Ejercicios resueltos Bloque4. Cálculo

Bloque 4. Cálculo
Tema 7 Integral Definida
Ejercicios resueltos
4.7-1 Resuelve las siguientes integrales definidas:
a)
b)
2
 3 x dx
 e dx
2
0
1
x
0
e
1
dx
x
c)

d)
  x  2x
e)

1
1
2
1

 x 3  5 x 4 dx
1
3
dx
x 1
2 2x 1
f)  2
dx
1 x  x
g)
2
2

0
senxdx
1
dx
1  x2
5
1
i) 
dx
2 x 1  x  2



1
h)

j)

1
a)

2
b)

1
c)

e
d)
  x  2x
0
x
dx
0 1  x4
Solución
0
0
1
2
   
3 x 2 dx   x 3   23  03  8  0  8
0
   
1
e x dx  e x   e1  e 0  e  1
0
e
1
dx  ln x 1   ln e    ln 1   1  0  1
x
1
1
2
3
 x  5x
4

1
2
1
1

dx   x 2  x 3  x 4  x 5  
3
4
2
 1
2
4
10
1 2 1
 1 2 1
 2
    1     1  1  1   2 
3
3
3
2 3 4
 2 3 4  3
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 1
e)
1
3

x 1
2
 t  x 1
1
t1 2
1 2



 C  2 x 1  C
dx  
dt
t
dt
 

12
x 1
t
 dt  dx 
1

1
3

3
x 1
2
f)
dx

2
1

 

dx  2 x  1   2 2  2 1  2 2  2
2
2x 1
dx
x2  x
2x 1
2x 1
A
B
dx  
dx   dx  
dx
2
x
x   x  1
x
x 1
x
2x 1
A
B
 
 2 x  1  A   x  1  B  x
x   x  1 x x  1
x 0
1  A
  A  B 1
x  1  1   B 
2

1
21
2
2
2 x 1
1
dx   dx  
dx  ln x  ln x  1 1 
2
1
1
x x
x
x 1
  ln 2  ln 3    ln 1  ln 2   ln 2  ln 3  ln 2  ln 3
g)

2
0
1
senxdx    cos x 0    cos 2     cos 0   1  1  0
2
1


1
dx   arctagx 0   arctag1   arctag 0    0 
2
1 x
4
4
h)

i)
  x  1   x  2  dx
0
5
1
2
1
A
B
  x  1   x  2  dx   x  1 dx   x  2 dx
1
A
B


 1  A   x  2   B   x  1
 x  1   x  2  x  1 x  2
x  1  1  3A 
1
 A
x  2  1  3 B 
3
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
B
1
3
Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 2
1
5
1
5
1 
1
 1

dx  ln x  1  ln x  2  2 


2
3
 x 1 x  2 
  x  1   x  2  dx  3 
2

j)

1
0
5
1
1
1
1
1
2
1
ln 4  ln 7    ln 1  ln 4   ln 4  ln 7  ln 4  ln 4  ln 7

3
3
3
3
3
3
3
x
dx
1  x4
 t  x2  1
1
1
1
x

dx
dt  arctg  t   C  arctg x 2  C

 
2
 1  x4
2
2
 dt  2 xdx  2 1  t
 
1
x
1
1
1
1  1

dx  arctg  x 2     arctg 1    arctg  0       0 
4
0 1 x
0
2
2
2
2 4 2
8

1
4.7-2 Calcula el área de la región limitada por las siguientes gráficas:
a) y  x 1

y  0 ( EJE OX ) 

x 0


x 1


y  0 ( EJE OX ) 

x 0


x 2
c) y  x3


y  0 ( EJE OX ) 

x 1


x 2
b) y  x 2  1


y  x  2

y  0 ( EJE OX ) 
d ) y  x2
e) y  x2  x  2
f ) y  cos x

y  0 ( EJE OX ) 

x  2


x  3 2
g) y  x2 

yx 
h) y   x 2  6 x 

y  x 2  2 x 


y  0 ( EJE OX ) 

x 0


x 1
Solución
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos
3
a) y  x 1

y  0 ( EJE OX ) 

x 0


x 1
1
3
1
 1 
A    x  1 dx   x 2  x     1    0  
0
2
2
0  2 
1
4
3
2
1
y  x 1
-4
-3
-2
y 0
-1
1
2
3
4
-1
x0
x 1
-2
-3
-4


y  0 ( EJE OX ) 

x 1


x 2
b) y  x 2  1
A
2
1

2
10
 1  7
1
 8
x  1 dx   x 3  x     2     1    1 
3
3
1  3
 3  3
2

y  x2  1
5
4
3
2
1
y 0
-3
G3w
-2
-1
1
x 1
2
x2
3
-1
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 4


y  0 ( EJE OX ) 

x 0


x 2
c) y  x3
A
2
0
2
 1   16 
x dx   x 4      0  4
 4 0  4 
3
8
6
y  x3
4
2
x2
x 0
1
2
3
y0



y  0 ( EJE OX ) 
d ) y  x2
y  x  2
5
Puntos de corte:
4
3
x2   x  2  x2  x  2  0
y  x2
x  1, 2
1
0
y  x  2
1
y 0
-2
-1
2
A   x 2 dx     x  2  dx 
2
1
1
1
2
 x3   x2

    
 2x
 3 0  2
1
2
3 5
1
 
 1
 1
A    0    2  4      2     2  
2 6
3
 
 2
 3
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida
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Ejercicios resueltos 5


y  0 ( EJE OX ) 

x 0


x 1
e) y  x2  x  2
1
y  x2  x  2
y 0
-1.5
-1
0.5
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5
-1
-1.5
-2
x 1
x 0
-2.5
1
 x3 x2

 1 1
  13
A     x  x  2  dx    
 2 x       2   0  
0
2
  6
 3 2
3
0
1
2
f ) y  cos x

y  0 ( EJE OX ) 

x  2


x  3 2
x  2
x  3 2
1
y 0


2 
y  cos x
-1
A  
3 2
 2
G3w


3 2
 3
cos xdx    senx  2    sen 
 2

Conocimientos básicos de Matemáticas.

  
  sen  2      1  1  2

 
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Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
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Ejercicios resueltos 6
g) y  x2 

yx 
1.5
1.25
1
yx
0.75
y  x2
0.5
0.25
0.5
1
1.5
-0.25
-0.5
Puntos de corte:
x 2  x  x 2  x  0  x   x  1   0  x  0,1
1
 x 2 x 3   1 1   1
A    x  x  dx          0  
0
3  0  2 3   6
2
1
2
h) y   x 2  6 x 

y  x 2  2 x 
y   x2  6 x
8
Puntos de corte:
 x2  6 x  x2  2 x 
6
 2 x2  8 x  0  x   x  4   0
4
x  0, 4
A     x 2  6 x    x 2  2 x   dx 
0
4
y  x2  2 x
2
   2 x 2  8 x  dx 
4
0
-1
1
2
3
4
5
6
4
 x3
x2 
  2  8  
3
2 0

 128
  64
  
 64   0  
  3
 3
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 7
4.7-3 Calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor
del eje OX las siguientes gráficas:
c) y  3
y  0 

x  0
x  5 
1 2

x  2x

2

1

y x

2
a) y  1  x2 

x  1 

x 1

b) y  
Solución
x  1
a) y  1  x 

x  1 

x 1

2
y  1  x2
x 1
1
-1
1

 dx 
   1  2 x  x  dx 
1
1
2
V    1  x2
1
1
2
4
1
1
-1
1

2 x 3 x5 
  x 
  
3
5  1

2 1
 2 1

   1       1    
3 5
 3 5

4 2  16

  2     
3 5  15

-1
1 2

x  2x

2

1

y x

2
b) y  
y
2
1 2
x  2x
2
1.5
1
y
0.5
1
2
1
x
2
3
4
-0.5
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 8
Puntos de corte:
x2
x

 2 x    x 2  4 x  x  x 2  3 x  0  x   x  3   0  x  0, 3
2
2
Se calcula el volumen generado por la gráfica de arriba (volumen lleno) y
se le resta el volumen generado por la gráfica de abajo (volumen del
agujero):
2
2
4
2
3 x 
3 x
3 x
 x2


 2 x  dx     dx    
 2 x 3  4 x 2  dx   
V   
dx 
0
0
0
0 4
2
 2

 4

3
3
 x4
 x5 x 4 5 x3 
15 2 
 
 2 x3 

x  dx    
 
0
4
4 0
 4

 20 2
243  810  675
108
27
 243 81 135 
 


  0  

 

2
4 
20
20
5
 20
3
c) y  3
y  0 

x  0
x  5 
y3
x5
x0
y0
5
5
V     3  dx    9dx    9 x 0    45  0   45
0
G3w
2
5
0
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 9