UNIDAD 1. CAMPO ELÉCTRICO, FLUJO ELECTRICO Y

UNIDAD 1.
CAMPO ELÉCTRICO, FLUJO ELECTRICO Y POTENCIAL ELÉCTRICO
CAPÍTULO 1: “El MARAVILLOSO SOPORTE MATEMÁTICO”
El encanto que producen las ecuaciones de Maxwell solo puede ser
experimentado cuando uno ha manejado un ratito con alegría, bondad y
rigurosidad el soporte matemático, al principio parece muy complejo, que permite
una comprensión razonable de la teoría de los “campos electromagnéticos”. Este
capítulo se interesa por dar a conocer las ideas matemáticas básicas que permiten
navegar con tranquilidad por estos mágicos mundos de los campos de interés
para nosotros. Comprender las operaciones vectoriales (suma, producto escalar o
vectorial), manipular los operadores especiales (gradiente, divergencia, rotacional,
laplaciano), además de ser un desafío estimulante para la mente y para el alma,
es un mecanismo sencillo, elegante y apropiado, que nos llena de fortaleza, de
conocimientos, de esperanza, para disfrutar y comprender el trabajo de “Maxwell”.
Lección 1: “Sistemas de Coordenadas”
Existen muchos sistemas de coordenadas de interés para la ciencia o para la
tecnología y su utilización es una necesidad específica de acuerdo al tema de
interés. Es bueno saber que en la física del movimiento, en electromagnetismo o
en el cálculo de varias variables, se manejan los tipos de coordenadas
mencionados a continuación: cartesiana (rectangulares, cilíndricas y las esféricas.
 Coordenadas Cartesianas.
Es el sistema que hemos disfrutado y manejado desde siempre; nos lo
compartieron en el colegio, en él el hombre ha evolucionado, vivido,
amado, sufrido, progresado y ha comprendido que su vida se ha
desarrollado en tres dimensiones y en él nos hablaron de los volúmenes.
Es este sistema, como se indica en la figura un punto cualquiera P
puede ser identificado mediante sus tres coordenadas
→
xp , yp , zp
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Es bueno mostrar que los vectores unitarios, que indican la dirección en cada
eje coordenado se representan por:
y que equivalen a
los vectores unitarios y ordenados: i, j, k y en estricto orden.
Conviene recordar que los tres vectores mencionados con lin ealmente
independientes, de magnitud uno, y que cada par es perpendicular entre sí.
Además de esos detalles importantes mencionados, los especiales vectores
(i, j, k) se deben orientar de tal manera que: i x j = k, j x k = i.
Los desplazamientos diferenciales a lo largo de los ejes coordenados son
sencillamente: dx , dy , dz. Es el sistema coordenado más cercano a nosotros.
 Coordenadas Cilíndricas.
Otro sistema, es el indicado en la figura [3], aquí un punto cualquiera P
puede ser identificado mediante las coordenadas → rp , φp , zp
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Puedes imaginar este sistema de coordenadas concibiendo un tarro recto y
cilíndrico en cual se tiene su radio ( r ), su altura ( z ) y el ángulo que ves en la
figura. Este sistema es muy interesante para trabajar con las líneas de los
campos magnéticos que son líneas cerradas y concéntricas, que como el caso
de un conductor rectilíneo son circunferencias concéntricas y de valor fijo.
Los desplazamientos diferenciales presentes a lo largo de cada uno de los ejes
coordenados en este sistema de referencia son: dr , r dφ , dz
 Coordenadas Esféricas.
En la figura un punto cualquiera P será identificado en este sistema de
referencia mediante las coordenadas, →
rp , θp , φp
Los desplazamientos diferenciales a lo largo de los ejes coordenados son: dr,
r dθ, r senθ dφ. Este marco de referencia es muy utilizado en sistemas
esféricos de distribuciones de carga eléctrica en sistemas estáticos en los
cuales las líneas de campo son líneas abiertas que como en el caso de una
carga eléctrica puntual se consideran que son líneas que salen del sistema.
Los desplazamientos diferenciales a lo largo de los ejes coordenados son: dr,
r dθ, r senθ dφ. Este marco de referencia es muy utilizado en sistemas
esféricos de distribuciones de carga eléctrica en sistemas estáticos en los
cuales las líneas de campo son líneas abiertas que como en el caso de una
carga eléctrica puntual se consideran que son líneas que salen del sistema.
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Lección 2: “Cantidades Vectoriales”
En matemáticas, en la física y en la ingeniería, se manejan varios tipos diferentes
de cantidades. Ellas son las escalares, las vectoriales y las tensoriales, aunque
para los estudiosos normales solo son conocidas las dos primeras clases .
 Escalares: son cantidades que quedan definidas por una magnitud
(un número) como ejemplos tenemos masa, tiempo, estatura, área,
longitud, energía, rapidez, parámetros en los cuales al preguntar por
ellos
aquedamos
responden
satisfechos
y
con una cifra definida.
comprendemos
Por
ejemplo:
cuando
¡cuál
nos
es
tu
estatura?... la respuesta puede ser 1.78 m, pero nunca preguntamos:
¿acostado? ¿parado? Es de interés solo el número que nos digan.
 Vectoriales: son aquellas cantidades que para quedar debidamente
definidas necesitan una magnitud y una dirección (ángulo).
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Para representar un vector, es costumbre universal utilizar una flecha, cuya
longitud es proporcional a su magnitud y su orientación con respecto al eje X
muestra su dirección.
Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección. como
ejemplo tenemos:
Un vector
en dos dimensiones, algebraicamente se puede especificar como un
par ordenado <a,b>. Los elementos del par ordenado se llaman componentes
rectangulares del vector.
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Lección 3: “Operaciones Vectoriales”
La suma de vectores puede lograrse usando el método gráfico (polígono, o
usando reglilla, transportador, papel milimetrado), o el método analítico (el cual
hace uso de la calculadora científica y de las componentes rectangulares).
Además de la operación suma, se definen entre vectores dos productos
importantes: el escalar (producto escalar) y el vectorial (producto cruz).
 PRODUCTO PUNTO ( a . b )
Se define como el producto de sus módulos (magnitudes) multiplicado por el
coseno del ángulo θ que forman. Note que θ es siempre menor o igual que 180°. l
resultado es siempre un número que puede ser positivo, negativo o nulo. Se
representa por un punto, y se define de la siguiente manera:
En coordenadas cartesianas y sabidas las componentes rectangulares de cada
vector en bases ortonormales (ortogonal y unitaria), lo cual se traduce en vectores
de magnitud igual a la unidad y que forman ángulos rectos entre sí):
 PRODUCTO CRUZ ( a X b)
El producto vectorial de los vectores a y b (a × b) es un vector cuya
magnitud está dada por |a||b| sen , en donde |a| y |b| son las magnitudes
de los vectores “a” y “b” y “ ” es el ángulo entre ellos. La dirección del
vector resultante apunta en la dirección en la que un tornillo de rosca
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derecha penetraría perpendicularmente al pasar del vector “a” al vector “b”.
El vector resultante es un vector que es perpendicular a cada uno de los
vectores que lo generaron: (a x b) . a = (a x b) . b = 0
Ejemplos:
A) Sean los vectores:
y
El producto vectorial entre a y b se calcula como:
Expandiendo el determinante:
Por lo tanto:
Si (a x b) . a = (1, -5, -2) . (2, 0, 1) = (1) (2) + (-5) (0) + (-2) (1) = 0, lo cual
garantiza, que como estaba predicho, estos dos vectores eran perpendiculares.
H al l ar el p r od uc t o pu n t o ( a . b ) d e l os v ec t or es “ a” y “ b ” c u y as
c oor d en ad as r ec t an g u l ar es s on (1 , 1 / 2 , 3) y ( 4 , − 4, 1) .
a . b = ( 1 , 1 / 2 , 3 ) · ( 4 , 4 , - 2 ) = 1 · 4 + ( 1 / 2 ) · 4 + 3 · ( - 2)
= 4 + 2 + - 6 = 0 ( ¡ s o n p e r p e n d i c u l a r es ¡ )
Lección 4: “Operadores especiales”
Las cantidades vectoriales son básicas en este curso. Las funciones escal ares y
las funciones vectoriales siempre están asociadas con el comportamiento de los
campos eléctricos y algunas descripciones o parámetros asociados.
Los operadores que son de interés en el estudio de los campos electromagnéticos
son: el gradiente (operador fundamental), el cual combinado con el producto punto
o con el producto cruz y bien comprendida la naturaleza de una cantidad física
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debemos saber su naturaleza escalar o vectorial para poder contribuir con su
estudio. Los operadores derivados de las distintas mezclas entre gradiente y los
productos escalar y vectorial, generan los demás operadores: divergencia,
rotacional, laplaciano, y es el tema de interés en este capítulo que ha disfrutado de
la presencia de la esencia matemática y física de cada n avegante.
Estos operadores mágicos y especiales, fundamento y soporte de la teoría
electromagnética, se estructuran en el manejo de las derivadas direccionales (si
tienes dudas sobre su manejo o hace rato no los estudias por favor busca un libro
de cálculo avanzado y trabaja algunos ejercicios) y van a ser definidos:
 GRADIENTE
Es el operador fundamental. Este operador especial se le aplica a funciones
escalares y genera como resultado una función vectorial. Se representa el
gradiente de la función escalar "V", de la siguiente forma  V (se lee nabla).
El operador gradiente muestra en un punto, la dirección y la magnitud de cambio
de una función escalar “V”. Observar que todas las derivadas implicadas en estos
conceptos son “derivadas acostadas” es decir “derivadas direccionales”:
Las expresiones matemáticas del “operador gradiente” en cada uno de los
sistemas coordenadas se muestran a continuación y se sugiere guardarlos en
tablas apropiadas para su debida utilización:
En coordenadas rectangulares se tiene que:
En coordenadas Cilíndricas se tiene que:
En coordenadas Esféricas se tiene que:
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
DIVERGENCIA ( . A)
Es un operador especial que se le aplica a “funciones vectoriales” (A) para
generar “funciones escalares”. Se interpreta como una función que nos indica
en un punto determinado la presencia de fuentes o de sumideros (desagues).
Por ejemplo: la fuente de los campos eléctricos son las cargas eléctricas, por lo
tanto en ciertos puntos .E (la divergencia del campo eléctrico es diferente de
cero, porque existe una fuente (cargas eléctricas) que lo genera)
Para la función vectorial “E” el concepto matemático, que es prácticamente, un
producto escalar entre dos funciones vectoriales se trabaja de la manera siguiente:
∇ . E= ( i
) . (E1 i + E2 j + E3 k)
En coordenadas rectangulares se resume a::
En coordenadas cilíndricas se tiene que:
En coordenadas esféricas se tiene que:
Asociado con este interesante operador se tiene el conocido “t eorema de la
divergencia” o “teorema de Gauss” o “teorema del flujo”, el cual permite convertir
una integral de superficie en una integral de volumen para una región. Su interés
se presenta en los campos electrostáticos o en la mecánica de los fluidos, donde
en forma natural se presentan los conceptos de “fuentes” o de “sumideros”. Este
teorema se describe matemáticamente de la manera siguiente:
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 ROTACIONAL ( x E)
Es otro operador especial que se le aplica a funciones vectoriales y genera
otra función vectorial. Es operador está asociado al concepto de giro
bien sea en un fluido o bien sea en un campo. Mentalmente se puede
asociar a una rueda colocada dentro de un fluido y el análisis se daría
pensando en los lugares donde ella pueda girar como consecuencia del
desplazamiento del fluido. Su expresión en cada uno de los sistemas de
referencia es:
En coordenadas Rectangulares se tiene:
En coordenadas Cilíndricas se tiene:
En coordenadas Esféricas se tiene:

LAPLACIANO ( 2 V)
Es un operador especial de enorme interés en los cursos avanzados de
matemáticas especiales por su relación estrecha con los “armónicos”. Toda
función cuyo laplaciano sea nulo se denomina “armónica” y ella es la ecuación
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diferencial más conocida (cumple el papel del famoso teorema de Pitágoras en
los cursos básicos de matemáticas). Este operador, se indica y se define como:
En coordenadas Rectangulares se tiene que:
En coordenadas Cilíndricas se tiene que:
En coordenadas Esféricas se tiene que:
La bella ecuación de Laplace es entonces: 2 V = 0, y a las funciones “V” que la
satisfacen plenamente se les denomina “funciones armónicas”. ¡Buscar algunas¡
Ejemplo: la función V = 3 X2 + 2 Y2 - 5 Z2, cumple la “ecuación de Laplace”
porque:
2 (3 X2) /  X2 = 6, 2 (2 Y2) /  Y2 = 4, 2 (- 5 Z2) /  Z 2 = -10
Y entonces: 2 (V) /  X2 +2 (V) /  X2 + 2 (V) /  X2 = 6 + 4 – 10 = 0
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Lección 5: “El vector posición (R) y el álgebra de operadores” 
En coordenadas cartesianas el vector posición (R) se define como:
R = X i + Y j + Z k, cuya magnitud, una cantidad escalar, es simplemente:
 R  = (X2 + Y2 + Z 2) = (X2 + Y2 + Z 2)0.5
UR, es un vector unitario (magnitud uno) en la dirección del vector R.
Algunas propiedades del vector de posición R son:
R X R = 0 (vector nulo o vector cero)
R . R =  R  2 = R2 (cantidad escalar o simplemente un número)
. R=3
 X R = 0 (vector nulo o vector cero)
R X UR = 0 (vector nulo o vector cero)
R . UR =  R 
Si f( R ) es una función meramente “radial”, es decir, depende sólamente del
parámetro “R”, entonces su gradiente {
f ( R ) } se puede hallar
simplemente encontrando “df ( R ) / dR” (la derivada de “f” con respecto a
“R” y colocando el vector UR; es decir:  f ( R ) = {df ( R ) / dR} UR
Por ejemplo, si f ( R ) = R6, entonces su gradiente es la función vectorial:
 f ( R ) = 6 R 5 UR, porque d R6/ dR = 6 R5. El “UR” le da el carácter vectorial.
Los operadores mencionados, tal como las funciones trigonométricas,
cumplen unas propiedades que conviene tener presentes permanentemente.
Si “A” es una función vectorial y “” es una función escalar, se cumple que:
 ( 1  2) =  1  ( 2) +  2  ( 1)
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 . ( A) =  . (A) + A .  ()
 x ( A) =   x (A) - A x  ()
 X (A x B) = (B .) A – (A. ) B + A (.B) – B (.A)
. (x A) = 0 (la divergencia del rotacional es cero)
 X (F) = 0 (rotacional del gradiente es vector nulo)
 x ( X A) = (.A) -  2 A
Para socializar el manejo de esta álgebra de operadores favor analizar con
cuidado y entusiasmo los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1:  1 =X2 “y”  2 = ln X5 (“ln” logaritmo natural) son dos funciones escalares,
encontrar el gradiente de “ 1  2”.
Solución: se sabe del álgebra de operadores que: ( 1  2 )
=
 1 2 +  2 1
 ( 1  2) = { x2 (1/ X5)(5 X4 ) + (ln X5 ) 2x } UR
 ( 1  2 ) = (5 x + ln (X5) 2 x) UR
( 1  2) = (5X + 10x ln x ) UR
Ejemplo 2: si F = R3 R, es una función de carácter vectorial, hallar con la ayuda
del álgebra de los operadores y los conocimientos del cálculo:
a.  X F
b.
. F
Solución: se sabe que  x ( A) =   x (A) - A x  (), y además  x R = 0
Luego:  X F = R3 ( x R) – R x ( R3) = 0 - R x (3R UR)
pero R X UR =0 por lo tanto:  X F = 0
Para resolver la parte b. del ejemplo 2 recordar: . ( A) =  . (A) + A .  ()
. F = . (R3 R) = R3 . R + R .  R3 = 3 R3 + R . 3 R2 UR = 3 R3 + 3 R3 = 6 R 3
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CAPÍTULO 2: “CAMPO ELÉCTRICO ESTÁTICO”
La fuerza gravitacional es una fuerza muy estudiada en la naturaleza y su
comportamiento explica con claridad el movimiento planetario, el peso que
ejerce la tierra sobre nosotros y que no nos permite levantarnos del piso con
facilidad. Esta fuerza es atractiva, de carácter central y solo puede notarse
cuando las masas son grandes; es el caso de los planetas moviéndose
alrededor del sol, las mareas terrestres causadas por la influencia de la luna.
La fuerza eléctrica es una fuerza significativamente más poderosa, que
puede ser atractiva o repulsiva, de carácter central y además es una fuerza
conservativa. Es la responsable de los enlaces de la materia, explica el
movimiento de los electrones en una pantalla de televisión, nos ayuda a
comprender el fenómeno del galvanizado, justifica la estática de las nubes;
es una fuerza especial de la naturaleza que está muy cerca de nosotros.
Comprender y manejar los campos eléctricos estáticos, es decir, aquellos
campos eléctricos que no dependen del tiempo, es muy importante para
justificar y analizar el comportamiento de muchos equipos, dispositivos o
fenómenos relacionados de la industria con este bello campo del saber.
Lección 1: “Carga eléctrica”
La carga eléctrica es un concepto fundamental (al nivel de la masa, la longitud y el
tiempo) y que se aplica ante la existencia de fuerzas susceptibles de ser medidas
experimentalmente. Es una medida de la “cantidad de electrización” que posee un
cuerpo. La carga tiene dos formas conocidas como son:


Carga positiva (+).
Carga negativa (-).
Estos dos tipos de carga fueron determinados por Benjamín Franklin (1706 1790), quien a través de sus observaciones sistemáticas determinó que cargas
similares se repelen entre sí y cargas opuestas se atraen entre sí.
Gráficamente esta situación se puede ilustrar de la siguiente manera:
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Figura 1
En la figura 1A si se suspende una barra dura de caucho que se ha frotado con un
paño y se le acerca una barra de cristal que igualmente se ha frotado con seda,
las dos barras se atraerán entre sí (el frotamiento permanente de un cuerpo y en
la misma dirección produce una electrización que carga eléctricamente los
cuerpos y recibe el nombre de “triboelectricidad”).
De manera similar, si se
acercan dos barras de caucho (o dos de cristal) cargadas, como se muestr a en la
figura 1B, ambas se repelerán. “Cargas de diferente signo o carga eléctrica,
simplemente se atraen y de igual signo se repelen o se rechazan”.
La carga eléctrica en un cuerpo, se puede presentar en su exterior, en su interior o
dentro de una superficie cerrada, constituyendo una forma cualitativa de exceso
de electricidad respecto a la presente en otro cuerpo o superficie.
La electricidad es una de las siete cantidades fundamentales, las que han sido
adoptadas por la General Conference on Weights and Measures (Junta General
de Pesas y Medidas) y son aquellas cantidades que no se derivan de ninguna
otra. Las unidades de estas cantidades fundamentales son las creadas por el
Sistema Internacional (SI), se basan en el sistema M.K.S.A (metro-kilogramosegundo-amperio) y han sido adoptadas por las entidades normativas a nivel
mundial, entre las que se pueden mencionar la IEC, el ANSI y el IEEE.
La unidad correspondiente a la cuantificación de la carga eléctrica es el Coulomb io
(C), el cual es una unidad derivada en el Sistema Internacional, es decir, que se
expresa en términos de las llamadas y aceptadas cantidades fundamentales.
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Un “coulombio” equivale aproximadamente a 6 x 10 18 electrones, mientras que la
carga de un electrón es: 1 e- = -1,6019 x 10-19 C. La carga eléctrica de un protón
es positiva y tiene el mismo valor absoluto de la carga eléctrica del electrón. Debe
conocerse además que los “neutrones” no poseen carga eléctrica.
En el mundo de las partículas atómicas los “protones” y los “neutrones” son
prácticamente igual de pesados y cada una de sus masas con casi dos mil veces
la del electrón, el cual es una partícula sumamente ligera con respecto a ellos. En
los pesos atómicos se consideran los protones y los neutrones (muy pesados).
Lección 2: “Clases de Materiales eléctricos”
Los materiales por sus propiedades físicas tienen una capacidad para conducir las
cargas eléctricas. Los electrones de la última capa atómica de un elemento
determinan su capacidad de conducir bien sea la electricidad o bien sea el calor;
por ejemplo, el cobre, que es un metal muy conocido, es muy buen conductor del
calor y por lo tanto de la electricidad. En la naturaleza se pueden encontrar o
generar cuatro tipos especiales de materiales según su capacidad conductora:
 Materiales aislantes: son aquellos en los que una pequeña o despreciable
cantidad de cargas eléctricas se pueden mover o fluir. Los electrones no se
pueden desplazar fácilmente y se utilizan como aislantes del calor o de la
electricidad. También se les conoc e con el nombre de dieléctricos. Son la
materia prima para los condensadores. Son muy conocidos y usados el teflón,
el neopreno, la mica, algunas cerámicas, la madera seca.
 Materiales conductores: son los que permiten el paso de cargas eléctricas
con absoluta facilidad. Tienes electrones libres fáciles de desplazar, lo cual
favorece el desplazamiento del calor o de la electricidad por su interior. Son
buenos conductores el cobre, la plata, el aluminio.
 Semiconductores: es una tercera clase de materiales y cuyas propiedades
son intermedias entre los aislantes y los conductores, por lo que se denominan
de esta manera. Estos materiales permiten el paso de cargas eléctricas en
unas condiciones, mientras que en otras condiciones, el mismo material se
comporta como un aislante. La magia del silicio (del grupo IV A de la tabla
periódica) elemento que tiene 4 electrones de valencia, o sea favorece cuatro
enlaces sencillos, ha motivado grandes investigaciones a su alrededor y se
puede dopar con ciertas impurezas (elementos del grupo III A o del V A) y ese
detalle de la física del estado sólido produce unas sustancias muy especiales
en cada caso: si se dopa con elementos del III A se van a tener estructuras con
7 electrones y como la ley del octeto exige ocho elec trones en el último nivel
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para fortalecer el enlace, se percibe que queda un hueco el cual se comporta
como un sistema positivo, son las famosas pastillas “tipo P”. El otro caso
especial se genera cuando se dopa, el silicio por ejemplo, con elementos del
grupo V A se tienen 9 electrones; se copan los 8 electrones para la ley del
octeto y sobra uno que hace más negativo le sistema; de esta manera se
forman las pastillas “tipo N”. La gran revolución moderna se produce cuando
los laboratorios Bell le entregan al mundo un “negrito de tres patas”, el
transistor. El mundo cambió profundamente y los aparatos electrónicos se
hicieron compactos, pequeños, con bajo consumo de energía; fue una
revolución profunda que permitió socializar muchos dispositivos que han
facilitado y elevado la calidad de vida de los seres humanos.
 Superconductores: son materiales especiales que a temperaturas cercanas al
cero absoluto (-273C) no presentan resistencia eléctrica. Esta propiedad
sugiere que esos materiales no gastan energía eléctrica y es como si fuese un
proceso eterno. En los resonadores magnéticos, equipos básicos para la
R.M.N (resonancia magnética nuclear) se utiliza el helio líquido a temperaturas
muy bajas como elemento superconductor en los sistemas de trabajo.
Como ejemplos típicos de cada una de estas clases de materiales, se pueden
mencionar los siguientes:
Aislantes
Caucho, porcelana, mica, resinas poliméricas,
celulosa, nylon, polivinilos, policarbonatos.
Conductores
Metales como el cobre, aluminio, oro, plata.
Semiconductores
Silicio, germanio.
Superconductores
Helio líquido a -269 C
vidrio,
La acumulación de cargas eléctricas en un cuerpo se puede dar por dos métodos
básicos: la inducción y la conducción.
En el primero, un cuerpo cargado
eléctricamente induce acumulación de cargas de polaridad contraria en un cuerpo
cercano, sin que haya un contacto entre los dos cuerpos.
Lección 3: “La ley de Coulomb”
Charles Coulomb (1736 – 1806) midió las magnitudes de las fuerzas eléctricas
que experimentaban cuerpos cargados eléctricamente, mediante un dispositivo
denominado Balanza de Torsión y que él mismo desarrolló. Las fuerzas que
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actuaban a distancia y que Newton había inmortalizado en sus trabajos de
gravitación universal estimularon los trabajos de Coulomb en la fuerza eléctrica.
Las mediciones de Coulomb permitieron concluir lo siguiente:
 La fuerza eléctrica entre dos pequeñas esferas cargadas es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, es decir:
1
F 2
r
 La fuerza eléctrica experimentada por dos partículas cargadas es proporcional
al producto de la magnitud de cargas de las partículas, o sea:
F  q1, q2
 La fuerza eléctrica es de atracción si los signos de las cargas son opuestos
(fig. 5B) o de repulsión si los signos son iguales (fig. 5A), con lo cual:
Figura 5
A partir de esas conclusiones experimentales, Coulomb expresó la ley que lleva su
apellido, la cual se puede representar con la siguiente ecuación:
F=k
Donde:
q1 .q 2
r2
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F: fuerza eléctrica entre las cargas, [N].
q1, q2: magnitudes de las cargas eléctricas bajo consideración, [C].
r: distancia de separación entre las cargas, [m].
k: constante de proporcionalidad, [
N .m 2
].
C2
Las unidades aplicadas son las correspondient es al SI (Sistema Internacional). La
constante “k” se deriva de la siguiente expresión:
k=
1
4
La constante “ ” se conoce como la “permitividad eléctrica del medio” y
equivale a “ 
= 0 . r” donde “r” es la constante dieléctrica del medio y
además la constante “o ” se conoce como la “permitividad eléctrica del vacío”.
Representa el efecto que las cargas eléctricas tienen en el espacio libre y tiene el
siguiente valor:
2
o = 8,854 x 10-12 C 2
N .m
Con lo cual para el vacío: k = 9 x 109
N .m 2
C2
Hay que destacar que la fuerza es una cantidad vectorial, por lo que tendrá una
magnitud y un sentido, y la suma de fuerzas se debe realizar de forma vectorial.
Lección 4: “El campo eléctrico estático”
Un campo eléctrico estático no depende del tiempo. La electrostática es la parte
del electromagnetismo que analiza, estudia, aplica, el estudio de las cargas
eléctricas en equilibrio. Un campo eléctrico es una región en la cual una carga
eléctrica es capaz de experimentar una fuerza eléctrica como consecuencia de
otras cargas presentes en el lugar. Una carga eléctrica altera el espacio que la
circunda, siendo la intensidad de esa alteración igual a la relación entre la fuerza
eléctrica (F) sobre la carga de prueba (qo). La expresión correspondiente es:
E=
F
qo
[
N
]
C
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El campo eléctrico es producido por una carga externa a la carga de prueba, es
decir, no es producido por la carga de prueba. El campo eléctrico es un vector y
tendrá la misma dirección de la fuerza (F) considerada.
En la siguiente tabla se presentan algunos valores típicos de campo eléctrico.
Fuente
E(
N
)
C
Tubo de luz fluorescente
10
Atmósfera (buen clima)
100
Atmósfera (con nubes de tormenta)
10.000
Fotocopiadora
100.000
Chispa eléctrica en el aire
> 3.000.000
Ejemplo. Encontrar la intensidad de campo eléctrico a 50cm de una carga
positiva de 10-4C.
Figura 8
En este ejemplo la carga externa es la carga de +10 -4C y la carga de prueba
positiva se ubica a 50 cm de ésta (en el punto A).
F = 9 x 109
E=
N .m 2 (10 4 C).(q o )
x
= 3,6 x 106 . qo [N]
2
2
(0,5m)
C
N
F 3,6x10 6.q o
=
= 3,6 x 106
qo
qo
C
Si se aplica un campo eléctrico uniforme a un conjunto de “iones” se percibe una
dolarización de cargas es decirlas positivas siguen la dirección del campo y las
negativas se van en la dirección contrarias. Además usando el concepto de fuerza:
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
F  ma


F  qE

q 
a E
m
Este fenómeno fue aplicado por el creador “Faraday” para estructurar y aplicar la
electrólisis (descomposición de sustancias por medio de la electricidad) y su
industria se denomina “galvanoplastia”, como en el caso del cobrizado, plateado,
dorado, cromado, industrias prósperas y cercanas en todos los ámbitos sociales.
Dado que el campo eléctrico tiene una dirección, se pueden establecer líneas de
campo que permitan “visualizar” la distribución del mismo, determinando los
puntos de concentración. De manera pictórica ayudan a comprender o a explicar
significativamente el comportamiento de los campos eléctricos estáticos.
Unas reglas básicas para dibujar las líneas de campo eléctrico son:
 Las líneas salen de la carga positiva y llegan o terminan en la carga negativa.
 El número de líneas dibujadas saliendo de una carga positiva o aproximándose
a una carga negativa es proporcional a la magnitud de la carga.
 Ningún par de líneas de campo puede cruzarse.
Algunas configuraciones típicas se ilustran a continuación:
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Figura 9
Analizando con cuidado y detenimiento las líneas de fuerza mostradas en la figura
9 y recordando la interpretac ión del “operador rotacional” puede concluirse que
sise colocase un aspa en el interior de ese campo eléctrico ella no rotaría, lo cual
sería una evidencia de que su rotacional ( x E) sería el vector cero o vector nulo.
Esta gran apreciación permite deducir con magia extrema que:
 xE = 0
Para que una expresión matemática (E) tenga validez en el reino del
electromagnetismo se requiere que se cumplan dos detalles importantes:
 x E = 0 y que además que cuando la distancia (R) es muy grande () el límite de
la expresión que define el campo eléctrico debe ser cero. Ese detalle nos muestra
que los campos eléctricos son decrecientes, es decir a medida que nos alejamos
de la fuente que lo genera (carga) su valor va decayendo, va disminuyendo
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Ejemplo. Una carga eléctrica puntual genera a su alrededor un campo eléctrico de
la forma: E = q UR / ( 4  R2). Repasando las propiedades del vector R y el
álgebra de los operadores, se tiene que:
E = {q / (4  R2) } R / R = {q / (4 )} (R
 x E = {q / (4 )}  x (R
-3
-3
R) y su rotacional será:
R) = {q / (4 )} { R-3  x R – R x  R-3}
 x E = {q / (4 )} { R-3 O – R x (-3 R-4 UR)} = O
De esta manera se ha probado con propiedad que el rotacional del campo
eléctrico es nulo. La segunda propiedad exige que el límite de esa expresión
tienda a cero cuando la distancia ( R ) tiende a infinito ( ). Favor verificarlo.
Lección 5: “Campo eléctrico debido a distribuciones continuas de carga”
Hasta el momento se han considerado los efectos de cargas puntuales . Sin
embargo, se tienen muchos casos de interés en el mundo de la ciencia o de la
tecnología, cuando las cargas eléctricas se agrupan y se distribuyen a lo largo de
una línea, en una superficie o en volumen. Cuando las cargas se encuentran en
grupo, la distancia de separación entre ellas es mucho menor, por lo que se
consideran que están distribuidas de forma continua.
Para estudiar el campo eléctrico producido por una distribución de carga continua
se debe seguir con un procedimiento, como el siguiente:
 Se establece una densidad de carga, según corresponda a una distribución
lineal, superficial o volumétrica, así:
Densidad de carga lineal: es la carga eléctrica distribuida por unidad de
C
longitud (L = dQ / dL= ) y sus unidades de medida son [ ]. Por ejemplo las
m
cargas eléctricas distribuidas a lo largo de un filamento o de un hilo.
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Densidad de carga superficial: es la carga eléctrica distribuida por unidad de
C
superficie (S = dQ / dS=) y sus unidades de medida son 2 .Por ejemplo las
m
cargas eléctricas distribuidas en una hoja de papel para fotocopiadora.
Densidad de carga volumétrica: es la carga eléctrica distribuida por unidad de
C
volumen (V = dQ / dV= ) y sus unidades de medida son
[ 3 ].
Por
m
ejemplo las cargas eléctricas distribuidas en una esfera sólida y conductora.
 La intensidad de campo eléctric o debido a cada una de las distribuciones de
carga , , , puede considerarse como la sumatoria de las contribuciones al
campo que realizan todas las cargas puntuales que componen esa distribución
de carga y se puede obtener la carga total como una integr al definida con los
límites apropiados según la distribución de carga eléctrica considerada.
Ejemplo 1. ¿Cuánta carga eléctrica está contenida en una distribución de la cual
se tienen 1.8 metros y se tiene una densidad uniforme con  = 12 mC / m?
Como  = dQ / dL, entonces dQ =  dL, y así:
Q =   dL =   dL =  L = 12 mC / m * 1.8 m = 21.6 mC
Ejemplo 2. ¿Cuánta carga eléctrica está contenida en una distribución cuadrada
de lado 0.5 metros y se tiene una densidad uniforme con  = 12 mC / m2 ?
Como  = dQ / dS, entonces dQ =  dS, y así:
Q =   dS =   dS =  S = 12 mC / m 2 * (0.5m) 2 = 3 mC
Ejemplo 3. ¿Cuánta carga eléctrica está contenida en una distribución esférica de
radio 3 metros y se tiene una densidad uniforme con  = 12 mC / m3 ?
Como  = dQ / dV, entonces dQ =  dV, y así:
Q =   dV =   dV =  V = 12 mC / m3 * 4  (3m) 3 / 3 = 432  mC
Ejemplo 4. ¿Cuánta carga eléctrica está contenida en un cascarón esférico de
radio 3 metros y se tiene una densidad uniforme con  = 12 mC / m2 ?
Este caso es muy interesante tanto técnica como académicamente. Si es un
cascarón la carga eléctrica está distribuida obviamente solo en la parte externa y
adentro no hay carga (está vacía); por esa razón la carga interna es nula pero
mirando desde afuera del elemento se percibe una carga eléctrica superficial y
total de: Q =   dS =   dS =  S = 12 mC / m 2 * (3 m)2 = 108 mC
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CAPÍTULO 3: “FLUJO ELÉCTRICO Y POTENCIAL ELÉCTRICO”
Lección 1: “FLUJO ELÉCTRICO”
Considerando un campo eléctrico uniforme tant o en magnitud como en dirección,
las líneas de campo penetrarán una superficie rectangular de área S, la cual es
perpendicular al campo. El número total de líneas que penetra la superficie es
proporcional al producto entre “S” y “E”, lo cual constituye el flujo eléctrico, así:
E = E . S
[
N .m 2
]
C
Figura 10
En otras palabras, el flujo eléctrico es proporcional al número de líneas de campo
eléctrico que penetran una superficie. Por lo general, la evaluación del flujo se
realiza a través de una superficie cerrada, la que se define como aquella que
divide el espacio en una región interior y en otra exterior, de manera que no se
puede mover de una región a la otra sin cruzar la superficie. El ejemplo más típico
de una superficie cerrada es una esfera. El concepto de flujo en general es un
concepto matemático, que a su vez tiene profunda interpretación física, y el cual
es una integral definida a través de una superficie S:
E =  E . dS
Asociado con el concepto de flujo está el teorema o “ley de Gauss”, el cual puede
ser trabajado a través del “teorema de la divergencia” (álgebra de operadores).
Asociado al campo eléctrico se encuentra el vector desplazamiento eléctrico (D),
el cual en ausencia de polarización eléctrica se define como: D =  E y es paralelo,
en este caso especial, al vector campo eléctrico ( E ).
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Lección 2: “LA LEY DE GAUSS”
Kart Friedrich Gauss (1777 – 1855) estableció una relación general entre el flujo
eléctrico neto a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada por
esa superficie. Esta relación se conoce como la Ley de Gauss y establece que:
E =
 E.dS = E  ds
Para una carga eléctrica puntual, todos los puntos ubicados sobre una misma
superficie (tienen igual radio) tienen el mismo valor de intensidad de campo
eléctrico, por lo tanto el flujo de campo eléctrico desarrollado a través de esa
integral genera:
E =
 E.dS
=E
 dS
E =  q / (4   R2) UR
.
dS = q / , en la cual se
recuerda que la superficie de una esfera de radio “R” es: 4  R 2. Este resultado se
ha generalizado a múltiples distribuciones de carga eléctrica y se ha encontrado
que: “el flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada equival e a la
carga eléctrica encerrada por la superficie dividida por la “permisi vidad eléctrica”
del medio (); es decir:
E =
q
o
La Ley de Gauss es una formulación alterna a la Ley de Coulomb, con la cual se
puede hallar el campo eléctrico en el caso de distribuciones simétricas de carga
como la de carga puntual, carga lineal, carga superficial cilíndrica o esférica.
Ejemplo. ¿Cuál es el flujo eléctrico a través de una superficie esférica que tiene
un radio de 1,0 m y porta una carga eléctrica de +1C en su centro?
Solución 1: mediante la Ley de Coulomb, se tiene:
E=k.
q
r2
= (9 x 10
9
N .m 2
1x10 6 C
3 N
)x
2 = 9 x 10
2
(1m)
C
C
El campo apunta radialmente hacia fuera, y por tanto, es perpendicular en todo
punto a la superficie de la esfera. El área de la superficie de la esfera es:
S = 4  R2 = 12,6 m2
El flujo a través de la superficie esférica es:
E = E . S = (9 x 103
N
) x (12,6 m2)
C
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E = 1,13 x 105
N .m 2
C
Solución 2: mediante la Ley de Gauss, se tiene que:
E =
q
=
o
1x10 6 C
8,854x10 12
C2
N .m 2
= 1,13x105
N .m 2
C
Lección 3: “APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS”
Antes de aplicar la Ley de Gauss para el cálculo del campo elé ctrico se debe
identificar la existencia de simetría. Una vez identificada la distribución simétrica
de carga, se determina una superficie cerrada (superficie gaussiana).
Las
siguientes son las aplicaciones sobre las que se puede aplicar la Ley de Gauss:

C
]
m
se ubica a lo largo del eje z en el espacio. Para determinar el campo eléctrico
en un punto P, se elige una superficie cilíndrica de radio “R” y de altura
arbitraria “L” que contenga a “P” para satisfacer la condición de simetría:
Carga de línea infinita: asúmase una línea infinita de carga uniforme “” [
Figura 13
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La Ley de Gauss restringida a una longitud determinada L de la línea es:
E.
 dA = E . 2R.L =  L / 
En la cual “2R.L” es el área de la superficie gaussiana (correspondiente a un
cilindro de radio “R” y de altura “L”), con lo cual el campo eléctrico ( E ) es:
E =  L / (2R.L ) =  / (2  R )
 Campo eléctrico en una placa conductora. considerar una placa conductora
inmersa en un campo eléctrico externo E, de acuerdo con la siguiente gráfica:

 Figura 11
 Las cargas inducidas en las caras de la placa, por efecto del campo externo E,
producen un campo que se opone a ese campo externo, de tal forma que el
efecto neto sobre las cargas de la placa es nulo. En tal sentido, el campo en el
interior de la placa es cero. La aplicación de la Ley de Gauss fuera de esta
superficie se expresa como:
E =
 E.dA
= E.A =
q
 .A
=E.A
=
o
o
de donde: E =

o
Lección 4: “POTENCIAL ELÉCTRICO”
El concepto de potencial se asocia con el de fuerza conservativa, como la fuerza
gravitacional o la fuerza elástica. Dado que la fuerza electrostática, estudiada bajo
el concepto de la Ley de Coulomb es conservativa, los fenómenos electrostáticos
pueden describirse en términos de energía potencial eléctrica.
Esta idea, permite definir una cantidad escalar denominada “Potencial Eléctrico”,
el cual se determina en cualquier punto dentro de un Campo Eléctrico. También es
válido usar el término “voltaje” el cual se mide en “voltios” en honor al genio de
Volta, creador de la primera pila eléctrica, presentada en el año de 1800.
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Cuando una carga de prueba qo se encuentra dentro de un Campo Eléctrico E
creado por un algún otro cuerpo cargado, la fuerza eléctrica que actúa sobre esa
carga de prueba es:
F = qo . E
Esta fuerza es de tipo conservativo. Ahora, si la carga se mueve dentro de ese
Campo Eléctrico por efecto de un agente externo, el trabajo realizado por el
Campo Eléctrico sobre la carga es igual al negativo del trabajo hecho por el
agente externo que produce el movimiento de la carga. La energía empleada en
la realización de este trabajo, equivale al producto de la fuerza por la distancia
recorrida (d), con lo cual:
F . d = qo . E . d
Para un desplazamiento determinado entre dos puntos, A y B, el cambio en la
energía potencial del sistema se puede expresar como:
Ep = UA-B = qo . E. d
U A B
=E.d
qo
Al igual a lo que sucede en la determinación de la energía potencial gravitatoria, el
cambio en la condición de energía no depende de la trayectoria seguida, sino de la
diferencia de potencial entre los dos puntos considerados.
La energía potencial por unidad de carga,
U
es independiente del valor de q o y
qo
tiene un valor único en cada punto en un campo eléctrico. La cantidad
U
recibe
qo
el nombre de Potencial Eléctrico (o simplemente Potencial) V, por tanto, el
Potencial Eléctrico en cualquier punto en un campo eléctrico es:
V=
U
qo
La diferencia de potencial V = VB – BA entre los puntos A y B, en un campo
eléctrico, se define como el cambio en la energía potencial del sistema, con lo
U
cual:
V =
= E . d (Voltio = Joule / coulombio)
qo
Observar que de acuerdo con la expresión anterior, al expresar el Campo Eléctrico
V
E en función de la Diferencia de Potencial, el campo queda con unidades de [ ].
m
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Lección 5: “RELACIÓN ENTRE CAMPO ELÉCTRICO Y POTENCIAL”
En los laboratorios, en las placas de los televisores, de los osciloscopios, los
campos eléctricos reales, se registran o se controlan por la manipulación de la
distancia entre dos placas deflectoras y el voltaje o potencial entre ellas. En efecto
V
la experiencia registra que:
E=
(voltios / metro)
d
La magnitud del Campo Eléctrico en cualquier dirección es igual al cambio del
“potencial eléctrico” en dicha dirección.
El “voltaje” no cambia para cualquier
desplazamiento perpendicular al Campo Eléctrico, por lo que las superficies
equipotenciales se determinan perpendicularmente al Campo Eléctrico. Ejemplos
se superficies equipotenciales se presentan en la siguiente figura:
Figura 16
Debido a que “el rotacional del campo eléctrico estático es nulo” y que además,
según el álgebra de operadores, “el rotacional del gradiente es nulo”, y
considerando las relaciones y experiencias en los laboratorios se ha logrado
encontrar y evidenciar que: “el campo eléctrico equivale a menos el gradiente del
voltaje”:
E=-V
Esta relación determina que si se conoce la forma del voltaje (cantidad escalar), se
puede encontrar la forma del campo eléctrico (cantidad vectorial).
Para una carga puntual se tiene que:



q
v 

E 
 R  V (R)    R
2
R
4  R
Por tanto:
q
V 
4  R
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El voltaje es entonces una función escalar y a diferencia del campo eléctrico es
medible en un laboratorio. El voltaje debido a varias cargas en un punto definido
puede ser positivo negativo o cero.
Los campos electrostáticos no son capaces de mantener una corriente eléctrica
entre dos puntos. En efecto usando el “teorema del rotacional” se tiene que:
 
 
V 
E.dl   xE.ds  0
s
Los campos eléctricos estáticos pueden generar chispas los cuales pueden
producir incendios y se recomienda a empresas que trabajen con algodón, éteres,
disolventes o espumas, eliminarlos significativamente. En el sector productivo la
estática ha sido muy bien estudiada y se han ideado experiencias para eliminarla.
Lección 6: “APLICACIONES DE LA ELECTROSTÁTICA”
La electrostática está presente en dispositivos de uso corriente, entre los cuales se
pueden mencionar los siguientes:
 Filtros electrostáticos:
son dispositivos que eliminan las partículas
materiales de los gases de combustión, reduciendo la contaminación
atmosférica producida por las industrias que generan humos. Los sistemas
actuales pueden eliminar el 99% de las emisiones de partículas.
La siguiente figura muestra un esquema de un filtro electrostático:
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Figura 17
Se mantiene una alta diferencia de potencial, entre 40 y 100kV, entre el
alambre que se ubica en el centro del dispositivo y las paredes del mismo,
estando el primero conectado a tierra. El alambre está a un potencial negativo
respecto de las paredes, con lo cual, el Campo Eléctrico está dirigido hacia el
alambre. El Campo Eléctrico en el alambre es tan intenso que produce
descargas eléctricas alrededor del mismo, las cuales ionizan el aire. El humo a
ser tratado se introduce en el ducto del dispositivo y se mueve cerca del
alambre, al entrar en contacto con los iones de aire se producirá una ionización
de las partículas del humo, y dado que la mayoría de esas partículas quedan
con carga negativa, se desplazarán hasta las pared es del dispositivo
permitiendo ser retiradas por precipitación mediante vibración del ducto.
 Impresoras láser: el proceso de impresión con ayuda del rayo láser se basa
en el proceso de xerografía en el cual primero se recubre la superficie de una
placa o un tambor con una película delgada de material fotoconductor
(generalmente selenio) y se le proporciona una carga electrostática positiva
bajo un ambiente oscuro. La imagen de lo que se va a imprimir o a copiar se
proyecta con el rayo láser sobre la superficie cargada, la superficie
fotoconductora se vuelve conductora sólo en aquellas áreas donde incide la
luz. En estas áreas la luz produce conducción de cargas en el fotoconductor,
lo cual mueve la carga positiva del tambor, pero se presenta permanencia de
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algunas cargas positivas en aquellas zonas donde no incide la luz. El polvo del
toner con carga negativa se esparce sobre la superficie fotoconductora, el
polvo cargado se adhiere sólo en aquellas zonas con carga positiva, pasando
al papel que se encuentra cargado positivamente.
En la figura siguiente se presentan los pasos mencionados en el proceso de
impresión.
Figura 18
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ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD
1. Un electrón y un protón ubicados en el vacio están separados una distancia de 1.5 metros. Evaluar:
A. La fuerza gravitacional que los atrae
B. La fuerza eléctrica que se presenta entre ellos
C. La relación existente entre esas dos fuerzas
2. Un protón y un neutrón ubicados en el vacio están separados una distancia de 1.5 metros. Evaluar:
A. La fuerza gravitacional que los atrae
B. La fuerza eléctrica que se presenta entre ellos
C. La relación existente entre esas dos fuerzas
3. El campo eléctrico generado por una carga eléctrica puntual es descrito por la expresión:
. Demostrar que esa relación satisface las dos condiciones necesarias para que una
expresión matemática sea reconocida como válida para representar un campo eléctrico ( )
4. Se piensa que el campo eléctrico generado por cierta distribución de carga eléctrica está dada
por la expresión:
(”K” es una constante). Desde el puno de vista de la teoría
electromagnética analizar profundamente la validez matemática que encierra esa interesante y
sencilla relación.
5. Para la carga central de la distribución puntual de cargas eléctricas presentada (en forma de cuadrado) y
donde las “cargas uno y cuatro son negativas mientras que la dos y la tres son positivas”, hallar:
a. La fuerza total
b. El campo eléctrico
c. El potencial (V)
d. La energía potencial (Ep)
Coulombios
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(Constante dieléctrica)
Observar que cada diagonal forma un ángulo de 45 o con la línea horizontal o con la vertical.
En la figura derecha está el diagrama de fuerzas correspondiente a esa distribución de cargas eléctricas; si
analizas la simetría se percibe que las componentes verticales de las fuerzas se anulan y solo quedan las
componentes horizontales de las fuerzas y todo debido a que la magnitud de las fuerzas es la misma.
6.
El potencial eléctrico generado por cierta distribución de carga eléctrica está dado por la relación
matemática:
. Encontrar el campo eléctrico asociado con esa distribución y mostrar que la expresión
propuesta satisface plenamente las dos condiciones especiales para consolidar su validez.
7. Se aplica una diferencia de potencial (d.d.p) de 1000 Voltios entre dos placas paralelas separadas 20
centímetros. ¿Qué intensa aceleración podrá experimentar un electrón en esa región? ¿y un protón?
8. Analizar cuáles de las tres funciones dadas son armónicas (aquellas cuyo Laplaciano es nulo).
A.
B.
D.
9. Sea “P” una función vectorial definida como
A.
B.
10. Sea “µ” una función escalar definida como:
. Con alegría:
A. encontrar el gradiente de “µ” (µ) y hacerlo igual a la función vectorial “M”
B. hallar con emoción extrema la divergencia de la función “M” ( . M)
11. En la carga eléctrica 4 de la siguiente distribución puntual de cargas hallar:
La base del rectángulo es de 60 cms y la altura 30 cms.
a.
b.
c.
d.
V (potencial)
Ep (energía potencial)