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Física
Clases de matemáticas, física y química
Grado en ingeniería informática
Tel.: 665.516.510
3º Una barra metàl·lica de longitud l = 0,5 m, 1 kg de massa i resistència
R = 10 Ω es pot moure sense fregament sobre un rail bon conductor en
forma de U. sense resistència elèctrica, i posat verticalment. En el seu
moviment la barra fa sempre contacte elèctric amb el rail. En la regió de
moviment hi ha un camp magnètic uniforme B = 3 T en direcció horizontal.
L abarra comença a caure accelerada per la gravetat. Mostrau que, al cap
dùn temps suficient, la barra caurà amb velocitat constant. Donau el valor
d'aquesta velocitat. (3 punts)
Al empezar a caer la barra el flujo del campo
magnético dentro del contorno que delimitan la U y
la barra varía. La consecuencia es la inducción de una
corriente en el circuito que forman la U y la barra.
Al tener una corriente sobre la barra dentro de un
campo magnético aparecerá una fuerza sobre la
barra. Si la velocidad llega un momento que se hace
constante la fuerza debe estar dirigida hacia arriba.
l
y
B
Fm
P
Calculo la corriente que se induce en el circuito U-barra a partir de la variación
dΦ
d
⃗ . ⃗
⃗ son perpendiculares y por
=− ( ⃗
B · S)
del flujo magnético ε=−
B y S
dt
dt
⃗
tanto ⃗
B · S=B
·S . Además B es constante y lo único que varía es S=l· y . Por
d
dy
(B·l·y)=−B·l·
=−B·l·v . Por lo tanto la corriente que aparece
tanto ε=−
dt
dt
V B·l·v
en el circuito es I= =
. El signo negativo no nos importa ya que
R
R
simplemente expresa el hecho de que la corriente inducida se opone a la
variación en el flujo del campo B.
⃗ . ⃗l es un vector
La fuerza que aparecerá en la barra viene dada por F⃗m =I ⃗l x B
que tiene dirección y sentido de la corriente y cuyo módulo coincide con la
longitud de la barra. Los vectores ⃗
B y ⃗l son perpendiculares y por tanto
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|F⃗ |=I ·l· B=B ²r ·l ² · v
m
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. Para que esta fuerza esté dirigida hacia arriba la
corriente debe circular en sentido horario.
Por la segunda ley de Newton
∑ ⃗F=m ⃗a . En nuestro caso tenemos la fuerza
magnética dirigida hacia arriba y el peso hacia abajo. Tomando sentido positivo
B ²· l ² · v
dv
=m
hacia abajo la ecuación a lo largo del eje y queda m g−
.
R
dt
t
[(
v
dv
∫ dt=∫
B ²· l ²· v
0
0
g−
R·m
t=−
R·m
B² · l²
[(
ln g−
⇒
B² ·l ²· v
R·m
B ² ·l ²
B ²·l ²· v
−t
=ln 1−
R·m
R·m·g
(
v (t)=
−t·B ² ·l²
(1−e
B ²· l ²
R·m·g
R·m
B ²·l ² · v
t=−
ln g−
B²· l ²
R·m
R·m
)
)
−ln(g)
]
⇒
⇒
t=−
R·m
B ² ·l²
−t·B ²· l ²
R·m
e
=1−
[(
ln 1−
)]
v
⇒
0
B ² · l² · v
R·m·g
B ² ·l² · v
R·m·g
)]
⇒
⇒
)
La velocidad es una función decreciente con el tiempo y presenta una asíntota
horizontal. La velocidad límite vendrá dada por:
lim
t →∞
−t·B²· l²
(1−e
B ²· l²
R·m·g
R·m
10 · 1· 9.8
)= R·m·g
=
=43.6 m / s
B ²· l ²
3²· 0.5²
La velocidad límite también podría calcularse imponiendo la condición de que
B·l 2 · v
m·g·R
=0 ⇒ v=
esta se alcanza al anularse la aceleración ⇒ mg−
2
R
B·l
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