Electromagnetismo I

Electromagnetismo I
Semestre: 2015-2
Prof. Alejandro Reyes Coronado
Ayud. Carlos Alberto Maciel Escudero
Ayud. Christian Esparza López
Solución a la Tarea 2
Solución por Christian Esparza López
1.- Problema: (10pts)
Dos esferas de masa 0.5 Kg, cada una, son atadas al techo con hilo de nylon (de masa despreciable)
y son cargadas con un generador electrostático, formando una configuración como la que se
muestra en la figura. ¿Cuál es la carga de cada una de las esferas en Coulombs, asumiendo que
ambas esferas tienen la misma carga?
2.5$m$
θ$
0.5$m$
Solución:
Suponiendo que se trata de una configuración de equilibrio (inestable), entonces la suma de
fuerzas que actua sobre cualquiera de las esferas debe anularse; supongamos además que las
esferas son de densidad uniforme de modo que el centro de masas de cada una, coincide con el
centro geométrico de las esferas respectivas. Entonces basta resolver el diagrama de cuerpo libre
de la figura para determinar la carga de cada esfera.
Notemos que la tensión T en la cuerda debe equilibrar a las componentes de F q y F g paralelas
a la cuerda, mientras que las componentes perpendiculares a esta dirección deben equilibrarse
entre sı́, es decir,
Fq cos θ = Fg sin θ ,
(1)
donde Fq = q 2 /(4πε0 d2 ) y Fg = mg, siendo q la carga de cada esfera, m la masa y g la aceleración
gravitatoria. Entonces sustituyendo en la ecuación (1) y despejando q obtenemos
p
q = ± 4πε0 d2 mg tan θ
(2)
Figura 1: Diagrama de cuerpo libre, problema 1.
de la figura obtenemos tan θ = d/h, sustituyendo obtenemos finalmente
p
q = ± 4πε0 d3 mg/h
(3)
Nótese que la carga puede ser positiva o negativa, no tenemos manera de determinar el signo
con la información que se proporciona.
2.- Problema: (10pts) Dos cargas positivas y una negativa (todas con la misma cantidad de carga)
se encuentran localizadas en los vércites de un triángulo equilátero. ¿Dónde tendrı́as que poner
una cuarta carga, a lo largo del eje de simetrı́a de la configuración, para que la fuerza total sobre
ésta sea cero? ¿Existe alguna otra posición que cumpla con que la fuerza total sea cero o es
única? Quizás tengas que resolver algo numéricamente.
Solución:
Buscamos un punto en el que la fuerza se anule independientemente del valor de la carga que
se coloque, por lo tanto buscamos un punto en el que el campo eléctrico se anule. En el eje de
simetrı́a, las componentes del campo eléctrico perpendiculares al eje se anulan, por lo tanto el
campo eléctrico en la dirección paralela es
2
Ey (y) =
con cos θ = (y − h)/r y r =
q
1
1
− +
cos θ
4πε0 y 2 r2
(4)
p
(y − h)2 + h2 /3, sustituyendo en (4) e igualando a cero obtenemos
3
h2
2
− y 4 (y − h)2 = 0
f (y) = (y − h) +
3
(5)
ésta es una ecuación polinomial de grado 5, por tanto no es posible utilizar una fórmula en términos de funciones algebraicas para obtener la solución, por lo que usamos un método numérico.
Notemos primero que para y < h tenemos f (y) > 0, mientras que para y > 2h tenemos f (y) < 0,
por tanto las raı́ces de f (y) deben encontrarse en el intervalo h ≤ y ≤ 2h, por simplicidad tomemos h = 1 y usemos el método de bisección para calcular las raı́ces usando como aproximación
inicial de la raı́z: y0 = 1,5
f (y0 ) ' −1.0671 < 0
f (y1 ) ' −0.0906 < 0
f (y2 ) ' 0.0175 > 0
f (y3 ) ' −0.0199 < 0
f (y4 ) ' 0.0021 > 0
f (y5 ) ' −0.0079 < 0
f (y6 ) ' −0.0079 < 0
f (y6 ) ' −0.0002 < 0
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
= 1.2500
= 1.1250
= 1.1875
= 1.1563
= 1.1719
= 1.1641
= 1.1602
entonces el campo se anula aproximadamente en y = 1.1602 (con una precisión de 10−4 ). Un
método que converge más rápido es el método de Newton-Raphson, pero para utilizarlo requerimos calcular f 0 (y).
3.- Problema: (15pts) a) Una carga puntualR q está localizada en el centro de un cubo de lado d.
~ sobre cualquiera de las caras. b) Si la carga
~ · da)
Calcula el flujo de campo eléctrico (ΦE = S E
se mueve a una de las esquinas del cubo, calcula el flujo eléctrico en cada una de las caras del
cubo.
a) Solución:
Utilizando la ley de Gauss, tenemos
ΦE =
q
.
ε0
(6)
Dado que la magnitud del campo en un punto r, producido por una carga puntual situada en
r 0 sólo depende de la distancia |r − r 0 | y no de la orientación, el flujo en cada una de las caras
del cubo debe contribuir en la misma cantidad al flujo total, por lo tanto
Φcara =
ΦE
q
=
.
#caras
6ε0
3
(7)
b) Solución:
Para resolver este problema remplacemos la carga puntual por un pequeño cascarón esférico de
densidad de carga superficial uniforme, con la misma carga total que la carga puntual. Podemos
realizar esto debido a que el campo generdo fuera de la esfera es el mismo que el de una carga
puntual y por tanto el flujo también es el mismo. Ahora, la carga encerrada en el cubo es ocho
veces menor a la encerrada en el inciso anterior, por lo tanto la ley de Gauss nos dice
ΦE =
q
8ε0
(8)
y observemos que sólo las tres caras que no tocan el origen contribuyen al flujo, pues en las
demás caras el campo es paralelo a la superficie. Nuevamente, argumentando que el campo es
independiente de la orientación, estas tres caras deben contribuir en la misma cantidad al flujo
total, por lo tanto
Φcara =
0
si la cara toca el origen
q/24ε0 si la cara no toca el origen
(9)
4. Problema: (15pts) Un cascarón esférico posee una densidad de carga
ρ(r) =
k
r2
en la región a ≤ r ≤ b (ver figura ), donde k es una constante. Calcula el campo eléctrico en las
tres regiones: i) r < a, ii) a < r < b y iii) r > b. Grafica la magnitud del campo eléctrico como
función de r.
Solución:
Figura 2: Se muestra la superficie S sobre la que se calcula el flujo y la gráfica de la intensidad de
campo eléctrico respecto a la distancia radial, C = k(b − a)/(ε0 b2 ).
4
Resolvemos fácilmente el problema utilizando la ley de Gauss, pues la densidad de carga sólo
depende de la distancia al centro de la esfera y por tanto el campo es radial. Entonces el flujo
eléctrico a través de una esfera S de radio R es
I
E · n da = 4πER2 .
(10)
S
por otra parte la carga encerrada en S es
Z
Z
RZ π
Z
ρ(r)dV =
V
0
=
0
2π
ρ(r)r2 sin θdϕdθdr
0


0
R<a
4πk(R − a) a ≤ R ≤ b

4πk(b − a)
b<R
(11)
Multiplicando (11) por 1/ε0 e igualando a (10) obtenemos
E(r) =


0
R<a
k(R − a)/(ε0 R2 ) a ≤ R ≤ b

k(b − a)/(ε0 R2 )
b<R
(12)
5. Problema: (20pts) Un cable coaxial muy largo posee una densidad volumétrica de carga uniforme ρ sobre el cilindro interior, de radio a, y una densidad superficial de carga σ sobre el cascarón
cilı́ndrico exterior, de radio b. Ver figura. La densidad superficial de carga σ es negativa y justo
de la magnitud correcta para que el cable en su conjunto sea eléctricamente neutro. Calcula
el campo eléctrico en las tres regiones: i) dentro del cilindro interior (r < a), ii) entre los dos
cilindros (a < r < b) y iii) fuera del cable (r > b). Grafica la magnitud del campo eléctrico como
función de r.
Solución:
Nuevamente podemos utilizar ley de Gauss ya que la geometrı́a del problema nos lo permite.
Debido a que se trata de un cable muy largo, podemos considerar que el campo se ve igual
si trasladamos el cable en cualquier dirección a lo largo de su eje, por lo tanto el campo no
puede tener componentes en las direcciones paralelas al eje, es decir, apunta en la dirección
perpendicular al eje.
Entonces, podemos calcular fácilmente el flujo a través de un cilindro S coaxial al cable, de radio
R y longitud L. El flujo en las tapas es cero ya que el campo es paralelo a su superficie, mientras
que el flujo en el cuerpo de C es
I
E · n da = 2EπRL
S
mientras que la carga encerrada en S es
5
(13)
Figura 3: Se muestra la superficie S sobre la que se calcula el flujo y la gráfica de la intensidad de
campo eléctrico respecto a la distancia radial, C1 = (ρa)/(2ε0 ), C2 = (ρa2 )/(2ε0 b)
Z
Z
R Z 2π
Z
L/2
ρ(r)dV =
V
ρ(r)rdzdϕdr
0
0
−L/2

 ρπR2 L 0 ≤ R < a
ρπa2 L a ≤ R < b
=

0
b≤R
(14)
donde la última igualdad se da porque el cable es eléctricamente neutro. Entonces usando ley
de Gauss obtenemos

 ρR/(2ε0 ) 0 ≤ R ≤ a
ρa2 /(2ε0 R) a ≤ R ≤ b
E(r) =

0
b<R
(15)
Nótese que a diferencia del problema anterior, el campo eléctrico es discontinuo, pero solamente
en donde se encuentra la superficie cargada. De hecho, para que el cable sea neutro, el valor de σ
debe ser exactamente σ = −ρa2 /(2b) = −ε0 E(b), esto sugiere que la discontinuidad del campo
eléctrico a través de una superfice cargada nos da una idea de la densidad superficial de carga
en dicha superficie.
6. Problema: (20pts)
a) Usando la siguiente ecuación
φ(r) =
n
1 X
q
4π0
|~r − ~ri 0 |
i=1
calcula el potencial a una distancia z0 sobre el centro de una distribución de cargas como
~ = −∇φ y compara tu resultado con el de la TAREA 1.
se muestra en la figura. Calcula E
6
êz
✕! z0!
!
!
+q! d/2!
d/2! +q!
b) Usando la siguiente ecuación
λ(~r 0 )
dl0
|~r − ~r 0 |
Z
1
φ(r) =
4π0
calcula el potencial a una distancia z0 sobre el centro de una distribución de cargas como
~ = −∇φ y compara tu resultado con el visto en clase.
se muestra en la figura. Calcula E
êz
!z0
λ
2L#
a) Solución:
La distancia entre cada carga y un punto sobre el eje de simetrı́a es r =
el potencial debido a ambas cargas es
φ=
q
p
2πε0 d2 /4 + z 2
p
d2 /4 + z 2 , entonces
(16)
y por tanto el campo eléctrico a una altura z0 es
qz0
E(z0 ) =
d2 /4
2πε0
3/2 ẑ
(17)
cos θẑ
(18)
+ z02
o utilizando cos θ = z0 /r, obtenemos
E(z0 ) =
q
d2 /4
2πε0
+ z02
b) Solución:
Suponiendo que la distribución de carga es constante tenemos
φ=
λ
4πε0
Z
L
−L
dx
(x2 + z 2 )1/2
(19)
para calcular la integral realizamos el cambio de variable x = z sinh θ, sustituyendo en (19) con
dx = z cosh θdθ y cambiando los lı́mites de integración por ± sinh−1 (L/z) obtenemos
7
λ
φ=
4πε0
Z
sinh−1 (L/z)
λ
dθ =
sinh−1
−1
2πε
0
− sinh (L/z)
L
.
z
(20)
Ahora, para calcular el campo utilizamos1
d
L
(sinh−1 L/z) = −
2
dz
z(z + L2 )1/2
(21)
entonces el campo eléctrico a una altura z0 es
E(z0 ) =
λ
L
ẑ .
2
2πε0 z0 (z0 + L2 )1/2
(22)
7. Problema: (10pts) Considera que el campo eléctrico en una cierta región del espacio está dado
~ = k r3 êr , donde k es una constante. a) Calcula la densidad de carga volumétrica ρ y b)
por E
calcula la carga total encerrada en una esfera de radio R.
a) Solución:
Para encontrar la densidad de carga en cualquier punto del espacio, conocido el campo eléctrico,
utilizamos la ley de Gauss en su forma diferencial. Dado que E sólo depende de la coordenada
radial su divergencia es
∇·E =
1 d 2 1 d
r E = 2
kr5 = 5kr2
2
r dr
r dr
(23)
y por ley de Gauss
ρ(r) = 5kε0 r2 .
(24)
b) Solución:
Para calcular la carga encerrada podemos integrar la densidad de carga del inciso anterior, sobre
el volumen de la esfera o podemos utilizar la ley de Gauss en forma integral y calcular el flujo
eléctrico a través de la esfera, el cual está dado por
I
E · nda = 4πR2 E(R) = 4πkR5
(25)
S
por lo tanto la carga total es
QR = 4πε0 kR5 .
(26)
8. Problema TORITO: (20pts) Una superficie cónica (como un cono de helado hueco puesto de
cabeza) posee una densidad de carga superficial uniforme σ. La altura del cono es h, al igual que
el radio de la base circular. Calcula la diferencia de potencial entre el punto más alto del cono
(el vértice) y el centro del cı́rculo de radio h (base del cono).
1
Para calcular esta derivada utilizamos (f −1 (x))0 = 1/f 0 (f −1 (x)) y la regla de la cadena.
8
Solución:
Dividimos el cono en bandas como se muestra en la figura, de modo que el área de estas bandas
2 )1/2 . Dado que el ángulo de apertura del cono es π/4 tenemos dz 0 = dx,
es 2πx((dx)2 + (dz 0 )√
entonces el área es 2 2πxdx y el potencial sobre el eje del cono está dado por
√
Z
h
xdx
p
(z − x)2 + x2
φ(z) = 2 2πkσ
0
h
Z
= 2πkσ
xdx
p
0
(x − z/2)2 + z 2 /4
(27)
donde k = (4πε0 )−1 . Para calcular la integral hacemos el cambio de variable x = z(s + 1)/2,
sustituimos en (27) con dx = zds/2 y obtenemos
b
Z
φ(z) = πkσz
a
s+1
ds
+ 1)1/2
(s2
hp
ib
= πkσz
s2 + 1 + sinh−1 (s)
a
(28)
con a = −1, b = 2(h − z/2)/2.
Nota: Esta ecuación es válida sólo si z 6= 0, para z = 0 el potencial se obtiene de la primer
integral
√
h
σh
φ(0) = 2 2πkσ √ =
2ε0
2
(29)
mientras que el potencial en z = h es
φ(h) = πkσh
hp
i1
s2 + 1 + sinh−1 (s)
−1
σh
=
(sinh−1 (1) − sinh−1 (−1))
4ε0
9
(30)
si uno no se siente a gusto con la función sinh−1 (x), podemos re-expresarla en términos de un
logaritmo, veamos cómo. Por definición
sinh (x) =
ex − e−x
=y
2
(31)
entonces x = sinh−1 (y) y lo único que hay que hacer es despejar x en (31), para ello multiplicamos
la ecuación por ex y completamos el cuadrado
e2x − 1 − 2yex = (ex − y)2 − 1 − y 2 = 0
(32)
p
sinh−1 (y) = ln y + 1 + y 2
(33)
de donde obtenemos
donde escogemos el signo positivo de la raı́z para que la función sea de valor real. Entonces
sustituyendo (33) en (30) y restando (29) obtenemos finalmente la diferencia de potencial
!
#
√
2+1
√
−1
2−1
2 √
σh 1
=
ln
2+1
−1
2ε0 2
i
σh h √
=
ln
2+1 −1 .
2ε0
σh
φ(h) − φ(0) =
2ε0
"
10
1
ln
2
(34)