Aplicación de Autovalores, Autovectores y Condición Número en la

APLICACIÓN DE AUTOVALORES, AUTOVECTORES Y CONDICIÓN NÚMERO...
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José Luis Infante*
Aplicación de Autovalores,
Autovectores y Condición Número en
la Preparación de Proyectos de
Inversión Anidados
Application of Eigenvalues, Eigenvectors and
Condition Number in Preparation of Nested
Investment Projects
RESUMEN
Los proyectos económicos con una o más variables relacionadas se denominan anidados. Su formulación normalmente no tiene en cuenta los factores de anidación. El enfoque de “cartera de proyectos” no salva tal cuestión
toda vez que su mirada se dirige fundamentalmente a los usos financieros y sus riesgos. Por lo expuesto, en este
trabajo se propone la aplicación de herramientas provenientes del algebra lineal, autovalores, autovectores y condición número, cuyos usos preventivos permitirían detectar efectos de los factores de anidación y aprovecharlos
en pos de una mayor robustez en la activación simultánea de los proyectos.
Palabras Clave: inversión, autovalores, autovectores.
Clasificación JEL C02, M21
ABSTRACT
The economic projects where one or more variables that explain it are related name sheltered. The formulation
of projects normally does not bear factors in mind of sheltering. The approach of «project portfolio» does not save
such a question although his look goes fundamentally to the financial uses and his risks. For the exposed thing, in
this work there proposes itself the application of tools from the linear algebra, eigenvaluers, eigenvectors and condition number, which preventive uses would allow to detect effects of the factors of sheltering and to take advantage of them in pursuit of a major hardiness in the simultaneous activation of the projects.
Key: investment, eigenvaluers, eigenvectors.
JEL C02, M21
Recibido: 1 de febrero de 2012
Aceptado: 25 de septiembre de 2012
* Cátedra de Evaluación de Proyectos y Organización de Obras, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de La Plata (Argentina).
Contacto: [email protected]
José Luis Infante: Aplicación de Autovalores, Autovectores y Condición Número en la Preparación de Proyectos de Inversión Anidados
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Análisis Financiero, n.º 120. 2012. Págs.: 49-61
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ANÁLISIS FINANCIERO
OBJETIVO
El presente trabajo tiene por objetivo interpretar y aplicar el
álgebra lineal en matrices de proyectos de inversión que se
pretenden activar simultáneamente y cuyo objetivo económico se centra en similares actividades a los efectos de detectar
la presencia de autovectores y autovalores los cuáles, de existir, proveen al resultado conjunto robustez frente a factores
exógenos distorsionantes. Por su parte, se interpreta y aplica
la condición número de dicha matriz a los efectos de evaluar
la conveniencia de fraccionamiento de las inversiones.
ANTECEDENTES Y MOTIVACIÓN
La literatura técnica y el conocimiento actualmente alcanzado sobre estudios preventivos en la formulación económica
de un grupo de proyectos de inversiones no son abundantes.
Más bien, sí existe a la fecha un profuso conocimiento sobre
riesgos y rentabilidad de carteras o portfolio, con algunas
condiciones de información que requiere que dichas inversiones se materialicen bajo documentos de deuda que puedan
comprarse y venderse en los mercados. No se discute la
información que compone cada alternativa de inversión. Se
entiende dicho punto ya que para ello existe también un profuso conocimiento asociado a la estimación de cuantías y
precios para proyectos y la estimación de indicadores de eficiencia que facilite la toma de decisión. En Sapag Chaín
(2007), Fontaine (2002), y Park (2009), se encontrará suficiente material respecto al cálculo de indicadores de proyectos, mientras que en Markowitz (1952, 1987, 1991), Sharpe
y Otros (1999) se encontrará la descripción del problema de
carteras. Complementariamente, el Método de la
Media–Variancia para riesgos se puede encontrar en Messuti
y Otros (1994).
A diferencia, el trabajo que se presenta pretende profundizar
el conocimiento que el administrador de una cartera de proyectos puede obtener en correspondencia a las relaciones
endógenas que existen en los proyectos que la componen.
Relacionamientos con interpretación económica respecto a la
evolución conjunta del funcionamiento que promete el agregado de proyectos resulta una medida adicional que podrá
inducir el desarrollo de instrumentos de control de los mismos, modificaciones en los planes de producción y venta,
modulación de la inversión, en general, perfeccionamiento de
la información de cada proyecto para la toma de decisión
racional.
Restringiendo al campo ex ante de los estudios de inversión,
la pregunta que resulta inductiva a este trabajo es, ¿un conjunto de proyectos aparentemente independientes que puede
gerenciar una firma inversora, cuenta con componentes
económicos que podrían resistir perturbaciones por variaciones exógenas? De ser ello factible, ¿esa información es útil?
Con las respuestas posibles a la pregunta antedicha, la conclusión alcanzada no resultaría menor ya que la materialización de los beneficios prometidos se encontraría condicionada a menores factores de riesgo en el sistema empresa1. Por
ejemplo, si una firma decide producir y vender distintos caramelos, los diferentes proyectos se analizan y evalúan incluyendo, posiblemente, estudios de consistencia de los indicadores de eficiencia por mecanismos de Montecarlo. Luego, a
su vez se compondrán tableros de comando y control que
permita intervenir en los procesos de su administración para
alcanzar los beneficios prometidos. Sin embargo, tal trabajo
se realiza sobre cada proyecto. Luego, los costos de agenciamiento serán superiores en comparación con la posible consecuencia de que los proyectos en sí mantengan un relacionamiento que se encuentra restringido en los estados posibles
futuros de sus variables relevantes a un grupo incidental
menor de factores habida cuenta que dicho estado restringido
será, obviamente, inferior al agregado de todos los proyectos
tomados por separado.
A los fines de encontrar respuesta a las preguntas inductoras,
se propicia el uso del álgebra lineal matricial. En esta disciplina se encuentra más que avanzados los conocimientos
sobre particularidades de matrices. Al respecto podrá consultarse entre otros Grossman (2008), Colman y Otros (2005),
Sydsaeter y Otros (2009), Golub y Otros (1996), Barrios
García y Otros (2006) y Acosta y Otros (2006).
Intuitivamente, podría considerarse una interesante particularidad de las matrices y ésta no es otra que su capacidad para
informar sobre una determinada gama de conocimientos que
de alguna manera se encuentran relacionados. Una empresa
que desea tentar suerte en un conjunto de proyectos de inversión, y éstos en forma simultánea, podrá ver representados
los actos económicos en una matriz donde las filas hacen
referencia a los efectos económicos de los actos antedichos
para diferentes proyectos, y las columnas dichos efectos en
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diferentes instancias temporales. Luego, dado aij con i variado en 1 a n y j variado en 1 a m serán los datos matriciales
que componen la matriz. Llevando dicha información a
estructuras matriciales cuadradas, será posible el cálculo de
autovalores y autovectores, siendo éstos resultados del álgebra lineal aplicada sobre la matriz. La existencia o no de
autovalores, o la existencia de más de un autovalor para una
matriz proveen un tipo de información cuya interpretación
económica permite alcanzar conocimientos preventivos que
induzcan optimizaciones para nada discutibles o descartables
como se verá a lo largo del trabajo. Por su parte, la existencia de un conveniente valor de acondicionamiento de la
matriz también permite interpretaciones provechosas.
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La interpretación matemática de los autovectores indica un
espacio vectorial que produce similar efecto que el espacio
matricial a menos del efecto del escalar. Entonces, la interpretación matemática del autovalor, el escalar, es producir
expansión o contracción de los efectos del autovector asociado en la medida que dicho escalar sea mayor o menor a 1 en
valor absoluto, y efectos en el mismo sentido o su opuesto si
el escalar es o no positivo.
CONDICIÓN NÚMERO DE UNA MATRIZ
MATRICES Y EL ÁLGEBRA LINEAL
Tomando la misma matriz ya dada A con sus componentes aij,
de existir un conjunto vectorial de restricciones B representado por el vector {Bi} podría ser necesario resolver las políticas de asignación de la matriz a las restricciones vectoriales, es decir, encontrar el espacio vectorial {Yj}que cumpla
AY=B. Si los valores de las componentes matriciales y aquellas vectoriales de las restricciones fueran claras2 nada mas
faltaría que encontrar los valores cuantitativos de {Yj}. Sin
embargo, cuando ello no es totalmente cierto y los valores
tienen efectos de “difusidad”3, los valores cuantitativos que
alcanza {Yj} puede variar en magnitudes altas, más altas que
la máxima difusidad de A y/o {Bi}. Si ello sucede, se dice que
A se encuentra mal acondicionada. En esos casos resulta que
A presenta un número de condición alto.
Considérese una matriz A con elementos aij variando i=1..n y
j=1..m. Su visión expandida será
La condición número, que denominaremos CD (A), resultará
de la expresión
a11 ……………..a1j ………….. a1m
………………………………...........
ai1 ……………..aij ……………. aim
………………………………...........
an1 ……………..anj ………….. anm
[N∝ (Y)-N∝(Y*)]/ [N∝ (Y)] ≤ [N∝(A) N∝(A-1)]
[N∝ (B)-N∝(B*)]/ [N∝ (B)]
PLAN DE DESARROLLO DEL TRABAJO
Se procederá en primer lugar a describir los parámetros del
álgebra a utilizar y describir su interpretación matemática.
Luego se avanzará sobre el marco económico donde es posible aplicar dichas herramientas y ensayar la interpretación
económica de cada caso. Finalmente se describirá instrumentalmente la aplicación y se procederá con un ejemplo indicativo.
Toda relación en proporciones respecto a los valores de la
matriz compone un álgebra lineal de la matriz.
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
Se denomina autovalor a un escalar λ y autovector a un vector {Xi} con i=1..n tal que se cumpla la siguiente relación
A.X= λX en la medida que m=n.
Su medida será CD = N∝(A) N∝(A-1).
No se cuenta con una medida parámetro en relación a qué se
entiende por alto. Su magnitud deberá ser evaluada por el técnico que la utilice. La palabra acondicionada, en una de sus
acepciones, refleja que el sujeto calificado es de buena condición4, es decir, que es funcional a un efecto. La funcionalidad que se pide como condición es que minimice la propagación de posibles perturbaciones en las estimaciones de los
valores considerados. Una mayor profundización de este
tema podrá encontrarse en García de Jalón (2003).
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ANÁLISIS FINANCIERO
PROYECTOS ANIDADOS
Dos o más proyectos de inversión simultáneos se encuentran
anidados cuando una o más variable explicativas de cada proyecto se encuentran relacionadas5. El efecto de anidado será
mayor o menor en la medida que los mercados que afecta
cada proyecto se encuentren también en mayor o menor
medida relacionados.
Por ejemplo, un proyecto para la producción de venta y
comercialización de gaseosas para el sector D1 en Barcelona
y otro para un similar D1 pero en Madrid tendrán un mayor
grado de anidado que la venta y comercialización de gaseosas en Barcelona y tractores en Madrid. Podría decirse que,
en el segundo ejemplo, no habría efecto de anidado.
PREPARACIÓN DE PROYECTOS ANIDADOS
La introducción de un producto en más de un mercado a la
vez lleva consigo muchas estimaciones de variables que
adoptan similares estados pero otras donde ello no es necesariamente cierto. Por ejemplo, supóngase el caso antedicho
donde una firma de gaseosas pretende tentar suerte con un
nuevo producto cuyo consumo es pensado para sectores
comerciales de tipo D1. Como el producto que se pretende
lanzar en un mínimo de dos mercados es muy similar, los
costos tecnológicos probablemente serán muy similares, pero
los costos de inversión en infraestructura, habilitación, precios de insumos, eficiencia de mano de obra y nivel salarial,
pueden ser diferentes, pero no incomparables.
De no tenerse en cuenta el efecto de anidado, la preparación
de proyectos considerará flujos económicos similares y solo
diferirán los proyectos en las diferencias de precios de insumos, mano de obra, energía, componentes de la planta industrial, disponibilidad de servicios, etc... La clínica higiénica de
proyectos recomienda tal cosa y la consideración de modificaciones en la medida que los parámetros de eficiencia6 lo
recomienden. Las desviaciones eventuales una vez activados
los proyectos podrían ser minimizados con una eficiente gestión de inversión, un tablero conveniente de comando y control, y otros instrumentos conocidos de aplicación. Sin
embargo, tal administración del problema, al materializar su
intervención después de la medición de efectos económicos,
podría ser mas improductiva que aplicaciones de intervención previas que obstaculice y/o minimice sobrecostos o acti-
vación de ineficiencias. Tales sucesos podrían ser resueltos a
partir de la medición de autovalores, autovectores y condición número, que detecten fuentes de conflictos para su anulación.
EFECTOS DE LOS AUTOVALORES Y AUTOVECTORES EN
PROYECTOS ANIDADOS
Considérese un conjunto de proyectos, cada uno de éstos
reflejado económicamente por un vector de valores que componen el flujo de caja estimado. Dichos valores son resultantes de otros vectores todos estimados en una mismo espacio
temporal. Si los términos vectoriales son formalizados por
{Si}, cada valor Si, se denomina montante y es el resultado de
la acción conjunta de un mínimo de otros cuatro vectores, el
de ventas, el que refiere a costos productivos, el que refiere a
costos financieros y finalmente al que refleja la inversión7. Es
decir, Si=Vi-Ci-Fi-Ii. Como bien puede leerse, los montantes
resultan de otros vectores que son independientes8 entre sí
toda vez que las razones económicas que explican el comportamiento de la demanda no obliga a un determinado comportamiento de los costos, la inversión o el financiamiento9.
Pero, siendo que los proyectos se encuentran anidados, es de
esperar que el comportamiento de la demanda en los “j” proyectos tenga relación entre sí mientras que, decididamente,
los costos productivos se encontrarán relacionados al igual
que los otros costos. Por ejemplo, si los proyectos anidados
pretenden la instalación y puesta en funcionamiento de plantas productoras de duraznos en almíbar, la tecnología que se
aplique será similar al igual que los estándares. En consecuencia, la necesidad unitaria de azúcar en una planta no será
muy diferente a la necesidad en la otra planta siendo ese un
factor de anidación que implica que los costos productivos
directos en un proyecto y en otro se encuentren relacionados.
La matriz de proyectos será cuantificada a partir de los Sij
donde “i” refiere a los valores de los montantes para un proyecto a lo largo del período de explotación y “j” refiere a los
valores de los montantes de los diferentes proyectos en un
mismo subespacio temporal10. En consecuencia aij=Sij.
A condición de que los proyectos sean viables económicamente11, la matriz que resulta permite observar los efectos
económicos de todos los proyectos en forma simultánea. Más
aún, la suma de los montantes para cada “i” permite observar
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el efecto de caja conjunto de todos los proyectos y poder evaluar también la viabilidad conjunta, cuestión que puede ser o
no relevante.
Ahora bien, la presencia de autovectores permite suponer que
endógeno a los proyectos anidados existe una dirección y
sentido común en éstos. En consecuencia, los factores externos influirán de manera similar en los diferentes proyectos
toda vez que éstos cuentan con un similar sendero de comportamiento. Por su parte, la existencia de más de un autovector permite inducir que los proyectos pueden adoptar uno
u otro direccionamiento según prevalezca en la realidad uno
u otro. La identificación de los mismos supone entonces la
existencia de un similar tipo de respuesta económica endógena a los factores distorsionantes exógenos. Será razón de
investigación aplicada encontrar los factores que pueden llevar a que el comportamiento conjunto se alinee con uno u
otro autovector. Así como el autovector permite observar y
detectar amenazas, también podría hacer lo propio con las
oportunidades para favorecer sinergias.
En definitiva, de existir autovalores y autovectores, su producto ofrece un vector resultante que permite interpretar el
sentido y magnitud conjunta de desarrollo dependiente de los
proyectos anidados. Sería una medida de robustez.
Tales cálculos requieren matrices cuadradas, y los proyectos
pueden no serlo. Ello facilita la posibilidad de establecer el
cálculo de los autovalores y autovectores de las submatrices
cuadradas consecutivas en el espacio temporal. Con ello, se
obtendrá una secuencia de autovalores y autovectores circunstancia que permitirá observar en qué medida estos indicadores se mantienen o varían y cuál escenario de montantes
es más conveniente. Como todos estos cálculos se realizan en
preinversión, la existencia de la secuencia de autovalores y
autovectores permite indicar modificaciones, reingenierías,
cambios en los planes operativos o maestros de tal suerte que
los autovalores y autovectores ofrezcan secuencias virtuosas
para el mejor resultado en los proyectos anidados.
EFECTO DE LA CONDICIÓN NÚMERO EN PROYECTOS
ANIDADOS
Los proyectos anidados tienden a ser materializados simultáneamente, o lo más parecido a ello. Por lo común buscan
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efectos en la demanda de fuerte abastecimiento con lo que la
activación de éstos no tienen dilación. Claro que frente a ello
sobreviene el tradicional conflicto de “capacidad instalada”,
“modulación de inversiones” y otros tantos problemas similares que imponen restricción financiera y puede ser necesaria la activación conjunta de los proyectos pero con capacidad parcial. Esa capacidad parcial requiere una elección de
dichas parcialidades siendo racional que la misma sea eficiente. Frente a dicho problema se presenta la necesidad de
resolver el problema Σj Sij Xj ≤ Fj para todo i=1..n donde “F”
es la restricción financiera12. La elección depende de un optimizador Z=Σj VANj Xj que permite elegir los valores Xj que
lo maximizan13.
Frente a este problema, bien se observa que la determinación
de los “X” no es otra cosa que los planes de inversión y no
debiera existir dudas en los resultados alcanzados. Siendo los
montantes “S” claramente difusos, un acondicionado malo
implica que los valores de “X” no serán consistentes y los
planes de inversión estarían sujetos a continuas modificaciones coyunturales. El conocimiento en etapa de preinversión
de estos resultados permite al preparador de los proyectos
considerar la necesidad de que los proyectos anidados conformen matrices bien acondicionadas a los efectos de minimizar ineficiencias como la descrita.
EJEMPLO DE APLICACIÓN
Considérese una empresa que desea abastecer al mercado
nacional y para eso debe activar tres plantas que producirán
un tipo de tarta de membrillo. Las tartas se comercializan por
unidad siendo el producto estandarizado14. Siendo la tecnología de producto y proceso la misma en cada planta, la
matriz de insumo producto no difiere. Sí difieren los precios
de los insumos dado que la fabricación se hace en diferentes
zonas políticas provinciales y gremiales. A su vez, el abastecimiento al mercado implica una inteligencia logística que
implica volúmenes de producción diferentes en cada planta.
En consecuencia, también difieren los turnos en cada planta
y todo ello implica que los costos directos son distintos.
Siendo los costos distintos también lo es el “pricing”. Sin
embargo, que el producto sea el mismo implica que el precio
a puerta de fábrica no debe diferir. Ello requiere una determinada política de igualación de precios lo que lleva a que
cada proyecto de inversión, es decir, cada planta, alcance por
si sola diferentes niveles de eficiencia económica. Se supone,
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ANÁLISIS FINANCIERO
a los efectos de no sumar complicaciones que obstaculicen la
lectura del trabajo, que las plantas son eficientes desde el
enfoque productivo15.
Lo expuesto permite determinar que claramente los proyectos se encuentran anidados.
En los cuadros que siguen se muestra la apertura de costos,
los planes de inversión, los costos financieros, la política de
precios y el flujo con la evaluación de cada proyecto. Siendo
que los flujos resultan de los estándares que reflejan inferencias de hechos productivos queda claramente establecido que
los montantes no son claros16 y sujetos a fluctuaciones aleatorias que podrán ser minimizadas en mayor o menor medida dependiendo del grado de control que se pretenda aplicar
sobre las variables conflictivas.
La Matriz Insumo Producto y Pricing se observa en los cuadros 1, 2 y 3. En el cuadro 4 se detalla la Estructura de
Producción e Inversión mientras que en el cuadro 5 las políticas de Precios y Abastecimiento. Con dichas magnitudes se
alcanza el detalle de los Saldos Operativos17 observables en
el Cuadro 6. El cuadro 7 detalla los flujos de proyectos y los
indicadores de evaluación. El cuadro 8 muestra los autovalores y autovectores. Para ello los cálculos se realizan sobre
matrices cuadradas de saldos consecutivos. Se expone el producto de cada autovalor por su autovector. La condición
número menor se encuentra en la última matriz sumando 248.
INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS DEL EJEMPLO Y
RECOMENDACIONES AL PROYECTISTA
Analizando la matriz que utiliza los saldos de los años 7, 8 y
9 del cuadro 9 se observa la presencia del vector18 {251183,
268184, 282095} que es superior a los demás vectores. Ello
indica que los montantes de los proyectos en esos años permiten el mejor anidado que impone la máxima carga de efectos económicos conjuntos favorables. En consecuencia, el
proyectista debiera producir los cambios posibles que lleven
a que los flujos tengan la mayor similitud posible con ésta
secuencia en los primeros años de activación19. Para ello
podrá modificar turnos, establecer cambios en métodos o
tiempos actuando sobre la matriz insumo producto, y otras
tantas acciones preventivas posibles.
De seguir estas recomendaciones, el proyectista debiera recomendar el flujo de caja que se detalla en el cuadro 10 con las
consecuentes políticas productivas y de ventas que faciliten los
planes operativos cuyos efectos puedan materializarlo.
Con los valores indicados el proyectista podría tentar atajos
que lo faciliten. Dichos atajos verían la forma de planes de
venta y producción que permita alcanzar un flujo proyectado
del tipo antes propuesto. Para ello podrá pensarse en incrementos de precios, disminución de costos o ambos a la vez20.
En el cuadro 11 se reproducen los cálculos y valores que permitirían alcanzar el flujo requerido. Como los mencionados
valores llevan a precios diferentes por plantas, y en concepción de producto único el precio también debe serlo, se propone un precio intermedio entre los de equilibrio para cada
planta. En consecuencia, establecido el precio único, se
deberá calcular el costo unitario máximo que permite mantener el saldo del flujo. Luego, y a los efectos de observar cuan
viable pueden ser dichos costos, se comparan los costos de
equilibrio (máximo) con los costos que resultan de alcanzar
una mejora de eficiencia del 5% en los costos mas representativos.
Como bien se observa, el costo eficientizado en un 5% de la
planta mas ineficiente es menor que el costo mínimo necesario de equilibrio. Esto supone que, si el mercado convalida
los precios referenciales, alcanzar los flujos objetivos no será
difícil ya que los costos no serán conflictivos.
Respecto a la condición número, y como era de esperar, ofrece resultados muy altos lo que lleva a sugerir que las plantas
sean activadas al 100% sin efectos de modularidad. Llegado
el caso de que la modularidad sea imposible de evitar, la
secuencia de los últimos tres años es la mejor opción ya que
la condición número es la más baja de todas, sin embargo,
ello resiente el efecto sostén de los autovectores ya que en
ese caso los tres que existen no son buenos lo que implica un
mayor refuerzo en costos de comercialización, control, entre
otros.
CONCLUSIONES
En el presente trabajo se ha tratado la problemática de la evaluación de carteras de proyectos de inversión anidados. Se ha
diferenciado el objetivo del trabajo respecto a los conocidos
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conocimientos tratados por Markowitz y Sharpe, fundamentalmente.
Se postula que una cartera de proyectos de inversión anidados compone una matriz ordenada temporalmente por filas
distinguiendo en las diferentes columnas cada flujo de cada
proyecto.
Se fundamenta que la medida de los autovectores y autovalores de la matriz de proyectos anidados indica robustez
siendo indicador para ajustes preventivos en estado de preinversión. De existir éstos, reflejarían sinergias de anidamiento
que permitirían disminuir o minimizar la permeabilidad a los
daños económicos que puedan producir los factores exógenos. Como se ha dicho, el producto de los autovalores por los
autovectores permite identificar un vector de consistencia y
robustez que actuaría como razón de efectos económicos
conjuntos de los proyectos activados simultáneamente.
Finalmente, la observación de la condición número aporta
una nueva y relevante información llegado el caso de ser
necesaria la modularidad de la inversión.
El cálculo de los autovectores, autovalores y condición
número indica entonces al proyectista que secuencia de montantes es preferible en uno u otro escenario.
Se complementa el trabajo con un ejemplo de aplicación.
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BIBLIOGRAFÍA (según sistema Harvard)
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Notas
12.- Disponibilidad de financiamiento para cada período.
1.- Recuérdese que Sistema Empresa es el agregado de actos económicos
de la empresa y su entorno. Para mayor aclaración ver Infante (2001).
13.- Se utiliza VAN pero puede utilizarse cualquier medida de eficiencia de
cada proyecto.
2.- Claras a lo “Boole”.
14.- Pero no necesariamente comoditizado.
3.- Difusas a los “Zhade”.
15.- Recuérdese que eficiencia económica refiere a un determinado nivel de
excedente de producción mientras que eficiencia productiva refiere al
cumplimiento de los estándares de la matriz insumo producto.
4.- Diccionario de la Real Academia Española, vigésima segunda edición.
5.- El término relación queda definido en forma vaga ya que la razón de
relación es uno de los tópicos a resolver, pero no en este trabajo. Si se
quiere, podría pensarse que las variables se encuentran estadísticamente correlacionadas.
6.- VAN, TIR, EbITDA, u otros de aplicación.
7.- Se utiliza el término vector no solo por su acepción matemática sino
física ya que cuenta con una magnitud, una dirección y un sentido.
8.- En términos algebraicos.
9.- A excepción de casos donde existe abuso de poder de mercado, estos
vectores se desarrollan en mercados independientes.
10.- El espacio temporal es el pleno espacial donde se desarrollan las inversiones y los subespacios refiere a los tiempos necesarios para cada proyecto.
11.- Cada proyecto por si solo debe satisfacer condiciones de VAN, y/o TIR,
etc…
16.- En términos algebraicos.
17.- Ventas menos costos de producción y de financiamiento.
18.- Producto del autovector por el autovalor.
19.- Es sabido que los conflictos de maduración de inversiones residen en los
primero años, por lo que debiera buscarse que en esos años los resultados sean similares a los expuestos. Luego, el conocimiento del producto en el público producirá por si solo robustez no teniendo sentido evaluar la relación de autovalores y autovectores. Recuérdese que los autovalores y autovectores de matrices con componentes idénticos fila a fila
son complejos.
20.- Los planes de disminución de costos conllevan otros costos de gestión
ya que dichas disminuciones requieren cambios en métodos, tiempos;
sin embargo, este camino puede ser más sencillo o directamente posible
frente a las posibilidades de incrementar precios. Este último camino
puede ser inhabilitado por características elásticas o comoditizables del
producto.
José Luis Infante: Aplicación de Autovalores, Autovectores y Condición Número en la Preparación de Proyectos de Inversión Anidados
Application of Eigenvalues, Eigenvectors and Condition Number in Preparation of Nested Investment Projects
Análisis Financiero, n.º 120. 2012. Págs.: 49-61