TEORÍA CLÁSICA DE LA DEMANDA Instituto de Filosofía Facultad

TEORÍA CLÁSICA DE LA DEMANDA
ADOLFO GARCÍA DE LA SIENRA1
Instituto de Filosofía
Facultad de Economía
Universidad Veracruzana
[email protected]
1. La teoría clásica de la demanda
La teoría clásica de la demanda pretende explicar el comportamiento del
consumidor, caracterizado por el aparato conceptual de la teoría de la
elección, mediante el concepto de preferencia: la aserción es que el consumidor demanda lo que demanda precisamente porque posee un cierto
ordenamiento de preferencias que de hecho puede ser representado por
una cierta función de utilidad. La TCD genera, a partir de una estructura
de preferencia, una serie de funciones. Dada una cierta clase de estructuras de preferencia —que aquí llamaré ‘clásicas’— se procede a generar
las funciones de demanda walrasiana, indirecta de utilidad, de demanda
hicksiana y de gasto. El concepto de estructura de preferencia clásica es
introducida en la siguiente definición.
DEFINICIÓN 1 C es una estructura de preferencia clásica syss existe tal que
(0) C = h
; i;
(1) C es una estructura de preferencia regular;
es estrictamente convexa;
(3) es localmente insaciada;
(4) es suave.
TEOREMA 1 Sea C = h
; i una estructura de preferencia clásica. Entonces existe
una función de utilidad u:
! R que representa C y tiene las siguientes propieda(2)
des:
(1) u es estrictamente cuasicóncava;
(2) u es continuamente diferenciable;
(3) u(0)
= 0 y u(x) > 0 para todo x 6= 0.
1
2
GARCÍA DE LA SIENRA
Demostración: Los argumentos dados en el capítulo anterior establecen la
existencia de una función de utilidad continuamente diferenciable. Para
demostrar (1), sean x, x0 elementos arbitrarios de con u(x) u(x0 ) y
x 6= x0 , y sea 2 (0; 1). Tenemos que x x00 y x 06= x0 lo cual implica, por0 la
estricta convexidad de , que x + (1 )x x ; luego, u[x + (1 )x ℄ >
u(x0 ). Llamaremos normal a una función de utilidad que represente una estructura de preferencia clásica y que posea las propiedades enunciadas en
el Teorema.
El problema de calcular el máximo de u para un (p; w) dado es llamado
el problema del consumidor (PC) o el problema de la maximización de la utilidad
(PMU). El problema de calcular el mínimo costo de alcanzar un determinado nivel de utilidad para un sistema de precios dado p dado es llamado el
problema de la minimización del gasto (PMG). De hecho cada uno de estos problemas es dual del otro. Estos problemas usualmente se atacan mediante
el método de los lagrangianos.
TEOREMA 2 Sea C = h
; @; i la estructura de elección inducida por la estructura de preferencia clásica h
; i y u:
!Æ R una función de utilidad normal que
representa h
; i. Para cada (p; w) 2 R+ , la función de utilidad u alcanza
un máximo global en un único punto (x) de Bp;w .
Demostración: Para cualquier par (p; w), el conjunto Bp;w es compacto. Como
u es continua, el teorema de Weierstrass implica que u tiene un máximo
(de hecho, también un mínimo) en Bp;w . Si x̂ es el punto en el que u asume
el máximo, tiene que ser único. Pues de lo contrario, como Bp;w es convexo,
si x fuera otra punto de Bp;w con u(x ) = u( x̂), la combinación convexa
x̂ + (1 )x estaría en Bp;w y sería estrictamente más preferida que x̂,
debido a la convexidad estricta de , lo cual es imposible. DEFINICIÓN 2 La función : Æ R+ ! , que asigna a cada (p; w) 2
Æ R+ el único punto de Bp;w en el que u asume el máximo valor, es
llamada la función de demanda walrasiana.
TEOREMA 3 La función de demanda walrasiana es homogenea de grado cero.
3
TEORÍA DE JUEGOS
Demostración: Esto se sigue del hecho de que
px w
Es decir, Bp;w
, px w:
= B ; . p
w
TEOREMA 4 (LEY DE WALRAS) La función de demanda walrasiana satisface
la Ley de Walras.
Demostración: Se requiere demostrar que el punto x̂ en el que u asume el
valor máximo en Bp;w pertenece al hiperplano fx 2 j px = w g.
= fx 2 j px = wg hay una vecindad V de x̂ y un punto x0 2 V \ Bp;w
Si x̂ 2
tal que x0 x̂. Pero ello es imposible porque x̂ es óptimo en Bp;w . TEOREMA 5 La función de demanda walrasiana es continua.
Demostración: Es menester mostrar que, para cualquier sistema (p; w), vector infinitesimal ε 2 *
Æ y número infinitesimal positivo ",
(p + ε; w + ") ' (p; w) :
Para ello procederé del siguiente modo. Siendo p0 = p + ε y w 0 = w + ",
mostraré primeramente que hay puntos (no estándar) sobre el hiperplano presupuestal de Bp ;w infinitamente cerca de x̂ = (p; w). En segundo
lugar, y de manera análoga, mostraré que hay puntos (estándar) sobre el
hiperplano presupuestal de Bp;w infinitamente cerca de x̂0 = (p0 ; w 0 ). La
continuidad de u implicará que x̂0 2 hal( x̂), pues de lo contrario habrían
menús x (estándar) en el hiperplano de Bp;w y x0 (no estándar) en el de
Bp ;w tales que x0 ' x̂ y x ' x̂0 , en cuyo caso tendríamos que la diferencia u( x̂) u(x) es positiva y apreciable (porque x̂ x), de modo que la
diferencia u(x0 ) u( x̂0 ) también lo es, lo cual es imposible porque x̂0 x0 .
0
0
0
0
TEOREMA 6 La función de demanda walrasiana
ble.
es continuamente diferencia-
DEFINICIÓN 3 La función indirecta de utilidad es la aplicación v:
Æ R+ ! R
que asigna a cada (p; w) el máximo u( x̂) de u en Bp;w ; es decir, v(p; w) =
u [(p; w) ℄.
4
GARCÍA DE LA SIENRA
TEOREMA 7 La función indirecta de utilidad v tiene las siguientes propiedades:
(1) v es homogénea de grado cero;
(2) v es estrictamente creciente en w y no creciente en pl para todo l;
(3) v es cuasiconvexa;
(4) v es continuamente diferenciable en p y w.
Demostración: (1) Si es un número real positivo, la desigualdad ‘px w’
es equivalente a ‘ px w’, de modo que el conjunto presupuestal Bp;w
es idéntico a Bp;w y el óptimo de Bp;w es idéntico al de Bp;w . Pero esto
significa que v(p; w) = v( p; w).
(2) Si w 0 > w, Bp;w es un subconjunto propio de Bp;w y sus correspondientes hiperplanos presupuestales no se intersectan, de modo que el óptimo de Bp;w es estrictamente preferido al de Bp;w ; pero esto significa que
v(p; w) > v(p; w 0 ).
Si pl0 > pl entonces p0 es idéntico a p excepto en la coordenada l, donde
aparece el precio pl0 . Como el hiperplano de Bp ;w puede tener elementos
en común con el de Bp;w , el óptimo puede ser el mismo en ambos conjuntos pero también es posible que el óptimo del segundo sea estrictamente
preferido al del primero, lo cual significa que v(p0 ; w) v(p; w).
0
0
0
(3) Es menester demostrar que si v(p; w)
entonces
v [(p; w)
ṽ, v(p0; w0 ) ṽ y 2 [0; 1℄
+ (1 )(p0 ; w0 ) ℄ ṽ:
Para cualquier menú x 2 , si x no está en ninguno de los conjuntos
presupuestales Bp;w y Bp ;w , tampoco está en el conjunto B( p;w) +( 1 ) ( p ;w ) .
En efecto, px > w y p0 x > w 0 implican
0
0
0
0
[p + (1 )p0 ℄x = px + (1 )p0 x > w + (1 )w0 :
Luego, el óptimo de B( p;w) +( 1 ) ( p ;w ) tiene que pertenecer a Bp;w o a Bp ;w .
En el primer caso,
0
v [(p; w)
0
+ (1 )(p0 ; w0 ) ℄ v(p; w) ṽ;
0
0
5
TEORÍA DE JUEGOS
en el segundo,
v [(p; w)
+ (1 )(p0 ; w0 ) ℄ v(p0 ; w0 ) ṽ:
(4) Para demostrar que v es continuamente diferenciable en p y w, observemos que v es la composición u Æ de las funciones de utilidad y de
demanda walrasiana. Como ambas funciones son continuamente diferenciables, la regla de la cadena implica que v es continuamente diferenciable.
En efecto,
Jv;( p;w)
= J ;
u
( p;w)
J; ; :
( p w)
TEOREMA 8 Para cada ( p̃; ũ) 2 Æ u( ), la función : ! R tal que
(x) = p̃x tiene un mínimo w̃ precisamente en un punto de K = fx 2 j u(x) ũ g.
Demostración: Como (K) está acotado por abajo, tiene un inf, digamos w̃.
Mostraremos que w̃ es elemento de (K). Pero ello es inmediato porque
K es cerrado. Se sigue que hay un punto x̃ en K tal que w̃ = ( x̃). El
nivel de utilidad de cualquier punto que satisfaga la ecuación ( x̃) = w̃
debe ser precisamente ũ pues de lo contrario sería mayor y sobre la recta
R = fx 2 j x̃ para algún 2 [0; 1℄g, que une a x̃ con 0, habría un
punto x̃ tal que u( x̃) = ũ, debido a la continuidad de u. Pero entonces
tendríamos x̃ 2 K con ( x̃) = ( x̃) < ( x̃) = w̃, contradiciendo el
hecho de que alcanzaba su mínimo en K en x̃.
x̃ es el único punto en el que alcanza un mínimo en K pues, si x̃0 fuera
otro punto tal, la combinación convexa x̃ + (1 ) x̃0 también lo sería, lo
cual implicaría que u [x̃ + (1 ) x̃0 ℄ = ũ, contradiciendo el hecho de que
u [x̃ + (1 ) x̃0 ℄ > u( x̃). DEFINICIÓN 4 La función de gasto es la aplicación e : Æ u( )
asigna a cada (p; u) el mínimo de en fx 2 j u(x) u g.
TEOREMA 9 La función de gasto e tiene las siguientes propiedades:
(1) e es homogénea de grado uno en p;
(2) e estrictamente creciente en u y no decreciente en pl para todo l;
(3) e es cóncava en p;
(4) e es continuamente diferenciable en p y u.
! R que
6
GARCÍA DE LA SIENRA
Demostración:
DEFINICIÓN 5 La función de demanda hicksiana es la aplicación h :
u( ) ! 3(R) que asigna a cada (p; u) el vector óptimo del PMG.
Æ TEOREMA 10 La función de demanda hicksiana h tiene las siguientes propiedades
para todo (p; u) 2 Æ u( ):
(1) h es homogénea de grado cero en p;
(2) h es estrictamente creciente en u y no decreciente en pl para todo l;
(3) hay precisamente un elemento en h(p; u), de modo que h es una función.
(4) Para todo ph(p; u)
= w;
TEOREMA 11 La función de demanda hicksiana satisface la ley compensada de la
demanda; e.e.
(p00
p0 )
[h(p00; u)
h(p0 ; u) ℄ 0:
TEOREMA 12 Para cada (p; u), la función de demanda hicksiana es el vector de
derivadas de la función de gasto con respecto a los precios
h(p; u)
= r e(p; u) :
p
Demostración: Sea K el conjunto fx 2 j u(x) ũ g. Como K es convexo y
cerrado, y hemos demostrado (Teorema 8) que y la función soporte de K,
e(p; u), es diferenciable con respecto a p , existe un único punto x̂ 2 K tal
que p la característica de que re(p; u) = x̂, donde es el único punto tal
que
Esto es una consecuencia del Teorema de Dualidad, donde
TEOREMA 13 La función de demanda hicksiana h( ; u) satisface las siguientes
identidades:
(1) Dp h(p; u)
= D e(p; u);
2
p
(2) Dp h(p; u) es semidefinida negativa;
(3) Dp h(p; u) es simétrica;
(4) Dp h(p; u)p = 0.
7
TEORÍA DE JUEGOS
TEOREMA 14 (ECUACIÓN
DE
SLUTSKY) Para todo (p; w) y u
= v(p; w):
hl (p; u) l (p; w) l (p; w)
= p + w k (p; w) :
pk
k
De manera compacta,
Dp h(p; u)
= D (p; w) + D (p; w) (p; w) :
t
p
w
TEOREMA 15 (IDENTIDAD
x(p; w)
DE
ROY)
1
= r v(p; w) r v(p; w) :
p
w
TEOREMA 16 Sea :
Æ R+ ! la función que asigna a cada (p; w) el vector
óptimo con respecto a u en el conjunto Bp;w . Entonces h
; @; i es una estructura
de demanda walrasiana.
2. El modelo Cobb-Douglas
Si adoptamos la función de utilidad Cobb-Douglas sobre el ortante de un
espacio específico obtenemos un modelo específico de la TCD. Aquí desarrollaremos el modelo para L = 2. Es interesante observar que la función
Cobb-Douglas satisface las propiedades enunciadas en el teorema ?? y por
lo tanto representa una relación de preferencia clásica. En la construcción
de cualquier modelo se requiere obtener las siguientes funciones:
(1) La función de demanda walrasiana, la cual asigna a cada sistema de precios-riqueza (p1 ; p2 ; w) el menú de consumo ( x̂1 ; x̂2 ) =
(p1; p2 ; w) que maximiza la utilidad del agente bajo ese sistema.
Esta función se obtiene resolviendo el PMU.
(2) La función indirecta de utilidad v, la cual asigna a cada (p1 ; p2 ; w)
la utilidad máxima que el consumidor puede alcanzar en esa situación; es decir, la utilidad que le brinda su consumo óptimo:
v(p1; p2 ; w) = u [(p1; p2 ; w) ℄.
(3) La función de demanda hicksiana h, la cual asigna a cada vector
(p1 ; p2 ; ũ), donde ũ es un nivel de utilidad determinado, el menú
de consumo ( x̌1 ; x̌2 ) que minimiza el costo de alcanzar el nivel de
8
GARCÍA DE LA SIENRA
utilidad ũ: h(p1 ; p2 ; ũ) = ( x̌ ; y̌). Esta función se obtiene resolviendo
el PMG.
(4) La función de gasto e, la cual asigna a cada (p1 ; p2 ; ũ), donde ũ es
un nivel de utilidad determinado, el costo mínimo de alcanzar el
nivel de utilidad ũ: e(p1 ; p2 ; ũ) = p1 x̌1 + p2 x̌2 = ph(p1; p2 ; ũ). Debe
verificarse que e(p1 ; p2 ; (p1 ; p2 ; w)) = w.
Así, para un consumidor con una función Cobb-Douglas se requiere resolver el PMU, el PMG y determinar las funciones siguientes:
(1) La función de demanda walrasiana (p1; p2 ; w);
(2) la función de utilidad indirecta v(p1; p2 ; w);
(3) la función de demanda hicksiana h(p1 ; p2 ; ũ);
(4) la función de gasto e(p1 ; p2 ; ũ)
Una vez hecho esto, hay que hacer lo siguiente:
(5) Demostrar que
e(p1 ; p2 ; v(p1 ; p2 ; w))
=w
y v(p1; p2 ; e(p1 ; p2 ; ũ))
= ũ:
(6) Demostrar que
r
( p1 ;p2 )
e(p1 ; p2 ; ũ)
= h(p ; p ; ũ) :
1
2
(7) Demostrar que las funciones satisfacen la Ecuación de Slutsky:
Dp h(p; u)
= D (p; w) + (p; w)D (p; w) (p; w)D (p; w) :
p
1
w
(8) Demostrar que satisfacen la Identidad de Roy:
(p; w) =
1
rw v(p; w) rpv(p; w) :
Se procede primero a resolver el PMU:
Maximizar x1 x21 L
w
9
TEORÍA DE JUEGOS
sujeto a p1 x1 + p2x2
=w
Para ello, comenzamos por formular el lagrangiano:
= x x
L(x1 ; x2 ; )
1
1
2
+ [w
p1 x1
p2 x2 ℄:
Derivando L con respecto a x1 , x2 y , e igualando las derivadas a cero,
obtenemos las condiciones de primer orden:
p1 = 0
x1
1
(1
)x1 x2 p2 = 0
w
p1 x1
x21 (1)
(2)
= 0:
p2x2
(3)
Despejando en (1) y (2), obtenemos
= p1 1x1
1
x21 (4)
y
= p2 1(1 )x1 x2 (5)
Así,
p1 1 x1 1 x21 =p
1
2
)x1 x2 :
(1
(6)
Para separar variables, multiplicamos ambos lados de (6) por x2 y obtenemos
=p
p1 1 x1 1 x2
2
1
(1
)x1 :
(7)
Multiplicando ahora ambos lados de (7) por x11 ,
p1 1 x2
=p
2
1
(1
)x1 :
(8)
Despejando x2 , obtenemos
x2
=p
1
1
p2 1 (1
)x1:
(9)
10
GARCÍA DE LA SIENRA
Al sustituir la parte derecha de (9) por x2 en la tercera condición, obtenemos:
w
= p x + p p p (1 )x
= p x + p (1 )x
= p x + (1 )x
= p 1 + (1 ) x
=p x:
1 1
1 1
1
Luego, x̂1
x̂2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
= p
1
1
w y, sustituyendo x con x̂ en la ecuación (9), obtenemos
= p p (1 ) p
= (1 )p w:
1
1
1
1
1
1
1
2 1
1
1
2
1
1
w
1
2
Por lo tanto, la función de demanda walrasiana es
(p1; p2; w)
1
= (1 p1 )pw 1w
2
(10)
La función de utilidad indirecta se calcula así:
v(p1 ; p2 ; w)
= u (p ; p ; w)
= p w (1 )p w = p w (1 ) p w = (1 ) p p w
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
2
Procedemos ahora a resolver el PMG para determinar la función de demanda hicksiana. El problema es
Minimizar( x1 ;x2 ) ≧0 p1 x1 + p2 x2
sujeto a x1 x21 = ũ
Nuevamente, procedemos a través de la introducción de un lagrangiano.
L(x1 ; x2 ; )
=
p1 x1
p2 x2 + [ũ
x1 x21 ℄
11
TEORÍA DE JUEGOS
con condiciones de primer orden
L
= p1 x1 1 x21 = 0
x1
L
= p2 (1 )x1 x2 = 0
x2
L
= ũ x1 x21 = 0:
Despejando dos veces e igualando,
p1 1 x11 x2
Multiplicando por
1
=
)
p2 (1
1
(11)
(12)
(13)
x1 x2 :
x1 x21 p1 1 x11 x1 x2 1 x21 p1 1 x1
= p (1 )
= p (1 )
2
2
1
1
x1 x1 x2 x21 x2
Despejando x2 ,
x2
=
1
)p1p2 1x1:
(1
Sustituyendo en la condición 3,
)p1p2 1x1 ℄1 = ũ ;
x1 [ 1 (1
de donde
x1 [ 1 (1
)p1 p2 1℄1 = ũ
y así,
x̌1
= [p p
1 2
1
(1
) ℄ 1 1
ũ :
Sustituyendo en (2), y haciendo algunas transformaciones algebraicas,
x̌2
= [p p
1 2
1
(1
) ℄ ũ :
La resolución del PMG establece que la función de demanda hicksiana
es
12
GARCÍA DE LA SIENRA
= (1 (1 )) pp p p ũ ũ
h(p1 ; p2 ; ũ)
1
1
1
1
2
1
(14)
2
1
La función de gasto es
=
e(p1 ; p2 ; ũ)
) (1
1
p1 p21 ũ ;
(15)
pues
1
) 1 + ) = 1 (1 ) (1 ) 1
+ (1 ) 1 = (1 ) 1 + (1 ) = (1 ) 1 + 1 (1 ) = (1 ) 1 + (1 )(1 ) 1 (1 ) = [ + (1 ) ℄ (1 ) 1(1 ) = [ + (1 ) ℄ (1 ) 1
= (1 ) 1
(1
(1
TEOREMA 17 Tenemos:
=w
v(p ; p ; e(p ; p ; ũ)) = ũ.
(1) e(p1 ; p2 ; v(p1 ; p2 ; w))
(2)
1
2
1
2
Demostración: Para mostrar (1), recordemos que
=
e(p1 ; p2 ; ũ)
) (1
Sustituyendo ũ con v(p1 ; p2 ; w)
(1
) 1
1
p1 p21 ũ
= (1 )
p1 p21 (1
) 1
p p 1 w
2
1
Para mostrar (2), sustituimos w con (1
(1 ) 1
TEOREMA 18
r
p p
2
1
( p1 ;p2 )
1
(1
e(p1 ; p2 ; ũ)
p p 1 w obtenemos
1
2
1
) 1
) p1 p21 ũ
= h(p ; p ; ũ) :
1
2
= w:
1
p1 p21 ũ en v(p1 ; p2 ; w)
= ũ : 13
TEORÍA DE JUEGOS
Tenemos
e
= 1
p1
e
=
p2
) (1
(1
1
p1 1 p21 ũ
) p1 p2 ũ :
Estas ecuaciones implican que
r
( p1 ;p2 )
e(p1 ; p2 ; ũ)
= h(p ; p ; ũ) : 1
TEOREMA 19 (ECUACIÓN
DE
2
SLUTSKY) Para todo (p; w) y u
= v(p; w):
hl (p; u) l (p; w) l (p; w)
= p + w k (p; w) :
pk
k
Para demostrar que la función Cobb-Douglas satisface la Ecuación de
Slutsky, observemos que
D( p1 ;p2 ) h(p1; p2 ; ũ)
=
1 (1 ) p1 2p21 ũ
1 (1 ) p1 1p2 ũ
1 (1 ) p1 1p2 ũ
1 (1 ) p1 p2 ( +1) ũ
Ahora bien,
1
(1
) p1
2
p21 ũ
= 1
= ( 1
(1
) p1
1
p2 ũ
) p1 2p21 (1 ) 1 p1 p2
(1
1)p1 w
= (1 ) p p (1 )
= (1 )p p w
1
1
1
1
(1
) p1
1
p2 ũ
w
2
1
1
1
p p
2
1
1
w
1
p p
2
1
1
w
1
2
= (1 ) p p (1 )
= (1 )p p w
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
14
GARCÍA DE LA SIENRA
1
) p1 p2 ( +1) ũ = 1
(1
= ( ) p1 p2 ( +1) (1 ) 1 p1 p2
(1
1
w
2
1)p2 w
De manera que
( = (1
D( p1 ;p2 ) h(p; q ; ũ)
(1 )p1 1p2 1w
:
( 1)p2 2w
1)p1 2 w
)p1 1p2 1w
Por otra parte,
=
D( p1 ;p2 ) (p1 ; p2 ; w)
Además,
Dw (p1 ; p2 ; w)
p1 2w
0
0
1)p2 2 w
(
:
1
= (1 p1 )p 1 :
2
Así,
Dp (p; w)
=
+ (p; w)D (p; w) (p; w)D (p; w)
1
p1 2w
0
( w
(
0
1)p2 2 w
2
+ (1
(1 )p1 1p2 1w
2p1 2w
1
1
)p1 p2 w (1 ) 2 p2 2w
(1 )p1 1p2 1w
( 1)p2 2w
1)p1 2 w
)p1 1p2 1w
= (1
= D ; h(p; q ; ũ)
( p1 p2 )
TEOREMA 20 (IDENTIDAD
(p1; p2; w) =
DE
ROY)
1
rw v(p1; p2 ; w) r( p1;p2) v(p1; p2; w) :
Notemos que
1
rw v(p1; p2 ; w)
=
(1
) 1
w
p1 p21 15
TEORÍA DE JUEGOS
Además,
r v(p ; p ; w) =
p
1
2
+1 (1 ) 1 p1 ( +1) p2 1w
(1 ) 2 p1 p2 2w
Una par de sencillas multiplicaciones muestra que
1
rw v(p1; p2 ; w) r( p1;p2) v(p1; p2; w) : (p1; p2; w) =
3. Integrabilidad
Tenemos, como punto de partida, una función determinada de demanda,
por ejemplo, la función Cobb-Douglas:
(p1; p2; w)
1
= (1 p1 )pw 1w :
2
Introduzcamos la función de compensación : R+
definida por la condición
! R, la cual está
(p; q; p0; q0; w) = e(p; q ; v(p0 ; q0; w))
(p; q; p0; q0 ; w) es el mínimo costo de alcanzar
v(p0; q0 ; w)) si los precios vigentes son p y q.
el nivel de utilidad
A partir de las ecuaciones de integrabilidad
(p; q; p0; q0 ; w)
= 1(p; q ; (p; q; p0; q0 ; w))
p
(p; q; p0; q0 ; w)
= 2(p; q ; (p; q; p0; q0 ; w))
q
(p0; q0; p0; q0 ; w) = w
(16)
(17)
(18)
podemos obtener una función de compensación —la cual contiene implícitamente una función indirecta de utilidad —y a partir de ésta es posible
obtener la función directa de utilidad, resolviendo el siguiente problema:
Minimizar( p1 ;p2 ) ≧0 v( p; q ; w)
sujeto a px + qy = w
16
GARCÍA DE LA SIENRA
La función incógnita a determinar es precisamente . Podemos normalizar los precios de tal manera que el precio del bien 2 sea q = 1, siendo p
el precio del primer bien, de modo que es suficiente resolver la ecuación
(1) para p. Sustituyendo en (1) obtenemos
d
dp
= p 1
(19)
1
o, de modo equivalente,
d
dp
p1 1 = 0:
(20)
La ecuación (5) es de la forma
d
dp
+ f (p) = 0:
(21)
donde f (p) = p1 1 . El método general para resolver una ecuación de esta forma consiste en integrar la función f (p) y en observar que la ecuación
es equivalente a
d
dp
eF( p) = 0;
donde F(p)
F(p)
=
=
Z
Rp
(22)
f ( )d . En el caso que nos ocupa,
p
(
) 1
d =
log p;
de modo que
d
dp
d
e log p
dp
d
= e log p p1 1e log p dp
d
log p
1
p1 =e
dp
eF( p) =
=0
17
TEORÍA DE JUEGOS
Se sigue que existe una constante c tal que e log p
= c, o
= ce log p = c(elog p ) = cp1
(23)
Se comprueba que ésta es, efectivamente, una solución de la ecuación (4),
pues,
d
dp
= cp
1
1
= p cp
= p 1
1
1
1
1
Sustituyendo en la condición inicial (3) encontramos
(p0 ; 1; p0 ; 1; w) = c(p0 ) = w
o
c
= (p0 )
w
Así obtenemos la expresión explícita de :
= (p0 )
wp
1
(24)
Se comprueba que esta expresión es correcta, pues
(p; 1; p0 ; 1; w) = (p0 ) wp1
= [ + (1 ) ℄ p1 (p0 ) w
= 1 (1 ) 1 + (1 ) p1 (1 ) 1
= e(p; 1; v(p0 ; 1; w))
(p0 ) w
Si partimos de la función de demanda walrasiana obtenida a partir de la
función de utilidad Cobb-Douglas, el problema es recuperar esta función
a partir de la misma, es decir, la función u(x ; y) = x1 x21 .
Para esta función de demanda, la solución general al sistema (1)-(3) es
= cp1 p21 :
(25)
18
GARCÍA DE LA SIENRA
Se comprueba:
= p1 1p21 p
= p1 1p1 p21 = p1 1;
= (1 )p1 p2 q
= (1 )p2 1qp1 p2 = (1 )p2 1p1 p21 = (1 )p2 1
Sustituyendo en la condición inicial obtenemos cp0 q01 p0 q0 1 w. Por lo tanto,
(p; q; p0; q0; w) = p0 q0 1wp1 p21 = (1 ) 1 p0 q0 1w = v(p0; q0; w) e(p1; p2; ũ)u 1
(1
) =
1
w o c
=
p1 p21 Vemos así que, para cualquier sistema de precios (p0 ; q0 ), la función de
utilidad indirecta es
v(p0 ; q0 ; w)
(p; q; p0; q0; w)
e(p1 ; p2 ; ũ)u 1
= (1 ) 1 p0 q0
=
1
w
Procedemos ahora a resolver el siguiente problema:
Minimizar( p1 ;p2 ) ≧0 ( 1
) 1 p1 p2 1 w
sujeto a px + qy = w
Construimos el lagrangiano:
L(p; q ; )
= (1 )
1
p p 1 w
1
2
+
w
px
qy
;
19
TEORÍA DE JUEGOS
con condiciones de primer orden
L
=
1+ (1 ) 1 p1 ( 1+) p2 1w x = 0
p
L
= (1 ) 2 p1 p2 2w y = 0
q
L
= w px qy = 0
Despejando en las condiciones (5) y (6) obtenemos
= 1+ (1 ) 1 p1 ( 1+) p2 1wx1 1
(26)
(27)
(28)
(29)
y
= (1 ) 2
p p 2 wx
2
2
1
1
:
(30)
Igualando los términos derechos de las ecuaciones (8) y (9), y multiplicando ambos por (1 ) 1 ,
(31)
p ( 1+) p 1wx 1 = (1 )p p 2wx 1
1
2
1
1
2
2
Nuevamente, multiplicando ambos lados de (10) por p11+ p22 xy, obtenemos
qwy = (1 )pwx
(32)
Despejando q,
q
=
1
(1
)pxx2 1:
(33)
Sustituyendo este valor de q en la condición (7),
px + 1 (1
)px = w:
) = 1, el valor óptimo de p es
Como 1 + (1
1
p̂ = x1 1 w:
(34)
(35)
Sustituyendo este valor de p en (12) obtenemos el valor óptimo de q:
q̂
= (1 )x
1
2
w:
(36)
Sustituyendo estos valores de p y q en la función objetivo obtenemos
v( p̂; q̂ ; w)
= x x ;
1
1
2
que es precisamente la función de utilidad Cobb-Douglas.
(37)