Sistemas holónomos/no holónomos Sistemas holónomos: N partículas, g ligaduras finitas, GDL = n = 3N − g n = GDL coordenadas generalizadas independientes qj DVCL espacio vectorial de dimensión n = GDL Pn ∂ri DVCL: δri = j=1 δqj Todos los δqj arbitrarios ∂qj δqj arbitrarios, los coeficientes tienen que ser todos nulos Estática n X Qj · δqj = 0 j=1 Dinámica n X (Qj − Pj ) · δqj = 0 indepte. ∀ δqj j=1 Qj = 0 Pj = Qj j = 1...n Estática y Dinámica Analı́tica– p. 1/13 Sistemas holónomos/no holónomos Sistemas no holónomos: g ligaduras finitas, h cinemáticas n.i., GDL = m = 3N − g − h 3N − g = n > GDL → qj no independientes DVCL espacio vectorial de dimensión m = GDL< n Pn ∂ri DVCL: δri = j=1 δqj los δqj no son arbitrarios ∂qj δqj no arbitrarios, los coeficientes no tienen que ser nulos Estática n X Qj · δqj = 0 j=1 Dinámica n X (Qj − Pj ) · δqj = 0 DVCL ∀ δq j j=1 ? =0 ? = ? j = 1... ? Estática y Dinámica Analı́tica– p. 2/13 Sistemas no holónomos Dos caminos para obtener las ecuaciones: Desplazamientos independientes: Se escogen m = 3N − g − h δqj independientes se sustituyen los dependientes se pone δW sólo en función de los independientes los nuevos coeficientes sí tienen que ser cero. Multiplicadores de Lagrange: Se sustituyen las ligaduras no integrables por sus fuerzas esas fuerzas de ligadura se cuentan entre las directamente aplicadas desaparecen las ligaduras no integrables: sus fuerzas hacen que se cumplan se aplican las ecuaciones de sistemas holónomos Estática y Dinámica Analı́tica– p. 3/13 Movimiento: no holónomos, δqj independientes Se toman n > GDL coordenadas generalizadas no independientes: Pn ∂ri i ri = ri (qj , t) → vi = j=1 ∂qj q̇j + ∂r ∂t Las vi tienen que cumplir también lasligaduras no integrables N N n X X X ∂ri ∂ri gk ≡ Aki · vi + Bk = Aki · q̇j + + Bk = ∂qj ∂t i=1 i=1 j=1 ! ! n N N X X X ∂ri ∂ri = Aki q̇j + Aki · + Bk = ∂qj ∂t j=1 i=1 i=1 | {z } | {z } Ckj B̃k n X = Ckj q̇j + B̃k = 0 k = 1 . . . h j=1 Estática y Dinámica Analı́tica– p. 4/13 Movimiento: no holónomos, δqj independientes Las q̇j cumplen las ligaduras no integrables n X Ckj q̇j + B̃k = 0 , k = 1...h j=1 Los desplazamientos posibles cumplen n X Ckj dqj + B̃k dt = 0 , k = 1...h j=1 Los DVCL cumplen las ligaduras congeladas n X Ckj δqj + B̃k δt = 0 , k = 1 . . . h j=1 h condiciones: sólo n − h serán independientes. Estática y Dinámica Analı́tica– p. 5/13 Sistemas no holónomos: δqj independientes Despejar h δqj dependientes en función de n − h independientes: Pn j=1 C1j Pn δqj = 0 .. . j=1 Chj → h δqj = 0 ⇒ z 1 Ckj n }| { h n δq1 .. . 0 δqh − − − = ... h ⇒ δqh+1 0 .. . δqn h n−h z }| { z }| { δqh+1 δq 1 .. = h .. h Ckj −C kj . . δqh δqn Estática y Dinámica Analı́tica– p. 6/13 Sistemas no holónomos: δqj independientes La matriz h × h de coeficientes de los dependientes se puede invertir, z h }| δq1 .. = h Ckj . δqh −h { z n }| { −1 −Ckj δqh+1 .. = . z n−h }| { Dkj δqn δqh+1 .. . δqn De este modo podemos despejar h δqj dependientes: δqk = n X Dkj δqj , k = 1...h j=h+1 en función de los n − h independientes Estática y Dinámica Analı́tica– p. 7/13 Sistemas no holónomos: δqj independientes Ej.: patín. Escogemos δx como independiente, despejamos δy g1 ≡ A1 · δr = − sin θ δx + cos θ δy = 0 → δy = tan θ δx Ej.: rodadura sin deslizamiento. Las ligaduras no integrables eran: g1 ≡ δx − a cos ψδϕ = 0 → δx = a cos ψ δϕ g2 ≡ δy − a sin ψδϕ = 0 → δy = a sin ψ δϕ En este caso es obvio que el desplazamiento independiente va a ser δϕ. Cuando se proyectan en ejes 1, la cosa ya no está tan clara: ĝ1 ≡ cos ψδx + sin ψδy + aδϕ = 0 → ĝ2 ≡ − sin ψδx + cos ψδy = 0 δϕ = − a1 cos ψ + → δy = tan θ δx sin ψ cos ψ δx Estática y Dinámica Analı́tica– p. 8/13 Sistemas no holónomos, δqj independientes Se sustituyen los dependientes en δW , llamando Lj = Qj − Pj h dep. z n−h indep. }| { z }| { δW = L1 δq1 + · · · + Lh δqh + Lh+1 δqh+1 + · · · + Ln δqn = z L1 n X h dep. }| D1j δqj + · · · + Lh j=h+1 = Lh+1 + h X k=1 n X n−h indep. }| { Dhj δqj + Lh+1 δqh+1 + · · · + Ln δqn = j=h+1 ! { z Lk Dk,h+1 δqh+1 +· · ·+ Ln + h X k=1 ! Lk Dk,n δqn = 0 ∀ δqj Ahora todos los δqj son arbitrarios, porque son independientes: Los coeficientes tienen que ser todos nulos. Estática y Dinámica Analı́tica– p. 9/13 Movimiento: no holónomos, δqj independientes Sustituyendo Lj = Qj − Pj , se llega a las Ecuaciones del movimiento para sistemas no holónomos, por desplazamientos independientes Pj − Qj + h X (Pi − Qi ) Dij = 0, j = h + 1, . . . , n i=1 n X Ckj q̇j + B̃k = 0, k = 1, . . . , h j=1 Tenemos n ecuaciones diferenciales con n incógnitas, las qj (t) d ∂T ∂T − dt ∂ q̇j ∂qj − Qj general d ∂L ∂L − sólo potenciales −Lj = Pj − Qj = dt ∂ q̇ ∂q j j d ∂L − ∂L − Q̃j potenciales y no potenciales dt ∂ q̇j ∂qj Estática y Dinámica Analı́tica– p. 10/13 Equilibrio: no holónomos, δqj independientes Para las ecuaciones de equilibrio, se anulan las Pj y las q̇j , h X Qj + Qi Dij = 0, j = h + 1, . . . , n B̃k = 0, k = 1, . . . , h i=1 Ecuaciones de equilibrio para sistemas no holónomos mediante desplazamientos independientes Tenemos n − h ecuaciones algebraicas no lineales con n incógnitas, las qje : si hay solución, en general serán ∞ En los sistemas reónomos, sólo se aplican en los puntos en que se cumple B̃k = 0 Estática y Dinámica Analı́tica– p. 11/13 Equilibrio: no holónomos, δqj independientes Ej.: Esquí sobre la nieve horizontal, unido por un muelle al origen. L F Sólo puede moverse en su propia dirección: 1 y θ g1 ≡ A1 · v = [− sin θ, cos θ] · [ẋ, ẏ] = 0 = = − sin θ ẋ + cos θ ẏ + 0 · θ̇ = x θ̇ = 0 = C1x ẋ + C1y ẏ + C1θ Las fuerzas dadas y de ligadura tendrán la forma Fm = −k [x, y] FL 1 = µ1 A1 = µ1 [− sin θ, cos θ] DVCL del punto de aplicación de la fuerza, G n X ∂rG G δqj = [1, 0] δx + [0, 1] δy + [0, 0] δθ δr = ∂qj j=1 Fuerzas generalizadas Qx = ∂rG Fm · ∂x = −kx Qy = ∂rG Fm · ∂y = −ky Qθ = ∂rG Fm · ∂θ =0 Estática y Dinámica Analı́tica– p. 12/13 Equilibrio: no holónomos, δqj independientes desplazamientos independientes: de la ligadura cinemática δθ = 0 g1 ≡ − sin θ δx + cos θ δy = C1x δx + C1y δy + C1θ podemos escoger δx como independiente, de modo que δy = tan θ δx. Sustituimos en el trabajo virtual: δW = Qx δx + Qy δy = (Qx + Qy tan θ) δx = 0 ∀ DVCL Como δx es arbitrario, pues lo hemos tomado como independiente, tendrá que ser cero el coeficiente: x (Qx + Qy tan θ) = −k x − k y tan θ = 0 ⇒ tan θ = − y Para que haya equilibrio el muelle tiene que estar perpendicular al esquí, como dice el sentido común. Si se toma δy como independiente, el resultado es el mismo. Estática y Dinámica Analı́tica– p. 13/13