Principio de inducción Matemática

Universidad Nacional de Rosario
Facultad de Ciencias Económicas y Estadística
Ejercicios complementarios del libro “ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA PARA CIENCIAS
ECONÓMICAS”
Sagristá R.,Koegel L. y otros autores
Capítulo 2: “Principio de Inducción – Análisis combinatorio – Binomio de
Newton”
1.
Escribe usando el símbolo de sumatoria:
a) 1+4+9+.............+121
b) 122+2222+3223+4224
c)
2.
1 3 5 7
9
+ + + + .
4 6 8 10 12
Calcula las siguientes sumas
10
a)
∑ ( k + 2)
k =1
8
b)
∑ (3 − 5 j )
j =3
6
c)
∑ (−1)
k
2k
k =1
3.
Demuestra utilizando el principio de Inducción Matemática
3
n ( n + 1)
2
1
b) 13 + 23 + 33 + .......... + n3 = n 2 ( n + 1) 2
4
1
1
1
1
n
c)
+
+
+ ... +
=
1 .2 2 .3 3 .4
n( n + 1) n + 1
n −1
d) 1 + 2 + 4 + ... + 2 = 2 n − 1
a) 3 + 6 + 9 +........ + 3n
=
4. En un negocio se venden, como oferta, bolsas que contienen 5 productos a un precio
menor que si se compran por separado. Si estas bolsas se pueden preparar eligiendo de 4
productos que se comercializan a un precio A y de 7 productos que se comercializan a un
precio B y cada bolsa debe contener tres productos del precio A y 2 del precio B.
¿Cuántas posibilidades de elección tiene el comprados?
5. En una fábrica hay varios centros de almacenamiento, cada uno de los cuales está
unido a los demás por una cinta transportadora. Calcula el número de centros de la fábrica
si se sabe que el número de cintas transportadoras es 66.
Autoras: Luciana Calderón – Marías de los Ángeles Fernández – Lidia Nieto
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6. De cierto número de rectas coplanarias se sabe que no hay tres de ellas que concurran
en el mismo punto y no hay ninguna pareja de rectas paralelas. Esas rectas producen 45
puntos al cortarse. ¿De cuántas rectas estamos hablando?
7. En un club de fútbol hay 23 jugadores, de los que 3 son arqueros. ¿Cuántas
alineaciones diferentes puede hacer el entrenador si cualquiera de los jugadores de campo
puede jugar como defensa, medio o delantero?
8. Recordando que una diagonal de un polígono convexo es el segmento que une dos
vértices no consecutivos ¿cuántas diagonales se pueden trazar en un octógono convexo?
9. Averigua cuántas guardias de cinco personas se pueden programar con 15 soldados,
con la condición de que el más antiguo de ellos ha de participar en todas.
10. Calcula n ∈ N que verifique:
a) An , 2 = 6.C n ,3
b) C n , 4 = C n − 2, 2
c)
C n ,5
C n,6
=
2
3
11. Determina el valor de x sin desarrollar los números combinatorios. Justifica.
 39   39 
 = 

a) 
5 + 2x   2x − 2
8  8   9 
b)   +   =  
 3  x   4 
12. Calcula el valor de x para que el término cuarto de (x4 – 3)6 sea igual a 20.
13. En el desarrollo de (x2 – ½ )6, determineel valor que debe asumir x para que el
término central sea igual a (–5/2).
14. Determine el séptimo término y el coeficiente del cuarto término del desarrollo de
10
 2


− 1 .
 x

15. ¿A qué potencia fue elevado el binomio (x3 + 3) para que el grado del término
séptimo sea igual a 18?
Autoras: Luciana Calderón – Marías de los Ángeles Fernández – Lidia Nieto
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Respuesta a los ejercicios propuestos:
1.
11
a) ∑ k 2
k =1
4
b) ∑ k 2 2 k
k =1
2k − 3
2k
k =2
6
c) ∑
2.
a) 75
b) -147
c) 21
4. El comprador tiene 84 posibilidades de elección
5. El número de centros de la fábrica es 12
6. El número de rectas es10
7. El número de alineaciones diferentes es 554268
8. El número de diagonales de un octógono es 20
9. El número de guardias que se pueden programar es 2002
10.
a) n = 2
b) n = 4
c) n =11
11.
a) x = 9
b) x = 4
12. x = −
1
4
3
13. x = ±1
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14. T7 =
3360
, coeficiente pedido: − 15360
x2
15. n = 12
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Ejercicios resueltos
1.
Escriba usando el símbolo de sumatoria:
122+2222+3223+4224
La suma expresada está formada por cuatro términos, cada uno de los cuales es el producto de
dos potencias. El primer factor de cada uno de estos términos tiene el exponente constante e
igual a dos y la base varía de uno a cuatro. El segundo de los factores, en cambio, es una
potencia de base constante e igual a dos y el exponente varía, nuevamente de uno a cuatro. Si
utilizamos el símbolo sumatoria, tal como lo exige la consigna, esta suma se puede escribir:
4
∑i
2
2i
i =1
2.
Calcule las siguientes sumas
8
∑ (3 − 5 j )
j =3
Reemplazamos a j por los números naturales comprendidos entre dos y nueve, por lo que
podemos escribir:
8
∑ (3 − 5 j ) = (3 − 5.3) + (3 − 5.4) + (3 − 5.5) + (3 − 5.6) + (3 − 5.7) + (3 − 5.8) = −147
j =3
3.
Demuestre, utilizando el principio de Inducción Matemática
13 + 23 + 33
+ .......... + n 3
=
1 2
n ( n + 1) 2
4
Primero: Consideramos n=2, pues para n=1, no tenemos suma.
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Entonces si n=2:
El primer miembro es: 13 + 2 3 = 9 y el segundo miembro es:
1 2
2
⋅ 2 .(2 + 1) = 9
4
Por lo que P(2) es cierta.
Segundo:
Para n=k
Hipótesis)
13 + 23 + 33
1
4
+ .......... + k 3 = k 2 (k + 1) 2
Para n= k+1
Tesis)
13 + 23 + 33
1
2
+ .......... + k 3 + (k+1)3 = ( k + 1) 2 (k + 2 ) (1)
4
Demostración:
Para demostrar la proposición partimos del primer miembro de (1), donde los primeros “k”
términos son reemplazados por la igualdad que establece la hipótesis de inducción:
13 + 23 + 33
+ .......... + k 3 + (k+1)3=
1 2
1
 1
k (k + 1) 2 + (k + 1) 3 = (k + 1)2  k 2 + k + 1 = (k + 1)2 (k + 2)2
4
4

 4
(2)
(2) Se extrae factor común
(3) Se factoriza la expresión del segundo paréntesis
Luego P(n) es verdadera
Autoras: Luciana Calderón – Marías de los Ángeles Fernández – Lidia Nieto
(3)
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5.
En una fábrica hay varios centros de almacenamiento, cada uno de los cuales está
unido a los demás por una cinta transportadora. Calcula el número de centros de la fábrica si
se sabe que el número de cintas transportadoras es 66.
Dado que cada centro de almacenamiento se encuentra comunicado con los demás por una
cinta transportadora, notamos que por ejemplo, la cinta que une el centro dos con el tres es la
misma que la que une el centro tres con el dos, por lo que podemos afirmar que se trata de
conjuntos no ordenados. Planteamos entonces la ecuación:
C n, 2 = 66
⇒
n( n − 1)
= 66
2!
⇒
n 2 − n = 132
⇒
n = 12
Nota: Tomamos sólo la solución positiva de la ecuación, pues n es un número natural.
Luego el número de centros de almacenamiento es 12.
Recordando que una diagonal de un polígono convexo es el segmento que une dos
8.
vértices no consecutivos ¿cuántas diagonales se pueden trazar en un octógono
convexo?
Dado que la diagonal de un polígono es un segmento, para resolver este problema debemos
utilizar la fórmula de combinaciones.
Así el número de diagonales de un polígono convexo de n lados es C n,2 − n
En el caso de un octógono será:
C 8, 2 − 8 = 28 − 8 ⇒
10.
el número de diagonales es 20.
Calcule n ∈ N que verifique:
C n , 4 = C n − 2, 2
Aplicamos la fórmula:
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C n,k =
An , k
k!
a ambos miembros, con lo que obtenemos:
n(n − 1)(n − 2)(n − 3) (n − 2)(n − 3)
=
24
2
Simplificando y operando, se obtiene:
n(n − 1) = 12 ⇒
11.
n 2 − n − 12 = 0 ⇒
n=8
Determina el valor de x sin desarrollar los números combinatorios. Justifica.
 39   39 

 = 

 5 + 2x   2x − 2 
Se trata de dos números combinatorios complementarios, por lo que la suma de los
denominadores debe ser igual al numerador común.
5 + 2 x + 2 x − 2 = 39
13.
⇒ 4 x = 36 ⇒
x=9
En el desarrollo de (x2 – ½ )6, determine el valor que debe asumir x para que el
término central sea igual a (–5/2).
El desarrollo tiene siete términos, por lo que el término central es el número cuatro. Utilizando
la fórmula:
 n  n −k +1 k −1
a
Tk = 
b
 k − 1
planteamos la ecuación:
3
( )
 6 2 3  1 
5
  x  −  = −
2
 2
 3
− 20 x 6
5
=−
8
2
x6 =1
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x = ±1
15. ¿A qué potencia fue elevado el binomio (x3 + 3) para que el grado del término
séptimo sea igual a 18?
La potencia del término k – ésimo depende únicamente de la potencia del primer término del
binomio dado, por lo que se verifica:
3( n − 7 + 1) = 18 ⇒
3n = 36
⇒
n = 12
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