Solución

NOMBRE Y APELLIDOS..........................................................................................................
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
EJERCICIO 2
Examen de setiembre
(1 h.)
11 de setiembre de 2006
En las siguientes cuestiones, de las respuestas indicadas sólo una es correcta. Se puede
marcar cualquier cantidad de respuestas, pero teniendo en cuenta que cada respuesta
incorrecta marcada descuenta la tercera parte de lo que cuenta marcar la respuesta
correcta.
Sea Pn (x) el espacio vectorial de los polinomios de grado ≤ n. El núcleo de la aplicación lineal
que asigna a cada polinomio su derivada es:
° 0
N
El conjunto de los polinomios constantes.
° xn−1 + x
° Ninguna de las respuestas restantes es correcta.
Sea f : R → R una función que cumple f (0) = 0 y lı́m
x→0
f (x)
=1
x
° Puede no ser continua en el origen.
° No es derivable en el origen.
N
Es derivable en el origen y además f 0 (0) = 1.
° Ninguna de las respuestas restantes es correcta.
El polinomio de Taylor de orden 2 de la función f (x) = 2x centrado en el punto a = 0 es:
N
2
1 + x ln 2 + x2 (ln 2)2
° 1 + x ln 2 + x2 ln 2
° 1 + x ln 2 +
° 1+
x
2
ln 2 +
x2
2 ln 2
x2
2
2 (ln 2) .
Sea f : R2 → R , f (x, y) = x − y 2 + 3. La curva de nivel f (x, y) = c (c constante) que pasa por
el punto (0, 1) corresponde a:
° Una circunferencia de radio 1 y centro (0, 0).
° Una parábola simétrica respecto al eje x = 0.
° Una circunferencia de radio 3 y centro (0, 0).
N
Una parábola simétrica respecto al eje y = 0.
Si f : [0, 1] → R es continua en [0, 1], derivable en (0, 1) y f (0)f (1) < 0, entonces:
° Existe un x0 ∈ (0, 1) tal que f 0 (x0 ) = 0.
N
Existe un x0 ∈ (0, 1) tal que f (x0 ) = 0.
° Existe un único x0 ∈ (0, 1) tal que f (x0 ) = 0.
° f (x) podrı́a no estar acotada en [0, 1].
Se consideran las funciones de R en R dadas por f (x) = −x + 1, g(x) = 2x −
1
2
° f ◦f =g◦g
N
f ◦g =g◦f
° f ◦f =g
° g◦g =f
Si dividimos un número complejo no nulo por su conjugado, obtenemos siempre
° un número real
° un número imaginario puro
N
un número complejo de módulo 1
° un número complejo cuya parte real coincide con su parte imaginaria
En el cuerpo de los números complejos
° −1 no tiene raı́ces cúbicas
° las raı́ces cúbicas de −1 son e
2π
i
3
y e−
2π
i
3
° −1 tiene una sola raı́z cúbica
N
Ninguna de las restantes respuestas es correcta
Se considera el subconjunto A = {(x, y) : x + y = 0} de R2 .
° A es abierto.
N
A es cerrado.
° A es acotado.
° A es compacto.
n
Dado el subconjunto B = { (−1)
: n ∈ N} de R, se cumple
n
◦
° B= ∅, B 0 = {0}, B = B
◦
° B = B ∪ {0}, FrB = B, B= B
◦
N
FrB = B, B= ∅, AisB = B
° FrB = B, B 0 = B, AisB = ∅