Una definición alternativa de Límite y conceptos asociados a este.

Una definición alternativa de Límite y
conceptos asociados a este.
Gómez Alcaraz Guillermo
13 01 97
Abstract
Se introduce una nueva definición de Límite, que satisface la idea intuitiva
de límite como ”acercamiento” y que permite reformular las demostraciones de
todo lo concerniente a dicho concepto central del Cálculo Diferencial e Integral y
Análisis Matemático, aunque se llega a una formulación operativa final igual a la
tradicional.
1 Introducción.
Se formula una propuesta de enseñanza del concepto de límite, que incluya
a la definición tradicional intuitiva de límite de una función f , consistente
en que los valores de la función f (x) se acercan más y más a un cierto valor
constante L, si su variable x se acerca cada vez más al valor a; pero que
evidentemente no es la definición ε − δ usual de límite.
La definición que introduciremos asegura que el ”límite de una función f
es el número L, cuando la variable x tiende al número a”, lo cual se denota
también como limx→a f (x) = L, si existe una constante C, que no depende
de la variable x, tal que se satisface la desigualdad
|f (x) − L| ≤ C |x − a|
Observese que en efecto esta definición incluye la idea intuitiva de ”cercanias”, ya que si x se acerca más y más al valor a, esto significa que |x − a|
es cada vez más pequeño, pero entonces cualquiera que resulte ser la constante fija C el lado derecho de la desigualdad C |x − a| será cada vez más
pequeño y por consiguiente su lado izquierdo pudiera ser más pequeño aún.
Pero esto último significa que f (x) está cada vez más próxima a L.
1
2 Definiciones.
·Con el fin de incluir el caso frecuente de límites que se reducen a lo que
se conoce como ”indeterminaciones” la definición de límite de una función
queda enunciada así
µ
¶
lim f (x) = L
x→a
def
≡ (∃C) · 3 · |f (x) − L| ≤ C |x − a|
sobreentendiendo que x es cercana al valor de a, pero nunca alcanza dicho
valor (x 6= a).
En forma práctica para la anterior definición se propone como hipótesis
de trabajo un valor de L, obtenido, por ejemplo experimentando, ya sea con
papel y lápiz, con la calculadora o computadora y a partir de |f (x) − L| se
intenta mediante estimaciones sucesivas, deducir la existencia de la constante
C, no dependiente de x, que satisface la desigualdad |f (x) − L| ≤ C |x − a|.
El caso particular al que se intenta reducir todos los límites introducidos
es a
Ã
!
lim (f (x) − L) = 0
(x−a)→0
def
≡ (∃C) · 3 · |f (x) − L| ≤ C |x − a|
·De manera análoga se define el límite L de una sucesión, limn→∞ f (n) =
L , si existe una constante C, que no depende de la variable n, tal que se
cumple la desigualdad
|f (n) − L| ≤ C ·
1
n
o en símbolos
µ
¶
lim f (n) = L
n→∞
def
≡ (∃C) · 3 · |f (n) − L| ≤
¯ ¯
¯1¯
C ¯¯ ¯¯
n
donde la constante C no dependiente de n.
·Finalmente se entenderá por derivada de f (f : [a, b] ⊂ R → R) en x0 , y
se denotará por f 0 (x0 ), al hecho de que exista una constante C, de manera
que tenga lugar la desigualdad:
¯
¯f
¯
¯
¯
¯
¯
(x2 ) − f (x1 )
− f 0 (x0 )¯¯¯ ≤ C |x2 − x1 |
x2 − x1
para cualquiera que sea el intervalo [x1 , x2 ] ⊂ [a, b], y x0 ∈ [x1 , x2 ], donde C
no depende del segmento [x1 , x2 ], ni de x0 .
Aquí de nuevo, como en los casos de límite de función y sucesión la forma
práctica de implementar la anterior definición se propone como hipótesis de
trabajo un valor de f 0 (x0 ), obtenido, experimentando, ya sea con papel y
2
¯
¯
(x1 )
− f 0 (x0 )¯¯ se
lápiz, con la calculadora o computadora y a partir de ¯¯ f (xx22)−f
−x1
intenta mediante estimaciones sucesivas, deducir la existencia de la constante
C,
¯ no dependiente del
¯ segmento [x1 , x2 ] ni del x0 , que satisfaga la desigualdad
¯ f (x2 )−f (x1 )
¯
0
(x
)
−
f
¯ x −x
0 ¯ ≤ C |x2 − x1 |.
2
1
En símbolos:
0
def
(f (x)) ≡ (∃C) · 3
¯
¯f
· ¯¯¯
¯
¯
(x2 ) − f (x1 )
− f 0 (x)¯¯¯ ≤ C |x2 − x1 |
x2 − x1
donde C no depende del segmento [x1 , x2 ], ni de x0 .
·La parte operativa de todas estas nuevas definiciones queda finalmente
igual o casi igual que la parte operativa que se deduce de los respectivos
teoremas de la suma, producto, división, composición, etc. demostrados con
la variante ε − δ de límite de función, de límite ε − N de sucesión y de
derivada ε − δ.
Agradezco al Dr. J. Tolosa del Stockton College de NJ, al Prof. Victor
Delgado de la Universidad Austral de Chile por las interesantes discusiones
que ayudaron a puntualizar las primeras dos definiciones y al Prof. Fadeev
D.K., quien recomendo en mi ”práctica docente” usar un método alternativo
al tradicional para la enseñanza de la derivada, usando la variante de la
tercera definición.
3 Referencias.
[1] Shilov G.E., Análisis Matemático. Funciones de una Variable; Partes 1
y 2, Nauka, Moscú, 1969.
[2] Courant R., John , Diferential and Integral Calculus.
[3] Fadeev D.K., Comunicación Personal.
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