Sistemas Térmicos

SISTEMAS DE CONTROL I
MODELADO DE SISTEMAS FÍSICOS
Ing. Miguel G. Alarcón
Agosto de 2011
Temario
• Sistema Físico.
• Modelado del Sistema Real.
• Sistemas Eléctricos.
• Sistemas Mecánicos.
• Sistemas Térmicos.
¿Qué es un sistema?
Parte del sistema
Relación
Límite del sistema
Es un conjunto delimitado de partes inter-relacionadas.
Existe en un medio ambiente separado por sus límites.
Sistema Físico: La inter-relación involucra intercambio de materia, energía o
información.
Sistema Físico Dinámico: Hay almacenamiento de materia, energía o información.
¿Dónde están los sistemas?
Los sistemas son
construcciones mentales.
Corresponden a la
representación mental de los
objetos del mundo real.
Cada sistema depende del
punto de vista del observador
(modelador).
Corresponden a modelos de la
realidad (modelo mental)
Diferentes Personas  Diferentes Visiones  Diferentes Sistemas
Análisis Experimental
La Ciencia y sus métodos proveen respuestas a los interrogantes humanos sobre
sistemas y sus propiedades. Los métodos científicos se basan en la experimentación,
que consiste en la realización de ensayos sobre el sistema, en la observación de las
reacciones del mismo, y en la obtención de leyes de su comportamiento, expresadas
por lo general mediante el lenguaje matemático.
El método experimental no siempre es viable ya que en algunos casos existen
factores que limitan o impiden su aplicación. Por ejemplo: Costos, Riesgos,
experimento irrealizable (por inexistencia del sistema o incapacidad humana de
experimentar).
Cuando no se puede experimentar sobre los sistemas se recurre a su modelado.
EXPERIMENTAR
CON EL SISTEMA
REAL
FORMAS
DE
ESTUDIAR
UN
SISTEMA:
Modelo
físico
EXPERIMENTAR CON UN
MODELO DEL SISTEMA
(VALIDACIÓN)
Solución
analítica
Modelo
matemático
Simulación
Temario
• El concepto de planta como un sistema físico.
• Modelado del Sistema Real
• Sistemas Eléctricos.
• Sistemas Mecánicos.
• Sistemas Térmicos.
Modelos
• Es una abstracción de la realidad.
• Es una representación de la realidad que ayuda a entender
cómo funciona.
• Es una construcción intelectual y descriptiva de una entidad
en la cual un observador tiene interés.
• Se construyen para ser transmitidos.
• Supuestos simples son usados para capturar el
comportamiento importante.
Un modelo de un sistema es básicamente una herramienta que permite
responder interrogantes sobre este último sin tener que recurrir a la
experimentación sobre el mismo. Es una representación siempre simplificada
de la realidad (si el sistema físico existe) o es un prototipo conceptual
(ModeloFísico).
1.
2.
3.
4.
5.
Modelos
matemáticos.
Modelos analógicos
Modelos a escala
Modelos físicos
Modelos Icónicos y Abstractos
icónico
abstracto
Exactitud
Abstracción
Planta piloto
Modelo de un átomo, globo terráqueo, maqueta
Reloj, medidores de voltaje, gráfica de volumen/costo
Modelos de colas, modelos de robots
Velocidad, ecuaciones diferenciales.
Modelo analógico. Son aquellos en los que una propiedad del objeto real está representa-da
por una propiedad sustituida, por lo que en general se comporta de la misma manera.
Modelos matemáticos
Son expresiones matemáticas que describen las relaciones existentes
entre las magnitudes que caracterizan el sistema. Pueden ser
sistemas
de
ecuaciones,
inecuaciones,
expresiones
lógico-
matemática, etc.
Todas estas formas vinculan variables matemáticas representativas
de las señales (señal: representación de una información a través de
valores de una magnitud física) en el sistema, obtenidas a partir de
las relaciones entre las correspondientes magnitudes físicas
Estocástico - Determinístico
Estocástico
Si el estado de la variable en el siguiente
instante de tiempo no se puede
determinar con los datos del estado
actual
xi
yi
Método analítico: usa probabilidades
para determinar la curva de distribución
de frecuencias
Determinístico
Si el estado de la variable en el siguiente
instante de tiempo se puede determinar
con los datos del estado actual
xi
yi
Método numérico: algún método de
resolución analítica
Continuo - Discreto
Continuo
El estado de las variables cambia
continuamente como una función del
tiempo e = f (t)
Discreto (*)
El estado del sistema cambia en tiempos
discretos del tiempo e = f(nT)
Método analítico: usa razonamiento de
matemáticas deductivas para definir y
resolver el sistema
Método numérico: usa procedimientos
computacionales para resolver el modelo
matemático.
Estático - Dinámico
Estático
Si el estado de las variables no cambian
mientras se realiza algún cálculo
f [ nT ] = f [ n(T+1) ]
Dinámico (*)
Si el estado de las variables puede
cambiar mientras se realiza algún cálculo
f [ nT ] ≠ f [ n(T+1) ]
Método analítico: algún método de
resolución analítica.
Método numérico: usa procedimientos
computacionales para resolver el modelo
matemático.
Proceso de modelado.
•
•
•
La primera de ellas consiste en la delimitación del modelo en función de los
fenómenos que resultan relevantes de acuerdo al problema que se quiere
resolver. Esta es una etapa que no puede sistematizarse fácilmente y que
requiere por ende de una cierta dosis de intuición y por sobre todo de una vasta
experiencia en relación con el sistema a modelar.
Una vez delimitados los fenómenos que se consideraron relevantes para la
construcción del modelo, se pasa a la siguiente etapa en la que se deben
formalizar las relaciones constitutivas y estructurales asociadas respectivamente
a los fenómenos considerados y a la forma en que estos se disponen dentro del
sistema. En los sistemas físicos, estas relaciones constitutivas y estructurales
encuentran su expresión formal (matemática) en las leyes fundamentales de los
dominios de la física asociados a los fenómenos mencionados.
Por este motivo, el modelado analítico de un sistema físico no es posible sin un
conocimiento de las leyes físicas elementales asociadas a los fenómenos en
cuestión.
Temario
• El concepto de planta como un sistema físico.
• Modelado del Sistema Real
• Sistemas Eléctricos.
• Sistemas Mecánicos.
• Sistemas Térmicos.
Sistemas Eléctricos
Los circuitos eléctricos se basan en elementos pasivos y fuentes de voltaje y
corriente. Los elementos pasivos se tabulan abajo
Elemento
Voltaje y corriente
Voltaje y
carga
Impedancia
Admitancia
Ecuaciones de equilibrio.
Se basan en:
• Ley de Voltajes de Kirchhoff (LVK).
• Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK).
Definiciones:
• Estructura: topología de un circuito
• Rama : Línea representativa del elemento.
• Nodo: Punto al que acuden 2 o más ramas.
• Malla: Trayectoria cerrada formada por varias ramas
• Gráfica: Todas las ramas y nodos que representan al
circuito.
Ley de Voltajes de Kirchhoff.
Esta Ley establece que para cualquier circuito eléctrico con m número de ramas y l
número de mallas, la suma algebraica de voltajes en cualquiera de sus mallas es
igual a cero.
Ley de Corrientes de Kirchhoff.
Para cualquier circuito eléctrico con n número de nodos y m número de ramas, la
suma algebraica de corrientes de cualquiera de sus nodos es igual a cero..
+
-
+
ELEMENTO 1
-
+
ELEMENTO 2
+
+
ELEMENTO 7
+
ELEMENTO 6
-
-
+
ELEMENTO 5
-
ELEMENTO 3
ELEMENTO 4
+
-
Temario
• El concepto de planta como un sistema físico.
• Modelado del Sistema Real
• Sistemas Eléctricos.
• Sistemas Mecánicos.
• Sistemas Térmicos.
Modelado de sistemas mecánicos
traslacionales.
Los sistemas mecánicos tienen tres elementos pasivos
básicos.
El resorte almacena energía potencial, la masa almacena
energía cinética y el amortiguador viscoso disipa energía en
forma de calor.
Los elementos lineales se identifican con los siguientes
parámetros: el resorte con el parámetro K, relativo a su
módulo de elasticidad; la masa con el parámetro M y el
amortiguador con el coeficiente de fricción viscosa fv
El modelo de sistemas mecánicos lineales se desarrolla empleando las ecuaciones
de los elementos involucrados y su ecuación diferencial de conjunto se conoce
como ecuación de movimiento.
El modelado requiere proponer una dirección positiva del movimiento. También
se requiere el diagrama de cuerpo libre en donde se indican todas las fuerzas
que actúan sobre él.
Se emplea la segunda Ley de Newton del movimiento para formar la ecuación
diferencial de movimiento y el Principio de D’Alembert. Al sumar las fuerzas
del diagrama de cuerpo libre, teniendo cuidado con los signos asignados, e
igualando la suma a cero.
𝑑 2 𝑥(𝑡)
𝑑𝑥(𝑡)
𝑀
+ 𝑓𝑣
+ 𝐾𝑥 𝑡 = 𝑓(𝑡)
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Modelado de sistemas mecánicos
traslacionales complejos.
En los sistemas mecánicos, el número de ecuaciones de movimiento es igual al
número de movimientos linealmente independientes que también se designan
grados de libertad.
La independencia lineal de movimiento implica que un punto de movimiento del
sistema todavía pueda moverse, aún cuando el resto de los puntos de movimiento se
mantengan fijos.
Para trabajar este problema se traza el diagrama de cuerpo libre de cada punto de
movimiento y luego se aplica la superposición.
En el diagrama de cuerpo libre del primer punto de movimiento, primero se trazan las
fuerzas debidas al movimiento del punto en cuestión, manteniendo inmóviles los
otros puntos de movimiento.
Después se trazan las fuerzas provocadas por el movimiento de los otros puntos de
movimiento, tomados por separado.
a) Fuerzas sobre M1 debidas a su propio movimiento
b) Fuerzas sobre M1 debidas al movimiento de M2
c)Superposición de fuerzas en M1
Se procede de manera similar con los restantes puntos de movimiento.
a) Fuerzas sobre M2 debidas a su propio movimiento
b) Fuerzas sobre M2 debidas al movimiento de M1
c)Superposición de fuerzas en M2
Modelado de sistemas mecánicos
rotacionales
El par sustituye a la fuerza y el desplazamiento angular al
traslacional
Los sistemas mecánicos rotacionales tienen tres
elementos pasivos básicos: el resorte con su parámetro K;
el momento de inercia con el J y el coeficiente de fricción
viscosa D
El número de ecuaciones de movimiento es igual al número de movimientos
linealmente independientes que también se designan grados de libertad.
La independencia lineal de movimiento implica que un punto de movimiento al giro
del sistema todavía pueda moverse, aún cuando el resto de los puntos de
movimiento se mantengan fijos.
Para trabajar este problema se traza el diagrama de cuerpo libre de cada punto de
movimiento y luego se aplica la superposición.
En el diagrama de cuerpo libre del primer punto de movimiento, primero se trazan los
pares debidos al giro del punto en cuestión, manteniendo inmóviles los otros puntos
de movimiento. Después se trazan los pares provocadas por el giro de los otros puntos
de movimiento, tomados por separado.
a) Pares sobre J1 debidas a su propio giro
b) Pares sobre J1 debidas al giro de J2
c)Superposición de pares en J1
Se procede de manera similar con los restantes puntos de movimiento.
a) Pares sobre J2 debidas a su propio movimiento
b) Pares sobre J2 debidas al movimiento de J1
c)Superposición de Pares en J2
Modelado de un Motor DC
El motor dc convierte energía eléctrica en forma de corriente continua en energía
mecánica rotacional. Una gran parte del par generado en el rotor del motor esta
disponible para mover una carga externa. El voltaje de entrada se puede aplicar a los
terminales de campo de armadura.
El flujo en el espacio de aire del motor es proporcional a la corriente de excitación
siempre que el campo no este saturado.
𝜙 = 𝐾𝑓 ∙ 𝑖𝑓
Se supone que el par desarrollado por el motor esta relacionado linealmente con f y
con la corriente de armadura:
𝑇𝑚 = 𝐾1 ∙ 𝜙 ∙ 𝑖𝑎 (𝑡) = 𝐾1 ∙ 𝐾𝑓 ∙ 𝑖𝑓 (𝑡) ∙ 𝑖𝑎 (𝑡)
Es evidente que para tener una ecuación lineal debe mantenerse una corriente
constante. Por lo que se desarrollará el modelo del motor controlado por corriente de
campo. Por lo tanto en el dominio de Laplace:
𝑇𝑚 𝑠 = 𝐾1 ∙ 𝐾𝑓 ∙ 𝐼𝑎 ∙ 𝐼𝑓 𝑠 = 𝐾𝑚 ∙ 𝐼𝑓 (𝑠)
Donde Ia es una corriente de armadura constante y Km se define como la constante
del motor. La corriente de excitación esta relacionada con el voltaje de excitación:
𝑉𝑓 𝑠 = 𝑅𝑓 + 𝐿𝑓 ∙ 𝑠 ∙ 𝐼𝑓 𝑠
El par motor Tm es igual al par proporcionado a la carga. Esta relación puede
expresarse como:
𝑇𝑚 𝑠 = 𝑇𝐿 𝑠 + 𝑇𝑑 𝑠
Donde TL es el par de carga y Td es el par de perturbación, que no suele tenerse en
cuenta. Sin embargo, el par de perturbación, debe considerarse en sistemas sujetos a
fuerzas externas, como las ráfagas de viento en las antenas. El par de carga para una
inercia de rotación se escribe como:
𝑇𝐿 𝑠 = 𝐽 ∙ 𝑠 2 ∙ 𝜃 𝑠 + 𝑏 ∙ 𝑠 ∙ 𝜃 𝑠
Despreciando Td , reordenando y reemplazando en las ecuaciones anteriores se
obtiene la función de transferencia del sistema:
𝑲𝒎 /𝑱𝑳𝒇
𝜽(𝒔)
=
𝑽𝒇 𝒔
𝒔 𝒔 + 𝒃/𝑱 ∙ 𝒔 + 𝑹𝒇 /𝑳𝒇
Temario
• El concepto de planta como un sistema físico.
• Modelado del Sistema Real
• Sistemas Eléctricos.
• Sistemas Mecánicos.
• Sistemas Térmicos.
Sistemas Térmicos
Los modelos dinámicos de Sistemas Térmicos involucran el flujo de calor y el
almacenamiento de energía calorífica.
Los elementos lineales se identifican con los siguientes parámetros: la
resistencia térmica con el parámetro R y la capacidad térmica con el parámetro
C.
Ecuaciones de Equilibrio
Estas ecuaciones se derivan a partir de un caso particular de las Primera Ley de la
Termodinámica:
𝒅𝑼 = 𝒅𝑸 − 𝒅𝑾
Donde:
U: energía interna.
Q: cantidad de calor transferida al sistema.
W: Trabajo realizado por el sistemas.
La expresión anterior puede ser escrita como:
𝝆𝑽 𝒅𝑼 = 𝑸𝒏𝒆𝒕 𝒅𝒕 − 𝒅𝑾
Donde:
: densidad
V: Volumen
du : Energía interna por unidad de masa
Qnet: tasa neta de flujo de calor dentro del sistema.
En sistemas puramente de transmisión de calor, no se realiza trabajo, por lo que la
primera ley puede ser escrita como:
𝝆𝑽 𝒅𝑼 = 𝑸𝒏𝒆𝒕 𝒅𝒕
O bien:
𝒅𝑼
𝝆𝑽
= 𝑸𝒏𝒆𝒕
𝒅𝒕
Por otro lado, los cambios de temperatura son proporcionales a los cambios de
energía interna por unidad de masa, es decir:
𝟏
𝒅𝑻 = 𝒅𝑼
𝒄
Donde c : es el calor específico, por lo tanto:
𝝆𝑽𝒄
𝒅𝑻
𝒅𝒕
= 𝑸𝒏𝒆𝒕
El término Vc, se define como la capacitancia térmica CT, y por lo tanto:
𝑪𝑻
𝒅𝑻
= 𝑸𝒏𝒆𝒕
𝒅𝒕
Finalmente si Qnet se define como la diferencia entre el flujo de calor
suministrado al sistema y el cedido por este, la ecuación de equilibrio para
sistemas térmicos se puede escribir como:
𝒅𝑻
𝑪𝑻
=
𝒅𝒕
𝑸𝒆 −
𝑸𝒔𝒂𝒍
Analogías Mecánicas-Eléctricas
Existen dos tipos de analogías posibles entre sistemas mecánicos y sistemas
eléctricos:
• Analogía Fuerza-Voltaje.
• Analogía Fuerza-Corriente.
Analogía Fuerza-Voltaje
Considerando los siguientes sistemas, se puede determinar
el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales:
𝑑 2 𝑥(𝑡)
𝑑𝑥(𝑡)
𝑀
+
𝑓
+ 𝐾𝑥(𝑡) = 𝑓(𝑡)
𝑣
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑖(𝑡)
1
𝐿
+ 𝑅𝑖 𝑡 +
𝑖 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
𝐶
𝑖 𝑡 =
Analogía Fuerza-Voltaje
Si se expresa la ecuación del sistema eléctrico en función de la carga , se
obtiene:
𝑑 2 𝑞(𝑡)
𝑑𝑞(𝑡) 𝑞(𝑡)
𝐿
+
𝑅
+
= 𝑣(𝑡)
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
𝐶
Si se compara esta ecuación con la del sistema mecánico se puede observar
que son sistema análogos, esto es, tienen una ecuación diferencial idéntica y
se puede establecer la relación resumida en la siguiente tabla.
𝑑 2 𝑥(𝑡)
𝑑𝑥(𝑡)
𝑀
+
𝑓
+ 𝐾𝑥(𝑡) = 𝑓(𝑡)
𝑣
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
𝑑 2 𝑞(𝑡)
𝑑𝑞(𝑡) 𝑞(𝑡)
𝐿
+𝑅
+
= 𝑣(𝑡)
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
𝐶
Analogía Fuerza-Corriente
De manera similar podemos considerar ambos sistemas para establecer la
relación existente entre las ecuaciones de fuerza de un sistema mecánico y
un sistema eléctrico descripto por la ley de corrientes de Kirchhoff
𝑑 2 𝑥(𝑡)
𝑑𝑥(𝑡)
𝑀
+
𝑓
+ 𝐾𝑥(𝑡) = 𝑓(𝑡)
𝑣
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
𝑑𝜓(𝑡)
𝑑𝑡
𝑣(𝑡)
𝑑𝑣(𝑡)
𝑣 𝑡 𝑑𝑡 +
+𝐶
= 𝑖(𝑡)
𝑅
𝑑𝑡
𝑣 𝑡 =
1
𝐿
Analogía Fuerza-Voltaje
Sistema Mecánico
Sistema Eléctrico
Fuerza
(Par)
F
T
Voltaje
V
Masa
(Momento de Inercia)
M
J
Inductancia
L
Fricción Viscosa
fv
D
Resistencia
R
Constante del Resorte
K
Capacitancia
C
Desplazamiento
(Desplazamiento Angular)
x
Carga
q
Corriente
i
Velocidad
(Velocidad Angular)
q
v
w
Analogía Fuerza-Corriente
Si se expresa la ecuación
magnético , se obtiene:
del sistema eléctrico en función del flujo
1
1 𝑑𝜓(𝑡)
𝑑 2 𝜓(𝑡)
𝜓(𝑡) +
+𝐶
= 𝑖(𝑡)
𝐿
𝑅 𝑑𝑡
𝑑𝑡 2
Dado que el sistema mecánico ha sido considerado el mismo que para la
analogía fuerza-voltaje podemos comparar ambas ecuaciones para obtener
las relaciones dadas en la tabla que son denominadas analogías fuerzacorriente.
𝑑 2 𝑥(𝑡)
𝑑𝑥(𝑡)
𝑀
+
𝑓
+ 𝐾𝑥(𝑡) = 𝑓(𝑡)
𝑣
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
1
1 𝑑𝜓(𝑡)
𝑑 2 𝜓(𝑡)
𝜓(𝑡) +
+𝐶
= 𝑖(𝑡)
𝐿
𝑅 𝑑𝑡
𝑑𝑡 2
Analogía Fuerza-Corriente
Sistema Mecánico
Sistema Eléctrico
Fuerza
(Par)
F
T
Corriente
i
Masa
(Momento de Inercia)
M
J
Capacitancia
C
Fricción Viscosa
fv
D
Resistencia
R
Constante del Resorte
K
Inductancia
L
Desplazamiento
(Desplazamiento Angular)
x
q
Flujo Magnético
y
Velocidad
(Velocidad Angular)
v
w
Voltaje
V
Temario
• Concepto de Analogías.
• Analogías Mecánicas-Eléctricas.
• Analogías Térmicas-Eléctricas.
Analogías Térmicas-Eléctricas
En un circuito térmico se trabaja fundamentalmente con el flujo de
energía (calor) y con las diferencias de temperatura.
Tradicionalmente, se considera que estas variables son análogas al
flujo de carga y la diferencia de potencial de los circuitos eléctricos.
Teniendo en cuenta esta analogía se obtiene el equivalente eléctrico
de cada fenómeno de conducción de calor.
Analogía Fuerza-Corriente
Sistema Térmico
Flujo de Calor
Sistema Eléctrico
q
Corriente
i
Diferencia de Temperatura
Dq
Diferencia de Potencial DV
Resistencia Térmica
RT
Resistencia
R
Inercia Térmica
CT
Capacidad
C