Laboratorio N° 7, Asíntotas de funciones. Introducción.

Universidad Diego Portales
Facultad de Ingeniería.
Instituto de Ciencias Básicas
Asignatura: Cálculo I
Laboratorio N° 7, Asíntotas de funciones.
Introducción.
Las asíntotas de una función son rectas que separan las regiones donde su gráfica está
definida. La gráfica de una función se acerca tanto como se quiera a dichas rectas sin cortarlas.
Estas rectas pueden ser horizontales, verticales u oblicuas.
I)
La recta y = a (con a finito) se denomina asíntota horizontal de la curva
y = f ( x)
si se cumple alguna de las relaciones:
lim f ( x ) = a .
x →∞
o
(1.1)
x →−∞
II)
lim f ( x ) = a
La recta x = a se denomina asíntota vertical de la curva y = f ( x ) si se cumple
al menos una de las siguientes relaciones:
(1.2)
lim f ( x ) = ∞, lim+ f ( x ) = ∞
lim− f ( x ) = ∞
x→a
x→a
x→a
x →a
x→a
lim f ( x ) = −∞ lim+ f ( x ) = +∞ lim− f ( x ) = −∞
x →a
p( x)
se determinan
q( x)
anulando el denominador q(x) = 0, siempre y cuando se hayan realizado todas
las simplificaciones posibles antes de la evaluación. Para las otras funciones este
método no es útil.
Algunas curvas poseen asíntotas oblicuas. Si se cumple:
lim ( f ( x ) − ( mx + b ) ) = 0 entonces la recta y = mx + b se denomina asíntota
Las asíntotas verticales en las funciones racionales f ( x) =
III)
x →∞
oblicua.
(1.3)
Ejemplo resuelto
x3
.
x2 + 1
f ( x ) es una función racional sin que se pueda hacer mayor simplificación, por lo que
Determine las asíntotas de la función f ( x ) =
anulando el denominador se puede encontrar la asíntota vertical. Sin embargo x 2 + 1 = 0 no
tiene solución y por tanto la función no tiene asíntota vertical. Para determinar si posee
x3
asíntota horizontal calculamos el siguiente límite lim 2
x →∞ x + 1
Con ayuda de la calculadora ClassPad 300 podemos calcular este límite en el menú principal tal
como muestra la figura 1. El resultado es infinito y por tanto la función tampoco posee
asíntota horizontal.
1
Para calcular la asíntota oblicua vamos a seguir el siguiente
procedimiento. Primeramente, vemos que en la función racional
f ( x ) el grado del polinomio en el numerador es mayor que
grado del polinomio en el denominador, por tanto no es una
fracción propia. El siguiente paso es convertir esta fracción a
fracción propia. Para ello escribimos el comando expand en la
forma indicada en la figura 2. Vemos
entonces que:
x3
x
= x− 2
2
x +1
x +1
f ( x) =
Figura 1
Esta expresión podemos reescribirla en la forma:
f ( x) − x = −
x
x +1
2
Tomando el límite cuando x → ∞ en ambos lados de la expresión anterior
tenemos que:
x
lim ( f ( x ) − x ) = − lim 2
x →∞
x →∞ x + 1
Figura 2
Calculamos en límite del lado derecho
con ayuda de la calculadora (aunque
puede hacerse muy bien sin su ayuda),
esto se muestra en la figura 3.
Vemos que el resultado es “0” y por
tanto de acuerdo a la definición (1.3) la
asíntota oblicua es y = x .
Para tener una idea más clara de lo que
representa la asíntota oblicua hallada
vamos a graficar en una misma pantalla
x3
y y = x.
las funciones: y = 2
x +1
Esto se muestra en la figura 4
Claramente la gráfica de la función (línea más gruesa) se acerca
tanto como se quiera a la asíntota oblicua (línea más delgada ) cuando x → ±∞ .
Figura 3
Figura 4
2
Ejercicio 1
1.
Para cada una de las siguientes funciones determine las asíntotas verticales y
horizontales. Haga un esbozo de la gráfica de la función y de las asíntotas obtenidas
mediante la calculadora (Recuerde que deberá tener especial cuidado con las ventanas
de graficación. Para modificarlas debe tocar el icono
a. y =
x
x+4
Asíntota(s) vertical(es)
Asíntota(s) horizontal(es)
b. y =
x=-4
y=1
x3 + 1
x3 + x
Asíntota(s) vertical(es)
Asíntota(s) horizontal(es)
c. y =
):
x=0
y=1
x
4
x +1
4
Asíntota(s) vertical(es)
Asíntota(s) horizontal(es)
No existen
y =1
y =-1
3
Ejercicio 2
2.
a. Muestre que las rectas y =
b
b
x y y = − x son las asíntotas oblicuas de la hipérbola
a
a
x2 y 2
−
= 1 . Para ello utilice la definición (1.3).
a 2 b2
⎛ b
lim⎜ 2 x 2
x →∞⎜
⎝ a
2
= lim
x →∞
⎛
x ⋅⎜
⎜
⎝
∞
b2 2
b
x − b2 + x
2
a
a
b2 2
b2 2
2
x
b
x
−
−
2
2
b ⎞⎟
− b2
2
a
a
−b − x ⋅
= lim
= lim
x →∞
x →∞
a ⎟⎠ b 2 2
b
b2 2
b
b2 b2 b
2
2
x
x
b
−
+
x
−
b
+
x
x
−
+ x
a
a
a2
a2
a2 x2 a
− b2
=0
b 2 b 2 b ⎞⎟
−
+
a 2 x 2 a ⎟⎠
0
de la calculadora ClassPad 300 grafique la
b. Empleando el menú Cónicas
2
2
x
y
hipérbola 2 − 2 = 1 y determine sus asíntotas oblicuas. Compare su resultado con
3
2
las fórmulas dadas en el punto anterior para hallar las asíntotas.
Asíntotas
y =-2x/3 , y = 2x/3
4
Ejercicio 3
3. Calcule todas las asíntotas de las siguientes funciones y haga un esbozo de la gráfica
obtenida con el uso de la calculadora.
a. y =
x3
x2 −1
x =1 , x = -1
Asíntota(s) vertical(es)
No existen
Asíntota(s) horizontal(es)
Asíntota(s) oblicua(s)
y=x
b. xy = x 2 + x + 1 ⇔ y =
x2 + x +1
x
Asíntota(s) vertical(es)
x =0
Asíntota(s) horizontal(es)
No existe
Asíntota(s) oblicua(s)
y = x+1
5
c. y =
1
−x
x −1
x=1
Asíntota(s) vertical(es)
Asíntota(s) horizontal(es)
Asíntota(s) oblicua(s)
No existe
y =-x
Ejercicio 4
4. Para las siguientes funciones racionales calcule sus asíntotas sin emplear la calculadora.
x2
a. y =
2x + 5
x 5
−
2 4
x 5
÷ (2 x + 5) = −
2 4
Asíntota oblicua: y =
x2
5x ⎞
⎛
− ⎜ x2 + ⎟
2⎠
⎝
5x
−
2
⎛ 5x 25 ⎞
− ⎜−
− ⎟
4⎠
⎝ 2
25
4
Asíntota vertical: x = -5/2
x2
=∞
lim
x → −5 / 2 2 x + 5
Asíntota horizontal : No existe
1
1
x 2 1/ x 2
⋅
= lim
= =∞
lim
2
2
x → −∞ 2 x + 5 1 / x
x → −∞ 2 / x + 5 / x
0
6
b. y =
x −1
x +1
Asíntota oblicua: No tiene , ya que el grado del numerador no
es uno más que el del denominador
Asíntota vertical : x = -1
x −1
=∞
x → −1 x + 1
lim
Asíntota horizontal: y = 1
lim
x →∞
1 − 1/ x
x − 1 1/ x
=1
⋅
= lim
x
→
∞
1 + 1/ x
x + 1 1/ x
5. Halle las asíntotas de las funciones anteriores con ayuda de la calculadora y compare
con los resultados obtenidos por usted.
6. De acuerdo a los resultados de las preguntas anteriores y además con ayuda del
ejemplo resuelto responda a las siguientes preguntas:
a. En el caso de las funciones racionales ¿existe alguna relación entre los grados
del numerador y denominador de la función con la existencia de asíntotas
oblicuas?.
Sol: si , el grado del numerador debe ser uno más que el del denominador.
b. Podría dar una forma fácil de calcular las asíntotas oblicuas empleando un solo
comando de la calculadora, para el caso de funciones racionales.
Sol: Usando la sintaxis : expand ( f(x) ,x) . Los términos algebraicos de la forma
mx +b conforman la asíntota oblicua de la función racional f(x).
c. Podría decir cuál es la asíntota horizontal y vertical de una función bilineal con
solo mirarla. Recuerde que las funciones bilineales son aquellas que tienen la
ax + b
.
forma y =
cx + d
Sol: Asíntota vertical : cx + d = 0 ⇔ x = -c/d
Asíntota horizontal: y = a/c
d. ¿Las funciones bilineales poseen asíntota oblicua?.
Sol: No , ya que el grado del numerador es igual al del denominador y no
mayor que este.
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