TEMA 4

TEMA 4
1. Dada una v.a. bivariante cuya distribución de probabilidad es:
P (1, 1) =
1
,
4
P (1, 2) =
1
,
2
P (2, 1) =
1
4
a ) Obtener la distribución de probabilidad marginal de la v.a. X .
b ) Obtener la distribución de probabilidad marginal de la v.a. Y .
c ) ¾Son X e Y independientes?
2. Sean X e Y dos v.a. cuyas distribuciones de probabilidad son
P (X = 1) = 0,4 P (X = 2) = 0,6
P (Y = 3) = 0,7 P (Y = 9) = 0,3
Obtener la distribución conjunta de la v.a. (X, Y ) en el supuesto de que ambas
componentes sean independientes.
3. Se dene la distribución de probabilidad de la v.a. (X, Y ) dando a cada uno
de los diez puntos siguientes la probabilidad 0.1. Es decir:
P (1, 2)
=
P (2, 2) = P (3, 2) = P (4, 2) = P (2, 4) = P (3, 4)
= P (4, 4) = P (3, 6) = P (4, 6) = P (4, 8) = 0,1
Hallar:
a ) La función de distribución en los puntos (20 5, 7) y (3, 6).
b ) La distribución de probabilidad de la v.a. Y |X = 3.
c ) Estudiar la independencia entre X e Y .
4. La función de cuantía conjunta de dos variables viene dada por:
P (x, y) =
cxy
0
si x = 1, 2, 3,
en otro caso
y = 1, 2, 3
Hallar:
a ) El valor del parámetro c
b ) P (X = 2, Y = 3)
c ) P (1 ≤ X ≤ 2, Y ≤ 2)
d ) F (x, y)
5. La función de cuantía conjunta de una variable aleatoria bidimensional (X, Y )
viene dada por:
2
Y
X
1
2
3
1
9
0
2
9
3
0
a
0
a) Calcular el valor de a
b) Obtener las funciones de cuantía marginales de las v.a. X e Y
1
c) Calcular la función de cuantía y la función de distribución de probabilidad de la v.a. X|Y = 2
d) P (X = 2|X + Y = 5)
e) P (Y > 2|X > 1)
f) ¾Son X e Y v.a. independientes?
6. Sean X e Y dos v.a. con la siguiente distribución de probabilidad conjunta:
Y = −1
X = −1
X=0
X=1
Y =0
0
2
9
0
1
9
2
9
1
9
2
9
1
9
Y =1
0
a ) Obtén las funciones de cuantía marginales de X e Y .
b ) Calcula el valor de P (X + Y ≥ 1|X 2 = 1).
c ) Calcula el valor de P (X + Y = 0).
7. La v.a. (X, Y ) tiene función de densidad conjunta dada por:
f (x, y) =
si 0 ≤ x ≤ 2,
en otro caso
kx2 y
0
0 ≤ y ≤ 2,
y≤x
a ) Calcular k .
b ) Calcular P (0 < X < 10 5, Y ≤ 1).
c ) Obtener las funciones de densidad marginales.
d ) Estudiar la independencia entre X e Y .
8. La v.a. (X, Y ) tiene función de densidad conjunta dada por:
f (x, y) =
kxy
0
si 0 ≤ x ≤ 2,
en otro caso
0≤y≤1
a ) Calcular k de modo que f (x, y) sea función de densidad.
b ) Obtener las funciones de densidad marginales.
c ) Calcular P (1 < X < 2, 0 < Y < 21 ).
d ) Estudiar la independencia entre X e Y .
e ) Calcular P (X = 10 5).
9. Una empresa se dedica a la venta de dos productos: el primero da unos benecios que, expresados en millones de euros, se distribuyen uniformemente en el
intervalo [0, 6]. El segundo da unas pérdidas que se distribuyen uniformemente
en el intervalo [0, 2]. Se sabe que los benecios o pérdidas resultantes de la
producción de ambos productos son v.a. independientes. Calcular la probabilidad de que el benecio neto de la empresa sea superior a 2 millones de
euros.
10. Una empresa comercializa dos productos. Los benecios mensuales obtenidos por la venta de ambos productos (X, Y ) en millones de euros, sigue una
distribución cuya función de densidad conjunta es:
f (x, y) =
x+y
0
si 0 ≤ x ≤ 1,
en otro caso
0≤y≤1
a ) Calcular la función de densidad marginal de los benecios de cada uno
de los productos. ¾ Son independientes?
2
b ) Calcular la probabilidad de que el benecio total de la empresa durante
un mes no supere el millón de euros.
11. Sea (X, Y ) una v.a. cuya función de densidad conjunta viene dada por
f (x, y) =
cxy, si 0 ≤ y ≤ x ≤ 1
0,
en otro caso
a ) Halla el valor de la constante c para que f (x, y) sea una función de
b)
c)
d)
e)
densidad completamente especicada.
Halla la función de densidad marginal de la v.a. X .
Calcula E(X).(Este apartado corresponde al Tema 5).
Calcula razonadamente la probabilidad P (X + Y ≤ 1).
Razona gráca o algebráicamente el valor de la probabilidad condicionada P (X + Y ≤ 1|X = 0,5).
12. La v.a. (X, Y ) representa los benecios anuales, medidos en millones de euros,
de dos empresas A y B de accesorios de automóviles. Su función de densidad
conjunta viene dada por:
f (x, y) = kex+y ,
donde k =
2
(e−1)2
0<y<x<1
≈ 0,68.
a) ¾Cuál es la probabilidad de que los benecios anuales de la empresa B superen
el medio millón de euros?
b) ¾Cuál es la probabilidad de que los benecios anuales de B sean menores
que medio millón de euros, si los de la empresa A han sido exactamente tres
cuartas partes de un millón de euros?
NOTA: para evitar errores de cálculo, traba jar con la letra
k
y
sustituir su valor después de hacer todas las operaciones.
Soluciones a los problemas. Tema 4
1.
a ) P (X = 1) = 43 , P (X = 2) = 14 .
b ) P (Y = 1) = 12 , P (Y = 2) = 12 .
c ) No son independientes. P (2, 2) = 0 6= P (X = 2)P (Y = 2) = 18 .
2. P (1, 3) = 0,28, P (1, 9) = 0,12, P (2, 3) = 0,42 y P (2, 9) = 0,18
3.
a ) F (20 5, 7) = 0,3. F (3, 6) = 0,6.
b ) P (Y = 2|X = 3) = 13 , P (Y = 4|X = 3) = 13 , P (Y = 6|X = 3) = 31 .
c ) No son independientes. Por ejemplo: P (1, 4) = 0 6= P (X = 1)P (Y =
4) = 0,03.
4.
a) c =
1
36 .
b ) P (2, 3) = 16 .
c ) P (1 ≤ X ≤ 2, Y ≤ 2) = 14 .
3
d)
F (x, y) =















5.
x<1 ó y<1
1 ≤ x < 2, 1 ≤ y < 2
2 ≤ x < 3, 1 ≤ y < 2
3 ≤ x, 1 ≤ y < 2
1 ≤ x < 2, 2 ≤ y < 3
2 ≤ x < 3, 2 ≤ y < 3
3 ≤ x, 2 ≤ y < 3
1 ≤ x < 2, 3 ≤ y
2 ≤ x < 3, 3 ≤ y
3 ≤ x, 3 ≤ y

0



1


36


3


36


6



 36
3
36
9
36
18
36
6
36
18
36
1
a) a = 96 ≈ 0,67
b) S(X) = {1, 2, 3}; PX (1) = 19 , PX (2) = 96 , PX (3) =
S(Y ) = {2, 3}; PY (2) = 13 , PY (3) = 23
2
9
1
c) Z = X|Y = 2; S(Z) = {1, 3}; PZ (1) = PPY(1,2)
(2) = 3 , PZ (3) =

 0 si z < 1
1
si 1 ≤ z < 3
F (z) = P (Z ≤ z) =
 3
1 si z ≥ 3
d)
P (X = 2|X + Y = 5)
=
=
P (3,2)
PY (2)
=
2
3
P (X = 2, Y = 3)
P (X = 2, X + Y = 5)
=
P (X + Y = 5)
P (X = 2, Y = 3) + P (X = 3, Y = 2)
6/9
6
3
= = = 0,75
8/9
8
4
e)
P (Y > 2|X > 1)
P (Y > 2, X > 1)
P (Y = 3, X = 2) + P (Y = 3, X = 3)
=
P (X > 1)
1 − P (X = 1)
6/9
3
= = 0,75
8/9
4
=
=
f) X , Y independientes ⇔ PX (x)PY (y) = P (x, y) ∀x ∈ S(X) ∀y ∈ S(Y )
PX (2)PY (2) =
6.
61
93
=
2
9
6= 0 = P (2, 2)
a ) La distribución marginal de la v.a. X , es:
P (X = −1) = P (X = 0) = P (X = 1) = 13
Y la de la v.a. Y , es:
P (Y = −1) = P (Y = 0) = P (Y = 1) = 13
Es decir ambas variables tienen la misma distribución.
b)
P (X + Y ≥ 1|X 2 = 1)
=
P [(X + Y ≥ 1) ∩ (X 2 = 1)]
P (X 2 = 1)
donde
P [(X + Y ≥ 1) ∩ (X 2 = 1)]
= P [(X + Y ≥ 1) ∩ (X = 1)] +
+ P [(X + Y ≥ 1) ∩ (X = −1)] =
2
= P (1, 0) + P (1, 1) + 0 =
9
4
P (X 2 = 1) = P (X = 1) + P (X = −1) =
2
3
Luego,
P (X + Y ≥ 1|X 2 = 1)
=
2
9
2
3
=
1
3
c)
= P (X = −Y ) = P (−1, 1) + P (0, 0) + P (1, −1) =
1 1 1
3
1
+ + = =
=
9 9 9
9
3
P (X + Y = 0)
7.
a) k =
5
16 .
b)
Z
0
P (0 < X < 1 5, Y ≤ 1)
1
Z
1
Z
10 5
=
0
Z
y
x
=
0
=
c ) f (x) =
0
5 2
x ydxdy =
16
Z 10 5 Z 1
5 2
5 2
x ydydx +
x ydydx =
16
16
1
0
0,15496
3
si 0 ≤ x ≤ 2. f (y) = 65 y(1 − y8 ), si 0 ≤ y ≤ 2.
d ) No son independientes. Por ejemplo en el punto (0.5, 1), la función de
densidad conjunta es nula, f (0,5, 1) = 0, mientras que el producto de
marginales es distinto de cero. fX (0,5) = 0,00976, fY (1) = 0,7291.
8.
5 4
32 x ,
a ) k = 1.
b ) f (x) = x2 , si 0 ≤ x ≤ 2. f (y) = 2y , si 0 ≤ y ≤ 1.
c ) P (1 < X < 2, 0 < X < 12 ) =
3
16 .
d ) Son independientes, puesto que en cualquier punto del plano,(x, y), se
verica f (x, y) = fX (x)fY (y).
e ) P (X = 1,5) = 0.
9. Z = X − Y . P (Z > 2) = 0,5.
10.
a ) fX (x) = x + 21 , si 0 ≤ x ≤ 1. fY (y) = y + 21 , si 0 ≤ y ≤ 1. No son
independientes, puesto que f (x, y) = x + y 6= (x + 21 )(y + 21 ).
b ) P (X + Y ≤ 1) = 13 .
11.
a ) Sabemos que la función de densidad debe integrar la unidad en el recinto
en el que está denida. Esto es:
1
x2
=
cxydxdy =
cy
dy =
2 y
0
y
0
2 1
4 1
Z 1
y2
y
y
c
cy(0,5 − )dy = 0,5c
=
− 0,5c
=
2
2 0
4 0
8
0
Z
1
1
Z
1
Z
de donde, c = 8.
5
1
b)
( R
x
0
f (x) =
8xydy = 8x
y2
2
x
= 4x3 ,
0
0,
si 0 ≤ x ≤ 1
en otro caso
c)
1
Z
1
Z
x · 4x dx = 4
xf (x)dx =
E(X) =
3
0
0
x5
5
1
=
0
4
5
d)
Z
P (X + Y ≤ 1)
0,5
Z
1−y
0,5
Z
0
y
0
0,5
8y
8xydxdy =
=
x2
2
1−y
dy =
y
(1 − y)2
y2
=
8y
−
dy =
2
2
0
3 0,5
2 0,5
Z 0,5
Z 0,5
y
y
−8
=
ydy − 8
y 2 dy = 4
= 4
2
3 0
0
0
0
= 0,5 − 0,333 = 0,1666
Z
e ) En el triángulo en el que está denida la v.a (X, Y ), pintamos la recta
X = 0,5. Si estamos sobre dicho segmento de recta, estamos siempre en
el semiplano X + Y ≤ 1, luego la probabilidad condicionada es la del
suceso seguro, que es 1. Algebráicamente
P (X + Y ≤ 1|X = 0,5) = P (Y ≤ 0,5|X = 0,5)
y para calcular esta probabilidad condicionada, tenemos que obtener la
función de densidad de la distribución condicionada de Y |X = 0,5, que
es:
f (y|x = 0,5) =
f (0,5, y)
8 · 0,5 · y
=
= 8y
fX (0,5)
4 · 0,53
si 0 ≤ y ≤ 0,5, y cero en otro caso. Entonces:
Z
0,5
P (Y ≤ 0,5|X = 0,5) =
8ydy = 8
0
12.
y2
2
0,5
=1
0
a)
Z
fY (y)
=
Z
1
f (x, y)dx =
<
kex+y dx = key [ex ]1y
y
= key (e − ey ) = k(ey+1 − e2y ),
Z
P (Y > 0,5)
=
1 − P (Y ≤ 0,5) = 1 −
0≤y≤1
0,5
k(ey+1 − e2y )dy
0
=
0,5
e2y
1 − k ey+1 −
= 1 − k(e1,5 − 0,5e − e + 0,5) ≈ 0,388
2 0
6
b)
Z
fX (x)
=
=
fY |X=x0 (x)
Z
f (x, y)dy =
<
x
x
kex+y dy = kex [ey ]x0
0
ke (ex − 1) = k(e2x − ex ),
=
=
f (x0 , y)
kex0 +y
=
fX (x0 )
k(e2x0 − ex0 )
x0 y
e e
ey
=
,
ex0 (ex0 − 1)
ex0 − 1
Z
P (Y < 0,5|X = 0,75)
0≤x≤1
0 < y ≤ x0
0,5
=
Z
fY |X=0,75 (y)dy =
−∞
0
0,5
=
0,5
ey
dy
−1
e0,75
1
e −1
0,5
[ey ]0 = 0,75
≈ 0,5547
−1
e0,75 − 1
e
7