ley de Ohm, es decir:
XL = VL / IL
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CIRCUITOS BASICOS EN CORRIENTE ALTERNA SINUSOIDAL
Usando las expresiones fasoriales para el voltaje y la corriente en la bobina se obtiene:
VL = VL max ø90° = ω L ILmax ø90°
IL = ILmax ø0°
Si aplicamos la Ley de Ohm, el cuosiente entre voltaje y corriente en la bobina debe ser el parametro
ohmico que limita la corriente:
VL / IL = (ω L ILmaxø90° ) / ( ILmaxø0° )
VL / IL = (ω L ILmax / ILmax ) ø(90° − 0°)= ω L ø90°
En donde el término ω L se conoce con el nombre de reactancia inductiva y se simboliza por XL. La
unidad en que se mide es el ohm ( Ω ).
XL = ω L
De la relación anterior se observa que la reactancia inductiva depende de la frecuencia. Existe una
relación directamente proporcional entre la reactancia inductiva y la frecuencia angular. A medida que la
frecuencia aumenta, la reactancia inductiva aumenta y si la frecuencia disminuye la reactancia inductiva
también lo hace en forma proporcional.
Para el caso de frecuencia cero, la reactancia inductiva es cero, es decir es como si no existiera
ninguna oposición al paso de la corriente, lo que indica que el comportamiento de la inductancia es como
si fuera un cortocircuito. Esto es lo que ocurre en régimen permanente cuando se alimenta la bobina
ideal con una fuente contínua, como se estudió en cursos anteriores.
Nota: La expresión VL / IL = ω L ø90° es un número complejo puro, por lo tanto, escrito en forma rectangular queda de la
siguiente forma: VL / IL = j XL. Mas adelante se verá que esta expresión (j XL ) es la parte imaginaria de un parámetro complejo
llamado impedancia en donde su parte imaginaria es la reactancia.
Ejemplo:
En el siguiente circuito e(t) = 220 sen (314 t − 20°) y L = 3 H. Determinar la intensidad de corriente por
la bobina y dibujar el diagrama fasorial.
IL
+
E
VL
L
Solución:
El voltaje en la bobina es el mismo de la fuente, luego vL(t) = 220 sen (314 t − 20°) que expresado en
forma fasorial queda:
VL = 220 ø− 20° (v)
La reactancia inductiva es:
XL = ω L = 314 • 3 = 942 Ω
Para obtener la intensidad de corriente se aplica la Ley de Ohm:
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CIRCUITOS BASICOS EN CORRIENTE ALTERNA SINUSOIDAL
IL = VL / j XL = 220 ø− 20° / 942 ø90° = 0,23 ø−110° entonces IL = 0,23 ø−110°
Y el diagrama fasorial es:
_ 110
_ 20
90
IL
VL
Observar que la corriente atrasa en 90° al voltaje.
POTENCIA INSTANTANEA
La potencia instantánea se expresa como el producto entre el voltaje instantáneo y la corriente
instantánea:
p(t) = v(t) • i(t)
Si en una inductancia v(t) = Vmax sen ( ω t + 90° ) e i(t) = Imax sen (ω t ) entonces la potencia
instantánea será:
p(t) = Vmax sen (ω t + 90° ) • Imax sen (ω t ) = Vmax Imax sen (ω t ) sen (ω t + 90° )
Pero: sen (ω t + 90° ) = sen (ω t) cos (90°) + cos (ω t) sen(90°) = cos (ω t)
Entonces:
p(t) = Vmax Imax sen (ω t ) sen (ω t + 90° ) = Vmax Imax sen (ω t ) cos (ω t )
Pero: sen (ω t ) cos (ω t ) = ½ sen ( 2ω t )
Entonces:
p(t) = Vmax Imax sen (ω t ) cos (ω t ) = ½ Vmax Imax sen ( 2ω t )
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CIRCUITOS BASICOS EN CORRIENTE ALTERNA SINUSOIDAL
La potencia instantánea es una función pulsante variable en el tiempo y su expresión gráfica es la
siguiente:
La potencia instantánea en una inductancia toma valores positivos y negativos alternadamente y
su valor promedio ( Pprom ) en un ciclo es cero.
El valor promedio de la potencia instantánea es el valor de potencia que mediría un vatímetro y
se conoce con el nombre de potencia activa P.
Este resultado es concordante con lo ya estudiado en el curso anterior, en donde se estableció
que la inductancia es un elemento pasivo que no consume potencia eléctrica.
Conclusión: La potencia instantánea en un circuito inductivo puro es alterna, tomando
valores positivos y negativos y en consecuencia su valor promedio es igual
a cero. Esto indica que las inductancias no consumen potencia activa.
CIRCUITO CAPACITIVO PURO
En la figura se muestra un generador alterno sinusoidal conectado a un condensador.
Ic
+
Vc
E
C
Si el voltaje de la fuente es: e(t)= Emax sen ω t entonces el voltaje del condensador es el mismo, es decir:
vC(t)= VCmax sen ω t
La corriente en el condensador viene dado por la siguiente expresión:
iC (t)= C dvC/dt
Si vC(t) = VCmax sen ω t entonces la derivada es:
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CIRCUITOS BASICOS EN CORRIENTE ALTERNA SINUSOIDAL
dvC/dt = ω VCmax cos ω t = ω VCmax sen (ω t + 90°)
Luego la corriente por el condensador es:
iC (t)= C dvC/dt = ω C VCmax sen (ω t + 90°) = ICmax sen (ω t + 90°)
donde: Icmax = ω C VCmax
Es decir, el voltaje y la corriente por el condensador vienen dados por las siguientes expresiones:
iC(t)= IC max sen (ω t + 90°)
y
vC(t)= VCmax sen ω t
Que expresados en forma de fasor quedan:
IC = IC max ø90° y VC= VCmax ø0°
A continuación se indican el diagrama fasorial y la gráfica en el dominio del tiempo para el voltaje
y la corriente en un condensador. Puede Observarse que el voltaje y la corriente en un condensador
están desfasados en 90°, con la corriente en adelanto con respecto al voltaje.
Ic
Vc
DIAGRAMA FASORIAL DEL VOLTAJE Y
CORRIENTE EN EL CONDENSADOR
GRAFICA EN EL TIEMPO DEL VOLTAJE Y
CORRIENTE EN EL CONDENSADOR
Conclusión: En un circuito capacitivo puro siempre la corriente está adelantada en 90°
con respecto al voltaje.
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CIRCUITOS BASICOS EN CORRIENTE ALTERNA SINUSOIDAL
REACTANCIA CAPACITIVA
Al igual que en el circuito inductivo puro,en el circuito capacitivo existe un parámetro denominado
reactancia capacitiva que representa la oposición al paso de la corriente que ejerce la capacitancia y
se mide en ohm ( Ω ). Usando la Ley de Ohm, es decir:
XC = VC / IC
Usando las expresiones fasoriales para el voltaje y la corriente en el condensador se obtiene:
VC = VC max ø0°
IC = ICmax ø90° = ω C VC max ø90°
Si aplicamos la Ley de Ohm, el cuosiente entre voltaje y corriente en el condensador debe ser el
parametro ohmico que limita la corriente:
VC / IC = (VC max ø0°) / (ω C VC max ø90°)
VC/ IC = (VC max / (ω C VC max ) ø(0° − 90°)= 1/ω C ø− 90°
En donde el término 1/ω C se conoce con el nombre de reactancia capacitiva y se simboliza por XC. La
unidad en que se mide es el ohm ( Ω ).
XC = 1 / ω C
De la relación anterior se observa que la reactancia capacitiva depende de la frecuencia. Existe una
relación inversamente proporcional entre la reactancia capacitiva y la frecuencia angular. A medida que
la frecuencia aumenta, la reactancia capacitiva disminuye y viceversa.
Para el caso de frecuencia cero, la reactancia capacitiva tiende a infinito, es decir no circula corriente, lo
cual indica que se comporta como un circuito abierto. Esto es lo que ocurria en régimen permanente
cuando se alimentaba el condensador con una fuente contínua, como se vió en el curso anterior.
Nota: La expresión VC / IC = 1/ωC ø−90° es un número complejo puro, por lo tanto, escrito en forma rectangular queda de la
siguiente forma: VL / IL = − j XC. Mas adelante se verá que esta expresión (− j XC) es la parte imaginaria de un parámetro
complejo llamado impedancia en donde su parte imaginaria es la reactancia.
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CIRCUITOS BASICOS EN CORRIENTE ALTERNA SINUSOIDAL
Ejemplo:
En el siguiente circuito e(t) = 50 sen (314 t − 20°) y C = 200 µF. Determinar la intensidad de corriente
por el condensador y dibujar el diagrama fasorial.
Ic
+
Vc
E
C
Solución:
El voltaje en el condensador es el mismo de la fuente, luego vC(t) = 50 sen (314 t − 20°) que expresado
en forma fasorial queda:
VC = 50 ø− 20° (v)
La reactancia capacitiva es:
XC = 1 /ω C = 1 / 314 • 200 x 10− 6 = 15,92 Ω
Para obtener la intensidad de corriente se aplica la Ley de Ohm:
IC= VC/ − j XC = 50 ø− 20° / 15,92 ø− 90° = 3,14 ø70° entonces IC = 3,14 ø70°
Y el diagrama fasorial es:
Ic
70
90
_ 20
Vc
Observar que la corriente adelanta en 90° al voltaje.
POTENCIA INSTANTANEA
La potencia instantánea se expresa como el producto entre el voltaje instantáneo y la corriente
instantánea:
La potencia instantánea se expresa como el producto entre el voltaje instantáneo y la corriente
instantánea:
p(t) = v(t) • i(t)
Si en un condensador v(t) = Vmax sen ( ω t) e i(t) = Imax sen (ω t + 90° ) entonces la potencia
instantánea será:
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CIRCUITOS BASICOS EN CORRIENTE ALTERNA SINUSOIDAL
p(t) = Vmax sen (ω t) • Imax sen (ω t + 90° ) = Vmax Imax sen (ω t ) sen (ω t + 90° )
Pero: sen (ω t + 90° ) = sen (ω t) cos (90°) + cos (ω t) sen(90°) = cos (ω t)
Entonces:
p(t) = Vmax Imax sen (ω t ) sen (ω t + 90° ) = Vmax Imax sen (ω t ) cos (ω t )
Pero: sen (ω t ) cos (ω t ) = ½ sen ( 2ω t )
Entonces:
p(t) = Vmax Imax sen (ω t ) cos (ω t ) = ½ Vmax Imax sen ( 2ω t )
La potencia instantánea es una función pulsante variable en el tiempo y su expresión gráfica es la
siguiente:
La potencia instantánea en un condensador toma valores positivos y negativos alternadamente y
su valor promedio ( Pprom ) en un ciclo completo es cero.
El valor promedio de la potencia instantánea es el valor de potencia que mediria un vatímetro y
se conoce con el nombre de potencia activa P.
Este resultado es concordante con lo ya estudiado en el curso anterior, en donde se estableció
que un condensador es un elemento pasivo que no consume potencia electrica.
Conclusión: La potencia instantánea en un circuito capacitivo puro es alterna, tomando
valores positivos y negativos y en consecuencia su valor promedio es igual
a cero. Esto indica que los condensadores no consumen potencia activa.
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CIRCUITOS BASICOS EN CORRIENTE ALTERNA SINUSOIDAL
RESUMEN DE CARACTERISTICAS DE LOS CIRCUITOS PUROS
a) Circuito Resistivo Puro:
Ley de Ohm:
VR = IR • R
Parámetro ohmico: Resistencia R ; donde R = VR / IR
Diagrama fasorial: Voltaje y corriente en fase
Potencia Instantánea: Onda pulsante positiva de valor promedio distinto de cero. Esto
implica que las resistencias consumen potencia activa P.
b) Circuito Inductivo Puro:
Ley de Ohm:
VL= IL • XL
Parámetro ohmico: Reactancia Inductiva XL ; donde XL = VL / IL = ω L
Diagrama fasorial: La corriente atrasa en 90° al voltaje
Potencia Instantánea: Onda pulsante alterna que toma valores positivos y negativos en
consecuencia su valor promedio en un ciclo es igual a cero. Esto
implica que las bobinas ideales no consumen potencia activa P
c) Circuito Capacitivo Puro:
Ley de Ohm:
VC= IC • XC
Parámetro ohmico: Reactancia Capacitiva XC ; donde XC = VC / IC = 1 / ω C
Diagrama fasorial: La corriente adelanta en 90° al voltaje
Potencia Instantánea: Onda pulsante alterna que toma valores positivos y negativos en
consecuencia su valor promedio en un ciclo es igual a cero. Esto
implica que los condensadores no consumen potencia activa P.