Teorema del seno

T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
9. TEOREMA DEL SENO
A
a
b
c
=
=
= 2R
sen A sen B sen C
b
c
C
R
Demostración:
a
B
Trazamos la altura correspondiente al vértice C:
C
En el triángulo ADC se verifica:
sen A =
hc
→ hc = b·sen A
b
a
hC
b
En el triángulo BDC se verifica:
senB =
A
hc
→ hc = a·senB
a
D
B
c
Igualando ambas expresiones resulta la igualdad:
b · sen A = a · sen B →
a
b
=
sen A sen B
Trazamos la altura correspondiente al vértice A:
C
En el triángulo ACD se verifica:
sen C =
D
hA
→ hA = b·senC
b
b
hA
En el triángulo ABD se verifica:
senB =
a
A
hA
→ h A = c ·senB
c
B
c
Igualando ambas expresiones resulta la igualdad:
b · sen C = c · sen B →
c
b
=
sen C sen B
IMPORTANTE: El teorema es válido para cualquier tipo de triángulo.
Consideremos el triángulo obtusángulo de la figura.
C
Si trazamos la altura hc relativa al vértice C:
b
En el triángulo BCC´ se verifica:
sen α =
a
hc
→ hc = a·sen α = a·senB
a
(1)
α
A
c
(1) sen α = sen(180º − B) = sen B
B
C´
hA
En el triángulo ACC´ se verifica:
sen A =
hC
A´
hc
→ hc = b·sen A
b
Igualando obtenemos:
a
b
=
sen A sen B
Trazando la altura hA relativa al vértice A, y realizando el mismo razonamiento anterior, se demuestra:
a
c
=
sen A sen C
Luisa Muñoz
1
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS:
1. Resolver un triángulo conocido un lado y dos ángulos
Datos conocidos: a, B y C
A = 180º – (A + B)
a
b
a·sen B
=
→ b=
sen A sen B
sen A
a
c
a·sen C
=
→ c=
sen A sen C
sen A
En este caso siempre hay solución si se cumple que los dos ángulos suman menos de 180º.
Ejemplo
De un triángulo se ha medido dos ángulos y un lado: a = 12 cm, A = 47º, B = 59º. Resolver el
triángulo.
Solución
Como A + B + C = 180º → C = 180º – (A + B) = 74º
12
b
c
=
=
→
sen 47º sen59º sen74º
12
b
=
→ b = 12·sen 59º = 14,14 cm
sen 47º sen 59º
sen 47º
12
c
=
sen 47º sen 74º
→
c=
12·sen74º
= 15,78 cm
sen 47º
2. Resolver un triángulo conocido dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
Datos conocidos: a, b y B
a
b
a·sen B
=
→ sen A =
b
sen A sen B
o
Si b < a · sen B → No hay solución del problema
o
Si b = a · sen B → Hay una única solución del problema
o
Si b > a · sen B → Puede existir una o dos soluciones del problema:
C = 180º – (A + B)
b
c
b·sen C
=
→ c=
senB sen C
senB
Luisa Muñoz
2
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
Ejemplo:
De un triángulo se conocen los datos: a = 11 cm, b = 13 cm, B = 117º. Resolver el triángulo.
Solución
Por el teorema del seno:
11
13
c
=
=
sen A sen117º sen C
11
13
=
sen A sen117º
→
11
13
=
sen A sen117º
→
sen A =
11·sen117º
= 0,75
13
A = arc sen 0,75 → A = 48,59º ó A = 131,41º
Si A = 131,41º → A + B > 180º, luego nos quedamos con A = 48,59º
Como A + B + C = 180º → C = 180º – (117º + 48,59º) = 14,41º
Aplicando el teorema del seno:
c
13
=
sen14,41º sen117º
→
c=
13·sen14, 41º
= 3,65 cm
sen 117º
Ejemplo:
Dados a = 7 cm, c = 4 cm, C = 54º, hallar los restantes elementos.
Geométricamente tomamos un segmento que representa el lado a. En uno de sus extremos medimos el
ángulo C = 54º y trazamos la recta que representa la dirección del lado b.
En el otro extremo del lado a dibujamos un arco de radio igual a la longitud del lado c.
Vemos que este arco no tiene ningún punto en común con la recta que representa el lado b, con lo cual es
imposible construir el triángulo.
Analíticamente, aplicando el teorema del seno, calculamos el ángulo A:
a
c
=
sen A sen C
Luisa Muñoz
→
sen A =
a·senC 7·sen54º
=
= 1, 41 ¡Imposible!
c
4
3
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
Ejemplo:
Dados a = 3 cm, b = 6 cm, A = 30º, hallar los restantes elementos:
Geométricamente trazamos un segmento de longitud 6 cm, en uno de los extremos trazamos el ángulo A y
en el otro extremo trazamos un arco de circunferencia de radio 3 cm.
Vemos que este arco corta a la recta que
representa el lado c en un punto, que es el
tercer vértice del triángulo
Analíticamente calculamos el ángulo B mediante el teorema del seno:
a
b
=
sen A senB
→
senB =
b·sen A 6·sen30º
=
= 1 → B = 90º
a
3
C = 180º – (90º + 30º) = 60º
a
c
=
sen A sen C
→
c=
a·sen C 3·sen 60º
=
= 3 3 cm
sen A
sen 30º
Ejemplo:
Dados a = 4 cm, b = 6 cm, A = 30º, hallar los restantes elementos.
En este caso tenemos dos soluciones ya que el
arco de circunferencia de radio 4 cm corta a la recta
que representa el lado c en dos puntos, B y D.
Por tanto existen dos triángulos ACB y ACD.
Analíticamente:
a
b
b·sen A 6·sen30º 3
=
→ senB =
=
=
→ B = 48º 35´25´´ ó B = 131º 24´35´´
sen A senB
a
4
4
Si B = 48º 35´25´´ → C = 101º 24´35´´ → c =
a·sen C
= 7,84 cm
sen A
Si B = 131º 24´35´´ → C = 18º 35´25´´ → c =
a·sen C
= 2,55 cm
sen A
Luisa Muñoz
4
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
3. El radio de la circunferencia circunscrita al triángulo, conocido un lado y su ángulo opuesto.
A partir del Teorema del Seno podemos relacionar fácilmente un triángulo con la circunferencia circunscrita
al mismo.
C
b
A
O
a
b
c
=
=
= 2R
sen A sen B sen C
a
c
R
D
B
Demostración:
Consideramos el triángulo ACB.
Sea DC = d el diámetro de la circunferencia circunscrita, se verifica:
El triángulo DCB es recto en B (su ángulo central mide 180º).
Los ángulos A y D son iguales (pues abarcan el mismo arco BC) → sen A = sen D
Además, en el triángulo DCB se verifica:
sen D =
CB
a
=
CD 2R
→
sen A =
a
a
→
= 2R
2R
sen A
Ejemplo:
Calcula el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC sabiendo que a = 3 m y A = 60º.
Solución
a
= 2R
sen A
→
Si a = 4 cm y
R=
3
3
=
= 1,72 m
2·sen 60º 2·0,87
 = 30º , calcula el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Solución:
a
4
= 2R → 2R =
→ 8 = 2R → R = 4 cm
sen A
sen 30º
Luisa Muñoz
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