TEMA III: ELASTICIDAD EN POLÍMEROS 3.1 Comportamiento elástico en polímeros. 3.2 Viscoelasticidad lineal. 3.3 Amortiguamiento dinámico. Disipación de energía mecánica. 3.1 COMPORTAMIENTO ELÁSTICO EN POLÍMEROS. En la figura se observan las curvas tensión deformación de varios polímeros. Como puede apreciarse, existen comportamientos muy diferentes dentro de esta familia de materiales: elástico-frágil (A), muy dúctil (B) o exhibiendo un gran elasticidad no lineal, es decir, un comportamiento elastomérico (C). En este tema trataremos de entender el comportamiento mecánico de los polímeros, sobre todo en lo relativo al régimen elástico. En el tema anterior hemos analizado el comportamiento mecánico en régimen elástico (deformaciones reversibles), asumiendo que la respuesta elástica era instantánea y lineal, de forma que nada más aplicar una cierta tensión el sólido adquiere la correspondiente deformación. Sin embargo, ya aludimos al hecho de que existen dos tipos de fuerzas de retracción elástica (entálpica y entrópica, Fr U l T TV S l ), que aluden a dos TV mecanismos elementales de deformación a nivel microscópicos: - La elasticidad entálpica está relacionada con variaciones en las longitudes y ángulos de enlace que colocan los átomos en posiciones nuevas de mayor energía interna. Este tipo de movimientos son de muy corto alcance y, por tanto, tienen lugar muy rápidamente (en tiempos del orden de 10-12 s) y pueden ser considerados instantáneos. El comportamiento elástico asociado a este tipo de movimientos atómicos está bien descrito por la teoría elástica lineal que hemos estudiado. Este tipo de comportamiento lo exhiben la mayoría de materiales metálicos y cerámicos. - Sin embargo, en materiales poliméricos además de este mecanismo de deformación entálpico existe también la posibilidad de que las moléculas de cadena larga que los conforman se muevan en mayor o menor medida mediante rotaciones de los enlaces simples C-C de los esqueletos moleculares sin cambio en los ángulos o distancias de enlace, lo que permite una reorganización atómica a gran escala. Esta reorganización conduce a una disminución de la entropía molecular. En el caso de los elastómeros, esta segunda contribución es la dominante, con escasa variación de la energía interna durante la deformación (es decir, con escasa distorsión de sus enlaces covalentes). Este movimiento molecular es un proceso más lento que el primero y el tiempo puede jugar un papel en la deformación elástica entrópica dando lugar al fenómeno de la viscoelasticidad. La dependencia temporal del comportamiento elástico en este tipo de materiales se manifiesta claramente en los fenómenos de relajación y fluencia: Relajación Fluencia Por relajación se entiende la disminución de las tensiones que se produce en un material viscoelástico a deformación constante y para caracterizar este fenómeno se define el módulo de relajación Er(t)=(t)/ del material. Por el contrario la fluencia consiste en un aumento de la deformación en este tipo de materiales cuando mantenemos la tensión constante. De forma análoga, en este caso se define el módulo de fluencia Ec(t) =/(t) que no coincide necesariamente con Er(t), ya que generalmente el material tiende a su valor de equilibrio más lentamente en fluencia que en relajación. Por tanto, el módulo elástico deja de ser una constante y pasa a depender del tiempo e incluso del modo de solicitación mecánica . La movilidad molecular en los polímeros se ve afectada por un gran número de factores: arquitectura molecular, cristalinidad, presencia de fluidos u otros agentes químicos, etc., pero especialmente depende de la temperatura. De hecho, se puede asumir que la velocidad a la que ocurren estos procesos de reconfiguración a nivel molecular sigue una ley tipo Arrhenius: velocidad e Q kT siendo Q la energía de activación del proceso de reconfiguración. Para temperaturas bajas, muy inferiores a una cierta temperatura crítica que se denomina temperatura de transición vítrea o de reblandecimiento del polímero (T << Tg), la velocidad con que tienen lugar estos desplazamientos moleculares es tan lenta que su contribución a la elasticidad del material es despreciable y la respuesta a la aplicación de tensiones, es decir, la deformación, tiene lugar casi exclusivamente por distorsión de enlaces primarios. En ese caso, el polímero se comporta igual que un vidrio, exhibiendo elasticidad lineal y un cierto grado de fragilidad. Para temperaturas altas (T >> Tg) la velocidad con que tienen lugar estos desplazamientos moleculares es muy rápida (casi instantáneos) y dominan el comportamiento elástico del material. En este caso, el polímero se comporta como un elastómero perfecto donde las deformaciones idealmente tampoco dependen del tiempo o de la velocidad de deformación. La dependencia temporal de la deformación, es decir, la viscoelasticidad, se produce especialmente en la región de temperaturas entorno a Tg donde se producen desplazamientos moleculares pero éstos requieren de un cierto tiempo no despreciable para producirse. Por tanto en materiales poliméricos pueden distiguirse varios regímenes de comportamiento: 3.1.1 Régimen Vítreo. En las figuras se representa el módulo de relajación frente a la temperatura para varios tiempos, en tres materiales poliméricos. En todos ellos puede apreciarse un régimen a bajas temperaturas donde el módulo es relativamente elevado y decrece ligeramente con la temperatura, según la expresión: E T 1 a E0 Tg similar a la de materiales inorgánicos pero con Tg en lugar de Tf, donde a sigue siendo aproximadamente 0.5. En este régimen, denominado régimen vítreo (glassy), el sistema se comporta como un sólido elástico lineal, relativamente frágil, y su módulo (denominado módulo vítreo, Eg) no depende del tiempo. En algunos polímeros, además de las distorsiones de enlaces primarios en el régimen vítreo se producen también pequeños desplazamientos elásticos entre segmentos de cadenas próximas, en grupos moleculares específicos de cada polímero. Cuando estos mecanismos se activan, se produce una disminución considerable en el módulo vítreo y en el tramo de temperaturas en que se produce la activación se observa una dependencia con el tiempo del módulo, el material exhibe algo de viscoelasticidad. Estos rangos de temperatura donde se produce la activación de estos mecanismos de deformación molecular localizada se denominan transiciones o relajaciones y reciben distintos nombres según el polímero (transición en el poliestireno y relajación en el epoxy). 3.1.2 Transición vítrea o relajación . Algo similar a estas relajaciones pero más drástico se produce cuando se alcanza la temperatura de transición vítrea. Al acercarnos a esta temperatura la energía térmica es ya suficiente para rompen los enlaces secundarios y volverlos a crear. A consecuencia de ello, la movilidad molecular aumenta drásticamente y el módulo se reduce en varios órdenes de magnitud hasta alcanzar un valor, Er, que se denomina módulo elastomérico (rubbery). Durante esta transición, denominada también relajación del polímero, el módulo de relajación y el comportamiento elástico del polímero depende fuertemente del tiempo es el régimen donde la viscoelasticidad del polímero es más acusada. 3.1.3 Régimen elastomérico. Terminada la transición vítrea, el módulo apenas depende del tiempo y aumenta gradualmente con la temperatura, denotando el dominio de la elasticidad entrópica (ver demostración en Tema I). Aunque todos los polímeros exhiben este régimen elastomérico a mayor o menor temperatura, no todos exhiben las enormes deformaciones reversibles de un elastómero (de los 3 polímeros mostrados, tan sólo el poli-isobutileno lo exhibe, y además lo hace a temperatura ambiente). La razón es que para que estas deformaciones entrópicas sean reversibles es preciso que existan enlaces cruzados entre las cadenas poliméricas, cosa que no sucede en el poliestireno, y para que dichas deformaciones sean grandes las cadenas deben ser largas, cosa que no sucede en el caso del epoxy (aunque en éste las cadenas están muy entrelazadas). Este es el interés del proceso de vulcanización (o del de reticulación o curado por enlaces tipo peróxido), durante el cual se introducen enlaces sulfurados (o peróxido) entre las cadenas poliméricas que incrementan su régimen elastomérico. En efecto, según la teoría cinética de la elasticidad en elastómeros ideales, el módulo elastomérico, Er, es proporcional a la densidad de enlaces entre cadenas poliméricas, N (mol/m3), ya que según esta teoría: NRT 1 2 (1) donde R es la constante de los gases ideales y =L/L0=+1, de forma que Er viene dado por: Er d d 3 NRT 0 Este aumento del módulo elastomérico, Er, debido al incremento en los enlaces cruzados se aprecia en la figura NOTA: la forma de la curva tensión-deformación no se ajusta exactamente a la ecuación (1) (tramo casi horizontal intermedio) y por ello se suele usar más habitualmente la aproximación empírica de Mooney-Rivlin: 2 C1 C 2 1 2 donde C1 y C2 son parámetros de ajuste empíricos que dependen del material. NOTA: El ascenso que se observa para grandes deformaciones en la curva tensión-deformación uniaxial de un elastómero (ver curva C en la primera figura del tema) se debe a que una vez alineadas las cadenas poliméricas las deformaciones posteriores deben alcanzarse modificando los enlaces covalentes de la cadena lo que requiere tensiones muy superiores y provoca un aumento del módulo, y el comportamiento elástico estará entonces dominado ahora por esta nueva contribución entálpica. 3.1.4 Régimen de comportamiento viscoso o viscoplástico. Si aumentamos la temperatura aún más, ni siquiera los enlaces cruzados (de existir) son capaces de devolver al polímero a su forma original y éste se comporta como un fluido viscoso más que como un sólido, admitiendo grandes deformaciones irreversibles. Ese regímen se utiliza en la práctica para el conformado de los polímeros mediante moldeado, extrusión, inyección, etc. En la gráfica de módulos de relajación, el paso a dicho régimen viscoso se observa claramente como una caída gradual de dicho módulo hasta valores cercanos a cero. Realmente, en este tramo, puesto que las deformaciones dejan de ser reversibles, los valores representados dejan de ser significativos, no representan un módulo elástico. Se observa que es un régimen de comportamiento altamente dependiente del tiempo y por tanto a este comportamiento se le denomina viscoplasticidad. El comienzo de la transición al dominio de flujo viscoso depende en gran medida del peso molecular de la cadena polimérica: a mayor peso molecular más temperatura se necesita para que se inicie dicha transición, alargándose el régimen elastomérico (ver figura anterior). Finalmente, si la temperatura continua subiendo el polímero acaba descomponiéndose químicamente. 3.1.5 Equivalencia Tiempo-Temperatura. Los resultados discutidos en esta sección a partir de la curva módulo de relajación frente a temperatura se podrían haber discutido directamente en una curva módulo de relajación frente a tiempo en escala logarítmica para una temperatura dada. Ambas curvas tienen forma análoga, pero no se usa la curva frente al tiempo porque para obtenerla completa habría que barrer entre 10 y 15 décadas, lo que no es factible experimentalmente. Qué ambas curvas sean análogas indica que existe una equivalencia clara entre temperatura y tiempo. Es decir, el mismo módulo elástico puede obtenerse a bajas temperaturas para tiempo largos o bien tiempos cortos pero alta temperatura. Usando esta propiedad, que se verifica bien para Tg<T<Tg+100K (aunque a veces se utiliza más allá de dichos límites) se pueden construir las curvas Er(t) para una temperatura dada a partir de las curvas parciales Er(t) correspondientes a otras temperaturas (ver figura transparencias), utilizando el siguiente factor de desplazamiento o corrimiento (Williams et al.): log aT log C (T T0 ) tT 1 tT 0 C 2 T T0 log tT log tT0 log aT log tT0 C1 (T T0 ) C 2 T T0 donde tT y tT0 son los tiempos necesarios para alcanzar un determinado valor de Er a T y T0, respectivamente. Las constantes C1 y C2 son parámetros que dependen de la temperatura de referencia T0 escogida: 3.2 VISCOELASTICIDAD LINEAL. Como ya se ha mencionado, en los regimenes vítreo y elastomérico ideales no existe dependencia en la respuesta elástica con el tiempo (o la velocidad de ensayo). Sin embargo, en las regiones de transición entre cada uno de estos estados y en general a cualquier temperatura donde se pueda producir una relajación de la estructura polimérica se observa que la respuesta mecánica del material depende del tiempo. En la práctica, en mayor o menor medida, el tiempo juega un papel muy relevante en el comportamiento elástico de materiales poliméricos (como se pone de manifiesto en los ensayos de fluencia o de relajación) y se dice que los polímeros presentan un comportamiento viscoelástico. En general, las deformaciones en un sólido viscoelástico vienen dadas por g ( , t ) , es decir, la relación entre tensiones y deformaciones es no lineal. Sin embargo, si las deformaciones elásticas son pequeñas (< 1-2%) y las velocidades de deformación o flujo viscoso son bajas (< 0.1 s-1), las deformaciones viscoelásticas pueden aproximarse mediante la expresión: f (t ) , de forma que la razón entre tensiones y deformaciones, i.e. el módulo de relajación, depende sólo del tiempo (y, equivalentemente, de la temperatura) pero no de la tensión. Entonces se dice que la respuesta viscoelástica es lineal y puede expresarse como suma de componentes elásticas lineales y componentes de flujo viscoso (o newtonianas) lineales. Aunque en general el comportamiento viscoelástico de los polímeros es no-lineal (salvo en un rango muy reducido) el estudio de la teoría que rige el comportamiento viscoelástico lineal proporciona una aproximación muy útil desde el punto de vista ingenieril. La dependencia temporal de la respuesta viscoelástica lineal es análoga a la de los circuitos eléctricos reactivos y puede ser descrita por ecuaciones diferenciales del mismo tipo. Para obtener estas ecuaciones se suelen emplear modelos mecánicos de muelles (spring) y amortiguadores viscosos (dashpot), que además, permiten esquematizar los movimientos moleculares: Los muelles verifican la ley de Hooke: E y G y representan la distorsión instantánea de los enlaces. La magnitud del módulo asociado a estos elementos se relaciona con la fracción de energía mecánica almacenada en el material de forma reversible como energía elástica. Los amortiguadores viscosos pueden ser descritos como fluidos newtonianos donde la tensión no provoca una deformación dada sino una cierta velocidad de deformación: ' y ' siendo la viscosidad del fluido (Ns/m2). Estos elementos simulan las deformaciones de origen entrópico y, por tanto, su magnitud estará asociada a la fracción de energía disipada en forma de calor durante estos procesos. H kT La viscosidad del amortiguador depende de la temperatura y sigue una ley tipo Arrhenius: Ae donde H es la energía de activación del flujo viscoso. De esta forma el modelo incorpora la dependencia con la temperatura del comportamiento viscoelástico de los materiales poliméricos. Sin embargo, ninguno de estos elementos simples reproduce individualmente de forma adecuada la respuesta mecánica del material viscoelástico y por ello es necesario combinarlos entre sí en diferentes modelos mecánicos: 3.2.1 Modelo de Maxwell. Es el modelo más simple, y consiste en colocar ambos elementos en serie. De esta forma, la deformación total es la suma de las deformaciones en cada elemento y las tensiones son iguales en ambos: s d d d s d d 1 d 1 d d 1 E s d dt dt dt E dt dt dt Este modelo permite reproducir el fenómeno de relajación: t t d d (t ) 0 1 0, 0 (t ) 0 e Er (t ) e dt dt 0 0 a t 0 solo el muelle deforma t Er (t ) Ee La razón entre la viscosidad del amortiguador y la rigidez del muelle es una magnitud de interés pues tiene unidades de tiempo y es una medida del tiempo de respuesta viscoelástica del material: E Se denomina tiempo de relajación del material y matemáticamente es el tiempo necesario para que la tensión caiga hasta 1/e veces su valor inicial. Veamos como se comportaría el modelo de Maxwell frente a un ensayo de fluencia: t0 t t0 / t0 / /E t t0 El muelle deformaría instantáneamente y posteriormente la deformación iría aumentando a velocidad constante hasta que cesa la tensión. En ese momento se recupera la deformación del muelle pero no la del amortiguador. Por tanto, el modelo de Maxwell reproduce bien el proceso de relajación pero involucra deformaciones irreversibles y un flujo viscoso ilimitado y, por tanto, no es un modelo viscoelástico puro. Algunos materiales tipo alquitrán caliente o masilla pueden modelizarse adecuadamente utilizando este modelo que en realidad es viscoplástico y no viscoelástico. 3.2.2 Modelo de Voigt. Consiste en colocar ambos elementos en paralelo, de forma que la deformación en ambos coincide, siendo la tensión total la suma de las tensiones en cada uno de ellos: s d d E s d dt Veamos que pasaría en este modelo durante un ensayo de fluencia: d E d dt cte dt E 0 0 ln( E ) E 0 t E t t E E ln t 1 e 1 e 0 E t y una vez cesa la tensión, =0, se produce la relajación: d E 0 E d dt cte dt E 0 0 t E t ln t 0 e 0 E ln t 0 Por tanto, en el modelo de Voigt la tensión no provoca ninguna deformación instantánea, debido a la rigidez infinita inicial del amortiguador, que soporta toda la t t tensión. Posteriormente, conforme el amortiguador deforma (inicialmente a una velocidad determinada por su viscosidad) parte de la tensión se transmite al muelle y por tanto, la velocidad de deformación del amortiguador disminuye progresivamente hasta anularse cuando toda la tensión ha sido transferida al muelle, que entonces ha t deformado una cantidad =/E. Al cesar la carga, el proceso se invierte, al no poder t retornar instantáneamente a su posición de equilibrio, el amortiguador mantiene en tracción al muelle quedando él en compresión (’<0) pero de forma que la tensión total en el sistema es nula, hasta que poco a poco la deformación se relaja completamente. 0 0 3.2.3 Modelo de Sólido Lineal Estándar (Standard Linear Solid, SLS). En general, en los ensayos de fluencia los materiales viscoelásticos experimentan una cierta cantidad de deformación instantánea antes de empezar a fluir. Para poder tener en cuenta este hecho se utiliza el modelo denominado de sólido lineal estándar (SLS) que puede representarse como un modelo de Voigt en serie con un muelle o uno de Maxwell en paralelo con un muelle. t0 t t0 / t0 / /E t t0 Considerando la versión de Maxwell, y llamando Ee a la constante del muelle adicional y siendo Em y m las constantes del modelo de Maxwell en paralelo, puede obtenerse la ecuación que verifica este modelo de 3 elementos: e m Ee m e m donde m verifica: d d m E m m dt dt m dx que haciendo la transformada de Laplace y considerando que L x queda: sL( x) s~ dt E E s~ E m s~ s~m m ~m ~m m E m s m Em m y por tanto la ecuación global en el espacio de Laplace sería: E s ~ ε~ m ~ Ee E s m m que se asemeja a la Ley de Hooke, pero en el espacio de Laplace, y se denomina ecuación constitutiva viscoelástica asociada. Veamos como se comporta el modelo SLS en relajación: 0, t0 L ( H ( t ))1 / s ~ ( s) (t ) 0 H (t ) 0 , t 0 1 0 s Em ~ Ee E s 0 s m m 1 at e conduce a: s a que considerando que L (t ) E r (t ) E e E m e 0 t m El SLS es un modelo de 3 parámetros que permite ajustar bien el comportamiento viscoelástico. Haciendo Ee =Er y Em =Eg -Er y escogiendo en el intervalo de tiempo apropiado se puede tratar de ajustar la relajación de un polímero viscoelástico dado. Sin embargo, este modelo con un único tiempo de relajación produce una transición demasiado brusca de Eg a Er que no suele ajustarse bien a los resultados experimentales NOTA: Al modelo SLS se le puede incorporar en serie un nuevo amortiguador (=Maxwell+Voigt) si se desea ajustar un comportamiento en el que el material puede deformar permanentemente. Entonces ya no sería un modelo viscoelástico sino viscoplástico, pero podría ser útil para modelizar el comportamiento del polímero en la región de flujo viscoso. 3.2.4 Modelo de Wiechert. Los mecanismos de relajación en un polímero son múltiples, involucrando cada uno de ellos segmentos moleculares de distinto tamaño. La relajación molecular es tanto más rápida cuanto menor es el tamaño de segmento involucrado. Por ello, los materiales viscoelásticos presentan una distribución de tiempos de relajación más que un único . Por tanto, su comportamiento no puede ser ajustado correctamente utilizando SLS. En estos casos, se puede recurrir a modelos más complejos como el de Wiechert, que incorpora ramas tipo Maxwell adicionales en paralelo a un SLS, incorporando por tanto un mayor número de tiempos de relajación. La ecuación constitutiva en este modelo queda de la siguiente forma: Ejs ~ ~e ~ j Ee Ej j j s j Ejs ~ Ee 1 j s j ~ ~ ε que en relajación, procediendo igual que para el modelo SLS, conduciría a: t (t ) E r (t ) E e E j e 0 j j 3.3 AMORTIGUAMIENTO DINÁMICO. DISIPACIÓN DE ENERGÍA MECÁNICA. Los mecanismos de deformación con origen entrópico que dan lugar al comportamiento viscoelástico llevan asociados procesos internos de disipación de energía mecánica que se denominan procesos de fricción interna. En esta sección trataremos de analizar este fenómeno. Los fenómenos de relajación y fluencia ponen de manifiesto que existe un desfase, un retraso, en la respuesta mecánica (deformación) a la aplicación de una tensión externa. Este hecho se pone claramente de manifiesto en ensayos cíclicos. La respuesta del material en este tipo de ensayos depende de la frecuencia de aplicación de la tensión. Cuando la frecuencia de la solicitación es muy alta, tanto que f -1 << , los mecanismos entrópicos no se activan y el material se comporta como un material elástico lineal de módulo Eu, que denominaremos módulo no relajado (y que sería equivalente al módulo vítreo, Eg). Si por el contrario la frecuencia es tan baja que f -1 >> , los mecanismos de relajación tendrán tiempo más que suficiente para actuar, y podremos considerarlos también instantáneos, por lo que la respuesta del material será inicialmente también lineal pero con un módulo inferior, Er, que denominaremos módulo relajado (en realidad será no lineal como corresponde a un elastómero). En ambos casos, la respuesta del material estará en fase con la solicitación y no existe histéresis en la curva -. En cambio, para frecuencias intermedias, f desfase: -1 , y la deformación no es capaz seguir a la tensión y aparece un 0 cos(t ) 0 cos(t ) Como consecuencia de este desfase, la curva - depende del camino seguido y no coinciden el tramo de carga y el de descarga, apareciendo un fenómeno de histéresis, que denota un proceso no conservativo, es decir, con pérdida de energía en cada ciclo en forma de calor. La energía perdida, que puede calcularse a partir del área comprendida en la curva, produce por tanto un calentamiento del material. Además, esta pérdida de energía con cada ciclo de carga-descarga conduce a fenómenos como la atenuación de vibraciones u ondas acústicas en el material, o a la amortiguación del rebote de un objeto que impacte sobre el material. NOTA: Como ya comentamos en el tema anterior, este tipo de pérdidas de energía en cada ciclo de carga-descarga también sucede en metales y cerámicos policristalinos, aunque en mucha menor medida. En este caso, el fenómeno se denomina anelasticidad y se relaciona con grandes movimientos atómicos en las regiones intergranulares, análogos a los movimientos en cadenas poliméricas aunque mucho más localizados. Estos movimientos pueden considerarse en esencia deformaciones viscosas que, a bajas temperaturas, son reversibles. También se observa anelasticidad en soluciones sólidas intersticiales por ocupación preferente de ciertos intersticios bajo la acción de tensiones, ya que la migración de impurezas hacia dichos intersticios requiere tiempo. Para analizar todos estos efectos de amortiguación y disipación de energía mecánica es conveniente escribir la función tensión como un vector complejo cuya parte real representa la componente en fase con la deformación y la parte imaginaria una componente desfasada 90º con respecto a la deformación: 0 cos(t ) * 0 ' cos(t ) i 0 ' ' sin(t ) 0 cos cos(t ) i 0 sin sin(t ) de forma que se verifica * 0 y tan 0 ' ' / 0 ' y puede definirse un módulo complejo: E* Im Re 0 ' 0 '' 0 i cos i 0 sin E * cos i E * sin E 'iE ' ' 0 0 0 0 donde E’ es el denominado módulo real o de almacenamiento (storage) y E’’ es el módulo imaginario o de pérdida (loss). Esta denominación se entiende fácilmente al calcular el trabajo realizado en cada ciclo de carga: 2 / 2 / d dt 0 ' cos t ( 0 sint )dt 0 ' ' sin t ( 0 sint )dt 0 0 dt x sin 2ax 2 sin axdx W 0 0 ' ' 0 0 0 sin Wdis 2 4a W d es decir, la componente en fase de la tensión no produce trabajo neto en el ciclo y, por tanto, la energía elástica debida a ella es recuperable, queda almacenada (de ahí la denominación de E’). En cambio, la energía asociada a la componente desfasada se pierde irreversiblemente en forma de calor. La máxima energía elástica almacenada por la componente en fase se obtiene a un cuarto del ciclo: / 2 Walm 0 0 ' cos t ( 0 sint )dt sin 2 ax cos ax sin axdx W 12 0 ' 0 12 0 0 cos 2 a de forma que la razón entre las energías perdida y almacenada en un ciclo se relaciona con el ángulo de desfase: Wdis 2 tan Walm De esta forma tan E ' ' / E ' 0 ' ' / 0 ' se denomina tangente de pérdida y mide la capacidad de amortiguamiento mecánico del material. En efecto, se puede comprobar que dicha magnitud se relaciona directamente con la variación de la amplitud de una vibración en escala logarítmica: ln An / An 1 tan Todas estas magnitudes que acabamos de definir (módulos de almacenamiento y pérdida, tangente de pérdida, etc.) pueden ser medidas mediante ensayos dinámicos consistentes en inducir una vibración forzada a diferentes frecuencias o a frecuencia constante pero variando la temperatura. Estas medidas permiten caracterizar el amortiguamiento mecánico en materiales viscoelásticos. Cuando realizan este tipo de medidas en un material polimérico, se encuentra que los valores de todas estas magnitudes dependen fuertemente de la temperatura y de la frecuencia de la vibración (recordar equivalencia tiempo-temperatura): En las figuras se aprecia especialmente la presencia de máximos en la tangente de pérdida que coinciden con temperaturas de transición (o de relajación) del polímero, como por ejemplo Tg. El análisis de dichos máximos de amortiguación resonante (cuya anchura viene determinada por el denominado factor de calidad Q = 1/tan ) permite determinar los tiempos de relajación asociados a cada transición y sus energías de activación. Además, estos espectros mecánico-dinámicos pueden utilizarse para identificar el tipo de movimiento molecular responsable de cada relajación. Asimismo, se pueden hacer estudios para correlacionar todos estos parámetros con variables como el contenido de humedad, grado de cristalinidad, peso molecular, aditivos, etc., del polímero.