I Complejos N1 - Liceo Manuel Barros Borgoño

Liceo Manuel Barros Borgoño
Prof. Bryan A. Morales Prado
Dpto. de Matemáticas
Ejercicios sobre Unidad Imaginaria
Números complejos
Nombre:
Curso:
Fecha:
Recuerde:
i = −1 de lo cual se desprende
2
i0 = 1
Para cualcular in con n un número N0 (naturales
y cero) se debe:
i1 = i
1. Dividir n entre 4 consiguiendo un resto r
que puede ser 0, 1, 2 ó 4.
i2 = −1
2. Use este resto r para cambiar el exponente
n (in = ir ).
3
3. Use uno de los valores de potencias de i
mostradas anteriormente.
2
i = i · i = −1 · i = −i
Ejemplo: i303 =?
Como el resto de 303 al dividir por 4 es de 3 tenemos:
i303 = i3 = i2 · i = −i
Nota: La unidad imaginaria se puede sumar con otras reduciendo términos semejantes, también se
puede multiplicar, etc.
Cualcular potencias enteras negativas de i
Para saber cómo conocer el valor de estas potencias debemos conocer sólo una i−1 , para descubrirla
nos enfocaremos en la definición original de elevar a −1, la cual es: “a−1 es un valor tal que su
1
producto (multiplicado) con a da el neutro multiplicativo (el 1)”, por ejemplo 4−1 es porque
4
1
−1
· 4 = 1. De esta forma tenemos que i es −i pues:
4
i−1 · i = −i · i = −i2 = −(−1) = 1
. Y del mismo modo (−i)−1 = i. Con esto podemos calcular cualquier otra potencia de exponente
entero.
Ejemplo si sabemos el valor de i303 podemos;
303
i−303 = i−1
= (−i)303 = −i303 = −(−i) = i
Calcular raices cuadradas de cantidad subradical negativa
Para calcular una raiz cuadrada de cantidad subradical negativa deberá expulsar el signo menos como una unidad imaginaria y dejar aislada la raı́z, de ser exacta o reducible puede hacerlo.Ejemplos:
√
√
−9 = 9 · i = 3i
√
√
√
−5 = 5 · i = i 5
1
Reponda marcando la alternativa correcta.
√
√
√
1. El valor de −25 + 2 −4 − −36
6. El valor de
a) 3i
a) 16
b) 4i
b) −16
c) 5i
c) 16i
d ) 6i
d ) −16i
e) −6i
e) 12i
√
−64 · −4 es:
7. El resultado de i0 + i1 + i2 + i3 es:
2. El valor de i116 es
a) 0
a) 0
b) 1
b) 1
c) −1
c) −1
d) i
d) i
e) −i
e) −i
8. ¿Cual de las siguientes potencias de i sumadas con i3 resulta el neutro aditivo
(cero)?
3. El valor de (−i−17 + i125 )2
a) 0
b) 4
a) i0
c) −4
b) i1
d ) 4i
c) i2
e) −4i
d ) i3
e) 0
4. El valor de ((i−3 )2 )5 ) es:
9. El resultado de 3i − 4i2 − 14i40 + 30i21 es:
a) 0
b) 1
a) 15
c) −1
b) −15i
d) i
c) −18 + 33i
e) −i
d ) 15i
5. √
El resultado del producto entre
−4 es:
e) −10 + 33i
√
−64 y
10. El resultado de
a) 16
a) −5i
b) −16
b) 5
c) 16i
c) 10 + 15i
d ) −16i
d ) 20 + 15i
e) 12i
e) 5i
√
√
−16 − 100 + i5 − 10i2
Suficiencia de datos:
11. Se puede determinar el valor de in+1 si:
Respuestas
(1) El resto de n al dividirlo por 4 es 2
(2) El valor de in = −1
1. a
7. a
2. b
8. b
a) Solo (1)
3. c
9. e
b) Solo (2)
4. c
c) Ambas Juntas
d) Cada una por separado
e) Se necesita información adicional
2
5. b
10. e
6. a
11. d