Uso de la fórmula de la distancia

LECCIÓN
CONDENSADA
8.1
Uso de la fórmula de la distancia
En esta lección
●
●
●
usarás el Teorema de Pitágoras como ayuda para minimizar distancias
aprenderás cómo la fórmula de la distancia y el Teorema de Pitágoras
te ayudan a resolver problemas reales
usarás la fórmula de la distancia para hallar la ecuación de un lugar
geométrico de puntos
En esta lección, descubrirás y aplicarás una fórmula para la distancia.
Investigación: Carrera de baldes
Imagina que estás en una carrera en la cual debes llevar un
balde vacío desde un punto A hasta el borde de una piscina,
llenar el balde con agua y después llevarlo hasta un punto
B. El punto A está a 5 metros de un extremo de la piscina,
el punto B está a 7 metros del otro extremo y la piscina
tiene 20 metros de largo.
Meta
B
Salida
A
7m
5m
x
20 x
C
20 m
Sea x la distancia desde el extremo de la piscina hasta un
punto C situado en el borde de la piscina. Completa los Pasos 1–4
en tu libro para hallar el valor de x que da la trayectoria más corta
posible de A a C y de C a B. Éstas son las respuestas a los Pasos 2 y 3.
A continuación están los datos de varios valores de x. AC y CB se
calcularon usando el Teorema de Pitágoras, pero también puedes hallarlos
tomando medidas. Tus respuestas pueden ser levemente diferentes a éstas,
dependiendo de cómo hayas redondeado o de la precisión de tus mediciones.
Paso 2
x (m) AC (m)
CB (m)
AC ⫹ CB (m)
x (m) AC (m)
CB (m)
AC ⫹ CB (m)
10.63
23.63
0
5
21.19
26.19
12
13
2
5.39
19.31
24.70
14
14.87
9.22
24.09
4
6.40
17.46
23.87
16
16.76
8.06
24.83
6
7.81
15.65
23.46
18
18.68
7.28
25.96
8
9.43
13.89
23.33
20
20.62
7
27.62
10
11.18
12.21
23.39
Paso 3
Método 1: La tabla anterior indica que un valor x de aproximadamente 8
minimiza la longitud de la trayectoria, lo cual significa que C debe estar a unos
8 m del extremo de la piscina. (Puedes obtener una respuesta más precisa
intentando otros valores de x cercanos a 8.)
_____________
Método 2: Usando el Teorema de Pitágoras, AC es 52 x2 y BC 72 (20 x)2 ,
por lo tanto la longitud, y, de la trayectoria puede representarse por:
_____________
y 52 x2 72 (20 x)2
Usando una tabla o gráfica de calculadora, puedes hallar que el valor y mínimo
(continúa)
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CHAPTER 8
113
Lección 8.1 • Uso de la fórmula de la distancia (continuación)
de esta función, que es aproximadamente 23.32, se corresponde con un valor x de
aproximadamente 8.33. Por lo tanto, el punto C debe estar ubicado a unos 8.33 m
del extremo de la piscina.
La cantidad de agua que queda en el balde al final de la carrera es un factor
importante para ganar. Imagina que puedes llevar un balde vacío a una velocidad
de 1.2 m/s y que puedes llevar el balde lleno, sin derramar agua, a una velocidad
de 0.4 m/s. Completa los Pasos 5 y 6 en tu libro para hallar la ubicación de C
que minimiza el tiempo que te llevará ir desde el punto A al punto C y de allí
al punto B. Después compara tus resultados con los siguientes.
Paso 5
Usa el hecho de que tiempo distancia
.
velocidad
x (m) Tiempo para AC (s) Tiempo para CB (s)
Tiempo total (s)
0
4.17
52.97
57.14
2
4.49
48.28
52.77
4
5.34
43.66
49.00
6
6.51
39.13
45.64
8
7.86
34.73
42.59
10
9.32
30.52
39.83
12
10.83
26.58
37.41
14
12.39
23.05
35.44
16
13.97
20.16
34.12
18
15.57
18.20
33.77
20
17.18
17.50
34.68
Paso 6 Usando la tabla la mejor ubicación para C es a 18 m del extremo de la
piscina. Ahora escribe las expresiones para cada tiempo para obtener una respuesta
52 x2
______ y el tiempo requerido
más precisa. El tiempo requerido para ir de A a C es 1.2
2
2
7 (20 x)
para ir de C a B es .
Por
lo
tanto,
el
tiempo
total, y, puede representarse
0.4
con la función:
52 x2
72 (20 x)2
________
y 1.2
0.4
El valor de x que minimiza esta función es aproximadamente 17.63. El valor y para este
valor x es aproximadamente 33.75. Por lo tanto, para minimizar el tiempo, el punto C
debe estar a 17.63 m del extremo de la piscina. El tiempo mínimo será de unos 33.75 s.
La distancia recorrida es aproximadamente 25.72 m. Esta distancia es mayor que la
distancia que hallaste en el Paso 3, pero el segundo tramo, CB, es más corto.
Recuerda que la ____________________
distancia entre dos puntos, x1, y1 y x 2, y2, se da por la
fórmula d x 2 x12 y2 y12 . Repasa la fórmula de la distancia leyendo
Refreshing Your Skills (Refrescando tus habilidades) para el Capítulo 8. La fórmula
de la distancia y el Teorema de Pitágoras son útiles para resolver problemas reales.
Lee el Ejemplo B de Refreshing Your Skills para el Capítulo 8 y lee el Ejemplo A de
la Lección 8.1 en tu libro. Un lugar geométrico (locus) de puntos es un conjunto
de puntos que cumplen una condición dada. El Ejemplo B de la Lección 8.1
muestra cómo hallar la ecuación de un lugar geométrico de puntos equidistantes
entre dos puntos dados. Analiza el Ejemplo B atentamente.
114
CHAPTER 8
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LECCIÓN
CONDENSADA
8.2
Círculos y elipses
En esta lección
●
●
●
●
revisarás ecuaciones estándares de un círculo y una elipse
aprenderás definiciones de lugares geométricos de un círculo y una elipse
localizarás focos de una elipse
aprenderás cómo se relaciona la excentricidad de una elipse con su forma
Los círculos, elipses, parábolas e hipérbolas se llaman secciones cónicas porque
se pueden crear rebanando un cono doble.
Elipse
Círculo
Parábola
Hipérbola
Cada sección cónica se puede definir también como un lugar geométrico de
puntos. Por ejemplo, un círculo es el conjunto de todos los puntos situados a
una distancia fija de un punto dado. Lee el texto en tu libro desde la definición
de un círculo hasta el Ejemplo B. Este material repasa lo que has aprendido
sobre círculos en los capítulos anteriores. Para hallar la ecuación en el Ejemplo B,
primero debes hallar el punto dónde se intersecan el círculo y la recta tangente.
Asegúrate de que entiendes cada paso de la solución.
y
Recuerda del Capítulo 4, que puedes trasladar y dilatar el círculo unitario
para crear una elipse. En general, si una elipse tiene el centro (h, k), el factor
de escala horizontal a y el factor de escala vertical b, entonces su ecuación en
forma estándar es:
b
a
(h, k)
x
yk
xh
a b 1
2
2
Como el círculo, una elipse puede definirse como un lugar geométrico.
Sin embargo, mientras que la definición de lugar geométrico de un
círculo implica un solo punto fijo (a saber, el centro), la definición de
lugar geométrico de una elipse implica dos puntos fijos. Una elipse es el
lugar geométrico de los puntos de un plano, cuya suma de sus distancias
desde dos puntos fijos es siempre constante. En el diagrama, los dos
puntos fijos o focos se rotulan F1 y F2. Para todos los puntos de la elipse,
las distancias d1 y d2 suman el mismo valor.
P
d1
F1
d2
d1
d2
d1
P
F2
d2
P
La página 455 de tu libro muestra cómo puedes construir una elipse usando
una cuerda, un lápiz y dos alfileres. Si tienes estos materiales, puedes intentar
lo siguiente.
(continúa)
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CHAPTER 8
115
Lección 8.2 • Círculos y elipses (continuación)
La longitud de la mitad del eje horizontal de una elipse es el factor de escala horizontal.
De modo similar, la longitud de la mitad del eje vertical es el factor de escala vertical.
y
y
b
b
c
x
c
a
x
a
El segmento que conforma la dimensión más grande de una elipse, y que contiene
los focos, es el eje mayor. El segmento que va a lo largo de la dimensión más
pequeña es el eje menor.
y
Eje mayor
d2
Eje mayor
y
d1
x
d2
d1
2b
x
2a
Eje menor
Eje menor
Cuando el eje mayor es
vertical, d1 d2 2b.
Cuando el eje mayor es
horizontal, d1 d2 2a.
Si conectas un extremo del eje menor con los focos, formas dos triángulos
congruentes. Debido a la definición de una elipse (piensa en la técnica de la
cuerda para dibujar una elipse), la distancia desde un foco a un extremo del eje
menor es la misma que la mitad de la longitud del eje mayor. De estos hechos
puedes concluir que la distancia entre el centro y un foco, c, se relaciona con a y b
por medio del Teorema de Pitágoras. Para la elipse de la izquierda, b 2 c 2 a2.
Para la elipse de la derecha, que tiene un eje mayor vertical, a2 c 2 b 2.
y
y
a
F1
c
F1
a
b
c
F2
x
b
c
x
a
c
b
F2
(continúa)
116
CHAPTER 8
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Lección 8.2 • Círculos y elipses (continuación)
Las coordenadas de los focos están a c unidades de distancia del centro de la
elipse, (h, k), sobre el eje mayor y se las puede hallar sumando o restando c
a la coordenada del centro apropiada.
(h, k c)
(h c, k)
(h c, k)
(h, k)
c
(h, k)
c
(h, k c)
El Ejemplo C en tu libro muestra cómo usar las relaciones entre a, b, y c para
localizar los focos de una elipse y cómo trazar una elipse a mano. Analiza el
Ejemplo C atentamente.
Éste es otro ejemplo. Intenta resolverlo por tu cuenta antes de leer la solución.
EJEMPLO
Localiza los focos de la elipse.
y
7
–7
7
x
–7
䊳
Solución
La elipse tiene un eje mayor horizontal, por lo tanto b 2 c 2 a 2. En este caso,
b 4 y a 6, por lo tanto c 2 62 42 20, y por consiguiente
c 20
25
. Entonces los focos son 25
, 0 y 25
, 0,
o aproximadamente (4.47, 0) y (4.47, 0).
Investigación: Una rebanada de luz
Lee la investigación en tu libro incluido el Paso 2. Si tienes una linterna y alguien
que te ayude, completa los pasos.
(continúa)
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CHAPTER 8
117
Lección 8.2 • Círculos y elipses (continuación)
La excentricidad es una medida de la elongación de una elipse. Para una elipse
con un eje mayor horizontal, la excentricidad es ac. Para una elipse con un eje
mayor vertical, es bc. La excentricidad de una elipse está siempre entre 0 y 1.
Cuanto más cerca esté la excentricidad a 0, más circular será la elipse. Cuanto
más cerca esté a 1, más elongada será la elipse.
y
y
y
6
6
5
–5
5
x
–5
5
x
–6
6
x
–5
–6
–6
Excentricidad 0.18
Excentricidad 0.50
Excentricidad 0.99
Si puedes, completa los Pasos 3 y 4 en tu libro. Debes hallar que cuando la
excentricidad se vuelve demasiado grande, la elipse se convierte en una parábola
y después en una sola rama de una hipérbola.
118
CHAPTER 8
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LECCIÓN
CONDENSADA
8.3
Parábolas
En esta lección
●
●
●
aprenderás la definición de lugar geométrico de una parábola
hallarás el foco y la directriz de una parábola basándote en su ecuación
usarás la definición de lugar geométrico de una parábola para construir una
parábola usando papel de calcar
En capítulos anteriores, aprendiste que la parábola es una transformación
de la gráfica cuya ecuación estándar es y x 2. Una parábola también se
puede definir como un lugar geométrico de puntos.
P
d1
d1 P
Una parábola es un lugar geométrico de puntos P en un plano cuya
distancia a un punto fijo, llamado foco, F, es la misma que la distancia
desde una recta fija, llamada directriz. Es decir, d1 d2. En el diagrama,
F es el foco y l es la directriz.
d2
F
ᐉ
Si la directriz de una parábola es una recta horizontal, entonces la parábola
tiene orientación vertical. Si la directriz es una recta vertical, entonces la
parábola tiene orientación horizontal.
y
d2
d1
x
F(f, 0)
Directriz
Si una parábola se orienta horizontalmente, con el vértice en (0, 0), entonces
su foco se ubica dentro de la curva en el punto (f, 0), como se muestra a
la derecha. Debido a que la directriz está a la misma distancia del vértice que
el foco, su ecuación es x f. El texto en la página 464 de tu libro muestra
cómo puedes usar esta información, junto con la definición de lugar
geométrico, para derivar la ecuación y 2 4fx para la parábola. Lee el
desarrollo atentamente. Por lo tanto, cuando la ecuación de una parábola está
en la forma y 2 4fx, sabes que la distancia desde el vértice hasta el foco es f,
un cuarto del coeficiente de x.
d2
La siguiente parábola tiene orientación vertical con vértice (0, 0), foco (0, f )
y directriz y f. Según la definición de lugar geométrico, sabes que d1 d2.
Es decir, (x 0)2 (y f )2 (x x)2 (y f )2 . Puedes usar el álgebra
para volver a escribir esta ecuación como x 2 4fy, ó y 41f x 2. Por lo tanto
cuando la ecuación de una parábola esté en cualquiera de estas dos formas,
puedes hallar la distancia, f, desde el vértice hasta el foco.
y
d1
(x, y)
(0, f )
d2
(0, 0)
(x, f )
x
y f
Lee el ejemplo en tu libro atentamente y después lee el ejemplo en la página
siguiente. Intenta responder cada parte por tu cuenta, antes de leer la solución.
(continúa)
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CHAPTER 8
119
Lección 8.3 • Parábolas (continuación)
EJEMPLO
Considera la ecuación madre, y x 2, de una parábola con orientación vertical.
a. Escribe la ecuación de la imagen de la gráfica después de una dilatación
horizontal por un factor de 2, una dilatación vertical por un factor de 0.5
y después una traslación de 3 unidades a la izquierda.
b. ¿Dónde está el foco de y x 2? ¿Dónde está la directriz?
c. ¿Dónde están el foco y la directriz de la parábola transformada?
䊳
Solución
Recuerda las transformaciones de funciones que estudiaste en el Capítulo 4.
a. Empieza por la ecuación madre y lleva a cabo las transformaciones.
y x2
Ecuación original.
y
x
0.5
2
2
y
x+3
0.5
2
Dilata horizontalmente por un factor de 2 y verticalmente
por un factor de 0.5.
2
Traslada 3 unidades a la izquierda.
b. Usa la forma general, x 2 4fy. El coeficiente de y es
4f en la forma general y 1 en la ecuación x 2 y. Por
lo tanto, 4f 1, ó f 14. De este modo, el foco es
1
1
0, 4 y la directriz es y 4.
y
0.5
y
5
8y (x 3)2
(–3, 2)
x3 2
2
c. Primero, vuelve a escribir la ecuación
2
como 8y (x 3) . El coeficiente de y es 8, por lo
tanto 4f 8, ó f 2. Tanto el foco como la directriz
estarán a 2 unidades del vértice, que es el punto
(3, 0), en la dirección vertical. Por consiguiente,
el foco es (3, 2) y la directriz es y 2.
–5
5
x
y 2
–5
El recuadro en la página 466 de tu libro resume la forma estándar de la ecuación
para las parábolas tanto con orientación vertical como horizontal. Lee este
material atentamente.
Investigación: Pliega una parábola
y
Sigue las instrucciones en tu libro para construir una parábola usando
papel de calcar y halla su ecuación. Éste es un ejemplo:
Supón que se pusiera esta parábola encima de una hoja de papel
cuadriculado y se la trazara con el foco en (3, 0) y su directriz
x 1. La forma general de la parábola es y 2 4fx. La distancia
desde el foco hasta el vértice es 1, por lo tanto f 1 y la ecuación
general de la parábola es y 2 4x. Sin embargo, la parábola se
trasladó 2 unidades a la derecha, por lo tanto la ecuación final
es y 2 4(x 2).
120
CHAPTER 8
4
2
–2
4
6
8
x
–2
–4
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LECCIÓN
CONDENSADA
8.4
Hipérbolas
En esta lección
●
●
●
aprenderás la definición de lugar geométrico de una hipérbola
usarás las asíntotas de una hipérbola como ayuda para dibujar la curva
localizarás los focos de una hipérbola usando los factores de escala
horizontal y vertical
Una hipérbola es un lugar geométrico de los puntos P de un plano cuya
diferencia de las distancias entre dos puntos fijos es siempre una constante.
Es decir, ⏐d2 d1⏐ es siempre una constante. En el siguiente diagrama, los dos
puntos fijos, F1 y F2, se llaman focos. Los puntos en los que las dos ramas de la
hipérbola están más cerca entre sí se llaman vértices. El centro de una hipérbola
es el punto medio entre los vértices.
F1
d1
d1
P
Vértice
Centro
d2
d1
P
d2
Vértice
P
d2
F2
Nota que la diferencia constante ⏐d2 d1⏐ es igual a la distancia entre los vértices.
La distancia desde
P a F1 es d1.
F1
d1
La distancia
desde P a F2
es d2.
d2
P
d2 d1
La distancia entre
los vértices es igual
a la diferencia
constante d2 d1 .
F2
(continúa)
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CHAPTER 8
121
Lección 8.4 • Hipérbolas (continuación)
El Ejemplo A en tu libro deriva la ecuación x 2 y 2 1 de la hipérbola unitaria
como se muestra a continuación. Lee este ejemplo atentamente, resolviéndolo con
papel y lápiz.
y
4
(x, y)
2
(–
2, 0)
–4
( 2, 0)
2
–2
4
x
–2
–4
Cada rama de una hipérbola se aproxima a dos rectas llamadas asíntotas
(asymptotes). Las asíntotas son rectas a las cuales la gráfica se aproxima cuando
aumentan los valores x ó y en dirección positiva o negativa. Las asíntotas de la
hipérbola unitaria son y x e y x. Observa que estas asíntotas pasan por
los vértices de un cuadrado con esquinas en (1, 1), (1, 1), (1, 1) y
(1, 1). Si aumentas la gráfica de una hipérbola, finalmente se parecerá
a la letra X. Las rectas que forman la X son las asíntotas.
La gráfica de y 2 x 2 1 también es una hipérbola. Esta hipérbola tiene la
misma forma que la gráfica de x 2 y 2 1, pero tiene orientación vertical.
y
4
2
–4
–2
2
4
x
–2
–4
La forma estándar de la ecuación de una hipérbola centrada en el origen es
2
ax
y 2
y 2
x 2
b 1 ó b a 1
donde a es el factor de escala horizontal y b es el factor de escala vertical.
El Ejemplo B en tu libro muestra cómo representar gráficamente una
hipérbola trazando primero sus asíntotas. Lee este ejemplo atentamente.
Los focos de una hipérbola están a la misma distancia del centro que los
vértices del rectángulo de asíntotas. En el siguiente diagrama, esta distancia es
la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitudes
a y b. Puedes usar la fórmula pitagórica, a2 b 2 c 2, para localizar los focos.
El ejemplo está en la página siguiente.
y
(0, 5)
a
b
–5
c
5
x
(0, 5)
(continúa)
122
CHAPTER 8
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Lección 8.4 • Hipérbolas (continuación)
䊳
x 2
2
y 2 1 y da las coordenadas de los focos.
EJEMPLO
Traza la gráfica de
Solución
De la ecuación, puedes ver que se trata de una hipérbola
con orientación horizontal y un factor de escala horizontal
de 2. Empieza por dibujar las asíntotas. Para hacerlo,
traza un rectángulo centrado en el origen que mida
2 ⭈ 2, ó 4 unidades horizontalmente y 2 ⭈ 1, ó 2 unidades
verticalmente, y después traza rectas que pasen por los
vértices opuestos. O usa las ecuaciones de las asíntotas,
y 21x. Los vértices de la hipérbola están en (2, 0) y
(2, 0). Usa esta información para trazar la hipérbola.
y
1
y ⫽ _2 x
2
–4
4
–2
x
1
y ⫽ ⫺ _2 x
2
2
2
Para localizar los focos, usa la relación
_______a b c . En este caso,
2
2
a 2 y b 1, entonces c 2 1 5. Por lo tanto, los
focos están a 5 unidades del centro en 5, 0 y 5 , 0,
o aproximadamente (2.24, 0) y (2.24, 0).
Investigación: De paso
Lee la investigación en tu libro y asegúrate de entender el procedimiento. Éstos
son algunos datos de muestra. Completa la investigación usando estos datos y
después compara tus respuestas con las siguientes.
Tiempo (s) Distancia (m)
Tiempo (s) Distancia (m)
Tiempo (s) Distancia (m)
0
5.000
2.6
1.605
5.2
1.978
0.2
4.720
2.8
1.525
5.4
2.251
0.4
4.381
3.0
1.291
5.6
2.478
0.6
4.016
3.2
1.022
5.8
2.748
0.8
3.688
3.4
0.901
6.0
3.099
1.0
3.558
3.6
0.882
6.2
3.284
1.2
3.302
3.8
0.926
6.4
3.533
1.4
3.078
4.0
0.966
6.6
3.820
1.6
2.709
4.2
1.056
6.8
4.116
1.8
2.410
4.4
1.240
7.0
4.379
2.0
2.249
4.6
1.387
7.2
4.695
2.2
1.969
4.8
1.568
7.4
4.955
2.4
1.770
5.0
1.673
Paso 1
Ésta es una gráfica de los datos:
(continúa)
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CHAPTER 8
123
Lección 8.4 • Hipérbolas (continuación)
Las asíntotas y 1.3(x 3.8) e y 1.3(x 3.8) funcionan bien.
Paso 2
Las asíntotas tienen pendientes de ab, de modo que ab 1.3. El centro de
la hipérbola es (3.8, 0) y, según los datos de muestra, el vértice se ubica en
aproximadamente (3.8, 0.9). Entonces el valor b, el factor de escala vertical,
es 0.9, y el valor a es 01..93 , o aproximadamente 0.7. Por consiguiente, la ecuación
de la hipérbola es:
y
2
0.9
x 3.8 2
0.7 1
Las distancias desde el centro a los focos se determinan por
0.92 0.72 c 2, por lo tanto c 1.14, y los focos son (3.8, 1.14) y (3.8, 1.14).
El cálculo de d2 d1 para dos puntos diferentes da aproximadamente
1.80 unidades. Las diferencias en las distancias son iguales. Ésta es la definición
de lugar geométrico de una hipérbola.
Paso 3
y
4
2
–4
–2
d1 d1
d2
d2
2
6
8
10
x
–2
–4
El texto en el recuadro Equation of a Hyperbola (Ecuación de una hipérbola)
en la página 474 de tu libro da la ecuación estándar de una hipérbola.
El Ejemplo C en tu libro te pide escribir una ecuación para una hipérbola dada.
Intenta hacerlo por tu cuenta antes de leer la solución. (Sugerencia: Necesitarás
escribir una ecuación que contenga b y después usar un punto de la curva para
resolver para b.)
124
CHAPTER 8
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
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LECCIÓN
CONDENSADA
8.5
La cuadrática general
En esta lección
●
●
●
●
convertirás ecuaciones cuadráticas de forma general a forma estándar
resolverás para y ecuaciones cuadráticas de modo que puedan representarse
gráficamente en una calculadora
hallarás todas las maneras posibles en que dos secciones cónicas puedan
intersecarse
hallarás los puntos de intersección de dos secciones cónicas
Los círculos, parábolas, elipses e hipérbolas se llaman curvas cuadráticas, o curvas
de segundo grado, porque en sus ecuaciones la potencia más alta en cualquier
variable es 2. Las ecuaciones de cualquiera de estas curvas pueden escribirse en
forma cuadrática general
Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0
donde A, B y C no son todas cero.
En todas las curvas que has visto hasta ahora en este capítulo, B es igual
a 0 (es decir, no hay término xy). Si B no es igual a 0, la curva está rotada
(su orientación no es ni horizontal ni vertical).
Para representar gráficamente a mano una ecuación cuadrática dada en forma
general, resulta útil escribirla primero en forma estándar. Y, para representar
gráficamente la ecuación en tu calculadora, primero debes resolverla para y. En esta
lección practicarás la conversión de ecuaciones cuadráticas generales a estas formas.
Lee el Ejemplo A en tu libro. La ecuación es relativamente fácil de resolver porque no
tiene términos en x, y, ó xy. Si una ecuación tiene estos términos, entonces debes usar
el proceso de completar el cuadrado para volver a escribirla en su forma estándar. Esto
se demuestra en el Ejemplo B de tu libro. Lee ese ejemplo y después lee el siguiente.
EJEMPLO A
Describe la forma dada por la ecuación 25x 2 4y 2 150x 16y 109 0.
䊳
Completa el cuadrado para convertir la ecuación a forma estándar.
Solución
25x 2 4y 2 150x 16y 109 0
Ecuación original.
25x 2 150x 4y 2 16y 109
Agrupa los términos x y los términos y,
y pasa las constantes al otro lado.
25x 2 6x 4y 2 4y 109
Factoriza los coeficientes de x 2 y de y 2.
25x 2 6x 9 4y 2 4y 4 109 25(9) 4(4)
Completa el cuadrado para x e y. Suma los
mismos valores al lado derecho de la ecuación.
25(x 3)2 4(y 2)2 100
(x 3)2 (y 2)2
1
4
25
2
y2 2
x3
5 1
2
Escribe la ecuación en forma de cuadrado perfecto.
Divide ambos lados por 100.
Escribe la ecuación en forma estándar.
(continúa)
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CHAPTER 8
125
Lección 8.5 • La cuadrática general (continuación)
La ecuación es la de una hipérbola de orientación horizontal con el centro
en (3, 2), el factor de escala horizontal 2 y el factor de escala vertical 5.
En el ejemplo anterior, antes de que convirtieras la ecuación a forma estándar,
pudiste haber usado pistas de forma general de la ecuación para predecir que
la gráfica sería una hipérbola. Dado que la ecuación tiene un término x 2, un
término y 2, y ningún término xy, la gráfica debe ser una elipse, una hipérbola
o un círculo. El coeficiente de x 2 es positivo y el de y 2 es negativo, por lo tanto
la gráfica es una hipérbola.
La ecuación en el Ejemplo C de tu libro tiene un término y 2 pero ningún
término x 2 y ningún término xy. Esto indica que su gráfica es una parábola. La
segunda parte del Ejemplo C te muestra cómo usar la fórmula cuadrática para
resolver para y la ecuación. Resuelve el Ejemplo C usando papel y lápiz.
Investigación: Sistemas de ecuaciones cónicas
Existen cuatro secciones cónicas: círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. Los
diagramas en la página 485 de tu libro muestran que una elipse y una hipérbola
se pueden intersecar en 0, 1, 2, 3 ó 4 puntos. Existen otros nueve pares posibles
de dos secciones cónicas:
Elipse y elipse
Elipse y parábola
Elipse y círculo
Parábola y parábola
Parábola e hipérbola
Parábola y círculo
Hipérbola e hipérbola
Hipérbola y círculo
Círculo y círculo
Para cada par, considera todos los números posibles de puntos de intersección
y traza cada posibilidad. Cuando hayas terminado, compara tus respuestas con
las siguientes.
Círculo y círculo: 0, 1, 2, número infinito
Elipse y elipse: 0, 1, 2, 3, 4, número infinito
Parábola y parábola: 0, 1, 2, 3, 4, número infinito
Hipérbola e hipérbola: 0, 1, 2, 3, 4, número infinito
Todas las demás combinaciones: 0, 1, 2, 3 ó 4
Para hallar los puntos donde se intersecan dos secciones cónicas, primero
representa gráficamente las curvas para ver el número de puntos de intersección
y su ubicación aproximada. Después, usa el álgebra para hallar los puntos exactos
de intersección. Esta técnica se ilustra en el Ejemplo D de tu libro. La página
siguiente presenta otro ejemplo. Necesitarás completar algunos detalles de la
solución por tu cuenta.
(continúa)
126
CHAPTER 8
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
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Lección 8.5 • La cuadrática general (continuación)
y2
9
EJEMPLO B
Halla los puntos de intersección de x 2 䊳
Resolver para y ambas ecuaciones da y 3
1 x2
2
e y 2 1 x . (Asegúrate de verificar esto.)
Representar gráficamente las ecuaciones muestra
que hay tres puntos de intersección. Uno parece ser
(0, 3). Usando la gráfica, puedes hallar que los
otros dos puntos son aproximadamente (0.98, 0.6)
y (0.98, 0.6).
Solución
1 y (y 2)2 x 2 1.
Para hallar los puntos de intersección de manera algebraica, resuelve para x 2
y2
y2
la primera ecuación para obtener x 2 1 9 , después sustituye x 2 por 1 9
en la segunda ecuación.
(y 2)2 x 2 1
y2
(y 2)2 1 9 1
y2
y 2 4y 4 1 9 1
10
y 2 4y 2 0
9
Segunda ecuación original.
y2
Sustituye x 2 por 1 9.
Desarrolla el binomio al cuadrado.
Combina términos semejantes.
____________
10
4 42 4 9(2)
y 10
29
Usa la fórmula cuadrática.
y 0.6 ó y 3
Evalúa.
Para hallar
los valores de x correspondientes, sustituye ambos valores en
______
y2
x 1
9 , que se obtiene de la primera ecuación.
__________
( 3)
x 1
9 0
(0.6)2
x 1
0.980
9
__________
2
Los puntos de intersección son aproximadamente (0.980, 0.6), (0.980, 0.6)
y (0, 3).
A veces es suficiente usar las gráficas para hallar los puntos de intersección
aproximados. Lee el Ejemplo E en tu libro.
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CHAPTER 8
127
LECCIÓN
CONDENSADA
8.6
Introducción a las funciones
racionales
En esta lección
●
●
●
●
●
modelarás datos reales con una función racional
examinarás transformaciones de f(x) 1x, la función madre de la curva
de variación inversa
volverás a escribir ecuaciones de funciones racionales para ver cómo
se relacionan con y 1x
escribirás una ecuación para la gráfica de una función racional
usarás expresiones racionales para resolver un problema que implica soluciones ácidas
En la investigación verás cómo la longitud de un poste se relaciona con el peso
que puede soportar. Antes de hacer la investigación, lee la introducción en la
página 490 de tu libro y observa las curvas A, B y C. ¿Qué curva crees que se
asemeje más a la relación entre la longitud del poste y la “masa de ruptura”;
es decir, la masa mínima que causará que el poste se rompa?
Investigación: El punto de ruptura
Lee la lista de materiales, el Procedure Note (Nota del procedimiento) y el Paso 1
de la investigación en tu libro. Si tienes los materiales, reúne 10 ó 15 valores de
datos por tu cuenta y usa tus datos para completar la investigación. Si no tienes
los materiales, usa estos datos de muestra. Los siguientes resultados se basan en
los datos de muestra.
Longitud (cm)
x
Masa (número
de monedas)
y
Longitud (cm)
x
Masa (número
de monedas)
y
16
6
12
7
16
5
11
8
15
7
10
9
15
6
9
10
14
6
8
11
13
7
7
13
13
6
6
16
12
8
Parece que la gráfica no es lineal. Es una curva que
disminuye rápidamente al principio y lentamente después.
Paso 2
(continúa)
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CHAPTER 8
129
Lección 8.6 • Introducción a las funciones racionales (continuación)
Paso 3
Una ecuación posible es y 9x0.
La relación entre longitud y masa en la investigación es una variación inversa.
La función madre para una curva de variación inversa es f(x) 1x. Ésta es la
función racional más sencilla.
Una función racional es cualquier función que se puede escribir de forma
p(x)
f(x) q(x) , donde tanto p(x) como q(x) son polinomios. El polinomio
denominador no puede ser igual a la constante 0.
Observa que la gráfica de y 1x, que se muestra a la derecha, es una
hipérbola rotada 45° con los vértices (1, 1) y (1, 1). Los ejes x e y son
las asíntotas. La función no tiene valor en x 0 porque 10 es indefinido.
A medida que los valores x se acercan a cero desde la izquierda, los
valores y son cada vez más negativos. A medida que los valores x se acercan
a cero desde la derecha, los valores y son cada vez más positivos. A medida
que los valores x se acercan más a los valores extremos, tanto en la
izquierda como en la derecha, la gráfica se aproxima al eje horizontal.
Las características de la gráfica de y 1x se describen con más detalle en
la página 492 de tu libro.
y
5
–5
5
x
–5
1
1
Las funciones como y 1x 4, y ____
x 1 e y 2 x son funciones
racionales transformadas. Usa tu calculadora para experimentar con diferentes
transformaciones de y 1x.
El Ejemplo A en tu libro muestra cómo una función racional puede volver a
escribirse de modo que quede claro cómo se relaciona con la función madre,
y 1x. Lee este ejemplo atentamente. Después intenta resolver el problema en
el siguiente ejemplo antes de leer la solución.
EJEMPLO
3x 11
Describe la función y x 3 como una transformación de la función madre,
y 1x. Después representa la gráfica.
(continúa)
130
CHAPTER 8
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
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Lección 8.6 • Introducción a las funciones racionales (continuación)
䊳
Solución
Debido a que el numerador y el denominador tienen el mismo grado, puedes
usar la división para volver a escribir la expresión.
3
________
x 3)3x 11
3x 9
2
2
y3
x3
La función madre se dilató verticalmente por
un factor de 2 y después se trasladó 3 unidades
hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba.
Las asíntotas también se trasladaron. La asíntota
vertical se trasladó 3 unidades hacia la izquierda
hasta x 3, y la asíntota horizontal se
trasladó 3 unidades hacia arriba hasta y 3.
y
7
–7
7
x
–7
Supón que tienes la gráfica de una función racional transformada y que debes hallar su ecuación. Puedes
identificar las traslaciones si miras la ubicación de las asíntotas: Una asíntota horizontal de y k indica
una traslación vertical de k unidades y una asíntota vertical de x h indica una traslación horizontal
de h unidades.
Para identificar los factores de escala, escoge un punto, como un vértice, cuyas
coordenadas conocerías después de la traslación. Después halla un punto en
la gráfica dilatada que tenga la misma coordenada x. La razón entre las distancias
verticales desde las asíntotas horizontales a estos dos puntos es el factor de escala
vertical. A continuación se muestra un ejemplo. Encontrarás otro ejemplo en
la página 493 de tu libro.
y
7
–7
7
x
–7
El problema en el Ejemplo B de tu libro usa expresiones racionales para modelar
una situación que implica una solución ácida. Analiza el ejemplo atentamente.
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CHAPTER 8
131
LECCIÓN
CONDENSADA
8.7
Gráficas de funciones racionales
En esta lección
●
●
●
predecirás huecos y asíntotas en la gráfica de una función racional, basada
en su ecuación
escribirás ecuaciones para las gráficas de funciones racionales
convertirás funciones racionales de una forma a otra
Las gráficas de funciones racionales tienen una variedad de formas. La introducción
a la lección en tu libro muestra algunos ejemplos. Observa que las gráficas tienen
asíntotas o huecos en valores donde las funciones son indefinidas. En esta lección
verás cómo puedes predecir asíntotas, huecos y otras características de una gráfica
basada en su ecuación.
Investigación: Predicción de asíntotas y huecos
Completa el Paso 1 en tu libro y después compara tus resultados con los siguientes.
a. B. La gráfica tiene una asíntota vertical en x 2, que es el valor donde
el denominador es 0. A medida que x se acerca a 2 por la izquierda, los
valores y se vuelven números negativos con cada valores vez más extremos.
A medida que x se acerca a 2 por la derecha, los valores y se vuelven
números positivos cada vez mayores.
b. D. La gráfica tiene un hueco en x 2, que es el valor donde tanto el
numerador como el denominador son 0. Para cualquier valor x excepto 2,
la función se reduce a y 1, por lo tanto la gráfica se parece a la de y 1
en todos los puntos menos en ése.
c. A. La gráfica tiene una asíntota vertical en x 2, que es el valor donde
el denominador es 0. A medida que x se acerca a 2 desde cualquier lado,
los valores y se vuelven números positivos cada vez más grandes.
d. C. La gráfica tiene un hueco en x 2, que es el valor donde tanto
el numerador como el denominador son 0. Para cualquier valor x
excepto 2, la función se reduce a y x 2, por lo tanto la gráfica se
parece a la de y x 2 en todos los puntos menos en ése.
Ahora, usa lo que aprendiste en el Paso 1 para completar los Pasos 2 y 3. Después
compara tus resultados con los siguientes.
Paso 2
1
1
a. y x 1. Ésta es la gráfica de y x trasladada 1 unidad hacia la izquierda
(por lo tanto la asíntota vertical de y 1x, a saber, el eje y, ha sido
trasladada 1 unidad hacia la izquierda a x 1).
2(x 1)
b. y x 1 . La función es indefinida en x 1, pero se reduce a y 2
para todos los demás valores x. De este modo la gráfica se parece a la
gráfica de y 2, con un hueco en x 1.
1
c. y . La función es indefinida en x 1. A medida que los valores x
(x 1)2
se acercan a 1 desde cualquier dirección, (x 1)2 se vuelve un número
1
positivo cada vez más pequeño, por lo tanto se vuelve un número
(x 1)2
positivo cada vez más grande. Por consiguiente, x 1 es una asíntota.
(continúa)
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CHAPTER 8
133
Lección 8.7 • Gráficas de funciones racionales (continuación)
(x 1)2
d. y x 1 . La función es indefinida en x 1 pero se reduce a
y x 1 para los demás valores x. De este modo, la gráfica se parece
a la gráfica de y x 1, con un hueco en x 1.
Las asíntotas verticales se presentan en ceros que aparecen solamente
en el denominador, o en ceros que aparecen más en el denominador que en el
numerador. Si una asíntota está en x a, entonces la ecuación tendrá (x a)
como factor de su denominador. Los huecos están en los valores que convierten
tanto el numerador como el denominador en 0, a condición de que no haya
asíntota vertical en esos valores. Para escribir una ecuación de una gráfica con
un hueco en x a, imagina que la gráfica no tiene huecos y escribe su ecuación.
xa
Después multiplica el resultado por x a.
Paso 3
Paso 4 La gráfica tiene una asíntota vertical x 2. Cuando un factor está
tanto en el numerador como en el denominador, pero está más veces en el
denominador, indica que hay una asíntota vertical en lugar de un hueco.
Piensa atentamente qué te dicen acerca de su gráfica las pistas de una ecuación de
una función racional. Después lee el Ejemplo A en tu libro. El Ejemplo B muestra
cómo la factorización del numerador y del denominador de una función racional
puede ayudarte a determinar las características de su gráfica. Analiza ese ejemplo
y después lee el siguiente ejemplo.
䊳
x2 x 6
.
x 2 5x 6
EJEMPLO
Describe las características de la gráfica de y Solución
Si se factorizan el numerador y el denomimador se obtiene y (x 2)(x 3).
Existe un hueco en x 3 porque es un cero que ocurre con la misma frecuencia
tanto en el numerador como en el denominador.
(x 2)(x 3)
Si x 2, el denominador (pero no el numerador) es 0, entonces existe una
asíntota vertical en x 2. Si x 2, el numerador (pero no el denominador)
es 0, entonces existe una intersección x en x 2. Si x 0, entonces y 1.
Ésta es la intersección y.
Para hallar las asíntotas horizontales, considera lo que sucede a los valores y
cuando los valores x se alejan mucho de 0.
x 10,000
1,000
100
100
1,000
10,000
y
0.99601
0.96078
1.04082
1.00401
1.00040
0.99960
y
6
La tabla muestra que los valores y se acercan cada vez
más a 1 a medida que x se aleja de 0. Por lo tanto y 1
es una asíntota horizontal.
La gráfica de la función confirma estas características.
–4
El Ejemplo C en tu libro muestra cómo convertir una función de una
forma que muestra las transformacones de y 1x a una forma de función
racional. Lee este ejemplo atentamente.
134
CHAPTER 8
6
x
–4
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LECCIÓN
Operaciones con expresiones
racionales
CONDENSADA
8.8
En esta lección
●
harás operaciones con expresiones racionales
Hacer operaciones con expresiones racionales es muy parecido a hacer
operaciones con fracciones de números enteros. Por ejemplo, para sumar o
restar dos expresiones racionales, primero debes volver a escribir las expresiones
de modo que tengan un denominador común. Para repasar la suma de fracciones,
lee el texto en la página 505 de tu libro. Analiza el Ejemplo A en tu libro y
después suma las expresiones racionales en el siguiente ejemplo. Después de
que hayas hallado la suma, compara tu trabajo con la solución.
EJEMPLO A
Suma las expresiones racionales para volver a escribir el lado derecho
de la ecuación como una sola expresión racional en forma factorizada.
7
2x 5
y
x3
(x 4)(x 3)
䊳
Solución
El mínimo denominador común es (x 4)(x 3).
7
2x 5
y x3
(x 4)(x 3)
Ecuación original.
7
2x 5 (x 4) Multiplica la segunda fracción por un equivalente
y x 3 ⭈ (x 4) de 1 para obtener un denominador común.
(x 4)(x 3)
7
2x 2 3 x 20
y (x 4)(x 3) (x 3)(x 4)
Multiplica el numerador de la segunda fracción.
2x 2 3x 13
y
(x 3)(x 4)
Suma los numeradores.
El numerador no se puede factorizar con raíces racionales.
Para restar las expresiones racionales, también debes hallar un denominador
común. Esto se muestra en el Ejemplo B de tu libro. Analiza el Ejemplo B
atentamente.
El texto entre los Ejemplos B y C en tu libro repasa cómo multiplicar y dividir
las fracciones. Lee ese texto si es necesario. Utilizas el mismo procedimiento para
multiplicar y dividir las expresiones racionales. Cuando multiplicas o divides
las expresiones racionales, primero factoriza todas las expresiones. Esto facilitará
la reducción de los factores comunes y la identificación de las características
de la gráfica. Analiza el Ejemplo C. Después halla el producto en el ejemplo
en la página siguiente. Después de que hayas hallado el producto, compara
tus resultados con la solución.
(continúa)
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CHAPTER 8
135
Lección 8.8 • Operaciones con expresiones racionales (continuación)
EJEMPLO B
x 2 7x 6
Multiplica x 2 5x 6
䊳
(x 6)(x 1)
(x 6)(x 1)
Solución
2x 2x
⭈
x1 .
2
2x(x 1)
⭈
(x 1 )
Factoriza todas las expresiones que puedas.
(x 6)(x 1)2x(x 1)
(x 6)(x 1)(x 1)
Combina las dos expresiones.
(x 6)(x 1)2x(x 1)
(x 6)(x 1)(x 1)
Reduce los factores comunes.
2x
Vuelve a escribir.
(x 6)(x 1) 2x(x 1)
_______ y de y 2x
(x 6)(x 1)
(x 1)
(x 6)(x 1) _______
2x(x 1)
tendrá
de y (x 6)(x 1)
(x 1)
⭈
Observa que las gráficas de y iguales, excepto que la gráfica
⭈
se verán
huecos
en x 6, x 1 y en x 1.
Lee el Ejemplo D en tu libro y después halla el cociente del ejemplo siguiente.
EJEMPLO C
䊳
Solución
x 2 8x 9
x2
Divide .
x 2 2x 3
x 2 7x 18
x 2 8x 9
___________
x2
x 7x 18
⭈ ____________
x 2 2x 3
2
Invierte la fracción en el denominador y multiplica.
(x 9)(x 1) (x 9)(x 2)
⭈ (x 2)
(x 3)(x 1)
Factoriza todas las expresiones.
(x 9)(x 1)(x 9)(x 2)
(x 2)(x 3)(x 1)
Multiplica.
(x 9)(x 9)
(x 3)
Reduce todos los factores comunes.
Puedes verificar tu respuesta, comparando las gráficas de
x 2 8x 9
(x 9)(x 9)
x2
e y y 2
(x 3)
x 2x 3
x 2 7x 18
Las gráficas deben ser idénticas, excepto los huecos.
136
CHAPTER 8
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