Demostración del teorema del seno

Demostración del teorema del seno
Teorema del seno:
Los lados de un triángulo son proporcionales a los
senos de los ángulos opuestos:
a
b
c





sen A sen B sen C
C
a
b
A
B
c
Como consecuencia:
a
b
c


 2R



sen A sen B sen C
donde R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC .
Trazamos una de las alturas, por ejemplo la correspondiente al vértice C, hC , en el
triángulo ABC , obteniendo los triángulos rectángulos AMC y MBC , donde M es el
punto es el punto en el que dicha altura corta al lado AB.
C
a
b
hc
M
A
c
En el triángulo AMC:
h
sen A  C  hC  b  sen 
A
b
En el triángulo MBC:
  hC  h  a  sen B

sen
B
C
B
a
Igualamos los resultados obtenidos para hc :

b  sen 
A  a  sen B
lo que podemos expresar como
a
b



sen A sen B
Si repetimos el proceso con la altura hA , obtendríamos:
b
c


 sen C
sen B
que es lo que queríamos probar.