Ayudas a la interpretación. Inercia de una nube en CA. Vamos a

(tra-acs2)
Ayudas a la interpretación. Inercia de una nube en CA.
Vamos a resumir todos los elementos que intervienen en la inercia de la nube y
en su descomposición, analizándolos para los perfiles fila, a los perfiles columnas
le corresponderán las expresiones simétricas correspondientes. La matriz inicial
es: Xn×p siendo xij ; i = 1, . . . , n ; j = 1, . . . , p ; α = 1, . . . , p ; p =
rang(X)
1. Cuadrado de la distancia entre un perfil–fila i–ésimo, (perfil–
columna j), y el centro de gravedad de la nube, es la suma de
los cuadrados de las coordenadas de dichos perfiles sobre todos los ejes
factoriales.
!2
2
X
X
XX
p
f
1
f
ij
ij
p
− f.j u2αj =
− f.j
d2(i, c.g) =
Ψ2αi =
fi.
f.j
fi. f.j
α
α
j
j
2. Contribución de un perfil–fila i–èsimo, (perfil–columna j), a
la distancia χ2 entre dicho perfil y el centro de la nube, es el
cuadrado de la coordenada de dicho perfil sobre el eje factorial α–ésimo.
X
2
2
Ψαi ; −→ d (i, c.g) =
Ψ2αi
α
3. Inercia principal del eje α–ésimo o varianza de las proyecciones de los perfiles fila sobre el eje α–ésimo: es la suma de las
contribuciones de los perfiles–fila, (perfiles–columna), a la inercia del eje
factorial α–ésimo.
X
2
fi. Ψαi − Ψα
X
X
λα =
fi.Ψ2αi = i
fi.
i
i
4. Contribución de un perfil–fila i–èsimo, (perfil–columna j), a
la inercia de un eje α–ésimo.
X
2
fi.Ψαi ; −→ λα =
fi.Ψ2αi
i
5. Contribución ’absoluta’ del perfil–fila i–ésimo, (perfila columna
j–ésimo), a la inercia del eje α–ésimo: es la proporción de la inercia
principal del eje α–ésimo debida a la fila i–ésima, (columna j–ésima). Se
llama absoluta porque su valor está afectado por la masa de cada perfil.
X
X
fi.Ψ2αi
2
2
vαi
CTRα (i) =
= vαi ;
CTRα (i) =
=1
λα
i
i
6. Inercia de un perfil–fila i-ésimo, (perfil–columnaj-ésimo), o
Contribución absoluta del punto i a la inercia de la nube, o
Varianza de dicho perfil: es la suma de las contribuciones de cada eje
a la inercia del perfil–fila i–ésimo, (perfil–columna j–ésimo).
!2
X
X
X
p
fij
2
2
p − f.j
fi.Ψαi = fi.
=
CTRα (i)λα
In(i) = fi.d (i, c.g) =
f
f
i.
.j
α
α
j
7. Contribución del eje α–ésimo a la inercia del perfil–fila i–
ésimo, (perfil–columna) j–ésimo.
X
2
fi.Ψαi ; −→ In(i) =
fi.Ψ2αi
α
Coincide con la contribución de un perfil–fila o columna a la inercia de un
determinado eje principal.
8. Contribución relativa del eje α–ésimo a la inercia del perfil–
fila i–ésimo, (perfil–columna j–ésimo): es la proporción de la inercia del perfil–fila i–ésimo, (perfil–columna j–ésimo), debida al eje α–ésimo.
X
Ψ2αi
fi.Ψ2αi
fi.Ψ2αi
CORα (i) = 2
=X
=
;
CORα (i) = 1
2
d (i, c.g)
In(i)
fi.Ψαi
α
α
9. Calidad de un perfil–fila i–ésimo, respecto de los q primeros
ejes.
q
X
QLTq (i) =
CORα (i)
α=1
10. Inercia total: es la inercia de la nube de puntos fila o la inercia de la
nube de puntos columna.
X
XX
X
X
χ2
2
2
fi.d (i, c.g) =
λα =
fi.Ψαi =
In(i) =
In(I) = In(J) =
n
α
α
i
i
i
11. Contribución relativa del perfil–fila i–ésimo a la inercia total.
Los puntos con valores bajos en este parámetro, son o puntos muy ligeros
(con poca masa), o muy próximos al centro de gravedad de la nube. A
veces se mejora la claridad del análisis considerando esos puntos como
suplementarios.
X
fi.Ψ2αi
In(i)
fi.d2(i, c.g)
= α
=
CONTR(i) =
In(I)
In(I)
In(I)
12. Desviación relativa de inercia del perfil–fila i–ésimo al subespacio formado por los q primeros ejes. Es la razón entre la inercia
que no representa el punto y la inercia total no representada por el subespacio de dimensión q. Permite localizar los puntos mal representados a
veces de una manera más precisa que la QLTq (i), puesto que su valor es
bajo para los puntos próximos al centro de gravedad, sin que ésto ponga
en juego la calidad de su representación, en cambio DESVIAq (i) no tiene
ese problema.
fi.
fi.d2(i, proy(i))
=
DESVIAq (i) = X
2
fi.d (i, proy(i)) X
i
i
p
X
Ψ2αi
α>q
fi.
p
X
α>q
Ψ2αi