Matemáticas Empresariales 1 Conjuntos en IRn Conjuntos Intervalos de IR 2 Topologı́a de IRn Distancia Posición relativa entre puntos y conjuntos Diferentes tipos de conjuntos Subconjuntos de R2 Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Philippe Bechouche Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Granada [email protected] GADE Curso 2015-2016 Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Conjuntos en IRn 1 / 51 Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Conjuntos en IRn Conjuntos Notación general para conjuntos 2 / 51 Conjuntos Notación para conjuntos Definición Unión : la unión de dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B. Definición Conjunto universal U : el que contiene todo. A ∪ B = {x ∈ U tal que x ∈ A o x ∈ B} Conjunto vacio ∅: el que contiene nada Intersección : la intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene todos los elementos que pertenecen a A y a B. Subconjunto : A es subconjunto de B se cada elemento de A es elemento de B A⊂B A ∩ B = {x ∈ U ∀x ∈ U, x ∈ A =⇒ x ∈ B tal que x ∈ A y x ∈ B} Complemento : el complemento de A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A Ac = U − A = {x ∈ U Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 3 / 51 Philippe Bechouche tal que x ∈ / A} Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 4 / 51 Conjuntos en IRn Conjuntos en IRn Intervalos de IR Intervalos de IR Intervalos de IR Intervalos acotados de IR [a, b] = {x ∈ IR, a ≤ x ≤ b} Definición I es un intervalo de IR si para cada par de puntos x e y de I, todos los puntos entre x e y pertenecen a I. [a, b) = {x ∈ IR, a ≤ x < b} para todo x, y ∈ I, si x < z < y, entonces z ∈ I (a, b] = {x ∈ IR, a < x ≤ b} (a, b) = {x ∈ IR, a < x < b} Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Conjuntos en IRn 5 / 51 Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn Intervalos de IR Intervalos no acotados de IR 6 / 51 Distancia Distancia Un punto x de IRn tiene n coordenadas x1 , x2 , · · · , xn ∈ IR x = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ IRn (−∞, b] = {x ∈ IR, x ≤ b} Una distancia es una aplicación que a un par de puntos de IRn asocia un número positivo (−∞, b) = {x ∈ IR, x < b} [a, +∞) = {x ∈ IR, x ≥ a} d: IRn × IRn → IR+ (x, y) 7→ d(x, y) (a, +∞) = {x ∈ IR, x > a} que verifica las tres propiedades Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 7 / 51 Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 8 / 51 Topologı́a de IRn Topologı́a de IRn Distancia Distancia Distancia La distancia euclidia en IRn La distancia d(x, y) verifica las tres propiedades : Definición Llamamos bola abierta de centro a de radio r > 0 al conjunto de puntos que estan a una distancia menor de r del centro 1 d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y : separado B(a, r) = {x ∈ IRn 2 d(x, y) = d(y, x) : simetrı́a 3 d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) : desigualdad triangular tal que d(a, x) < r} De la misma manera podemos definir la bola cerrada de centro a y de radio r > 0. Bcerrada (a, r) = {x ∈ IRn Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn 9 / 51 Philippe Bechouche tal que d(a, x) ≤ r} Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn Distancia 10 / 51 Distancia Bola abierta en IR Bola abierta en IR2 En IR la bola es un intervalo Disco abierto de centro a = (a1 , a2 ) de radio r. p B(a, r) = {x ∈ IR2 , (x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 < r} B(a, r) = {x ∈ IR, |x − a| < r} = (a − r, a + r) Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 11 / 51 Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 12 / 51 Topologı́a de IRn Topologı́a de IRn Distancia Bola cerrada en IR2 Posición relativa entre puntos y conjuntos Posición relativa entre puntos y conjuntos Disco cerrado de centro a = (a1 , a2 ) de radio r. p B(a, r) = {x ∈ IR2 , (x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 ≤ r} Sea X un subconjunto de IRn y a un punto de IRn . Decimos que a es interior a X cuando existe una bola abierta de centro a, de radio r > 0 contenida en X: B(a, r) ⊂ X. Decimos que a es adherente a X cuando cada bola abierta de centro a corta X: B(a, r) ∩ X 6= ∅ Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn 13 / 51 Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn Posición relativa entre puntos y conjuntos Posición relativa entre puntos y conjuntos 14 / 51 Posición relativa entre puntos y conjuntos Posición relativa entre puntos y conjuntos Decimos que el punto a es un punto aislado T de X cuando existe una bola abierta centrada en a tal que B(a, r) X = {a}. Decimos que a es un punto frontera de X cuando cada bola abierta centrada en a corta X y su complemento X c . a ∈ F r(X) si para cada r > 0, B(a, r) ∩ X 6= ∅ y B(a, r) ∩ X c 6= ∅. Decimos que el punto a es un punto exterior a X si a es un punto interior al complemento de X. Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 15 / 51 Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 16 / 51 Topologı́a de IRn Topologı́a de IRn Diferentes tipos de conjuntos Conjunto abierto Conjunto cerrado Sea X un conjunto de IRn de complemento X c = IRn − X. Sea X un conjunto de IRn de complemento X c = IRn − X. Definición Decimos que el conjunto X es abierto si cada punto x ∈ X es interior a X. Para cada x ∈ X existe una bola abierta centrada en x tal que B(x, r) ⊂ X. Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn 17 / 51 Definición Decimos que el conjunto X es cerrado si su complemento X c es abierto. X es cerrado si contiene cada de sus puntos frontera. Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn Diferentes tipos de conjuntos Conjunto acotado Diferentes tipos de conjuntos Sea X un conjunto de IRn de complemento X c = IRn − X. Definición Decimos que el conjunto X es acotado si se puede incluir en una bola de radio finito: Existe a ∈ IRn y R > 0 tal que X ⊂ B(a, r). Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 18 / 51 Conjunto compacto Sea X un conjunto de IRn de complemento X c = IRn − X. Philippe Bechouche Diferentes tipos de conjuntos 19 / 51 Definición Decimos que el conjunto X es compacto si es cerrado y acotado. Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 20 / 51 Topologı́a de IRn Topologı́a de IRn Diferentes tipos de conjuntos Diferentes tipos de conjuntos Interior de un conjunto Frontera de un conjunto Sea X un conjunto de IRn . Sea X un conjunto de IRn . Definición El interior de X es el conjunto de los puntos interiores a X. Definición La frontera de X es el conjunto de los puntos frontera de X. ◦ F r(X) = {x ∈ IRn tal que x es punto f rontera de X} X = {x ∈ IRn tal que x interior a X} Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Philippe Bechouche Topologı́a de IRn 21 / 51 Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn Diferentes tipos de conjuntos Diferentes tipos de conjuntos Exterior de un conjunto Adherencia de un conjunto Sea X un conjunto de IRn . Sea X un conjunto de IRn . Definición El exterior de X es el interior de su complemento Definición La adherencia de X es el conjunto de los puntos adherentes a X ◦ X̄ = {x ∈ IRn tal que x es adherente a X} X c = {x ∈ IRn tal que x exterior a X} Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 22 / 51 23 / 51 Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 24 / 51 Topologı́a de IRn Topologı́a de IRn Diferentes tipos de conjuntos Ejemplo 1: X = [0, 3) ∪ {5} Philippe Bechouche Ejemplo 2: Rectángulo Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn 25 / 51 Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn Diferentes tipos de conjuntos Ejemplo 2: Adhrencia del rectángulo Philippe Bechouche Diferentes tipos de conjuntos 26 / 51 Diferentes tipos de conjuntos Ejemplo 2: Interior del rectángulo 27 / 51 Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 28 / 51 Topologı́a de IRn Topologı́a de IRn Diferentes tipos de conjuntos Ejemplo 2: Frontera del rectángulo Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn Ejemplo 3: Circunferencia 29 / 51 Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn Diferentes tipos de conjuntos Ejemplo 4 Philippe Bechouche Diferentes tipos de conjuntos 30 / 51 Diferentes tipos de conjuntos Ejemplo 4: Adherencia del conjunto Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 31 / 51 Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 32 / 51 Topologı́a de IRn Topologı́a de IRn Diferentes tipos de conjuntos Ejemplo 4: Frontera del conjunto Philippe Bechouche Ejemplo 4: Interior del conjunto Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn Diferentes tipos de conjuntos 33 / 51 Philippe Bechouche Subconjuntos de R2 Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn Producto de intervalos Producto de intervalos Sean I1 e I2 dos intervalos de R. Entonces el producto de estos intervalos se define como I1 × I2 = (x, y) ∈ R2 ; x ∈ I1 , y ∈ I2 Ejemplo 34 / 51 Subconjuntos de R2 [−2, 1) × [1, 3] = (x, y) ∈ R2 ; −2 ≤ x < 1, 1 ≤ y ≤ 3 y Ejemplo [−2, 1] × [1, 3] = (x, y) ∈ R2 ; −2 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 3 3 y 2 3 1 2 1 x x −2 −1 Philippe Bechouche −2 1 Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 35 / 51 Philippe Bechouche −1 1 Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 36 / 51 Topologı́a de IRn Subconjuntos de R2 Topologı́a de IRn Producto de intervalos Producto de intervalos Ejemplo Ejemplo Subconjuntos de R2 {2} × [0, 3] = (x, y) ∈ R2 ; x = 2, 2 ≤ y ≤ 3 R × [2, 4) = (x, y) ∈ R2 ; x ∈ R, 2 ≤ y < 4 y y 4 3 3 2 2 1 1 x x −2 −1 Philippe Bechouche 1 Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn −1 2 37 / 51 Philippe Bechouche Subconjuntos de R2 1 Rectas Las rectas son conjuntos del tipo: (x, y) ∈ R2 ; ax + by = c Ejemplo 38 / 51 Subconjuntos de R2 A = (x, y) ∈ R2 ; 2x + y = 1 y donde a, b, c ∈ R. Ejemplo 4 2 A = (x, y) ∈ R ; 2x + y = 1 3 2 Para dibujar la recta buscamos dos puntos por los que pase. Esto lo podemos hacer despejando: 1 x 2x + y = 1 ⇒ y = 1 − 2x −2 −1 Si x = 0 ⇒ y = 1. Si x = 1 ⇒ y = −1. Philippe Bechouche 3 Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn Rectas 2 1 2 −2 Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 39 / 51 Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 40 / 51 Topologı́a de IRn Subconjuntos de R2 Topologı́a de IRn Semiplanos Subconjuntos de R2 Semiplanos Ejemplo A = (x, y) ∈ R2 ; 2x + y ≤ 1 Los semiplanos son conjuntos con alguna de estas formas: (x, y) ∈ R2 ; ax + by ≤ c (x, y) ∈ R2 ; ax + by ≥ c (x, y) ∈ R2 ; ax + by < c (x, y) ∈ R2 ; ax + by > c Para saber a qué lado de la recta estamos, comprobamos si el punto (0, 0) pertenece al conjunto A. Y en este caso sı́ pertenece. y 4 2 x −2−1 −2 Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn 41 / 51 Philippe Bechouche Subconjuntos de R2 1 2 Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn Semiplanos 42 / 51 Subconjuntos de R2 Semiplanos Ejemplo Ejemplo 2 A = (x, y) ∈ R2 ; 2x + y ≤ 1 A = (x, y) ∈ R2 ; 2x + y ≥ 1 Para no complicar mucho los dibujos, también podemos representar el semiplano de esta manera: y y 4 4 2 2 x −2−1 −2 x −2−1 −2 Philippe Bechouche 1 2 Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 43 / 51 Philippe Bechouche 1 2 Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 44 / 51 Topologı́a de IRn Subconjuntos de R2 Topologı́a de IRn Semiplanos Subconjuntos de R2 Circunferencias Ejemplo 3 A = (x, y) ∈ R2 ; 2x + y > 1 Las circunferencias son conjuntos de la forma: (x, y) ∈ R2 ; (x − a)2 + (y − b)2 = r2 y 4 El centro de la circunferencia es el punto (a, b). El radio de la circunferencia es r. 2 x −2−1 −2 Philippe Bechouche 1 2 Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn 45 / 51 Subconjuntos de R2 Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn Circunferencias 46 / 51 Subconjuntos de R2 Interior y exterior de la circunferencia Ejemplo El interior de una circunferencia, sin el borde, es un conjunto de la forma (x, y) ∈ R2 ; (x − a)2 + (y − b)2 < r2 A = (x, y) ∈ R2 ; (x − 1)2 + (y + 3)2 = 4 √ Centro: (1, −3). Radio: 4 = 2. El interior de una circunferencia, con el borde, es un conjunto de la forma (x, y) ∈ R2 ; (x − a)2 + (y − b)2 ≤ r2 y −1 1 3 x El exterior de una circunferencia, sin el borde, es un conjunto de la forma (x, y) ∈ R2 ; (x − a)2 + (y − b)2 > r2 −1 −3 El exterior de una circunferencia, con el borde, es un conjunto de la forma (x, y) ∈ R2 ; (x − a)2 + (y − b)2 ≥ r2 −5 Philippe Bechouche Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 47 / 51 Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 48 / 51 Topologı́a de IRn Subconjuntos de R2 Topologı́a de IRn Interior y exterior de la circunferencia Subconjuntos de R2 Elipses Ejemplo Las elipses son conjuntos de la forma y2 x2 (x, y) ∈ R2 ; 2 + 2 = 1 h k A = (x, y) ∈ R2 ; (x − 1)2 + (y + 3)2 ≤ 4 √ Centro: (1, −3). Radio: 4 = 2. y −1 1 3 Donde h y k son los semiejes horizontal y vertical de la elipse. El interior de n una elipse: 2 o 2 Sin borde: (x, y) ∈ R2 ; hx2 + ky 2 < 1 n o 2 2 Con borde: (x, y) ∈ R2 ; hx2 + ky 2 ≤ 1 El exterior n de una elipse: o 2 2 Sin borde: (x, y) ∈ R2 ; hx2 + ky 2 > 1 o n 2 2 Con borde: (x, y) ∈ R2 ; hx2 + ky 2 ≥ 1 x −1 −3 −5 Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. Topologı́a de IRn 49 / 51 Subconjuntos de R2 Elipses Ejemplo x2 y 2 + =1 A = (x, y) ∈ R ; 4 9 √ √ Semieje horizontal: 4 = 2. Semieje vertical: 9 = 3. 2 y 3 −2 1 2 x −1 −3 Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 51 / 51 Philippe Bechouche Tema 1: Conjuntos en IRn . Introducción a las funciones de varias variables. 50 / 51