Nociones de Geodesia Cartografía y Catastro

TOPOGRAFÍA
Tema 12 :
Nociones de Geodesia, Cartografía y Catastro.
12.1.- Forma de la Tierra: Geoide, Elipsoide, Línea geodésica, Dátum, Ondulación
del geoide, Elipsoide de Hayford
Modelo terrestre de la Geodesia
En cuanto a la Geodesia, diremos que el
problema que resuelve fundamentalmente es la
determinación de medidas sobre la superficie de la
tierra, y su representación en un modelo y/o
cartografía. Para este cometido, comienza por el
desarrollo de una red de vértices situados sobre la
superficie de la tierra, que conforman una superficie
poliédrica, vértices geodésicos y triángulos
geodésicos, los cuales dependiendo de su magnitud
reciben el nombre de primer, segundo o tercer orden,
estando integrados los segundos dentro de los
primeros, y a su vez los terceros dentro de los
segundos. Las distancias entre vértices oscilan entre
40, 100 y hasta 200 km los primeros y entre 4 y 10
km los últimos.
Fig. 4, La Tierra considerada como GEOIDE
Para determinar la posición y relaciones entre
los vértices geodésicos es preciso referirlos a un
sistema una superficie conocida sobre la cual
situarlos.
La primera figura que aparece es la superficie
que resulta de prolongar los mares por debajo de los
continentes. A esta figura o forma se la denomina
GEOIDE (Fig. 4), si bien, esta superficie de
referencia sólo es aplicable en un determinado
contexto, debido a que el Geoide es una superficie no
regular y en gran parte desconocida, y cuyos puntos
tienen la propiedad común de una equipotencial de la
fuerza de gravedad.
En la necesidad de encontrar una superficie
conocida, determinada y que se adapte lo más
posible a la forma de la tierra, se recurre al elipsoide
de revolución, haciendo coincidencia con puntos fijos
Fig. 5, Elipsoide
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sobre la superficie de la tierra para determinar la posición en cada punto del geoide. Así recibe el nombre
de DATUM el punto fijo de origen y coincidencia, en el que o bien coinciden elipsoide y geoide, o bien son
paralelos; esta distancia, conocida, se denomina ondulación del geoide.
Inicialmente se plantean diversos elipsoides, siendo el de Hayford el que recibe la denominación
de Elipsoide Internacional en 1.924, en el transcurso de la Asamblea General de la U.G.I. celebrada en
Madrid. Éste es un elipsoide de revolución con un semieje ecuatorial de 6.378.388 m y un aplanamiento
de 1/297; posteriormente la U.A.I. en 1.964 establece un elipsoide con semieje ecuatorial 6.378.160 m
con un aplanamiento 1/298.
En el año 1972 se fija el elipsoide WGS-72 con semieje ecuatorial de 6.378.135 m y aplanamiento
de 1/298'26 y posteriormente el WGS-84 con 6.378.137 m y 1/298'26.
La distancia más corta entre dos puntos situados sobre la superficie del elipsoide, recibe el
nombre de línea geodésica.
La cartografía desarrollada en nuestro país está formada sobre el elipsoide de Hayford,
tomándose como datum la ciudad alemana de Postdam.
semieje mayor
a = 6.378.388 m.
aplanamiento
" = (a-b)/a = 1/297
semieje menor
b = 6.356.912 m.
La primera cuestión que aborda la Geodesia es la proyección sobre el elipsoide de los vértices
geodésicos, creando con ello una red geodésica formada por triángulos elipsóidicos, y también la primera
simplificación que introduce es la aplicación del teorema de Gauss: “Un elemento de superficie, se
adapta sin extensión ni desgarradura sobre una esfera, con la condición de que el radio de la esfera sea
la media geométrica de los radios de curvatura principales del elemento de superficie que hemos
considerado”. A esta esfera se la denomina esfera local.
Con ello los triángulos pasan de resolverse sobre el elipsoide a resolverse sobre la esfera y en
la mayoría de los casos, aplicando el teorema de Legendre (”Si los lados de un triángulo esférico, son
pequeños con relación a la esfera, (120 km.), se pueden considerar como triángulos rectilíneos, cuyos
lados tengan la misma longitud y cuyos ángulos se les haya disminuido en un tercio del exceso esférico.”),
se puede reducir el problema, por tanto, a una resolución de triángulos rectilíneos.
1.4- Elementos geográficos: Eje terrestre,
polos geográficos, meridianos y paralelos geográficos
Superficies y líneas sobre la tierra, elementos geográficos.
Para proceder al conocimiento y determinaciones sobre la
superficie de la tierra , se recurre a proyectar y seccionar sobre
ésta, con lo cual aparecen una serie de líneas, puntos y
superficies que se definen a continuación, y así tenemos:
Eje terrestre, Polos.
Es la recta imaginaria, alrededor de la cual gira la tierra en
su movimiento de rotación, el cual permanece paralelo en su
movimiento de traslación, señala a un punto en el espacio que
coincide en la dirección del hemisferio norte a un punto cercano
a la estrella polar. Si bien este eje tiene otros movimientos
Fig.6, Elementos geográficos.
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(precesión y nutación), estos son lentos y no afectan al ámbito que nos ocupa.
Los extremos de este eje terrestre en su intersección con la superficie de la tierra se denominan
polos, correspondiendo el nombre de Polo Norte al que está en el lado de la constelación de la osa
mayor. El otro extremo del eje es el Polo Sur.
Plano meridiano y meridianos, meridiano cero.
Todo plano que contiene al eje terrestre se llama Plano Meridiano. La línea intersección de este
plano con la superficie de la tierra impropiamente se denomina círculo máximo o meridiano, cuando en
realidad se asemejan más a una elipse, siendo elipses en el caso de su proyección sobre el elipsoide de
referencia. Obviamente pasan por los polos y se toma uno como origen dando referencia a los demás;
por convenio internacional corresponde al que pasa por el Observatorio Astronómico de la ciudad Inglesa
de Greenwich, cercana a Londres. Este meridiano pasa por la ciudad Española de Castellón.
Plano Paralelo, Paralelos, Línea Ecuatorial y Trópicos.
Se denominan Planos Paralelos a todos aquellos que son perpendiculares al Eje de la Tierra,
denominándose Plano Ecuatorial al que pasa por el Centro de la Tierra y divide al Globo Terrestre en dos
hemisferios, Hemisferio Norte y Hemisferio Sur o Austral, que se corresponden a cada Polo respectivo.
Todas las intersecciones de los Planos Paralelos con la superficie de la tierra configuran los
Paralelos recibiendo el nombre de Trópicos, Trópico de Cáncer y Trópico de Capricornio, el paralelo
correspondiente al equinoccio de verano y al de invierno, el primero en el Hemisferio Norte y el segundo
en el Hemisferio Sur.
1.5- Desviación relativa de la vertical. Cénit, nadir. Plano horizontal.
Meridiana. Puntos cardinales
Vertical en un punto. Cenit y Nadir.
La vertical en un punto está determinada por
el fenómeno de la gravedad o atracción terrestre,
vertical en el sentido físico y también denominada
vertical verdadera, y pasaría por el centro de la tierra.
Si se considera el elipsoide de revolución, la vertical
sería la normal a la superficie en el punto
determinado del elipsoide, la cual no pasará por el
centro del elipsoide y se denomina vertical
geográfica. La desviación o diferencia entre ambas
es la desviación relativa de la vertical.
Si nos situamos sobre un punto de la
superficie de la Tierra y trazamos un eje vertical
tendremos sobre nuestra cabeza el Cenit y
atravesando la tierra pasaría al otro extremo,
denominado Nadir, recibiendo el nombre de
antípodas ambos extremos entre sí.
Plano horizontal en un punto y horizonte racional.
Fig.7, Vertical y meridiana en un punto,
puntos cardinales
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Meridiana y Puntos Cardinales.
Se denomina plano horizontal en un punto al plano tangente a la superficie esférica en dicho
punto. Suele denominársele horizonte sensible, siendo el plano de horizonte racional el paralelo al
anterior pero pasando por el centro de la tierra.
Meridiana de un punto es la recta de intersección entre un plano horizontal y el plano meridiano
que pasa por dicho punto. Éste nos marca sobre dicho plano horizontal la dirección Norte-Sur del polo
correspondiente.
Una perpendicular a la meridiana definiría una nueva dirección, con lo cual partiendo del punto
intersección tendríamos cuatro direcciones contrapuestas. Los puntos de proyección al infinito de dichas
direcciones se denominan Puntos Cardinales, los correspondientes a cada polo reciben de ellos su
nombre, Norte y Sur, los otros dos Este y Oeste, se corresponden con la derecha e izquierda de un
observador que situado en el punto y teniendo al frente e l Norte su espalda quedase al Sur. Por convenio
internacional se marcan con las letras N, S,. E y W.
1.6- Coordenadas geográficas: Latitud y longitud, meridiano de Greenwich, ecuador
Coordenadas Geográficas. Acimut Geográfico.
La localización de un punto
sobre la superficie de la tierra queda
determinada por la intersección del
meridiano y del paralelo que pasan
por dicho punto, y que se definen
como Coordenadas Geográficas,
Longitud y Latitud.
Longitud de un punto es la
medida, en grados sexagesimales,
del arco de paralelo intersectado
entre el meridiano que pasa por el
punto y el meridiano origen o
meridiano cero (Greenwich); puede
ser hacia el Este (positiva) o hacia
el
Oeste (negativa) y
suele
representarse por la letra griega [ 8 ].
Latitud de un punto es la
medida, en grados sexagesimales ,
del arco de meridiano interceptado
entre el ecuador y el paralelo del
lugar; hacia el Norte se considera
positiva y hacia el Sur negativa y
suele representarse por la letra
griega [n ].
Fig. 8, Coordenadas Geográficas.
Acimut geográfico de una alineación es el ángulo que la dirección que define dicha alineación
forma con la meridiana que la intersecta en cualquier punto. Este ángulo, que se mide en sentido de las
agujas del reloj, tiene su origen en el Norte cuando estamos situados en el Hemisferio Norte y en el Sur
cuando estamos en este otro hemisferio.
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1.7- Campo magnético terrestre. Declinatoria
Magnetismo terrestre
Analizado
científicamente
el
comportamiento del globo terrestre como un
gran imán, queda de manifiesto la existencia
de dos polos, Polo Magnético Norte y Polo
Magnético Sur. Estos polos coinciden con una
cierta aproximación con los correspondientes
geográficos, y así aparecen los meridianos
magnéticos, símil de los geográficos,
ocurriendo igualmente con las demás
denominaciones, que siguen un paralelismo,
entre ellas la meridiana magnética.
La aguja imantada se alinea con el
flujo magnético presentando en cada punto de
la superficie una determinada inclinación;
dicha inclinación recibe el nombre de
inclinación magnética y tiene una variación
desde 0º en el ecuador hasta 90º en los polos.
Dicho ángulo no tiene utilidad ninguna en
topografía.
No ocurre así con el Ángulo de
Declinación Magnética [*], que es el formado
en un punto entre la dirección de la Meridiana
Geográfica y la Meridiana Magnética, cuya
utilidad es de bastante importancia en el
ámbito de la orientación terrestre.
Fig. 10, Variación de la declinación.
Las declinaciones magnéticas se miden a partir del Norte geográfico en ambos sentidos,
denominándose oriental o positiva cuando el Norte magnético queda al Este del geográfico y occidental
o negativa cuando queda al Oeste.
La declinación magnética es variable con el espacio y el tiempo, experimentando variaciones
geográficas, periódicas, locales y accidentales.
Si no existiesen otras causas de variación, a lo largo del
círculo máximo que contiene a los polos magnéticos N, S, y
geográficos N y S, el valor de la declinación sería cero.
Si nos trasladamos a lo largo de un paralelo desde el
punto A hasta el punto B pasando por M, figura 10, el valor de
la declinación va aumentando en valor absoluto
progresivamente desde cero hasta alcanzar un valor máximo a
partir del cual vuelve a disminuir hasta anularse nuevamente al
llegar a D. Lo mismo ocurrirá cuando nos desplacemos desde
D hacia A pasando por M', pero con signo contrario. Igualmente,
si nos trasladamos a lo largo de un meridiano, la declinación
aumenta de Sur a Norte.
La declinación en un mismo lugar de la superficie terrestre
varía con el paso del tiempo, de un modo continuado, oscilando
incluso durante el día. Así tenemos que las líneas que unen
puntos con una misma declinación reciben el nombre de línea
Fig. 9, El magnetismo terrestre.
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isógona, y dado que existe una declinación oriental y otra occidental, existe pues una línea de declinación
nula, la cual recibe el nombre de linea ÁGONA y que separa las dos zonas.
Declinatoria.
La declinatoria es una aguja imantada
que sirve para determinar la meridiana
magnética y que nos permite asegurar la
orientación de los aparatos que la llevan.
Fig. 11, Aguja magnética
Está constituida por un tubo o una caja rectangular en cuyo interior puede
moverse la aguja sobre unos arcos graduados en los que hay señalados unas
referencias N, S, E y W.
Para el transporte, la aguja debe levantarse de sus soportes y ser inmovilizada
para evitar choques y deterioros. Esto se logra normalmente con un tornillo fijador.
La aguja imantada debe ser móvil, es decir, que separada de su posición de
equilibrio debe recobrarla después de varias oscilaciones.
1.8-
Red Geodésica española, Vértices geodésicos del I.G.N.
Tal como señalábamos al tratar el Modelo terrestre de la Geodesia, en
España como en otros países existen una serie de puntos materializados en el
terreno, y que llamados vértices geodésicos. Son los vértices de una serie de
triángulos que constituyen la Red Geodésica.
Fig. 13, Fragmento de la Red Geodésica de España y enlace con África
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Fig. 12, Declinatoria
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Estos triángulos elipsóidicos se calculan
por mediciones angulares sobre un lado el cual
se ha medido con esmerada precisión, sirviendo
siempre el lado común para el apoyo de la
siguiente medición.
Forman mallas sucesivas
que integran unos a otros y se denominan redes
o triangulaciones de primer, segundo o tercer
orden.
Se materializan los vértices geodésicos
sobre el terreno mediante hitos de hormigón
sobre una plataforma o monolito para la
observación, en cuyo lateral aparece una placa
de bronce con la inscripción “Instituto Geográfico
Nacional - La destrucción de esta señal está
penada por la ley”,tal como ilustra la Fig. 14.
Los datos referentes a cada vértice están
en el Instituto Geográfico Nacional, en el cual se
pueden consultar, estando recogidos en una ficha
llamada “reseña”, en la cual, aparte de los datos
Fig. 14, Hito de un vértice geodésico.
Fig. 15 Red de vértices de primer, segundo y tercer orden integrados
correspondientes a la latitud y longitud del punto (coordenadas geográficas), están traducidas al sistema
propio de referencia (coordenadas planas U.T.M.). También aparece el nombre propio del vértice, el
número y el orden, y así mismo el lugar o finca en donde está enclavado, su propietario y situación e
itinerario para acceder al mismo.
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Fig.
16, Anverso y reverso de la “reseña” del vértice “CUCHAREROS”, en Cantillana, Sevilla
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12.2- Definición de Cartografía. Mapas, cartas y planos
Cartografía, mapa y plano
Enunciamos al inicio el motivo de actuación de la Geodesia: “ la determinación de medidas sobre
la superficie de la tierra, y su representación en un modelo y/o cartografía.”
La Cartografía, como ciencia auxiliar de la Geodesia, trata de la representación plana de la
superficie curva de la tierra, denominándose módulo de deformación o anamorfosis al parámetro o
cociente que permite relacionar la dimensión plana y la real, distinto al factor de escala, que es un
cociente de proporcionalidad.
Ya indicábamos anteriormente, y en primer lugar en el desarrollo de la Geodesia y sus
determinaciones y en su camino hacia la representación plana, Cartografía, que se utilizaba la
aproximación a la figura del elipsoide y cómo mediante el teorema de Gauss se pasaba al análisis sobre
la esfera “ adaptándose sin deformación ni rasgaduras”, para más tarde, aplicando el teorema de
Legendre, se reducía a una resolución de triángulos rectilíneos. Bien, pues la Cartografía, plantea los
sistemas de proyección que resultan más precisos en la transformación y correspondencia matemática
entre los puntos del elipsoide y su proyección en el plano.
La expresión o término proyección, en Cartografía tiene un significado de relación matemática,
distinto aparentemente del concepto estricto que el mismo término tiene en la Geometría Descriptiva.
Esta representación sobre una superficie plana genera dos términos que se refieren a dos tipos
de documentos, Mapas y Planos.
Los primeros, Mapas, que también reciben el nombre de Carta, están afectados en primer lugar
por la solución de proporcionalidad o factor de escala, y en segundo lugar por dos series de soluciones
aproximadas, una para la representación del relieve y otra para el sistema de proyección, anamorfosis.
La amplitud del concepto mapa hace que la A.C.I. lo defina como “...la representación gráfica
convencional de cualquier tipo de fenómeno, localizado en cualquier parte del Universo.”, y así tenemos
aparte de los mapas topográficos y las cartas marinas, los mapas temáticos, de comunicaciones,
recursos, climáticos, etc.
Los segundos, Planos, debido a su extensión, no precisan ninguna trasformación de anamorfosis,
pudiendo estar afectados o no del factor de escala y representación del relieve, así como también toman
extensión al estudio de otras entidades distintas a la representación de la superficie terrestre como son,
maquinas, muebles, etc.
Proyección cartográfica. Módulos de deformación y tipos de proyección.
Clasificación de los sistemas de proyección cartográfica
El problema de las proyecciones cartográficas, Módulos de deformación.
En la transformación o paso de los puntos del elipsoide al plano se producen tres tipos de
deformaciones que se denominan de acuerdo a sus elementos geométricos. Así tenemos, deformaciones
lineales, superficiales y angulares.
Deformaciones lineales
Definida una línea en el terreno, el cociente entre la dimensión reflejada en el Mapa y esta misma
dimensión en el elipsoide se define como módulo de deformación lineal o anamorfosis lineal [ K ],
obviamente sin que tenga influencia el factor escala. Cuando el valor de este cociente se hace 1, [K = 1]
esta línea carente de deformación recibe el nombre de Línea Automecoica.
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Deformación superficial
El cociente entre
la superficie de un área
definida en el Mapa, y su
correspondiente en el
elipsoide [ F ], recibe el
nombre de módulo de
deformación superficial.
Cuando en este cociente
se verifica que [F = 1], las
superficies se denominan
Superficies Equivalentes.
Deformación angular
En el traslado al
Mapa de un ángulo cuya
proyección es ["’] y su
medida sobre el elipsoide
es ["], la diferencia [ ""’ = A ] recibe el nombre
de deformación angular.
Cuando A = 0 la
proyección recibe el
nombre de Proyección
Conforme.
Fig. 17, Proyección cilíndrica directa y transversa
Dado que el elipsoide no es una superficie desarrollable, se precisa la utilización de una
superficie previa a la cual mediante una ley de trasformación pasar los puntos del elipsoide.
Fundamentalmente marca la importancia el traslado de paralelos y meridianos, clasificándose en tres
grupos principales: proyecciones cónicas, cilíndricas o perspectivas.
En el caso de las
proyecciones cilíndricas, cuando el
eje de la superficie desarrollable es
paralelo al eje de la tierra, recibe el
nombre de Proyección Cilíndrica
Directa, y cuando el eje se toma
perpendicular a éste, el de
Proyección Cilíndrica Transversal.
Proyección U.T.M. (Universal
Transversa de Mercator)
La proyección UTM es una
Proyección Cilíndrica Transversa
Conforme y tangente al elipsoide en
todo el meridiano central del huso
que se toma como meridiano origen.
Fig. 18, Proyección U.T.M.
Esta proyección UTM es
una proyección muy aceptada
debido a que por sus propiedades de conformidad se facilitan en gran medida los problemas geodésicos
de proyección sobre un plano en la realización de los mapas.
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Las consideraciones que aporta el
sistema parten de dividir la superficie de la
tierra en husos de 6º de amplitud cada uno
de ellos, definiendo las siguientes premisas
y elementos:
Elección del elipsoide de Hayford
como elipsoide de referencia, siendo no
obstante válida la formulación empleada,
para cualquier otro elipsoide sin más que
cambiar los parámetros correspondientes
de definición del mismo.
Adopción de un punto de
referencia fundamental o datum común.
Este datum está situado en las cercanías
de la ciudad alemana de Postdam. España
se encuentra en este datum que
corresponde a Europa Occidental.
Elección de un sistema de
representación plana (teorema de Gauss),
que sea común para grandes extensiones.
De ahí la elección de los 60 husos de 6º de
amplitud. Por otra parte y a fin de limitar las
deformaciones a grandes latitudes, se
limitan éstas hasta los 80º de latitud Norte
y Sur, a partir de cuyos paralelos se
realizan proyecciones estereográficas.
España está comprendida en los
husos 28, 29,30 y 31, de -18º a +6º y de
latitud 28º a 44º obviamente por la
inclusión de las islas Canarias que están
entre 28 y 30º de latitud, caso contrario
estaría entre 36º y 44º.
Fig. 19, Husos de la proyección U.T.M.
En cada huso la proyección se
define con las siguientes premisas:
-La transformada del meridiano origen o de
tangencia es Automecoica, aplicando no
obstante un factor de reducción de escala
[Ko = 0.9996] a las magnitudes lineales.
- El origen de longitudes se toma en el
meridiano central de cada uso y como
valor de la abscisa en referencia a dicho
meridiano se adopta el valor 500.000 m.
-El origen de latitudes se encuentra
referido al Ecuador tomándose el valor 0m
en el ecuador como origen para todos los
puntos del hemisferio Norte y 10.000.000
m para el hemisferio Sur al objeto de evitar
valores negativos.
Fig. 20
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1.11- La proyección U.T.M.:
Características, huso de
proyección y numeración de
huso. Cuadrícula U.T.M.
Cuadrícula UTM
La superficie de la tierra
queda dividida de acuerdo al
sistema de proyección UTM en 60
usos de 6º de amplitud como se ha
indicado anteriormente, numerados
del 1 al 60 a partir del meridiano 0 ,
Greenwich, y en dirección W-E.
Entre los paralelos de latitud
80º Norte y -80º Sur, el huso
comprendido se divide en zonas de
8º, las cuales se identifican con
letras mayúsculas, desde la C a la X
excluidas I, LL, Ñ y O; así la
identificación de una zona se
realizaría indicando en primer lugar
el número del huso y en segundo
lugar la letra mayúscula
correspondiente a la zona. A su vez
esta cuadrícula también tiene una
subdivisión en cuadrados de 100
km. de lado, los cuales también se
identifican con letras de izquierda a
derecha y de abajo hacia arriba,
anotando primero la columna y
después la correspondiente fila.
Fig. 21
El inicio de esta codificación comienza a partir del meridiano 180º y en sentido Este en cuanto
a las columnas, discurriendo en toda la longitud del ecuador y repitiéndose cada 18º va de la A a la Z
excluyendo a la I, LL, Ñ y O.
Por lo que respecta a las filas, en los husos impares se comienza en el ecuador y en los pares
en la linea de cuadrícula situada 500.000 m. al Sur del Ecuador. El alfabeto incompleto va de la A a la
V y se repite cada 2.000.000 m.
Sistema de referencia de la cuadrícula UTM
La determinación de un punto de acuerdo a este sistema referencial es una sucesión de números
y letras que indican el siguiente posicionamiento:
Como ejemplo tenemos que un punto situado en nuestro país, huso 30, y con coordenadas UTM
que fuesen X = 437.300 m e Y = 4.286.500 m constatamos que está en el cuadrado VH de la zona 30S,
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y como todos los puntos del
huso 30, cuya abscisa empieza
por 4 y su ordenada por 42
estarán contenidos en dicho
cuadrado, no será pues
necesario indicar dichas cifras
para identificar el punto dado,
cuya referencia en el sistema
UTM será 30 SVH 3730086500.
Como
puede
observarse, las cifras
correspondientes a abscisa y
ordenada se escriben de forma
continuada tras las letras que
corresponden al cuadrado.
Dicha cifra, siempre en número
par, corresponden las cinco
primeras a la abscisa y las otras
cinco a la ordenada del punto
referidas a la esquina SW del
cuadrado de los 100 km, es
decir, que en el sistema de
referencia rectangular 30 SVH
sus coordenadas son x = 37300
e y = 86500.
Transformación
coordenadas
de
Fig. 22
Una cuestión que se origina frecuentemente cuando se trabaja con Cartografía es la
transformación de coordenadas geográficas a U.T.M. y viceversa. Analizamos seguidamente la
formulación matemática, fácil de programar, que permite realizar dichas transformaciones, publicadas por
los geodestas italianos COTICCHIA Y SURACE.
Estas transformaciones se realizan tomando como referencia el elipsoide de Hayford, sobre el
cual está desarrollada toda la cartografía oficial de nuestro país. Siendo preciso conocer los siguientes
parámetros del elipsoide:
a = 6378388 m.
(semieje mayor)
b = 6356912 m.
(semieje menor)
e’2 = (a2-b2)/b2 = 0.0067681703
(segunda excentricidad)
c = 6399936.609 m.
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Problema directo. Paso de coordenadas geográficas a U.T.M.
Se parte de las coordenadas geográficas conocidas (n, 8), y se trata de hallar las coordenadas
planas U.T.M. (X, Y).
Se calcula 80 : longitud, en grados, del meridiano central del uso que corresponda.
Con las coordenadas (n, 8) del punto que queremos transformar, obtenemos un primer parámetro >
> = 0.5 ln [81+A)/(1-A)]
Siendo
A = cos n sin )8
)8 = 8 - 80
Continuamos
0 = arctan [(tan n)/(cos )8)] - n
< = c* 0.9996/(1+ e’2 cos2 n)2
> = (e’2/2)>2 cos2 n
A1 = sin 2 n
A2 =A1 cos 2 n
J2 = n + (A1/2)
J4 = (3 J2 + A2)/4
J6 = (5 J4 + A2cos 2 n)/3
" = (3 e’2 )/4
$ = (5 "2 )/3
( = (35 "3 )/27
Bn = 0.9996 c ( n- "J2 +$J4-(J6)
Con lo que se llega a las coordenadas X e Y siguientes:
X = > < [ 1 + (> /3) ] + 500.000
Y = 0< (1 + > ) + Bn
De manera análoga se resuelve el problema inverso, con sólo recorrer el camino en sentido
contrario. Esta formulación es fácilmente programable con lo cual es relativamente fácil disponer en una
calculadora de un pequeño programa que nos posibilite el cambio. De todas formas en los paquetes
topográficos existen utilidades que permiten estas y otras transformaciones análogas.
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1.12- Nortes usados en Topografía. Convergencia de meridianos,
acimut, rumbo y orientación
Nortes usados en Topografía.
En Topografía se utilizan tres Nortes, que dan lugar a tres
direcciones básicas, que son:
El Norte Geográfico, que origina la meridiana geográfica o
astronómica, y que puede obtenerse en cualquier punto mediante
observaciones astronómicas.
El Norte Magnético, que nos da la meridiana magnética y que nos
señala la aguja imantada.
El Norte de la cuadrícula, que conforma la meridiana de la
cuadrícula, y cuya dirección viene determinada por la transformada
del meridiano de origen del correspondiente sistema de proyección
cartográfica, conservándose paralela a esta dirección en toda la
extensión del mapa.
Fig 23, Norte de cuadricula y convergencia
de meridianos
En la (figura 23), O-Ng, representa la transformada del meridiano origen y es la que nos da la
dirección del Norte de la cuadrícula. Como puede observarse, únicamente en el meridiano origen
coinciden la dirección del Norte Geográfico y Norte de la cuadrícula. En cualquier otro punto como el A,
ambas direcciones forman entre sí un ángulo T llamado convergencia de meridianos. Lógicamente el
ángulo [T] se mantiene constante para puntos de un mismo meridiano.
Rumbo.
Se llama rumbo de una dirección al ángulo que forma
dicha dirección con el Norte magnético.
Los rumbos se
cuentan a partir del Norte magnético en el sentido de las agujas
del reloj, y ordinariamente se designan con la letra [ R].
Acimut.
Se llama acimut de una dirección al ángulo que forma
dicha dirección con el Norte geográfico y se designan con la
letra ["].
Dado que actualmente la declinación en España es
occidental, la fórmula que relaciona el rumbo con el acimut de
una misma dirección es
R = " + * , obviamente y salvando el caso en que el
rumbo fuese menor que la declinación.
Fig. 24, Norte magnético, Norte de la cuadricula,
Norte geográfico
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TOPOGRAFÍA
Orientación.
El empleo constante de las direcciones en las aplicaciones topográficas, hace que la variabilidad
del acimut de una dirección en los diferentes puntos de ella sea un inconveniente. Este hecho se salva
tomando como origen de ángulos la dirección de la transformada del meridiano origen o Norte de la
cuadrícula.
A estos ángulos se les denomina orientaciones y se cuentan de 0º a 360º en el sentido de las
agujas del reloj, tomando como origen la parte Norte de dicho eje y se representan por la letra O.
La orientación de la alineación AB es el ángulo OAB que como se aprecia es independiente del punto
de la misma que se considere.
Al referirse a la orientación de una dirección es necesario tener en cuenta el sentido de la misma,
ya que la orientación de AB y de BA se diferencian dos rectos.
La convergencia de meridianos se considera positiva para puntos situados al Este del meridiano
origen y negativa para los situados al Oeste.
En general, puede enunciarse:
Acimut - Orientación = Convergencia de meridianos
" -O=T
En las hojas del Mapa Topográfico Nacional a escala 1:50000 publicadas por el Instituto Geográfico
Nacional y por el Servicio Geográfico del Ejército existen esquemas en los que constan los valores de
* y T para el centro de la hoja, pudiendo considerar válidos estos valores para toda la hoja, ya que el
valor de la Longitud Geográfica varía sólo 10 minutos del centro a los márgenes.
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