M143: Monedas A) Presentación del problema Te han solicitado

M143: Monedas
A) Presentación del problema
Te han solicitado diseñar un nuevo juego de monedas. Todas las monedas serán círculos
de color plateado, pero con diferentes diámetros.
.
Los investigadores han encontrado que un sistema de monedas ideal cumple con las
siguientes requerimientos:
• El diámetro de las monedas debe ser al menos 15 mm pero no más grandes de 45 mm.
• Dada una moneda, el diámetro de la siguiente moneda debe ser al menos 30% mayor.
• La maquinaria solamente puede producir monedas con diámetros de números enteros
(por ejemplo. 17 mm es permitido, 17.3 mm no es permitido).
B) Preguntas del problema
Pregunta 1
Las monedas deben cumplir con los requerimientos establecidos y debes empezar por
una moneda de 15 mm de diámetro. El juego de monedas debe tener tantas monedas
como sea posible. ¿Cuál debe ser el diámetro de las monedas en el juego?
C) Solución directa del problema
Tomando en cuenta las restricciones del problema:
Empezar por una moneda de 15 mm de diámetro.
El diámetro de la siguiente moneda debe ser al menos 30% mayor.
Solamente se permiten monedas con diámetros de números enteros
El diámetro más grande permitido es de 45 mm
Moneda
1
2
3
4
5
Diámetro
15 mm
15 x 1.30 = 19.5 mm
20 x 1.30 = 26 mm
26 x 1.30 = 33.8 mm
34 x 1.30 = 44.2 mm
Entero mayor más cercano
que no exceda al 45
15 mm
20 mm
26 mm
34 mm
45 mm
El diámetro de las monedas debe ser: 15 mm, 20 mm, 26 mm, 34 mm y 45 mm.
D) Criterios de evaluación del problema según los estándares de PISA
INTENCION DE LA PREGUNTA:
Evaluar la habilidad del alumno para entender y utilizar información complicada
para hacer operaciones aritméticas.
Código 1: Respuesta correcta: 15 mm, 20 mm, 26 mm, 34 mm y 45 mm.
(no se penaliza la falta de unidades)
Código 8: si en la respuesta las monedas satisfacen el criterio de crecimiento pero
el juego no está completo: por ejemplo tres monedas con diámetro: 15 mm, 30 mm
y 45 mm o cuatro monedas con diámetro 15 mm, 21 mm, 29 mm y 39 mm.
Si el diámetro de las primeras tres monedas satisfacen el criterio y las últimas son
incorrectas: 15 mm, 20 mm, 26 mm, ___, ___ o las primeras cuatro son
correctas y una es incorrecta 15 mm, 20 mm, 26 mm, 34 mm, ____
Código 0: Respuesta incorrecta: cualquier otra respuesta
Código 9: No hay respuesta
E) Solución comentada del problema según el proceso de matematización en el
marco PISA.
Identificación de un problema
matemático.
El problema es claro, las monedas debe producirse en tamaños
con la característica constante de ser 30% mayor que el tamaño
anterior. Es una aplicación del concepto de porcentaje.
El objetivo de la pregunta es evaluar la habilidad del alumno para
entender, utilizar información complicada para hacer operaciones
aritméticas y entender el significado de operaciones que permitan
incrementar una cantidad en un cierto porcentaje y cumplir con
restricciones establecidas.
Identificación de los elementos
matemáticos asociados al
problema, reorganización del
problema en términos de las
matemáticas identificadas.
Los elementos matemáticos fundamentales de este problema son
porcentaje y redondeo.
Para responder a la pregunta el estudiante debe:
1°: Establecer el objetivo:
¿Cuál debe ser el diámetro de las monedas en el juego [que
cumpla con las restricciones]?”
2° Interpretar las restricciones que se establecen:
• El diámetro de las monedas debe ser al menos 15 mm
pero no más grandes de 45 mm.
• Dada una moneda, el diámetro de la siguiente moneda
debe ser al menos 30% mayor.
• La maquinaria solamente puede producir monedas con
diámetros de números enteros.
Abstracción matemática
progresiva de la realidad
Responder a la pregunta demanda el razonamiento numérico en el
alumno para representar cantidades, en este caso el diámetro de
una cantidad no determinada de monedas:
es el diámetro de cada moneda,
Además de los atributos cuantificables de las monedas y el
significado de las operaciones para traducir la información verbal
que se proporciona como restricciones que deben cumplirse en
expresiones matemáticas:
Restricción
El diámetro de cada moneda
debe ser al menos 15 mm pero no
más grandes de 45 mm.
Dada una moneda, el diámetro de
la siguiente moneda debe ser al
menos 30% mayor.
La maquinaria solamente puede
producir monedas con diámetros
de números enteros.
Representación
matemática
Resolución del modelo
matemático
El pensamiento del alumno en forma abstracta pudiera
representarse de la siguiente manera:
El desarrollo del sentido numérico en el alumno incluye la habilidad
de realizar operaciones aritméticas, considerar comparaciones,
utilizar porcentajes para llegar a describir atributos de objetos del
mundo real, examine alternativas y establezca un algoritmo en que
evalúa la validez de los valores numéricos obtenidos.
A modo de diagrama de flujo el procedimiento a seguir es:
inicio
i=1
di = 15
di+1 = di + di (0.30)
¿di+1
si
Z?
Hacer di+1 entero
próximo mayor
si
¿di+1
no
45?
no
fin
i=i+1
Siguiendo el algoritmo, aunque no lo enuncie formalmente, el
alumno obtiene los siguientes valores
i
1
2
3
4
Uso de la solución del modelo
matemático como herramienta
para interpretar el mundo real.
di
15
20
26
34
di + 1
19.5
26
33.8
44.2
¿di + 1 Z?
No
Si
No
No
di + 1
20
26
34
45
¿di + 1 45?
No
No
No
Si
Los modelos matemáticos funcionan con números como entes
abstractos, cuando el alumno transfiere los números a situaciones
reales, los números deben cumplir con restricciones particulares,
por ejemplo, en una población o en cualquier problema de conteo
de objetos no tiene sentido hablar de media persona o medio
objeto.
F) Comentarios al contexto y dominio del problema según el marco PISA.
Contexto
Publico / Científico: El escenario del
problema plantea la necesidad de
elaborar un conjunto de monedas que
deben cumplir con características que
un grupo de investigadores ha
determinado.
Dominio
Cantidad: El alumno establece
atributos cuantificables en las
monedas, el diámetro, asignando
valores mediante operaciones
matemáticas a partir de un algoritmo
que le permita cumplir con
restricciones que se proporcionan.
G) Comentarios a los procesos matemáticos dominantes del problema según el
marco PISA.
Se marcan en amarillo las áreas dominantes:
MACRO-PROCESOS
PROCESOS
Reproducción
Conexión
Reflexión
Pensamiento y razonamiento
Argumentación
Comunicación, utilización de
operaciones y lenguaje técnico (formal
y simbólico).
Construcción de modelos
Planteamiento y solución de problemas
Representación
Uso de herramientas de apoyo.
En el apartado de pensamiento y razonamiento podríamos estar hablando de dos niveles
de procesamiento. Un alumno que ha recibido una buena instrucción matemática
simplemente estará reproduciendo lo que ya sabe acerca de los porcentajes. Es decir,
estos funcionan para expresar cuantitativamente partes de un todo por ejemplo (0.30x) o
pueden servir para expresar el todo más una parte (x + 0.3x = x (1 + 0.3) = 1.3x). Este
segundo aspecto no es del todo conocido por algunos alumnos y para resolver el
problema tendrían que conectar este conocimiento. En esencia un alumno bien
preparado estaría razonando a nivel reproductivo otro con menos preparación estaría
razonando a nivel conectivo.
Algo similar sucede en la construcción de modelos matemáticos. La situación descrita en
este problema no es distinta a lo que muchos libros de texto enseñan aun cuando no se
trate de monedas. Si el alumno ya ha practicado con esto el modelo matemático es
principalmente reproductivo, si no entonces tendrá que conectar en inclusive reflexionar
profundamente sobre esta situación.
El planteamiento del problema está dado; obviamente no así su solución. La solución
dependiendo del nivel de razonamiento del alumno será paso a paso o tal vez más
estructurada en una tabla como se presenta en este problema. El diagrama de flujo
representa en abstracto los procesos mentales que seguramente guían el pensamiento
del alumno. Iterar matemáticamente es en general una habilidad compleja que se mejora
con el conocimiento previo y la práctica. Nuevamente un alumno bien preparado
simplemente tiene que conectar procedimientos ya practicados en el salón de clases. Un
alumno que no tenga este beneficio definitivamente tendrá que reflexionar profundamente
para dar con un método de solución del problema.
Finalmente la forma de representación del problema implica conectar un conocimiento
bien establecido y reproductivo de organización de la información en una tabla para
proveer la información. Esto es por supuesto una forma de representación. El alumno
puede optar por dibujar círculos para representar los diferentes tamaños de monedas e ir
calculando el diámetro de cada una. En cada caso parece que la forma de representación
sería conectiva más que puramente reproductiva.
H) Conexiones curriculares del reactivo PISA con el programa de la SEP.
En el documento “CurrMateSEPMaster” obsérvense las siguientes conexiones
curriculares. Para tener mayor detalle sobre los contenidos de cada conexión curricular
véase “Programa Mate SEP”
Sentido
numérico y
1.1.3
pensamiento
algebraico
Significado
y uso de
los
números
Patrones y
fórmulas
1.3.6
Manejo de la
información
Análisis de
la
Porcentajes
información
1.2.3
Sentido
numérico y
pensamiento
algebraico
Significado
Problemas
y uso de las
multiplicativos
operaciones
Sentido
numérico y
2.3.3
pensamiento
algebraico
3.2.5
Manejo de la
información
Sentido
numérico y
3.3.1
pensamiento
algebraico
Significado
y uso de
las
literales
Relación
funcional
Construir sucesiones de números a partir de una regla dada.
Determinar expresiones generales que definen las reglas de
sucesiones numéricas y figurativas.
Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentaje
utilizando adecuadamente la expresión fraccionaria o
decimal.
Resolver problemas que impliquen la multiplicación de
números decimales en distintos contextos.
Reconocer situaciones problemáticas asociadas a
fenómenos de la física, la biología y otras disciplinas, la
presencia de cantidades que varían una en función de la otra
y representar esta relación mediante una tabla o una
expresión de la forma: y = mx + b
Análisis de
la
Porcentajes
información
Interpretar y utilizar porcentajes para analizar el
comportamiento de diversas situaciones.
Significado
y uso de
las
literales
Reconocer en diferentes situaciones y fenómenos de las
distintas disciplinas, la presencia de cantidades que varían
en función de otra y representar la regla que modela esta
variación mediante una tabla o una expresión algebraica.
Relación
funcional