Sistemas holónomos/no holónomos

Sistemas holónomos/no holónomos
Sistemas holónomos:
N partículas, g ligaduras finitas, GDL = n = 3N − g
n = GDL coordenadas generalizadas independientes qj
DVCL espacio vectorial de dimensión n = GDL
Pn ∂ri
DVCL: δri = j=1
δqj Todos los δqj arbitrarios
∂qj
δqj arbitrarios, los coeficientes tienen que ser todos nulos
Estática
n
X
Qj · δqj = 0
j=1
Dinámica
n
X
(Qj − Pj ) · δqj = 0
indepte.
∀ δqj
j=1
Qj = 0
Pj = Qj
j = 1...n
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 1/13
Sistemas holónomos/no holónomos
Sistemas no holónomos:
g ligaduras finitas, h cinemáticas n.i., GDL = m = 3N − g − h
3N − g = n > GDL → qj no independientes
DVCL espacio vectorial de dimensión m = GDL< n
Pn ∂ri
DVCL: δri = j=1
δqj los δqj no son arbitrarios
∂qj
δqj no arbitrarios, los coeficientes no tienen que ser nulos
Estática
n
X
Qj · δqj = 0
j=1
Dinámica
n
X
(Qj − Pj ) · δqj = 0
DVCL
∀
δq
j
j=1
? =0
? = ?
j = 1... ?
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 2/13
Sistemas no holónomos
Dos caminos para obtener las ecuaciones:
Desplazamientos independientes:
Se escogen m = 3N − g − h δqj independientes
se sustituyen los dependientes
se pone δW sólo en función de los independientes
los nuevos coeficientes sí tienen que ser cero.
Multiplicadores de Lagrange:
Se sustituyen las ligaduras no integrables por sus fuerzas
esas fuerzas de ligadura se cuentan entre las directamente
aplicadas
desaparecen las ligaduras no integrables: sus fuerzas hacen
que se cumplan
se aplican las ecuaciones de sistemas holónomos
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 3/13
Movimiento: no holónomos, δqj independientes
Se toman n > GDL coordenadas generalizadas no independientes:
Pn ∂ri
i
ri = ri (qj , t) → vi = j=1 ∂qj q̇j + ∂r
∂t
Las vi tienen que cumplir también lasligaduras no integrables

N
N
n
X
X
X
∂ri
∂ri 

gk ≡
Aki · vi + Bk =
Aki ·
q̇j +
+ Bk =
∂qj
∂t
i=1
i=1
j=1
!
!
n
N
N
X X
X
∂ri
∂ri
=
Aki
q̇j +
Aki ·
+ Bk =
∂qj
∂t
j=1 i=1
i=1
| {z }
|
{z
}
Ckj
B̃k
n
X
=
Ckj q̇j + B̃k = 0 k = 1 . . . h
j=1
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 4/13
Movimiento: no holónomos, δqj independientes
Las q̇j cumplen las ligaduras no integrables
n
X
Ckj q̇j + B̃k = 0 ,
k = 1...h
j=1
Los desplazamientos posibles cumplen
n
X
Ckj dqj + B̃k dt = 0 ,
k = 1...h
j=1
Los DVCL cumplen las ligaduras congeladas
n
X
Ckj δqj + B̃k δt = 0 , k = 1 . . . h
j=1
h condiciones: sólo n − h serán independientes.
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 5/13
Sistemas no holónomos: δqj independientes
Despejar h δqj dependientes en función de n − h independientes:
Pn
j=1 C1j
Pn
δqj = 0
..
.
j=1 Chj
→ h
δqj = 0
⇒
z



1
Ckj
n
}|
{
h
n
δq1
..
.

0


δqh
− − − = ... h ⇒

δqh+1


0
..
.
δqn
h
n−h
z }| {
z
}|
{


δqh+1
δq


1
.. = h
..
h
Ckj
−C
kj
.
.


δqh
δqn
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 6/13
Sistemas no holónomos: δqj independientes
La matriz h × h de coeficientes de los dependientes se puede invertir,
z


h
}|
δq1
.. = h
Ckj
.

δqh
−h
{ z n }|
{
−1
−Ckj
δqh+1
..
=
.
z
n−h
}| {
Dkj
δqn
δqh+1
..
.
δqn
De este modo podemos despejar h δqj dependientes:
δqk =
n
X
Dkj δqj ,
k = 1...h
j=h+1
en función de los n − h independientes
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 7/13
Sistemas no holónomos: δqj independientes
Ej.: patín. Escogemos δx como independiente, despejamos δy
g1 ≡ A1 · δr = − sin θ δx + cos θ δy = 0 → δy = tan θ δx
Ej.: rodadura sin deslizamiento. Las ligaduras no integrables eran:
g1 ≡ δx − a cos ψδϕ = 0 → δx = a cos ψ δϕ
g2 ≡ δy − a sin ψδϕ = 0 → δy = a sin ψ δϕ
En este caso es obvio que el desplazamiento independiente va a ser
δϕ. Cuando se proyectan en ejes 1, la cosa ya no está tan clara:
ĝ1 ≡ cos ψδx + sin ψδy + aδϕ = 0
→
ĝ2 ≡ − sin ψδx + cos ψδy = 0
δϕ = − a1 cos ψ +
→
δy = tan θ δx
sin ψ
cos ψ δx
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 8/13
Sistemas no holónomos, δqj independientes
Se sustituyen los dependientes en δW , llamando Lj = Qj − Pj
h dep.
z
n−h indep.
}|
{
z
}|
{
δW = L1 δq1 + · · · + Lh δqh + Lh+1 δqh+1 + · · · + Ln δqn =
z
L1
n
X
h dep.
}|
D1j δqj + · · · + Lh
j=h+1
= Lh+1 +
h
X
k=1
n
X
n−h indep.
}|
{
Dhj δqj + Lh+1 δqh+1 + · · · + Ln δqn =
j=h+1
!
{ z
Lk Dk,h+1 δqh+1 +· · ·+ Ln +
h
X
k=1
!
Lk Dk,n δqn = 0 ∀ δqj
Ahora todos los δqj son arbitrarios, porque son independientes: Los
coeficientes tienen que ser todos nulos.
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 9/13
Movimiento: no holónomos, δqj independientes
Sustituyendo Lj = Qj − Pj , se llega a las Ecuaciones del movimiento
para sistemas no holónomos, por desplazamientos independientes
Pj − Qj +
h
X
(Pi − Qi ) Dij = 0,
j = h + 1, . . . , n
i=1
n
X
Ckj q̇j + B̃k = 0,
k = 1, . . . , h
j=1
Tenemos n ecuaciones diferenciales con n incógnitas, las qj (t)

d ∂T
∂T

−

dt ∂ q̇j
∂qj − Qj general


d ∂L
∂L
−
sólo potenciales
−Lj = Pj − Qj = dt
∂
q̇
∂q
j
j



 d ∂L − ∂L − Q̃j potenciales y no potenciales
dt ∂ q̇j
∂qj
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 10/13
Equilibrio: no holónomos, δqj independientes
Para las ecuaciones de equilibrio, se anulan las Pj y las q̇j ,
h
X
Qj +
Qi Dij = 0,
j = h + 1, . . . , n
B̃k = 0,
k = 1, . . . , h
i=1
Ecuaciones de equilibrio para sistemas no holónomos mediante
desplazamientos independientes
Tenemos n − h ecuaciones algebraicas no lineales con n
incógnitas, las qje : si hay solución, en general serán ∞
En los sistemas reónomos, sólo se aplican en los puntos en que se
cumple B̃k = 0
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 11/13
Equilibrio: no holónomos, δqj independientes
Ej.: Esquí sobre la nieve horizontal, unido por un muelle al origen.
L
F
Sólo puede moverse en su propia dirección:
1
y
θ
g1 ≡ A1 · v = [− sin θ, cos θ] · [ẋ, ẏ] = 0 =
= − sin θ ẋ + cos θ ẏ + 0 · θ̇ =
x
θ̇ = 0
= C1x ẋ + C1y ẏ + C1θ
Las fuerzas dadas y de ligadura tendrán la forma
Fm = −k [x, y]
FL
1 = µ1 A1 = µ1 [− sin θ, cos θ]
DVCL del punto de aplicación de la fuerza, G
n
X
∂rG
G
δqj = [1, 0] δx + [0, 1] δy + [0, 0] δθ
δr =
∂qj
j=1
Fuerzas generalizadas
Qx =
∂rG
Fm · ∂x
= −kx
Qy =
∂rG
Fm · ∂y
= −ky
Qθ =
∂rG
Fm · ∂θ
=0
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 12/13
Equilibrio: no holónomos, δqj independientes
desplazamientos independientes: de la ligadura cinemática
δθ = 0
g1 ≡ − sin θ δx + cos θ δy = C1x δx + C1y δy + C1θ
podemos escoger δx como independiente, de modo que
δy = tan θ δx. Sustituimos en el trabajo virtual:
δW = Qx δx + Qy δy = (Qx + Qy tan θ) δx = 0
∀ DVCL
Como δx es arbitrario, pues lo hemos tomado como independiente,
tendrá que ser cero el coeficiente:
x
(Qx + Qy tan θ) = −k x − k y tan θ = 0 ⇒
tan θ = −
y
Para que haya equilibrio el muelle tiene que estar perpendicular al esquí, como dice el sentido común. Si se
toma δy como independiente, el resultado es el mismo.
Estática y Dinámica Analı́tica– p. 13/13