El Condensado de Bose

Solitones en Condensados de
Bose-Einstein
El Condensado de Bose-Einstein
•
Estado de la matería en el que todos los
átomos están en el estado fundamental
•
El CBE está descrito por una única función
de onda
•
Predicho en 1924, realizado en 1995
•
Enfriamiento de átomos alcalinos (85 Rb, 87 Rb,
23
Rb, 7 Li) a temperaturas muy bajas
• Primera fase: Trampa láser
• Segunda fase: Evaporación en trampa
magnética
Solitones en Condensados de Bose-Einstein – p.1/7
Bosones sin interacción
• Trampa magnética armónica:
1
Vext (~r) = m(ωx2 x2 + ωy2 y 2 + ωz2 z 2 )
2
• Estados monoparticulares
ǫnx ny nz = (nx + 1/2)~ωx + (ny + 1/2)~ωy + (nz + 1/2)~ωz
• Estado fundamental: φ(~r1 , . . . , ~rn ) = ΠN
ri )
i=1 ϕ0 (~
ϕ0 (~r) =
³ mω
h0
π~
h m
i
2 2
2 2
2 2
exp − (ωx x + ωy y + ωz z )
2~
´3/4
1/3
ωh0 = (ωx ωy ωz )
.
,
ah0 =
r
~
∼ 1µm
mωh0
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Bosones sin interacción
• Distribución de densidades: n(~r) = N |ϕ0 (~r)|2
• Función Gaussiana en el espacio de coordenadas y el de
momentos → Localización en ambos espacios. Propio de BECs
• Existen también trampas con simetría axial → Geometria
quasi-1D (disco, cigarro)
• A temperatura finita, existen dos escalas de energía:
• Temperatura de transición kB T0
• Espaciado promedio de niveles ~ωh0
• Relacionados (aprox. semiclásica): kB T0 = (N/ζ(3))1/3 ~ωh0
• Aprox. semiclásica válida si kB T0 ≫ ~ωh0 . Se cumple en CBEs
experimentales.
• En Rubidio, ~ωh0 = 9 nK, T0 = 300 nK y N = 40000.
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Efecto de la interacción
• Hamiltoniano de N partículas confinadas en un potencial Vext :
Ĥ
=
+
·
¸
2
~
†
∇2 + Vext (~r) Ψ̂(~r)
d~rΨ̂ (~r) −
2m
Z
1
d~r d~r′ Ψ̂† (~r)Ψ̂† (~r′ )V (~r − ~r′ )Ψ̂(~r)Ψ̂(~r′ ),
2
Z
• Aproximación de campo medio: separar la contribución del
condensado de Ψ̂ y Ψ̂† :
Ψ̂(~r, t) = Φ(~r, t) + Ψ̂′ (~r, t)
• Φ(~r, t) =< Ψ̂(~r, t) >: Función de onda del condensado
• Densidad del condensado: n0 (~r, t) = |Φ(~r, t)|2 .
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Efecto de la interacción
• Aproximación de gas diluido: V (~r − ~r′ ) = gδ(~r − ~r′ )
4π~2 a
g=
m
• a: Longitud de dispersión de ondas s (mucho mayor que la
distancia entre átomos).
• Ecuación Gross-Pitaevskii:
µ 2 2
¶
~ ∇
∂
+ Vext (~r) + g|Φ(~r, t)|2 Φ(~r, t)
i~ Φ(~r, t) = −
∂t
2m
• Válido sólo para T ≈ 0 (Ψ̂′ = 0)
• a > 0 (repulsivo) en Rb y Na. a < 0 (atractivo) en Li → Colapso
para N > Ncr .
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Arrays de CBEs
•
Trampa óptica: dos haces láser que se propagan en dirección contraria crean una
onda estacionaria → potencial periódico
•
•
Átomos se situan en los vientres de la onda → array de BECs acoplados
La función de onda del condensado puede desarrollarse en funciones de Bloch o
de Wannier:
X
Φ(~
r, t) =
ψ(t)φ(~
r−~
rn )
n
•
Usando la aproximación tight-binding, la ecuación GP se transforma en una DNLS:
iψ̇n + σγ|ψn |2 ψn + (ψn+1 + ψn−1 − 2ψn ) = 0
•
•
σ = −sgn(a), γ ∝ a.
a < 0, bright breathers estables; a > 0, dark breathers estables.
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Resonancia Feshbach
• La energía total de dos átomos en colisión es igual a la de la
molécula ligada. Son posibles transiciones átomo-molécula
durante la colisión
• Se induce por un campo magnético externo (efecto Zeeman)
• La longitud de dispersión puede variar fácilmente.
• Efectos:
• Condensado fermiónico (40 K2 , 6 Li2 )
• Bosenovas: colapso y explosión variando a
(Ncr = kah0 /|a| → acr = −kah0 /N0 )
• Arrays de BECs
iψ̇n + 2g(t)|ψn |2 ψn + (ψn+1 + ψn−1 − 2ψn ) = 0
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