Tema 24 Problemas que involucran sistemas de ecuaciones

Tema 24
Problemas que involucran
sistemas de ecuaciones
Matemáticas
Continuaremos el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales
usando tales sistemas como herramienta para resolver problemas en los cuales debamos calcular el valor de dos variables bajo
ciertas condiciones que nos guiarán en el proceso de plantear las
ecuaciones del sistema.
De acuerdo con la tabla planteamos las siguientes ecuaciones:
113 = a + b
207 500 = 1500 a + 2500 b
Como tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,
podemos utilizar cualquier método estudiado para solucionarlo.
En el proceso de solucionar una situación problema debemos en
primer lugar entender el enunciado del problema; después, identificar los datos conocidos y los desconocidos, y por último, diseñar un plan que nos permita hallar la respuesta correcta.
Usemos el método de sustitución: 113 = a+b
despejando a en la ecuación 1 113 − b
Ejemplo
Sustituimos en la ecuación 2 la expresión obtenida para a:
Para el Día del amor y la amistad, el periódico escolar publicó
mensajes personales de dos tipos: mensajes tipo A, hasta de seis
palabras, con un costo de $ 1500 y mensajes tipo B de 7 a 12
palabras, con un costo de $ 2500. Se recibieron 113 mensajes
y se recaudaron $ 207 500. ¿Cuántos mensajes de cada tipo se
publicaron?
Presentamos en una tabla los datos conocidos y desconocidos en
la situación:
Mensaje tipo A Mensaje tipo B
Total
Cantidad
a
b
113
Costo de los
mensajes
1500 a
2500 b
207 500
9
a
=
207 500 = 1500(113 − b) + 2500 b
207 500 = 169 500 − 1500 b + 2500 b
Despejamos el valor de b en la ecuación obtenida:
207 500 = 169 500 + 1000 b
38 000 = 1000 b.
Luego b = 38.
Remplazamos el valor de b en una de las ecuaciones originales,
sea ésa la ecuación 1:
a + b = 113
a + 38 = 113
Despejamos el valor de a:
a = 113 − 38 = 75.
Podemos verificar en las ecuaciones iniciales que los valores
obtenidos hacen verdaderas las ecuaciones, luego la solución
del sistema es a = 75, b = 38 y esto significa que el periódico
publicó 75 mensajes tipo A y 38 mensajes tipo B.
Matemáticas
de ahorros que rinde 8% anual. Al cumplirse el año, el total
recibido por rendimientos de la inversión y de la cuenta de
ahorros es $ 1 290 000. ¿Cómo expresas el rendimiento de
las dos cantidades en el año? ¿Cuál es el sistema a resolver?
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Escribe en una tabla los datos conocidos y los datos por conocer
de cada situación problema.
1
Un alambre de 40 m se divide en dos partes de tal manera que 1 de la menor mida lo mismo que 1 de la mayor.
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3
________________
2
En un rectángulo, el largo mide cinco cm más que el
doble del ancho. El perímetro del rectángulo es 25 cm.
________________
3
Dos amigas se pesan. Una de ellas pesa el doble de la otra.
Después de someterse a dieta, una para adelgazar y la otra
para engordar, se vuelven a pesar. Ahora la primera pesa
10 kg menos y la segunda 10 kg más, pero aún así la primera pesa 15 kg más que la segunda. _________________
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5
6
Plantea el sistema de ecuaciones para el problema de cada
ítem anterior. Soluciona el sistema por alguno de los métodos conocidos y verifica el resultado.
Diana y Ángela comparten una habitación. Ellas se turnan
para arreglarla. Diana demora 20 minutos más que su compañera en arreglarla, y tanto como tres veces el tiempo que
tarda Ángela. ¿Cuánto tiempo le tomará a cada una arreglar
la habitación? ____________
Se dispone de $ 10 000 000. Una parte de este capital se
invierte al 15% anual. Otra parte se coloca en una cuenta
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Sugiere dos situaciones problema que originen sistemas de
dos ecuaciones con dos incógnitas. Escribe las ecuaciones
justificando su planteamiento, resuelve el sistema y verifica que la solución encontrada cumple las condiciones del
problema.
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Una circunferencia tiene centro en el origen y su radio es
siete. Dibújala. Encuentra la ecuación de dos de los radios
y de dos tangentes a la circunferencia, cada una en el
extremo de los radios. Luego, resuelve el sistema determinado por las dos tangentes. Verifica el resultado analítica y
geométricamente.
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Daniel rema en un río. Si lo hace a favor de la corriente
gasta 5 de hora para recorrer 20 km. Si lo hace contra la
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corriente tarda 9 de hora para recorrer 18 km. ¿Cuál es la
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velocidad que alcanza Daniel remando en aguas tranquilas?
¿Cuál es la velocidad del río?
Llama x a la velocidad del bote en aguas tranquilas; y la
velocidad de la corriente del río.
Matemáticas
Completa la tabla.
Velocidad del
bote
A favor de la corriente
(río abajo)
x+y
Contra la corriente
(río arriba)
x−y
Tiempo
Distancia
recorrida
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4
Utiliza la relación
Distancia = velocidad × tiempo y plantea las ecuaciones.
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