Introducción a la Probabilidad Problemas Resueltos

Introducción a la Probabilidad
Problemas Resueltos
Profesor: John Gómez
Segundo Bimestre 2011
En este documento presento los la solución al primer problema propuesto para solucionar
este bimestre. Dicha solución es presentada teniendo en cuenta los pasos metodológicos planteados para la resolución de problemas.
Problema 1
Muchas instituciones bancarias emplean modelos computarizados de crédito con el propósito
de dar un determinado puntaje a todas las solicitudes de préstamo. Este puntaje se emplea
como una ayuda para decidir cuándo se otorga el préstamo. Supóngase que el 3% de todos los
préstamos que se otorgan presentan problemas por incumplimiento de pago y que los modelos
de crédito son precisos en un 80% al predecir menos créditos. Si el 85% de todas las solicitudes
reciben puntuaciones favorables por los modelos computarizados y se les otorga el préstamo,
determinar la probabilidad de que una solicitud que recibe una puntuación favorable y a la que
se le otorga el préstamo. No presente ningún problema para el pago de éste.
Inicialmente responderemos la siguiente pregunta:
Qué es lo que sé?
Aquı́ se debe hacer una distinción clara de lo que se sabe del problema, en este caso son los
datos que nos proporsionan
• El 3% de todos los préstamos que se otorgan presentan problemas por incumplimiento de
pago.
• Los modelos de crédito son precisos en un 80%
Ahora se identifican las condiciones presentes en el problema.
• El 85% de todas las solicitudes reciben puntuaciones favorables por los modelos computarizados y se les otroga el préstamo
Teniendo los datos y las condiciones del problema se procede a responder la siguiente pregunta.
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Qué es lo que Quiero?
• Determinar la probabilidad de que una solicitud que recibe una puntuación favorable y a
la que se le otorga el préstamo, no presente ningún problema para el pago de éste.
Teniendo claro lo anterior, se procede a mirar lo que podemos usar para resolver el problema.
Es importante hacer esto explicito utilizando la siguiente pregunta.
Qué puedo usar?
Recordemos que en todo problema de probabilidad es importante identificar los eventos y
el espacio muestral, tal identificación es importante en el proceso de solución del problema.
Entonces, se va usar una representación que permita hacer explicito tanto los eventos como el
espacio muestral.
Sea A = El evento incumplimieto de pago y Sea B = La puntuación favorable
Teniendo los dos eventos principales definidos mediante una notación simbólica, procedemos
a establecer las condiciones del problema teniendo en cuenta dicha notacón.
Del enunciado del problema se tiene que: P (A) = 0, 03 y P (B) = 0, 85
En este momento tenemos expresado de manera simbólica dos de los eventos que aparecen
en el enunciado del problema, pero aún nos falta el expresar en registro simbólico el siguente
dato presente en el enunciado. los modelos de crédito son precisos en un 80% al predecir menos créditos.
Partiendo de los eventos A y B definidos anteriormente, se puede establecer que los modelos
de credito son acertados cuando asignan una buena puntuación partiendo del hecho que no se
ha incumplido en el pago de un crédito. En otras palabras, se obtiene una buena puntuación
dado que no se ha incumplido en el pago de un crédito. Simbolicamente se puede expresar
como: B|Ā. Siendo Ā el complemento de A. Es decir, el evento cumplimiento de pago.
Del enunciado del problema tenemos que P (B|Ā) = 0, 8
Entonces, teniendo las consideraciones anteriores, lo que se busca es la probabilidad condicional de que no exista ningún problema de pago del préstamo, dado que la solicitud obtuvo una
puntuación favorable. Simbolicamente esto es: P (Ā|B)
Ahora, después de hacer explicitos tanto los datos como la condiciones del problema, se
procede a buscar un modelo matemático en el cual se puedan relacionar los datos junto con la
condiciones. Se ha identificado que el problema esta inmerso en el concepto de probabilidad
condicional, es decir puede utilizar las sieguiente igualdades.
• P (B|Ā) = P (Ā∩B)/P (Ā)
• P (Ā|B) = P (Ā∩B)/P (B)
Despejando P (Ā ∩ B) de las dos ecuaciones anteriores, se tiene que:
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P (Ā ∩ B) = P (Ā|B)P (B)
P(Ā∩B) = P (B|Ā)P (Ā)
De donde se deduce que:
P (Ā|B)P (B) = P (B|Ā)P (Ā)
Ahora, sabiendo que necesitamos P (Ā|B). Despejamos de la ecuación anterior:
P (Ā|B) =
P (B|Ā)P (Ā)
P (B)
Esta última igualdad nos proporciona un modelo matemático para la resolción del presente
problema. En este momento solo queda reemplazar las expresiones por los valores numéricos
presentes en el enunciado del problema.
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