Teorema de Bayes - Departamento de Ingeniería Química

Instituto Tecnológico de Celaya
Departamento de Ingeniería química
Resuelve los ejercicios de
Teorema de Bayes
1.
Las probabilidades previas de los eventos A1 y A2 son P( A1 ) = 0.40 y P( A2 ) = 0.60 .
También se sabe que P( A1 ∩ A2 ) = 0 . Supón que P(B | A1 ) = 0.20 y que P(B | A2 ) = 0.05 .
a) ¿Son A1 y A2 mutuamente excluyentes?, ¿Por qué sí o por qué no?
b) Calcula P( A1 ∩ B ) y P( A2 ∩ B ) .
c) Calcula P(B ) .
d) Aplica el teorema de Bayes para calcular P( A1 | B ) y P( A2 | B ) .
2.
Las probabilidades previas de los eventos A1, A2 y A3 son P( A1 ) = 0.20 , P( A2 ) = 0.50 y
P( A3 ) = 0.30 . Las probabilidades condicionales del evento B dados A1, A2 y A3 son
P(B | A1 ) = 0.50 , P(B | A2 ) = 0.40 y P(B | A3 ) = 0.30
a) Calcula P(B ∩ A1 ) ,. P(B ∩ A2 ) y P(B ∩ A3 )
b) Aplica el teorema de Bayes para calcular la probabilidad posterior P( A2 | B )
c) Emplea el método tabular de aplicación del teorema de Bayes para calcular P( A1 | B ) ,
P( A2 | B ) y P( A3 | B ) .
3.
En un estado en el que se deben hacer pruebas de emisión de contaminantes a los
automóviles, 25% de todos los automóviles
emiten cantidades excesivas de
contaminantes. Cuando se prueban, 99% de todos los automóviles que emiten
cantidades de contaminantes no pasará, pero 17% de los automóviles que no emiten
cantidades excesivas de contaminantes tampoco pasará. ¿Cuál es la probabilidad de
que un automóvil que no pasa la prueba en realidad emita cantidades excesivas de
contaminantes?
4.
En una fabrica de conservas, las líneas de ensamble I, II, III representan 50%, 30% y
20% de la producción total. Si se sella inadecuadamente 0.4%, de las latas de la línea
de ensamble I y los porcentajes correspondientes de las líneas de ensamble II y III son
0.6% y 1.2%, ¿cuál es la probabilidad:
a) Una lata producida en esta fabrica de conservas este mal sellada;
b) Una lata mal sellada (descubierta en la inspección final de los productos de salida)
provenga de la línea de ensamble I?
Autor: Rosalba Patiño Herrera
Agosto del 2002
Instituto Tecnológico de Celaya
Departamento de Ingeniería química
5.
La probabilidad de que un accidente de un automóvil sea consecuencia de una falla de
los frenos es 0.04, la probabilidad de que se atribuya correctamente a una falla de los
frenos es 0.82 y la probabilidad de que se atribuya incorrectamente a una falla de
frenos es 0.03. ¿Cuál es la probabilidad de que
a) un accidente de un automóvil se atribuye a una falla de los frenos;
b) un accidente de automóvil que se atribuye a una falla de los frenos es realidad se
deba a dicha falla mecánica.
6.
En un laberinto en forma T, a una rata se le da alimento si da vuelta a la izquierda y si
dobla a la derecha se le da una descarga eléctrica. En la primera prueba, hay una
posibilidad de cincuenta-cincuenta de que la rata dé vuelta a cualquier lado; luego, si
recibe alimento en la primera prueba, la probabilidad de que en la segunda prueba dé
vuelta a la izquierda es 0.68 y si en la primera prueba recibe una descarga eléctrica, la
probabilidad de que en la segunda prueba doble a la izquierda es 0.84. ¿Cuál es la
probabilidad de que
a) una rata dé vuelta a la izquierda en la segunda prueba;
b) una rata que da vuelta a la izquierda en la segunda prueba también haya dado
vuelta a ese lado en la primera prueba?
7.
En una planta de electrónica, se sabe con base en la experiencia pasada que la
probabilidad de que un empleado nuevo que ha asistido al programa de capacitación de
la compañía cubra su cuota de producción es 0.86, y que la probabilidad
correspondiente para un empleado nuevo que no ha asistido al programa de
capacitación es 0.35. Si 80% de todos los empleados nuevos han asistido al programa
de capacit5ación, ¿cuál es la probabilidad de que
a) un empleado nuevo no cubra su cuota de producción;
b) un empleado nuevo que no cubra su cuota de producción no haya asistido al
programa de capacitación de la compañía?
8.
El empleado de préstamos de un banco sabe que el 5% de todos los solicitantes de
préstamos representan riesgos de falta de pago, el 92% de todos los solicitantes que
representan riesgos de falta de pago también son considerados en la misma categoría
por una agencia sobre consultoría de crédito y el 2% de todos los solicitantes que no
son considerados riesgosos de falta de pago sí lo son por parte de la agencia, ¿Cuál es
la probabilidad de que un solicitante de préstamo que es clasificado como riesgo de
falta de pago por la agencia, en realidad lo sea?
9.
A un consultor en administración se le pide su opinión acerca de la razón por la cual la
secretaria de un ejecutivo, insatisfecha, renunció a su trabajo. Sin poder obtener
información directa acerca de la secretaria, toma los siguientes datos de una moraleja y
estudio de motivación corporativos a gran escala: entre todas las secretarias
insatisfechas, el 20% lo están porque les desagrada su trabajo, el 50% porque sienten
que están mal pagadas y el 30% porque les desagrada su jefe. Además, las
probabilidades correspondientes de que renuncien son 0.60, 0.40 y 0.90. Con base en
estas cifras, ¿cuáles son las probabilidades de que las secretarias renuncien debido al
trabajo, al sueldo o al jefe?
Autor: Rosalba Patiño Herrera
Agosto del 2002
Instituto Tecnológico de Celaya
Departamento de Ingeniería química
10. La probabilidad de que una aspiradora tenga fallas de operación debido a un cable
eléctrico en mal estado es 0.06, la probabilidad de que su falla de operación se atribuya
correctamente a un cable eléctrico en mal estado es 0.80 y la probabilidad de que su
falla de operación se atribuya incorrectamente a un cable eléctrico en mal estado es
0.1. ¿Cuál es la probabilidad de que la falla de operación de una espiradora que se
atribuyó a un cable eléctrico en mal estado se deba en realidad a esta causa?
11. Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en cualquiera de tres
hoteles de la ciudad; Palacio del Sol, Sicomoros o Fiesta Inn, en una proporción de
18.5%, 32% y 49.5% respectivamente, de los cuales se ha tenido información de que se
les ha dado un mal servicio en un 2.8%, 1% y 4% respectivamente.
a) Si se selecciona a un visitante al azar ¿cuál es la probabilidad de que no se le haya
dado un mal servicio?
b) Si se selecciona a un visitante al azar y se encuentra que el no se quejó del servicio
prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el Palacio del Sol?
c) Si el visitante seleccionado se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad
de que se haya hospedado en el hotel Fiesta Inn?
12. Un sospechoso es juzgado en el tribunal y la probabilidad de que se le encuentre
culpable es 4/5 siempre que cierto testigo no sea llamado a declarar por el fiscal. La
probabilidad de que el testigo sea llamado a declarar es de 1/10 y la probabilidad de
que al sospechoso se le halle culpable si se llama al testigo a declarar es 9/10.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al sospechoso se le halle culpable?
b) Si al sospechoso se le encuentra culpable, ¿cuál es la probabilidad de que el testigo
no haya sido llamado a declarar?
13. Un invitado a un día de campo selecciona al azar dos latas de refresco de un paquete de
seis de marca X, que contiene cuatro latas de refresco de cola y dos de ginger ale; o de
un paquete de seis latas de marca Y, que contiene cuatro latas de ginger ale y dos de
cola. Pero el invitado tiene tres veces mayor probabilidad de seleccionar la marca Y
que la X.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas latas seleccionadas por el invitado sean de
ginger ale?
b) Si ambas latas seleccionadas por el invitado son de ginger ale ¿cuál es la
probabilidad de que sean de la marca Y.
c) Si el invitado selecciona cuando menos una lata de refresco de cola, ¿cuál es la
probabilidad de que el refresco sea de la marca X?
14. Tres servicios de mensajería anuncian que entregarán un paquete en cualquier parte de
estados unidos continentales en 24 horas o menos. La compañía A, B y C transportan
55, 35 y 10% del número total de paquetes que se entregaran. Si el 0.65% de los
paquetes entregados por la compañía A, 0.35% de los paquetes entregados por la
compañía B y el 2.1% de la compañía C fueron entregados con retraso, ¿cuáles son las
probabilidades de que un paquete entregado con retardo haya sido llevado por:
a) la compañía A,
b) la compañía B,
c) la compañía C.
Autor: Rosalba Patiño Herrera
Agosto del 2002
Instituto Tecnológico de Celaya
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15. Un albañil independiente sabe por experiencia que el 45% de sus contratos de tendido
de ladrillos son de tipo común (americano), el 35% son de tipo inglés y el 20% son de
tipo flamenco. Los tipos de tendido ofrecen diversos patrones que disponen que los
ladrillos se monten uno sobre otro con el fin de intercalar uniones verticales. Asimismo,
el 60% de los contratos del albañil para tendido común corresponden a la construcción
de residencias, el 35% de los contratos para tendido inglés son también para la
construcción de residencias y el 40% de los contratos de tendidos flamencos
corresponden a residencias. Si el albañil firma un contrato para construir la obra de
ladrillo de una residencia, ¿cuáles son las probabilidades de que el trabajo no se haga
con un tendido común?
16. Una compañía de libros tiene seis vendedores de enciclopedias A, B, C, D, E y F,
quienes lograron hacer ventas a prospectos de clientes en cuatro de 100 ocasiones, en
seis de 100, en ocho de 100, en siete de 100 , en tres de 100 y en 15 de 100 ocasiones,
respectivamente. De todas las ventas de enciclopedias realizadas, los vendedores A, B,
C, D, E y F llaman al 10, 15, 18, 25, 20 y 12% de los clientes. Si la oficina tiene una
forma de ventas en la cual se omitió inadvertidamente el nombre del vendedor, ¿cuáles
son las seis probabilidades de que cada uno de los vendedores haya realizado la venta?
17. Una explosión en un tanque de almacenamiento LNG en proceso de reparación pudo
haber ocurrido como resultado de la electricidad estática, del mal funcionamiento del
equipo eléctrico, de una flama en contacto con el revestimiento o de un intencionado
(sabotaje industrial). Entrevistas realizadas con ingenieros que analizaron los riesgos
implicados nos llevaron a hacer estimaciones de que ocurriría una explosión con
probabilidad de 0.25 como resultado de electricidad estática, 0.20 como resultado del
mal funcionamiento del equipo eléctrico, 0.40 como resultado de la flama como
resultado del sabotaje. Estas entrevistas arrojaron asimismo estimaciones subjetivas de
las probabilidades y 0.75 de las cuatro causas 0.30, 0.40, 0.15 y 0.15 respectivamente.
Con base en toda esta información, ¿cuál es la causa más probable?
Solución de
ejercicios
algunos
1. a) si, b) 8%, 3%, c) 11%, d) 72.72%, 27.27%, 3. 66%, 5. a) 6.16%, b) 53.52%. 7. a)
24.2%, b) 57.72%, 9. 20%, 34%, 46%, 11. a) 0.9718, b) 0.1850, c) 0.7026, 13. 18/19,
14/41, 15. Son 3 a 4, 17. La causa más probable es la acción con un fin determinado.
Autor: Rosalba Patiño Herrera
Agosto del 2002