TRIGONOMETRÍA

DOCUMENTO DE TRABAJO
TRIGONOMETRÍA
Prof. Juan Gutiérrez Céspedes
2009
DOCUMENTO DE TRABAJO
2009
TRIGONOMETRÍA
ANGULO TRIGONOMÉTRICO
*
ANGULO TRIGONOMETRICO
Es aquel que se genera por la rotación de un rayo desde una posición
inicial hasta otra posición final, siempre alrededor de un punto fijo
llamado vértice. En el gráfico podemos distinguir dos tipos de rotación:
:
Debemos aclarar que la medida de un ángulo trigonométrico no puede
ser limitada, ya que la rotación puede efectuarse indefinidamente en
cualquiera de los dos sentidos. Además para operar ángulos
trigonométricos, estos deben obedecer a un sentido común. Por ello
las siguientes consideraciones:
*
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
Son las diferentes formas en que se pueden medir los ángulos;
destacando los siguientes; con sus respectivas sub-unidades:
Módulo de Estudios
Prof. Juan Gutiérrez Céspedes
1
2009
DOCUMENTO DE TRABAJO
2009
TRIGONOMETRÍA
Unidad
∠1 vuelta
Sexagesimal
1°
Centesimal
1
Sistema
Radial
g
1rad
Sexagesimal
Centesimal
360°
1° = 60'
1 = 100
g
1' = 60''
1 = 100
1° = 3600''
1 = 10000
400
2 πrad
g
m
m
s
g
s
A partir de estas definiciones, se pueden establecer :
1. 1 rad. > 1º > 1g
3. 9º < > 10g
27' < > 50m
81"< > 250s
*
2.
180º < > 200g < > πrad
4.
aºb'c'' = aº+b'+c''
xgymzs = xg + ym + zs
CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS
Es el proceso mediante el cual la medida de un ángulo pasa de un
sistema a otro. Para ello se puede aplicar el método del factor de
conversión que consiste en lo siguiente:
Convertir 40g → radianes
Convertir π/3 rad → sexagesimal
•
*
FORMULA GENERAL DE CONVERSIÓN
Es otro criterio para convertir de un sistema a otro. La fórmula general
de conversión es la relación entre los números que representan la
medida de un ángulo en los tres sistemas conocidos. Dado el ángulo
"α ", se cumple:
•
Por ejemplo, si queremos convertir 30° → radianes:
tenemos: S = 30 y R = ??
2009
Prof. Juan Gutiérrez Céspedes
2
Módulo de Estudios
DOCUMENTO DE TRABAJO
2009
TRIGONOMETRÍA
Luego:
S
R
30 R
π
= ⇒
= ⇒R =
180 π
180 π
6
∴ 30° < > π rad
6
Pero el uso de la fórmula es mayor en otro tipo de problemas en los
cuales se requiere tener además, lo siguiente :
*
1.
S
C
S C
S 9
=
⇒ =
ó =
180 200 9 10 C 10
2.
S
R
R
= ⇒ S = 180
180 π
π
3.
C
R
R
= ⇒ C = 200
200 π
π
Una aplicación sería:
"Hallar la medida de un ángulo en radianes sabiendo que sus números
de grados sexagesimales y centesimales, suman 19" Aquí por ejemplo,
planteamos el problema así:
Si:
S

" α" C
R

⇒
# grados + # grados = 19
sexag.
centes.
S + C = 19
como piden "R", entonces:
180R 200R
380R
π
+
= 19 ⇒
= 19 ⇒ R =
π
π
π
20
∴el ángulo mide
π
rad
20
Módulo de Estudios
Prof. Juan Gutiérrez Céspedes
3
2009
DOCUMENTO DE TRABAJO
2009
TRIGONOMETRÍA
PROBLEMAS
NIVEL 1
4. A qué es igual 320''
1. En el gráfico, señale lo que es
a) 3º40'
c) 3º20''
e) 5'20''
correcto respecto a " α " y " β ":
b) 3'40''
d) 5º 40'
5. A qué es igual: 1º 20'
a) 1500''
c) 4000''
e) 6000''
b) 3620''
d) 4800''
6. A qué es igual:
a) α + β =90º
b) α - β = 90º
c) β - α = 90º
d) α + β = 0º
E=
e) α + β = -90º
a) 2
d) 4 1
2. En el gráfico, señale lo que es correcto
respecto a los ángulos mostrados:
a) α + β = 90º
b) α - β = 90º
c) β - α =90º
d) α + β = 0º
2°3'
3'
b) 1 2
e) 5 2
c) 4 0
7. Convierta a radianes: 45º
a)
π
rad
3
b)
π
rad
4
d)
π
rad
2
e)
π
rad
9
c)
π
rad
8
c)
π
rad
4
8. Convierta a radianes: 36º
e) α + β = -90º
3. Exprese "x" en función de "α" y "β"; a
partir del gráfico mostrado:
a)
π
rad
2
b)
π
rad
3
d)
π
rad
5
e)
π
rad
6
9. Convierta a radianes: 60g
a) 2π − α − β
b) 2π − α + β
c) 2π + α − β
d) β − α − 2π
e) β + α − 2π
2009
Prof. Juan Gutiérrez Céspedes
4
a)
π
rad
20
b)
3π
rad
10
c)
3π
rad
20
d)
π
rad
5
e)
π
rad
4
Módulo de Estudios
DOCUMENTO DE TRABAJO
2009
TRIGONOMETRÍA
10. Convierta a centesimales: 72º
a) 70g
d) 60g
b) 80g
e) 72g
6. La suma y diferencia de dos ángulos
son 1° y 1g. ¿Cuánto mide el menor?
c) 90g
a) 1'
d) 4'
NIVEL II
1. Convierta al sistema sexagesimal :
"
πx
160x g
rad .
y
3
9
¿Cuál es el valor de "x"?
14x°;
b) 6º 37' 30''
d) 5º 32' 30''
a) 1
d) 4
2. Convierta al sistema centesimal:
a) 1g 30 m
c) 1g 60 m
b) 1g 50 m
d) 1g 40 m
e) 1g 70 m
3. Convierta al sistema centesimal:
π
rad"
125
a) 1g 30 m
c) 1g 60 m
e) 1g 70 m
b) 2
e) 5
a)
π
rad
2
b)
π
3
d)
π
5
e)
π
6
b) 1g 50 m
d) 1g 40 m
a)
π
rad
4
b)
π
5
Calcular: E = (b + c)a-1
d)
π
20
e)
π
40
d)
1
3
b) 2
e)
c) 3
a) 85
d) 98
Prof. Juan Gutiérrez Céspedes
c)
π
10
b) 78
e) 100
c) 95
NIVEL III
b) 28°
d) 28°30'
Módulo de Estudios
π
4
10. Sabiendo que: (S + C)π = 4nR donde
"S", "C" y "R" son lo conocido para un
mismo ángulo. ¿Cuánto vale "n"?
1
2
5. La suma de dos ángulos es 40° y su
diferencia es 30 g . ¿Cuánto mide el
mayor?
a) 27°
c) 27°50'
e) 18°30'
c)
9. Sabiendo que el doble del número de
grados sexagesimales que contiene
un ángulo disminuido en su número
de grados centesimales es igual a 8.
¿Cuánto mide el ángulo en radianes?
π
rad <> a° bc'
48
a) 1
c) 3
8. Señale la medida de un ángulo en
radianes sabiendo que la diferencia
de
sus
números
de
grados
centesimales y sexagesimales es 5.
π
rad "
"
125
4. Si:
c) 3'
7. En un triángulo sus ángulos miden:
π
rad "
7
a) 25º 42' 51''
c) 5º 37' 20''
e) N.A
"
b) 2'
e) 5'
1. Halle la medida circular de un ángulo
que cumple:
5
2009
DOCUMENTO DE TRABAJO
2009
TRIGONOMETRÍA
S
C
R
+
+ =6
180 200 π
siendo: "S", "C" y "R" lo conocido
a) πrad
d) 4π
b) 2π
e) 5π
4. La diferencia de medidas de dos
ángulos
consecutivos
de
un
paralelogramo es 30°. ¿Cuánto mide
el ángulo mayor en radianes?
c) 3π
2. La diferencia de las recíprocas que
representan la medida sexagesimal y
centesimal de un ángulo, es igual a su
número de radianes entre 2π. ¿Cuánto
mide el ángulo en el sistema
sexagesimal?
a) 6°
d) 12°
b) 8°
e) 15°
c) 10°
b)
7π
12
d)
4π
3
e)
5π
6
c)
2π
3
S
1
C
1
= x + ;
= 2x −
9
x 10
x
calcular la medida radial del ángulo.
22
, halle la
radianes en 79. Si: π=
7
medida sexagesimal del ángulo.
b) 90°
e) 45°
5π
rad
12
5. Siendo "S" y "C" lo conocido para un
mismo ángulo, tales que:
3. Se tiene un ángulo que al medirlo en
grados sexagesimales dicho número
excede a 7 veces su número de
a) 75°
d) 120°
a)
a)
π 2
rad
40
b)
π 2
15
d)
π 2
20
e) N.A.
c)
π 2
5
c) 60°
2009
Prof. Juan Gutiérrez Céspedes
6
Módulo de Estudios