θ sen amo paralelógr Área = ba - U

§ 4 Producto cruz o producto vectorial
Otra forma natural de definir un producto
entre vectores es a través del área del
paralelogramo determinado por dichos
vectores. El paralelogramo definido por los
→
→
vectores a y b se muestra en la figura del
lado derecho.
→
b
h
→
a
θ
→
Si consideramos el vector a como base del paralelogramo y denotamos por h su altura,
entonces por definición de seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo tenemos
que
sen θ =
h
→
→
, o sea h = b sen θ ; por consiguiente, el área del paralelogramo en
b
→
→
→
consideración es a h = a b sen θ , es decir,
→ →
Área paralelógramo = a b sen θ
Aunque el área de dicho paralelogramo es
un escalar, de todas maneras puede ser
representado por un vector.
→
c
→
¿Cuál?
b
→
Aquel vector c que es perpendicular al
→
→
→
plano determinado por los vectores a y b ,
cuya norma es precisamente el área del
paralelogramo.
a
θ
→
→
Desde luego que otra elección posible hubiese sido el opuesto del vector c , es decir, - c .
Volveremos sobre este punto más adelante.
→
→
→
¿Cuáles son las coordenadas del vector c , en función de las coordenadas de a y b ?
PEGG
26
→
→
→
Sí a = (a1 , a 2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) y c = (c1 , c 2 , c3 ) , entonces de las condiciones de
→ →
→ →
perpendicularidad a⋅ c = 0 y b ⋅ c = 0 podemos deducir que las coordenadas del vector
→
c son soluciones del sistema de ecuaciones lineales
⎧a1c1 + a 2 c 2 + a3 c3 = 0
⎨
⎩ b1c1 + b2 c 2 + b3 c3 = 0
→
→
Si a y b no son múltiplo uno del otro, entonces al menos uno de los siguientes
determinantes es no nulo
a1
b1
a2
,
b2
a1
a3
b1
b3
,
a2
a3
b2
b3
Sin perder generalidad en nuestro razonamiento, suponiendo que ∆ =
a2
a3
b2
b3
≠ 0 y si
escogemos c1 = ∆ = a 2 b3 − a3 b2 , entonces podemos ver que c 2 y c3 son soluciones del
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
⎧a 2 c 2 + a3 c3 = −a1c1
⎨
⎩ b2 c 2 + b3 c3 = −b1c1
cuyas soluciones son c 2 = −(a1b3 − a3 b1 ) y c3 = a1b2 − a 2 b1 , de manera que
→
c = (c1 , c 2 , c3 ) = (a 2 b3 − a3 b2 ,−(a1b3 − a3 b1 ), a1b2 − a 2 b1 )
Este vector que representa el área del paralelógramo define el llamado producto vectorial o
producto cruz de dos vectores.
Definición El producto cruz o producto vectorial de dos vectores tridimensionales
→
→
a = (a1 , a 2 , a3 ) y b = (b1 , b2 , b3 ) es el vector definido por la igualdad
→
→
a× b = (c1 , c 2 , c3 ) = (a 2 b3 − a3 b2 ,−(a1b3 − a3b1 ), a1b2 − a 2 b1 )
→
→
Observemos que el vector a× b puede ser calculado de la siguiente manera
PEGG
27
→
⎛a
a× b = ⎜⎜ 2
⎝ b2
→
a3 a1
,−
b3 b1
a2 ⎞
⎟,
b2 ⎟⎠
a3 a1
,
b3 b1
entonces, para saber si este vector apunta en un sentido o el opuesto, podemos realizar los
→
→
→
→
→
→
siguientes cálculos: i × j , j × k y k × i .
→
k
→
⎛0 0 1 0 1 0⎞
⎟ = (0,0,1) = k
i × j = (1,0,0) × (0,1,0) = ⎜⎜
,−
,
⎟
⎝1 0 0 0 0 1⎠
→
→
→
→
⎛ 1 0 0 0 0 1⎞
⎟ = (1,0,0) = i
j × k = (0,1,0) × (0,0,1) = ⎜⎜
,−
,
⎟
⎝ 0 1 0 1 0 1⎠
→
→
j
→
→
⎛0 1 0 1 0 0⎞
⎟ = (0,1,0) = j
k × i = (0,0,1) × (1,0,0) = ⎜⎜
,−
,
⎟
⎝0 0 1 0 1 0⎠
→
→
→
→
→
→
→
i
→
También podemos calcular los productos j × i , k × j y i × k . Hágalo.
→
→
a× b
→
De los resultados obtenidos se observa que si a y
→
→
a
→
b son vectores dados, entonces el sentido del
→
→
producto cruz a× b se obtiene mediante la regla
de la manos derecha que explicamos a
continuación.
→
b
Regla de la mano derecha: Si ponemos el dedo
índice de la mano derecha apuntando en el mismo
→
sentido del vector a y el dedo mayor en el mismo
→
sentido que b , entonces, el sentido del producto
→
→
→
→
vectorial a× b , de los vectores a y b , lo da el
pulgar de la misma mano derecha cuando este se
estira de manera que quede perpendicular a los
otros dos dedos.
Para familiarizarse con el producto cruz proponemos:
PEGG
28
→
→
a) Representar gráficamente los vectores a = (1,3,5) , b = (−2,−3,3) y el paralelogramo
determinado por éstos.
→
→
b) Calcular el producto vectorial a× b , representarlo gráficamente y verificar que el
resultado apunta en el mismo sentido que el dado por la regla de la mano derecha.
c) Calcular el área del paralelogramo definido en la parte a).
Propiedades del producto cruz
→
→
→
Si a , b y c son vectores tri dimensionales entonces se verifica las siguientes propiedades:
→
→
→
→
1. a× a = 0
→ →
2. a× b = −(b × a )
→
→ →
→
→ →
3. a⋅ (a × b ) = 0
4. b ⋅ (a × b ) = 0
→
→
→
→
5. (α a ) × b = α ( a× b )
→
→ 2
6. a× b
→
→ 2 → 2
⎛→ →⎞
= a b − ⎜ a⋅ b ⎟
⎝
⎠
→ →
→
→
→
2
→
7. a× (b + c ) = a× b + a× c
→
→
Si tenemos presente que la norma del vector a× b representa el área del rectángulo
→
→
definido por los vectores a y b , podemos visualizar geométricamente las propiedades 1, 2
y 5.
→
→
→
Como el área del paralelógramo cuyos lados son a y b = a es nula, es natural que valga
1.
Si multiplicamos por un escalar no negativo la longitud de uno de los lados de un
paralelogramo, entonces su área se multiplica por dicha constante. ¿Cómo se puede
interpretar geométricamente 7?
Sugerimos que el lector demuestre las propiedades del producto cruz. A modo de ejemplo
probaremos 3 y 7.
→
→
Si a = (a1 , a 2 , a 3 ) y b = (b1 , b2 , b3 ) , entonces
PEGG
29
→
→ →
a⋅ (a × b ) = (a1 , a 2 , a3 ) ⋅ (a 2 b3 − a3 b2 ,−(a1b3 − a3 b1 ), a1b2 − a 2 b1 )
= (a1 , a 2 , a3 ) ⋅ (a 2 b3 − a3b2 ,− a1b3 + a3 b1 , a1b2 − a 2 b1 )
= a1 a 2 b3 − a1 a3 b2 − a1 a 2 b3 + a 2 a3 b1 + a1 a3 b2 − a 2 a3 b1
=0
→
→
→
Si a = (a1 , a 2 , a 3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) y c = (c1 , c 2 , c3 ) entonces
→
→ →
a× (b + c ) = (a1 , a 2 , a3 ) × (b1 + c1 , b2 + c 2 , b3 + c3 )
⎛ a2
= ⎜⎜
⎝ b2 + c 2
a3
b3 + c3
,−
a1
b1 + c1
a3
,
a1
b3 + c3 b1 + c1
⎞
⎟
b2 + c 2 ⎠⎟
a2
= (a 2 b3 + a 2 c3 − a3b2 − a3 c 2 ,−(a1b3 + a1c3 − a3 b1 − a3 c1 ), a1b2 + a1c 2 − a 2 b1 − a 2 c1 )
= (a 2 b3 + a 2 c3 − a3b2 − a3 c 2 ,− a1b3 − a1c3 + a3 b1 + a3 c1 , a1b2 + a1c 2 − a 2 b1 − a 2 c1 )
Por otro lado
→
→
→
→
a× b + a× c = (a 2 b3 − a3 b2 ,− a1b3 + a3 b1 , a1b2 − a 2 b1 ) + (a 2 c3 − a3 c 2 ,−a1c3 + a3 c1 , a1c 2 − a 2 c1 )
= (a 2 b3 + a 2 c3 − a3b2 − a3 c 2 ,− a1b3 − a1c3 + a3 b1 + a3 c1 , a1b2 + a1c 2 − a 2 b1 − a 2 c1 )
Comparando los resultados podemos ver que 3 se verifica.
Un problema interesante: ¿Cómo se puede
calcular el volumen del paralelepípedo determinado
→
→
→
por los vectores a , b y c de la figura adyacente?
→
c
→
b
→
a
PEGG
30
Como en todo paralelepípedo, el volumen se obtiene multiplicando el área de la base por la
→
→
altura. En este caso, como hemos visto anteriormente, el área basal es la norma a× b del
→
→
Si denotamos por h la
altura del
paralelepípedo y por θ el ángulo
determinado por los
producto vectorial de a y b .
→
→
a× b
vectores
entonces
que
→
c
→
cosθ =
θ h
θ
→
→
c y a× b ,
podemos ver
h
→
,
b
o sea,
→
b
→
h = b cos θ .
→
a
Por lo tanto, el volumen del paralelepípedo es
→
→
→
→ →
→
→
→
V = a× b h = a× b c cos θ = ( a× b ) ⋅ c
En caso que el ángulo θ sea obtuso, su coseno es negativo, en cuyo caso el volumen del
→
→
→
paralelepípedo se obtiene cambiando el signo de ( a× b ) ⋅ c . En conclusión, el volumen del
→
→
→
paralelepípedo determinado por los vectores a , b y c siempre puede ser calculado
empleando la fórmula
→
→
→
V = ( a× b ) ⋅ c
Es natural preguntarse ¿cómo calcular este volumen si los vectores han sido dados a través
de sus componentes, es decir, sin conocer el ángulo θ?
Para responder a esta pregunta, lo mejor es realizar el cálculo directamente. Se tiene:
PEGG
31
→
→
→
( a× b ) ⋅ c = (a 2 b3 − a3 b2 ,−(a1b3 − a3 b1 ), a1b2 − a 2 b1 ) ⋅ (c1 , c 2 , c3 )
= (a 2 b3 − a3 b2 ,−a1b3 + a3 b1 ), a1b2 − a 2 b1 ) ⋅ (c1 , c 2 , c3 )
= a 2 b3 c1 − a3 b2 c1 − a1b3 c 2 + a3 b1c 2 + a1b2 c3 − a 2 b1c3
El volumen requerido es igual al módulo de este resultado. Sin embargo hay una manera
más rápida de proceder y que explicaremos a continuación.
Cuando se estudia el tema de sistemas de ecuaciones lineales en la enseñanza media, a
veces el profesor define el determinante de orden 3 de la siguiente manera
a1
b1
a2
b2
a3
b3 = a1b2 c3 + a 2 b3 c1 + a3b1c 2 − a3b2 c1 − a1b3 c 2 − a 2 b1c3
c1
c2
c3
Esta última expresión es difícil de retener en la memoria, sin embargo se emplea
frecuentemente, razón por la cual daremos una regla mnemotécnica para calcular
determinantes de orden 3 sin dificultad.
a1
b1
c1
a2
b2
c2
a3 a1 a2
b3 b1 b2 = a1b2 c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2 c1 − a1b3c2 − a2b1c3
c3 c1 c2
− a3b2c1 − a1b3c2 − a2b1c3 + a1b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2
Si copiamos al lado derecho del determinante las dos primeras columnas, como se muestra
en la figura anterior, podemos ver que los productos que se forman multiplicando los tres
coeficientes indicados por cada flecha, cambian su signo o no, según que la flecha apunte
hacia la derecha o hacia la izquierda respectivamente. Como dichos productos son los
mismos que en el resultado del determinante, podemos realizar el cálculo de esta manera.
Por ejemplo:
2
3 1
2
3
− 2 3 4 − 2 3 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + 1 ⋅ (−2) ⋅ 6 − 1 ⋅ 3 ⋅ 5 − 2 ⋅ 4 ⋅ 6 − 3 ⋅ (−2) ⋅ 3
5 6 3 5 6
= 18 + 60 − 12 − 15 − 48 + 18 = 21
Para familiarizarse con este procedimiento, invitamos al lector a calcular los siguientes
determinantes:
PEGG
32
1 2 3
1. 4 5 6
7 8 9
−2 3
2. 1 − 3
5
4
3
cos t sen t 0
3. − sen t cos t 0
−4
2
0
0
1
No tiene mucho sentido calcular determinantes si no sabemos para qué sirven ni que
significado tienen.
→
→
→
Si recordamos que el determinante que obtuvimos calculando el producto ( a× b ) ⋅ c , cuyo
→
→
→
módulo es el volumen del paralelepípedo definido por los vectores a , b y c , debemos
tener presente que el módulo de un determinante de orden tres es el volumen del
paralelepípedo definido por tres vectores cuyas componentes son, respectivamente, los
coeficientes de cada una de las filas del determinante.
El módulo del determinante que hemos calculado para ejemplificar es igual al volumen del
→
→
→
paralelepípedo definido por los vectores a = (2,3,1) , b = (−2,3,4) y c = (5,6,3) .
→
→
→
Ahora que tenemos una interpretación geométrica de ( a× b ) ⋅ c parece natural la siguiente
definición.
→
→
→
Definición: El producto mixto o producto caja de los tres vectores a , b y c es
a1 a 2 a3
→ →
→
⎡→ → → ⎤
⎢⎣ a , b , c ⎥⎦ = ( a× b ) ⋅ c = b1 b2 b3
c1 c2 c3
Propiedades del producto mixto
Pregunta ¿Cómo podemos calcular el volumen de un tetraedro?
Recordemos que un tetraedro es un poliedro que tiene cuatro
caras, cuatro vértices y seis aristas.
Ya sabemos calcular el volumen de un paralelepípedo
→
→
→
determinado por tres vectores a , b y c , como el que se
muestra en la figura adjunta. Entonces, para calcular el
→
→
volumen del tetraedro definido por los tres vectores a , b
→
y c , es suficiente determinar cuántos de estos tetraedros
caben en dicho paralelepípedo.
PEGG
→
c
→
b
→
a
33
Dividir el paralelepípedo en dos prismas del mismo tamaño, como se indica en la figura de
más abajo, tal vez nos ayude a encontrar una respuesta.
Es importante convencerse que en este prisma caben
exactamente tres tetraedros de volumen igual al del
→
→
→
c
→
→
tetraedro definido por los vectores a , b y c , de
manera que el paralelepípedo contiene exactamente seis
de estos.
b
→
a
→
Del razonamiento anterior podemos concluir que el volumen del tetraedro definido por los
→
→
→
vectores a , b y c , está dado por la fórmula
1
V =
6
a1
⎡→ → → ⎤ 1 → → → 1
⎢⎣ a , b , c ⎥⎦ = 6 ( a× b ) ⋅ c = 6 b1
c1
a2
a3
b2
c2
b3
c3
Ejercicios resueltos:
→
1. Calcular el volumen del paralelepípedo definido por los vectores a = (−2,1,5) ,
→
→
b = (−5,1,2) y c = (4,2,6) .
Solución: El volumen es igual al módulo del siguiente determinante
−2 1 5
− 5 1 2 = −12 + 8 − 50 − 20 + 8 + 30 = −36 ,
4
2 6
por lo tanto, el volumen pedido tiene 36 unidades de volumen.
2. Determinar el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A = (1,2,3) ,
B = (3,2,2) , C = (−3,−4,1) y D = (3,4,2) .
Solución: El volumen del tetraedro es igual a la sexta parte del volumen del paralelepípedo
→
→
→
determinado por los vectores AB , AC y AD , de manera que V =
→
→
→
1 → →
( AB× AC ) ⋅ AD .
6
→
Como AB = (2,0,−1) , AC = (−4,−6,−2) y AD = (2,2,−1) , fácilmente podemos ver que
→
→
→
→
→
AB× AC = (6,0,−12) y ( AB× AC ) ⋅ AD = 12 + 0 + 12 = 24 . Por lo tanto, el volumen
requerido es V = 4 unidades de volumen.
PEGG
34