Ecuación general

LA ECUACIÓN DE LA RECTA
ECUACIÓN GENERAL
G
Sea r la recta determinada por un punto P y un vector director v .
⎧P ( x1 , y1 )
r : ⎨G
⎩v ( a , b )
Consideremos su ecuación continua
x − x1 y − y1
=
a
b
Quitando denominadores y dejándola igualada a cero, tendremos la ecuación general o implícita.
b ( x − x1 ) = a ( y − y1 )
bx − bx1 = a y − a y1
bx − a y − bx1 + a y1 = 0
llamando
A=b
⎫
⎪
B = −a
⎬ ⇒
C = −bx1 + a y1 ⎪⎭
Ax + By + C = 0
Ax + By + C = 0
Ecuación general de la recta
I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG
Teniendo en cuenta que
A = b⎫
a = −B
⇒
B = − a ⎬⎭
b= A
obtenemos que un vector director de la recta r dada por su ecuación general
Ax + By + C = 0
será
G
v ( − B, A )
y un vector perpendicular a r será
G
p ( A, B )
Es decir, un vector director se obtiene tomando los coeficientes de las variables x e y, invirtiéndolos y
cambiando uno de ellos de signo, y un vector perpendicular tomando los coeficientes de x e y en ese orden.
Recuerda,
y
G G
G G
v ⊥ p ⇔ v⋅p=0
G G
v ⋅ p = −B ⋅ A + A ⋅ B = 0
I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG
EJEMPLO
Obtén la ecuación general de la recta que pasa por el punto P ( −4, 1) y tiene como vector director al vector
G
v ( 3, 2 ) .
I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG
EJEMPLO
Obtén la ecuación general de la recta que pasa por el punto P ( −4, 1) y tiene como vector director al vector
G
v ( 3, 2 ) .
⎧P ( −4,1)
r : ⎨G
⎩v ( 3, 2 )
Partimos de su ecuación continua
x + 4 y −1
=
3
2
Quitamos denominadores e igualamos a cero
2 ( x + 4 ) = 3 ( y − 1)
2x + 8 = 3 y − 3
y obtenemos la ecuación general
2 x − 3 y + 11 = 0
I.E.S. “Miguel de Cervantes” (Granada) – Departamento de Matemáticas – GBG