Sistemas de ecuaciones. Tema3. Método de eliminación de Gauss

Bloque III. Sistema de ecuaciones
Tema 3 Método de eliminación de Gauss-Jordan
Ejercicios resueltos
III.3-1 Resolver los siguientes sistemas, utilizando el método de eliminación de Gauss:
2x  6 y 
a)
z

x  2y  z 
5x  7 y  4z 
2x
 3y
7

1 
9 
8

b ) 4 x  5 y  z  15 
2x
 4z 
1 

 z  2

c) 3 x  3 y  z  2
 z  0 
x
x
d)

y
2x
x  2y
 y  2z
z



y
z
t
 2t
 0
 0 

 0
 5 
 0

e ) x  2 y  3z  0 
3 x  5 y  7 z  1 

z
2x  6 y 
z
x

y
Solución
a)

x  2y  z 
5x  7 y  4z 
7  2 6 1   x   7 
 
    
1    1 2 1    y    1 
9   5 7 4   z   9 
1 |
7
2 6
 1 2 1 | 1  F  F 2 F

 F2  F1 
 2 2 1



1
2
1
|
1
2
6
1
|
7



 F 
F 5 F
 5 7 4 |


9
9  3 3 1

 5 7 4 |
Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA
Bloque III. Sistemas de ecuaciones. Tema 3. Método de eliminación de Gauss-Jordan
Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco
MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza
Ejercicios resueltos 1
1

0
0

2 1 |
2
3
1 0

0 1
0 0

1  F  F / 2  1 2
 2 2

9

0 1
F3  F3  3 F2 / 2  

14 
0 0
3 |
1 |
4
|
3/ 2 |
1 |
1
1  F  F  2 F
 1 1 2
9/2  
2
55 / 2  F3 11 F3
|
3/ 2 |
11 / 2 |
10  F  F  4 F  1 0 0 | 10   x  10
 1 1 3
 
9 / 2    0 1 0 | 3    y  3
3
5  F2  F2  2 F3  0 0 1 |
5   z  5
b)
2x
 3y
8  2
 
4 x  5 y  z  15    4
2x
1   2
 4z 
2

4

2
3 0 | 8  F  F 2 F  2 3 0 |
8  F  F 3 F
 2 2 1
 3 3 2
5 1 | 15    0
1 1 | 1  
F F  F
0 4 | 1  3 3 1  0
3 4 | 7 
2
F3  F3 3 F2

 0
0

3 0   x   8 
    
5 1    y    1 5 
0 4   z   1 

17

x
3 0 |
8 
2
 
1 1 | 1    y  3
0 1 | 4   z  4


c)
x  y  z  2   1 1 1   x   2 
 
    
3 x  3 y  z  2   3 3 1    y    2 
x
 z  0   1 0
1   z   0 
 1 1 1 | 2  F  F 3 F  1

 2 2 1
3
3
1
|
2


F
0
F3  F1 
3
1 0

1 | 0

0
F2  F3

1

0
0

1
1
0
1 |
0
1
2  F F
 2 3
4 | 4  
2 | 2 
1 |
2  x  1
 
2 | 2    y  0
4 | 4   z  1
Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA
Ana Isabel Allueva Pinilla
1
Bloque III. Sistemas de ecuaciones. Tema 3. Método de eliminación de Gauss-Jordan
– José Luis Alejandre Marco
MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza
Ejercicios resueltos 2
d)
2x 
x  2 y 
y 
 2

 1
 0
 0

2z
z
y
z
 t
 2t
1
2
0
1
1
0
2
1
2 1
3 2
 0   2 1
0


 0   1 2 1

 0   0 1
2


 5   0 0 1
0 | 0
 1
 F1  F2 
0 | 0
 2
1 | 0    0

 0
2 | 5 

 1

 0
 0
 0

1
0
2
1
| 0
 1
 F2  F3 
| 0
 0
1 | 0    0

 0
2 | 5 

 1

 0
 0
 0

2
1
0
0
1
2
4
1
0
1
3
2
 1

 0
 0

 0
2
1
1
2
1
0
0 | 0  t  4

1 | 0   z  3

2 | 5  y  2

5 | 20   x  1
0
0
0
0
|
|
|
|
0
 1
 F3  F4 
0
 0
0   0

 0
5 

2
1
1
0
1
0
2
1
2
1
1
2
2
1
0
0
3 2
0 1
1
2
1
4
0  x  0
    
0  y  0


1   z   0 
    
2   t   5 
0 | 0

0 | 0  F2  F2 2 F1
1 | 0  

2 | 5 
0 | 0

1 | 0  F3  F3 3 F2
0 | 0 

2 | 5 
0
1
2
3
|
|
|
|
0

0  F4  F4  4 F3
5 

0 
e)
x  y  z  0  1 1 1   x   0 
 
    
x  2 y  3z  0    1 2 3    y    0 
3 x  5 y  7 z  1   3 5 7   z   1 
 1 1 1 | 0  F  F  F  1 1 1 | 0  F  F 2 F  1 1 1 | 0 

 2 2 1
 3 3 2

1
2
3
|
0
0
1
2
|
0


 F  F 3 F 
  0 1 2 | 0
3 5 7 | 1 3 3 1 0 2 4 | 1
0 0 0 | 1






 NO EXISTE SOLUCION
Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA
Bloque III. Sistemas de ecuaciones. Tema 3. Método de eliminación de Gauss-Jordan
Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco
MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza
Ejercicios resueltos 3
III.3-2 Estudiar y resolver cuando sea posible, los siguientes sistemas:
 z  2

a ) 3 x  3 y  z  2
x  z  0 
b)
x

x
2 y 5 z
y
t
2u 
y
2 z  t
2 x 3 y 4 z 2t
4 u 
u 
c)
x  2 y  3z
 2x  z
 x  y
 2 y  4z
d)
x
 y 3t  u
 y 2 z  t
x
4 x 2 y 6 z 3t 4 u
2 x 4 y 2 z 4 t 7u
3 

1
9 
0
3 

0
4 




3 
1 

3
4 




Solución
a)
x  y  z  2   1 1 1   x   2 
 
    
3 x  3 y  z  2   3 3 1    y    2 
x  z  0   1 0
1   z   0 
 1 1 1 | 2  F F 3 F

 2 2 1
3
3
1
2
|


F
1 0
 3 F3  F1
1
0
|


1

0

0
1
0
1
1 |
2

4 | 4 
2 | 2 
rango  A   3
Sistema


 rango  A | B   3  rango  A   rango  A | B   3  compatible

determinado

variables  3
x  y  z  2  x  1
 
z  1   y  0
 y  2 z  2   z  1
2 y 5 z  t
y
2 z  t
2 x 3 y 4 z 2t
x
b)
Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA
Ana Isabel Allueva Pinilla
2 u 
4 u 
u 
3 

1
9 
Bloque III. Sistemas de ecuaciones. Tema 3. Método de eliminación de Gauss-Jordan
– José Luis Alejandre Marco
MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza
Ejercicios resueltos 4
2
1

 0
1
 2 3

1

0
2

5
2
4
2
5
1
3
2
4
F3  F3  7 F2

 x
1
2   y   3 

 
1 4    z    1 
 
2 1   t   9 
u
 
1
2 | 3  F  F 2 F  1
2 5
 3 3 1
1 4 |
1  0
1 2
 0 7 14
2 1 |
9 

1
2 | 3 

1 4 | 1 
4 5 | 15 
2 | 3 
 1 2 5 1


 0 1 2 1 4 | 1  
 0 0 0 11 33 | 22 


rango  A   3
Sistema


rango  A | B   3  rango  A   rango  A | B   3  5  compatible

indeterminado

variables  5
x  2 y  5 z  t  2u  3 t  2  3u
 
y  2 z  t  4 u  1   y  2 z  u  1
t  3u  2   x  z  u  1
c)
x  2 y  3z
 2x  z
 x  y
 2 y  4z
 1

 2
 1
 0

2
0
1
2
2
1

 0 2
0 3
 0 4





0  1

3   2

0   1

4   0
3 |
0
1
 F2  F2 2 F1 
1 | 3 
0

0 |
0  F3  F3  F1  0

 0
4 |
4 

3 |
4 |
3 |
0  1  1
F  F 
4 2 2 2 0
0   0

 0
7 | 3 

Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA
2
0
1
2
2
4
3
2
3 
 0
  x  
1     3 
 y 
0     0 
  z   
4 
 4
3 |
0

7 | 3  F4  F2
3 |
0 

4 |
4 
2 3 |
0

1 2 | 2  F3  F3 3 F2
3 3 |
0  F4 
F4  4 F2

4 7 | 3 
Bloque III. Sistemas de ecuaciones. Tema 3. Método de eliminación de Gauss-Jordan
Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco
MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza
Ejercicios resueltos 5
1

0
0

0
2 3 |
0
1
 F3  F4 
1 2 | 2 
0

0
0
3 |
6


0
1 |
5
0
2 3 |
0
1
 F4  F4 3 F3 
1 2 | 2 
0

0
0
1 |
5


0
3 |
6
0
2 3 |
0

1 2 | 2 
0
1 |
5

0
0 | 9 
rango  A   3

Sistema
 rango  A | B   4  rango  A   rango  A | B   
incompatible


3
variables

d)
1

1
4
 2

y
y
3t
2 z
4 x 2 y 6 z
2 x 4 y 2 z
3t
4 t
x
x
1
1
2
4
0
2
6
2
3
1
3
4
1
0
4
7
u
t
4 u
7 u




| 3 
1
0
1
 F2  F2  F1 
| 1 
2
 0 2

|
3  F3  F3  4 F1  0 6
6
 F  F 2 F 

|
4 4 4 1 0
2 2
1
1

F3  F3  3 F2
 0 2

0
F4  F4  F2  0

0 0
0 3 1
2
2
1
0 9 3
0 12 4
|
|
|
|
1
1

F4  F4  F3
0 2
  0 0
 0 0

0
2
0
0
| 3 

|
2

|
3

|
0 
3
2
3
0
3 
1 

3
4 
1
1
1
0
3  1  1
1
 F3  3 F3 
2
 0 2

9  F 1 F  0 0
 4 4 4 
12 
0 0
3
2
15
10
0
2
0
0
1
1
0
5
|
|
|
|
3 

2
15 

10 
3 1 | 3 

2
1 |
2
3 1 |
3

3 1 |
3 
rango  A   3
Sistema


rango  A | B   3  rango  A   rango  A | B   3  5  compatible

indeterminado

variables  5
7t  2 z  7

x 
2
x  y  3t  u  3 
2 z  5t  5
 
2 y  2 z  2 t  u  2    y 
2
3t  u  3 
 u  3t  3


Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA
Bloque III. Sistemas de ecuaciones. Tema 3. Método de eliminación de Gauss-Jordan
Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco
MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza
Ejercicios resueltos 6
III.3-3 Estudiar y resolver, cuando sea posible, los siguientes sistemas en función del
valor de los parámetros:
 2z  2

a ) 2 x  3 y  z  5
3 x  4 y  z  c 

x
0

z  2  0
y  az  b 
x 
x 
x

1

 ay  z  a 
 y  az  a 2 
ax 
x
1
y 
b) x 
c)
y
y

z

Solución
a)
x
 2z  2  1 1
 
2 x  3 y  z  5   2 3
3 x  4 y  z  c   3 4

y
2  x  2
    
1    y    5 
1   z   c 
1 1

2 3

3 4
2 | 2  F  F 2 F  1 1
2 |
2  F F F  1 1
2 |
2 
 2 2 1
 3 3 2

1    0 1 5 |
1 
1 | 5    0 1  5 |
F  F 3 F
0 0
1 | c  3 3 1  0 1 5 | c  6 
0 | c  7 

rango  A   2

i ) Si c  7  rango  A | B   3  rango  A   rango  A | B 

variables  3
Sistema

incompatible
rango  A   2

ii ) Si c  7  rango  A | B   2  rango  A   rango  A | B   2  3

variables  3
Sistema
x  y  2z  2


 compatible
y  5z  1
indeterminado

Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA
Ana Isabel Allueva Pinilla
  x  1  7z
 
  y  5z  1
Bloque III. Sistemas de ecuaciones. Tema 3. Método de eliminación de Gauss-Jordan
– José Luis Alejandre Marco
MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza
Ejercicios resueltos 7
b)
0  1 1
 
z  2  0   1
0


y  az  b  1
1
x 
y 
x 
x 
1 1

0
1
1
1

F3  F3  2 F2

1

0 | 1  F  F  F  1
 2 2 1
1 | 2    0
F F F
a | b  3 3 1  0
1

0
0

1
1
2
0   x   1 
    
1    y    2 
a   z   b 
0 |
1  F  F  2 F
 3 3 2
1 | 1  
a | 1  b 
0 | 1 
1

1 1 | 1  
0 a  2 | 3  b 
rango  A   3

i ) Si a  2  rango  A | B   3  rango  A   rango  A | B   3

variables  3
1  2a  b

x 
a 2
x  y  1 
Sistema
 
1a b

y  z  1   y 
 compatible 
a2
determinado
 a  2  z  3  b   3  b

z  a  2

ii ) Si a  2  rango  A   2
) Si b  3  rango  A | B   3
rango  A   2

Sistema
rango  A | B   3  rango  A   rango  A | B   
incompatible

variables

3

) Si b  3  rango  A | B   2
rango  A   2

rango  A | B   2  rango  A   rango  A | B   2  3

variables  3
Sistema
x  y  1  x  z  2

 compatible

 
y  z  1  y  z  1
indeterminado

Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA
Ana Isabel Allueva Pinilla
Bloque III. Sistemas de ecuaciones. Tema 3. Método de eliminación de Gauss-Jordan
– José Luis Alejandre Marco
MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza
Ejercicios resueltos 8
1  a
 
 ay  z  a    1
 y  az  a 2   1
ax 
c)
x
x
y

z

1
1  x  1 
    
a 1  y    a 
1 a   z   a 2 
 a 1 1 | 1  F  F  1 a 1 | a  F F aF

 1 2
 2 2 1
1
a
1
|
a
a
1
1
|
1


 
 1 1 a | a2 
 1 1 a | a 2  F3  F3  F1




a
1
|
a  F F  1
a
1
|
a  F  F 1 a  F
1
2
2
3


 3 3
2
2 
2
0
1
a
1
a
|
1
a
0
1
a
a
1
|
a
a










 0 1  a a 1 | a2  a 
 0 1  a2 1  a | 1  a2 




 2
a  1
a  a  2  0  

1

a
1
|
a
a  2




a 1
a2  a
|
0 1 a




2
a 1
0
a 2  a  2 | 1  a  1  a  
1  a 2 1  a   0  
0

a  1
i ) Si a  1, 2 
 rango  A   3
Sistema


 rango  A | B   3  rango  A   rango  A | B   3  compatible


determinado
variables  3
rango  A   1

ii ) Si a  1  rango  A | B   1  rango  A   rango  A | B   1  3

variables  3
Sistema
1 1 1 | 1 



 compatible
 0 0 0 | 0  x  y  z 1  x 1 y  z
indeterminado
0 0 0 | 0



rango  A   2

iii ) Si a  2  rango  A | B   3  rango  A   rango  A | B 

variables  3
1
Sistema

  0
incompatible

0

Matemáticas. Primer curso del Grado de CTA
2
3
0
1 | 2 

3 | 6 
0 | 3 
Bloque III. Sistemas de ecuaciones. Tema 3. Método de eliminación de Gauss-Jordan
Ana Isabel Allueva Pinilla – José Luis Alejandre Marco
MATEMÁTICA APLICADA - Universidad de Zaragoza
Ejercicios resueltos 9