Algebra de Boole

Matemáticas Discretas
Oscar Bedoya
[email protected]
http://eisc.univalle.edu.co/~oscarbed/MD/
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Algebra de Boole
Operadores
Expresiones y funciones booleanas
Identidades del álgebra booleana
Expresiones duales
Forma normal disyuntiva y conjuntiva
Algebra Booleana
George Boole
• Publicó The Laws of thought,
su trabajó más famoso
• Allí presentó el álgebra de
boole
• Boole escribió textos sobre
ecuaciones diferenciales
• Su trabajo fue utilizado 100
años más tarde, por Shanon,
como la base de lo que sería
un computador
(1815-1864)
Algebra Booleana
Claude Shanon
• Creo Theseus, un
laberinto de 25 cuadros
reajustable en el que
colocaba un ratón
magnético capaz de
aprender acerca del mundo
• Fue de los primeros en
crear un programa que
jugara ajedrez
• Creó el número de Shanon,
10120
(1916-2001)
Algebra Booleana
Algebra de Boole
• Proporciona las operaciones y las leyes para trabajar con
el conjunto {0,1}
Algebra Booleana
Algebra de Boole
• Conjunto
{0,1}
• Operaciones
Complemento
Suma Booleana
Producto Booleano
Algebra Booleana
• Complemento
0 =1
1 =0
Algebra Booleana
• Suma booleana (+, OR)
1+1=1
1+0=1
0+1=1
0+0=0
Algebra Booleana
• Producto booleano (  , AND)
11=1
10=0
01=0
00=0
Algebra Booleana
Expresiones booleanas
Se aplican los operadores para conoce el valor resultante
de una expresión
10+(0+1)
Algebra Booleana
Expresiones booleanas
Se aplican los operadores para conoce el valor resultante
de una expresión
10+(0+1)=10+(1)
=10+0
=0+0
=0
Algebra Booleana
Encuentre el valor de las siguientes expresiones booleanas:
•
1  1 + (0  1)
•
1+01
Algebra Booleana
Encuentre el valor de las siguientes expresiones booleanas:
•
1  1 + (0  1) = 0
•
1+01 =0
Algebra Booleana
Variable booleana
Una variable x es booleana si toma valores en el conjunto B,
donde B={0,1}
Algebra Booleana
Funciones booleanas
Una función que va de Bn={(x1,x2,…,xn)|xiB,1in} a B, se
conoce como una función booleana de grado n
Algebra Booleana
Funciones booleanas
Una función que va de Bn={(x1,x2,…,xn)|xiB,1in} a B, se
conoce como una función booleana de grado n
x
y
F(x,y) = x  y + y
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
Algebra Booleana
Funciones booleanas
Una función que va de Bn={(x1,x2,…,xn)|xiB,1in} a B, se
conoce como una función booleana de grado n
x
y
x
y
xy
F(x,y) = x  y + y
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
Algebra Booleana
Encuentre los valores de la función booleana representada
por F(x,y)= (x + y)  (x + y)
Algebra Booleana
Encuentre los valores de la función booleana representada
por F(x,y)= (x + y)  (x + y)
x
y
x
y
x+y
x+y
x+y
F(x,y)
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
Algebra Booleana
Encuentre los valores de la función booleana representada
por F(x,y,z)= xy + z
Algebra Booleana
Encuentre los valores de la función booleana representada
por F(x,y,z)= xy + z
x
y
z
z
xy
F(x,y)=xy + z
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
Algebra Booleana
Encuentre los valores de las funciones booleanas
F(x,y)=(xy) y F(x,y)=x + y
Algebra Booleana
Encuentre los valores de las funciones booleanas
F(x,y)=(xy) y F(x,y)=x + y
x
y
x
y
xy
xy
x+y
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
Algebra Booleana
Encuentre los valores de las funciones booleanas
F(x,y)=(xy) y F(x,y)=x + y
x
y
x
y
xy
xy
x+y
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
Algebra Booleana
Encuentre los valores de las funciones booleanas
F(x,y)=x(x+y) y F(x)=x
x
y
x+y x(x+y)
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
Algebra Booleana
Encuentre los valores de las funciones booleanas
F(x,y)=x(x+y) y F(x)=x
x
y
x+y x(x+y)
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
Algebra Booleana
Identidades del algebra booleana
Identidad
x=x
x+x=x
xx=x
x+0=x
x1=x
x+1=1
x0=0
Nombre
Ley del doble complemento
Leyes de idempotencia
Leyes de identidad
Leyes de dominancia
Algebra Booleana
Identidades del algebra booleana
Identidad
Nombre
x+y=y+x
xy=yx
x+(y+z)=(x+y)+z
x (yz)=(xy) z
Leyes conmutativas
x+yz=(x+y)(x+z)
x(y+z)=xy+xz
(xy)= x + y
(x+y)=x  y
Leyes distributivas
Leyes asociativas
Leyes de De Morgan
Algebra Booleana
Identidades del algebra booleana
Identidad
x+xy=x
x(x+y)=x
x+x=1
xx=0
Nombre
Ley de absorción
Ley del inverso para el 1
Ley del inverso para el 0
Algebra Booleana
Pruebe la ley distributiva
x+yz=(x+y)(x+z)
mostrando la tabla con los posibles valores x,y,z
Algebra Booleana
x+yz=(x+y)(x+z)
x
y
z
yz
x+yz
(x+y)
(x+z)
(x+y)(x+z)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Algebra Booleana
Probar la ley de absorción
x(x+y)=x
usando las leyes del álgebra booleana
Algebra Booleana
x(x+y)= (x+0)(x+y) , ley de identidad
=x+0y
, ley distributiva
=x+y0
, ley conmutativa
=x+0
, ley de dominancia
=x
, ley de identidad
Algebra Booleana
Expresión Dual
Dada una expresión booleana E, la expresión dual se obtiene
intercambiando entre sí la suma y el producto, y los 0’s con
los 1’s
Algebra Booleana
Expresión Dual
Dada una expresión booleana E, la expresión dual se obtiene
intercambiando entre sí la suma y el producto, y los 0’s con
los 1’s
x  (y+0) tiene como expresión dual a
x + (y  1)
x 1 + (y+z) tiene como expresión dual a (x+0)( y  z )
Algebra Booleana
Muestre el dual de las siguientes expresiones
• x  (x + 0)
• (x + 1)  (x  0)
• (x  0) + (x  1) + (x + 1)
Algebra Booleana
Muestre el dual de las siguientes expresiones
• x  (x + 0) = x + (x  1)
• (x + 1)  (x  0) = (x0)+(x+1)
• (x  0) + (x  1) + (x + 1) = (x+1)  (x+0)  (x+0)
Algebra Booleana
Principio de dualidad
Una igualdad entre funciones booleanas sigue siendo válida
cuando se toman duales a ambos lados de la igualdad
Algebra Booleana
Principio de dualidad
Una igualdad entre funciones booleanas sigue siendo válida
cuando se toman duales a ambos lados de la igualdad
• Dada la igualdad x(x+y)=x, aplicando el principio de
dualidad se tiene que
x  (x+y) = x
Algebra Booleana
Principio de dualidad
Identidad
Nombre
x+y=y+x
xy=yx
x+(y+z)=(x+y)+z
x(yz)=(xy) z
x+yz=(x+y)(x+z)
x(y+z)=xy+xz
Leyes conmutativas
(xy)= x + y
(x+y)=x  y
Leyes de De Morgan
Leyes asociativas
Leyes distributivas
Algebra Booleana
Problema: dados los valores de una función booleana,
determinar una expresión que la represente
Algebra Booleana
x
y
x
xy
F(x,y)
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
¿Cuál es la expresión booleana
asociada a F(x,y)?
Algebra Booleana
x
y
x
xy
F(x,y)=x + xy
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
Algebra Booleana
Mintérmino
Un mintérmino de las variables x1,x2,…,xn es el producto
booleano y1y2…yn donde yi=xi ó yi=xi
Algebra Booleana
• Suponga que
x1=0
x2=1
x3=0
x4=1
x5=1
• A continuación se muestran algunos mintérminos:
x1x2x3x4x5
x1x2x3x4x5
x1x2x3x4x5
x1x2x3x4x5
Algebra Booleana
• Suponga que
x1=0
x2=1
x3=0
x4=1
x5=1
• A continuación se muestran algunos mintérminos:
x1x2x3x4x5
x1x2x3x4x5
x1x2x3x4x5
x1x2x3x4x5
Indique el valor de
cada mintermino
Algebra Booleana
• Suponga que
x1=0
x2=1
x3=0
x4=1
x5=1
• A continuación se muestran algunos mintérminos:
x1x2x3x4x5 (0)
x1x2x3x4x5 (0)
x1x2x3x4x5 (1)
x1x2x3x4x5 (0)
Algebra Booleana
• Suponga que
x1=1
x2=0
x3=1
x4=1
x5=0
• Indique el mintérmino que tiene como valor 1
Algebra Booleana
• Suponga que
x1=1
x2=0
x3=1
x4=1
x5=0
• Indique el mintérmino que tiene como valor 1
x1x2x3x4x5
Algebra Booleana
• Suponga que
x1=0
x2=0
x3=0
x4=0
x5=1
• Indique el mintérmino que tiene como valor 1
Algebra Booleana
• Suponga que
x1=0
x2=0
x3=0
x4=0
x5=1
• Indique el mintérmino que tiene como valor 1
x1x2x3x4x5
Algebra Booleana
x
y
F(x,y)
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
¿Cuáles son los mintérminos que
permiten obtener 1’s en F(x,y)?
Algebra Booleana
x
y
F(x,y)
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
• Mintérminos que tienen como valor 1:
xy
xy
xy
Algebra Booleana
x
y
F(x,y)
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
• F(x,y)= x  y + x  y + x  y
Algebra Booleana
x
y
F(x,y)
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
• F(x,y)= x  y + x  y + x  y
=xy +x(y+y)
=xy +x1
=xy +x
Algebra Booleana
• Obtenga una expresión booleana para la función F(x,y,z)
x
y
z
F
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
Algebra Booleana
x
y
z
F
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
F(x,y,z) = x  y  z
Algebra Booleana
• Obtenga una expresión booleana para la función G(x,y,z)
x
1
1
1
1
0
0
0
0
y
1
1
0
0
1
1
0
0
z
1
0
1
0
1
0
1
0
G
0
1
0
0
0
1
0
0
Algebra Booleana
x
y
z
G
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
G(x,y,z) = (x  y  z) + (x  y  z)
Algebra Booleana
Forma normal disyuntiva (FND)
La forma como se obtiene la expresión permite que se
tengan sumas de mintérminos, lo cual se conoce como
expansión suma de productos
Algebra Booleana
Forma normal disyuntiva (FND)
La forma como se obtiene la expresión permite que se
tengan sumas de mintérminos, lo cual se conoce como
expansión suma de productos
•xy +xy +xy
• (x + y)  (y + x)
• (x + y)  z
•xy+xy
Algebra Booleana
Forma normal disyuntiva (FND)
La forma como se obtiene la expresión permite que se
tengan sumas de mintérminos, lo cual se conoce como
expansión suma de productos
• x  y + x  y + x  y , está en FND
• (x + y)  (y + x)
, no está en FND
• (x + y)  z
, no está en FND
•xy+xy
, está en FND
Algebra Booleana
Forma normal disyuntiva (FND)
La forma como se obtiene la expresión permite que se
tengan sumas de mintérminos, lo cual se conoce como
expansión suma de productos
•xy +xy +xy
• (x + y)  (y + x)
• (x + y)  z
•xy+xy
Convertir a FND
Algebra Booleana
Convertir a forma normal disyuntiva (FND)
• Se completa la tabla con las variables booleanas y se
obtiene la expresión para F como sumas de mintérminos
• Se pueden aplicar las leyes del álgebra booleana
Algebra Booleana
x
y
z
x+y
z
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
(x+y)  z
0
1
0
1
0
1
0
0
Algebra Booleana
x
y
z
x+y
z
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
(x+y)  z
0
1
0
1
0
1
0
0
F(x,y,z) = (x  y  z) + (x  y  z) + (x  y  z)
Algebra Booleana
Convertir a FND:
(x + y  z)  (x + y)
Algebra Booleana
Convertir a FND:
(x + y  z)  (x + y)
x y z
y
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
yz x + yz
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
x+y
x+y
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
(x + yz)  (x+y)
0
0
0
0
0
0
1
0
Algebra Booleana
F(x,y,z) = (x  y  z)
x y z
y
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
yz x + yz
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
x+y
x+y
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
(x + yz)  (x+y)
0
0
0
0
0
0
1
0
Algebra Booleana
Forma normal conjuntiva (FNC)
Se presenta cuando la expresión se muestra como una
expansión de productos de sumas
Algebra Booleana
Forma normal conjuntiva (FNC)
Se presenta cuando la expresión se muestra como una
expansión de productos de sumas
• (x + y)  (y + x)
, está en FNC
• (x  y) + (x  y)
, no está en FNC
• (x + y + z)  (x + y)  (x + y) , está en FNC
Algebra Booleana
Forma normal conjuntiva (FNC)
• Se presenta cuando la expresión se muestra como una
expansión de productos de sumas
• Se calcula encontrando el dual de la expresión en FND
Algebra Booleana
x
y
z
G
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
F(x,y,z) = (x  y  z) + (x  y  z) está en FND, su expresión
correspondiente en FNC es (x + y + z)  (x + y + z)
Algebra Booleana
Encuentre las expresiones en FND de las siguientes
funciones booleanas
a) F(x,y) = x + y
b) F(x,y) = 1
c) F(x,y) = y
Algebra Booleana
F(x,y) = x + y
x
y
x
x+y
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
FND: F(x,y) = (x  y) + (x  y) + (x  y)
Algebra Booleana
F(x,y) = 1
x
y
F(x,y)
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
FND: F(x,y) = (x  y) + (x  y) + (x  y) + (x  y)
Algebra Booleana
F(x,y) = y
x
y
F(x,y)
1
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0
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0
0
1
FND: F(x,y) = (x  y) + (x  y)