04a. Ecuaciones irracionales

ECUACIONES
1º BCT
4. ECUACIONES IRRACIONALES
Definición
Las ecuaciones irracionales son aquellas en las que la incógnita aparece bajo el signo radical.
Ejemplos:
x−
x =2
;
x +1 +
x−2 = 3 ;
3
2 − x = −2
Resolución
Para resolverla, seguimos los siguientes pasos:
Se aísla un radical en uno de los miembros, pasando los restantes términos al otro miembro.
Se elevan al cuadrado los dos miembros.
Si existe todavía algún radical, se vuelve a repetir los pasos 1 y 2.
Se resuelve la ecuación racional obtenida y se comprueba cuáles de las soluciones cumplen la
ecuación dada.
Ejemplos:
1)
x −1 =3
Elevamos al cuadrado los dos miembros: x – 1 = 9 → x = 10
10 − 1 = 3 , por tanto, es válida.
Comprobamos la solución:
La solución de la ecuación es x = 10
2) Resuelve: x −
x =2
Se despeja el radical: x − 2 =
x →
Elevamos al cuadrado los dos miembros: ( x − 2 ) =
2
( x)
2
Operamos: x – 4x + 4 = x → x – 5x + 4 = 0
2
2
Resolvemos la ecuación: x – 5x + 4 = 0 → (x – 4)(x – 1) = 0
2
Las soluciones de esta ecuación son x 1 = 4 ; x 2 = 1.
Comprobamos las soluciones:
Si x = 4 ⇒ 4 −
Si x = 1 ⇒ 1 −
4 = 2 ⇒ 4 – 2 = 2 ⇒ 2 = 2 ⇒ x = 4 es solución
1 = 2 ⇒ 1 – 1 = 2 ⇒ 0 ≠ 2 ⇒ x = 1 no es solución.
Luego la ecuación tiene una única solución: x = 4.
Luisa Muñoz
1
ECUACIONES
3)
x +1 +
1º BCT
x−2 = 3
Se despeja uno de los dos radicales:
x +1 = 3 −
) = (3 −
x−2
− 6 = −6 x − 2 → 1 =
x−2
Elevamos al cuadrado ambos miembros:
Agrupamos términos semejantes:
(
x−2
x +1
2
)
2
→ x + 1= 9 + x − 2 − 6 x − 2
Volvemos a elevar al cuadrado: 1 = x – 2 → x = 3
3 +1 +
Comprobamos la solución:
3−2 = 3 ⇒ 2 + 1 = 3 ⇒ 3 = 3
Luego la solución de la ecuación es x = 3
4)
x − 20 +
40
x=
x − 20
Multiplicamos la ecuación por
x − 20 +
x 2 − 20x = 40 →
x − 20 , para eliminar denominadores:
x 2 − 20x = 60 − x → x – 20x = 3600 – 120x + x →
2
2
3600 = 100x → x = 36
Comprobación: Si x = 36 →
36 − 20 +
36 =
40
36 − 20
⇒ 4+6 =
40
4
Luego la solución de la ecuación es x = 36
5)
x +1
=
x−3
x −1
x −1
Multiplicamos en cruz: x – 1 = x – x – 3x + 3 → x – 5x + 4 = 0
2
x=
5±
2
5+3

x =
= 4 ⇒ x1 = 4
52 − 4·1· 4 5 ± 3  1
2
=
=
2·1
2
x = 5 − 3 = 1 ⇒ x = 1
2
 2
2
Comprobación:
o Si x = 4 ⇒
o Si x = 1 ⇒
4 +1
4−3
1 +1
1− 3
=
≠
4 −1
4 −1
⇒ 2 +1 = 4 −1
1 −1
1 −1
La solución de la ecuación es x = 4.
Luisa Muñoz
2