06. Progresiones aritmeticas_teoria

PROGRESIONES
2.
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PROGRESIONES ARITMÉTICAS
En la sucesión numérica del número de cuadrados azules. ¿Cuál es el valor del primer término? ¿Cuál es la
diferencia entre dos valores consecutivos?
En la sucesión numérica del número de cuadrados verdes. ¿Cuál es el valor del primer término? ¿Cuál es la
diferencia entre dos valores consecutivos?
Definición
Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada elemento se obtiene sumando al anterior
un número fijo llamado diferencia, que se representa por la letra d.
Ejemplos
Son progresiones aritméticas:
1)
Los múltiplos de 2 o números pares: 2, 4, 6, 8, 10... La diferencia es d = 2.
2)
Los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15... La diferencia es d = 3.
Cómo reconocer una progresión aritmética
Para comprobar si una sucesión es una progresión aritmética se ha de comprobar que la diferencia entre cada
término y su anterior es siempre la misma. Además, esta comprobación determina el valor de la diferencia de
la progresión.
Ejemplos
1) ¿Es la sucesión 7, 5, 3, 1, -1, -3, -5,... una progresión aritmética? Si lo es, ¿cuál es la diferencia?
Se determina si la diferencia entre cada dos términos consecutivos es la misma:
a2 – a1 = 5 - 7 = -2; a3 – a2 = 3 - 5 = -2; a4 – a3 =1 - 3 = -2; a5 – a4 = -1 - 1 = -2; a6 – a5 = -3 + 1 = -2
Es una progresión aritmética de diferencia d = -2.
2) ¿Es 1, 4, 7, 11, 15,… una progresión aritmética?
a2 – a1 =4 – 1 = 3 ; a3 – a2 =7 – 4 = 3; a4 – a3 =11 – 7 = 4 ; a5 – a4 =15 – 11 = 4
No es progresión aritmética
Actividad
¿Es la siguiente sucesión una progresión aritmética? En caso afirmativo, calcula su diferencia
an = { 3, 7, 11, 13, 17, …}
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Término general de una progresión aritmética
La fórmula del término general de una progresión aritmética (an) se encuentra sin más que observar que:
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2 d
a4 = a3 + d = (a1 + 2.d) + d = a1 + 3 d
a5 = a4 + d = (a1 + 3.d) + d = a1 + 4 d
an = a1 + (n – 1)· d
Ejemplos
1) Dada la sucesión {5, 8, 11, 14...} demostrar que es una progresión aritmética y determinar su diferencia y
su término general:
a1 = 5 -------------------------------------------------------------- a1 = 5
a2 = 8 = 5 + 3 ---------------------------------------------------- a2 = 5 + 3 · 1
a3 = 11 = 8 + 3 = 5 + 3 + 3 ----------------------------------- a3 = 5 + 3 · 2
a4 = 14 = 11 + 3 = 5 + 3 + 3 + 3 ----------------------------- a4 = 5 + 3 · 3
De esta forma se tiene que a5 = 5 + 3 · 4
; a12 = 5 + 3 · 11
Por tanto, la fórmula del término general es:
an = 5 + 3 · (n – 1)
2) Dada la sucesión {12, 8, 4, 0, -4, ...} demostrar que es una progresión aritmética y determinar su
diferencia y su término general:
a1 = 12 ------------------------------------------------------------ a1 = 12
a2 = 8 = 12 – 4 --------------------------------------------------- a2 = 12 + (-3) · 1
a3 = 4 = 8 – 4 = 12 – 4 – 4 ----------------------------------- a3 = 12 + (-3) · 2
a4 = 0 = 4 – 4 = 12 – 4 – 4 – 4 ------------------------------ a4 = 12 + (-3) · 3
De esta forma se tiene que a5 = - 4 = 12 + (-3) · 4
; a12 = 12 + (-3) · 11
Por tanto, la fórmula del término general es:
an = 12 + (-3) · (n – 1)
3) Determinar el término general de una progresión, sabiendo que a1 = 13 y d = 2:
La sucesión es { 13, 11, 9, 7, 5, 3, …}
Empleando la fórmula del término general es:
an = 13 + (n - 1) · 2 = 13 + 2n - 2 = 2n + 11
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Suma de n términos consecutivos.
Consideremos la progresión formada por los seis primeros múltiplos de 5:
an = {5, 10, 15, 20, 25, 30,…}
Observemos que la suma de los extremos es:
a1 + a6 = 5 + 30 = 35
y que los términos equidistantes suman lo mismo que los términos extremos:
a2 + a5 = 10 + 25 = 35
a3 + a4 = 15 + 20 = 35
En general, en una progresión aritmética limitada se verifica:
a3 + an - 2 = a2 + an - 1 = ... = a1 + an
En una progresión aritmética limitada, la suma de los términos equidistantes de los extremos es constante, es
decir:
Si r + s = n + m ⇒ ar + as = an + am
Vamos a utilizar este resultado para calcular la fórmula de la suma de n términos consecutivos de una
progresión aritmética. Veámoslo primero con el ejemplo:
¿Cuál es la suma de los seis términos de la progresión 5, 10, 15, 20, 25, 30?
Una forma de hallar la suma de los términos de esta progresión es escribir la suma dos veces invirtiendo los
términos en una de ellas.
S6 = 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30
S6 = 30 + 25 + 20 + 15 + 10 + 5
2S6 = 35 + 35 + 35 + 35 + 35 + 35
⇒ 2·S6 = 6 · 35 = 6 · (5 + 30) ⇒ S6 = 105
Vamos a generalizar este resultado:
¿Cuál es la suma de los términos de la progresión a1, a2, a3,..., an-1, an?
Denotamos por Sn a la suma a1 + a2 + ... + an
Se tiene entonces: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an - 2 + an - 1 + an
Invirtiendo el orden: Sn = an + an - 1 + an - 2 + ... + a3 + a2 + a1
y sumando, miembro a miembro, obtenemos:
2·Sn = (a1 + a2) + (a2 + an - 1) + ... + (an - 1 + a2) + (an + a1)
Ahora bien, por la propiedad de los términos equidistantes se sabe que:
a1 + an = a2 + an - 1 = a3 + an - 2 = ... = an + a1
Por tanto, 2. Sn = n·(a1 + an), y despejando:
Sn =
( a1 + an ) · n
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Esta fórmula no sólo sirve para sumar los primeros términos de una progresión aritmética sino para sumar
cualquiera n términos consecutivos.
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Ejemplos:
1) Sumar los veinte primeros términos de la progresión: an = {-5, 4, 13, 22, 31, 40}
S20 =
( a1 + a20 ) ·20
2
La diferencia es d = 4 – (-5) = 9 ⇒ a20 = -5 + (20 - 1)·9
a20 = -5 + 19 ·9 = 166
S20 =
( −5 + 166 ) ·20
2
= = 1610
2) Dada la progresión aritmética an = { 8, 3, -2, -7, -12, ...}, sumar los términos comprendidos entre a24 y
a36.
La diferencia es d = 3 – 8 = -5.
a24 = 8 + 23 ·(-5) = 8 – 115 = -107
a36 = 8 + 35 ·(-5) = 8 – 175 = -167
Entre ambos hay 36 - 23 = 13 términos.
La suma pedida es S13 =
( a24 + a36 ) ·13
2
=
( −167 − 107 ) ·13
2
= -1781
3) ¿Cuántos términos de la progresión an = {-5, -3, -1, 1,3, 5, ...} hay que tomar para que su suma sea 40?
Se sabe que:
a1 = -5, d = -3 + 5 = 2 ⇒ an = -5 + (n - 1)·2 =2n – 7
an = 2n – 7 y Sn = 40.
Se ha de calcular n, sustituyendo en la fórmula:
Sn =
( a1 + an ) · n
2
⇒ 40 =
( −5 + 2n − 7 ) · n
2
=
( 2n − 12 ) · n
2
= ( n − 6)· n ⇒
40 = n ² – 6n ⇒ n ² – 6n – 40 = 0
Se resuelve la ecuación de 2.° grado:
n=
6 ± 36 − 4·( −40)
Como n ha de ser entero y positivo n =
2
6 + 14
= 10
2
=
6 ± 196
2
=
6 ± 14
2