Una Introducción a la Teoría de Números Algunas

Una Introducción a la Teoría de Números
Algunas aplicaciones con DERIVE
Luis Alejandro Másmela Caita
Junio de 2010
ii
Índice general
Introducción
I
VII
Primera Parte
1
1. Fundamentos
1.1. Propiedades Fundamentales . . . . . .
1.2. La Notación Sumatoria y Productoria
1.3. Inducción Matemática . . . . . . . . .
1.4. Relaciones de Recurrencia . . . . . . .
1.5. El Teorema Binomial . . . . . . . . . .
1.6. Números Poligonales . . . . . . . . . .
1.7. Números Piramidales . . . . . . . . . .
1.8. Números de Catalán . . . . . . . . . .
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3
3
11
19
26
32
41
48
53
2. Divisibilidad
2.1. El Algoritmo de la División . .
2.2. Con…guraciones Numéricas . .
2.3. Números Primos y Compuestos
2.4. Números de Fermat . . . . . .
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59
59
69
74
85
3. Máximo Común Divisor
3.1. Máximo Común Divisor . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. El Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . .
3.3. El Teorema Fundamental de la Aritmética . . . . .
3.4. Mínimo Común Múltiplo . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Ecuaciones Lineales Diofánticas . . . . . . . . . . .
3.5.1. Método de Euler para la solución de ELDs
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91
104
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120
127
132
A. Una Introducción al paquete DERIVE
A.1. ¿QUÉ ES DERIVE? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2. RECUENTO DE LOS PRINCIPALES COMANDOS .
A.2.1. Barra de Títulos . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.2. Barra de Menú . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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iii
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iv
ÍNDICE GENERAL
A.2.3. Barra de herramientas o de órdenes . . . . . . . .
A.2.4. Ventana de álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.5. Barra de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.6. Barra de introducción de expresiones . . . . . . . .
A.2.7. Barra de de letras griegas y símbolos matemáticos
A.3. APLICACIONES CON DERIVE . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1. Introducir expresión . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.2. Simpli…car Expresiones . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.3. Introducir vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.4. Introducir Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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140
142
142
Prefacio
This is the preface. It is an unnumbered chapter. The markboth TeX …eld
at the beginning of this paragraph sets the correct page heading for the Preface
portion of the document. The preface does not appear in the table of contents.
v
vi
PREFACE
Introducción
El texto que a continuación se presenta y que aborda el tema de la Teoría de
Números, es una traducción de la primera parte del libro “Elementary Number
Theory with Applications” escrito por Thomas Koshy. Busca esbozar algunos
temas que se han seleccionado de dicho libro y que se han desarrollado en un
primer curso de Teoría de Números con estudiantes de primer semestre del
Proyecto de Matemáticas en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Se busca que el estudiante, a través de este curso, se familiarice de manera
gradual con diferentes procesos rigurosos de las matemáticas, en especial con los
distintos procesos de demostración, formalizando conceptos que fueron trabajados operativamente en sus cursos anteriores de matemáticas en la secundaria.
Se ha pretendido desarrollar este curso a la par con laboratorios en sala de cómputo, utilizando el software matemático DERIVE, debido a la simplicidad en su
manejo y a que se convierte en una herramienta que le permite al estudiante,
explorar muchas de las conjeturas que él mismo establece a medida que avanza
en el estudio de los distintos temas.
vii
viii
INTRODUCCIÓN
Parte I
Primera Parte
1
Capítulo 1
Fundamentos
1.1.
Propiedades Fundamentales
La teoría de números concierne a una teoría que se desarrolla solamente
sobre el conjunto de los números enteros. Es así que de ahora en adelante se
denotará al conjunto de números enteros a través del símbolo Z : 1
Z = f: : :
2; 1; 0; 1; 2; : : :g
A lo largo de este texto se escribirá "x 2 S"para denotar que "el elemento x
pertenece al conjunto S"; de manera similar "x 2
= S"denotará que "el elemento
x no pertenece al conjunto S:"Por ejemplo si hacemos referencia al conjunto de
interés Z; se puede a…rmar que 4 2 Z, mientras que 2
= Z:
Los números enteros pueden representarse geométricamente sobre la denominada recta numérica. Ver Figura 1.1.
Figura 1.1: Recta Numérica
A los enteros 1; 2; 3; :::se les denomina enteros positivos. Ellos también
reciben el nombre de números naturales o números para contar. Se encuentran a la derecha del origen (coordenada cero) en la recta númerica. Se
denotará al conjunto de los enteros positivos por Z+ o N :
Z+ = N = f1; 2; 3; : : :g
1 La
letra Z proviene de la palabra alemana Zahlen para números.
3
4
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
El conjunto de los enteros positivos, junto con el 0; conforman el conjunto
denominado números enteros W :
W = f0; 1; 2; 3; : : :g
El conjunto de los enteros negativos, a saber, : : : ; 3; 2; 1 se ubican a la
izquierda del origen. Es de notar que 0 no es ni positivo ni negativo.
Es posible utilizar los números enteros positivos para comparar los números
enteros en general, como en la siguiente de…nición.
La Relación de Orden
Sean a y b dos enteros cualesquiera. Entonces a es menor que b; que se
denota por a < b si existe un entero positivo x tal que a + x = b; esto es, si b a
es un entero positivo.
Cuando a < b; se puede a…rmar también que b es mayor que a; que se
escribe b > a: 2
Si a no es menor que b, se escribirá a b; similarmente, a b denotará que
a no es más grande que b:
Se sigue de esta de…nición que un entero a es positivo si y solo si a > 0:
De…nición 1 (Ley de la Tricotomía) Dados dos números enteros a y b, hay
tres posibilidades: a < b; o a = b; o a > b:
Geométricamente, esto signi…ca que si a y b son cualesquiera dos puntos en
la recta numérica, entonces es cierta solo una de las siguientes tres a…rmaciones,
el punto a esta a la izquierda del punto b; el punto a coincide con el punto b; o
el punto a esta a la derecha del punto b:
Puede combinarse el menor que y la relación de igualdad para de…nir la
relación menor que o igual. Si a < b o a = b; se escribirá a b:3 De manera
similar, a b signi…ca que a > b o a = b. Se puede notar que a b si y solo si
a b:
Teorema 2 Denote m nfx; yg el mínimo de los enteros x y y; y maxfx; yg su
máximo. Entonces m nfx; yg + maxfx; yg = x + y:
Demostración. (por casos)
Caso 1. Sea x y: Entonces m nfx; yg = x y maxfx; yg = y; así, m nfx; yg+
maxfx; yg = x + y:
Caso 2. Sea x > y: Entonces m nfx; yg = y y maxfx; yg = x; así, m nfx; yg+
maxfx; yg = y + x = x + y:
2 Los símbolos < y > son introducidos en 1631 por el matemático inglés Thomas Harriet
(1560–1621).
3 Los símbolos
y
fueron introducidos en 1734 por el matemático francés P. Bougher.
1.1. PROPIEDADES FUNDAMENTALES
5
Valor Absoluto
El valor absoluto de un número real x; denotado por jxj ; se de…ne por
jxj =
x si x 0
x en otros casos
Por ejemplo, j5j = 5; j j = ( ); j0j = 0:
Geométricamente el valor absoluto de un número indica la distancia de éste
al origen de la recta numérica.
Aunque el interés recae sólo en las propiedades de números enteros, a menudo
se tratará con números racionales y reales. Las funciones piso y techo son dos
tales funciones teórico-númericas. Ellas tienen usos importantes en matemáticas
discretas y ciencias de la computación.
Funciones Piso y Techo
El piso de un número real x; denotado por bxc es el más grande entero x:
El techo de x; denotado por dxe, es el más pequeño entero x:4 El piso de x
redondea por debajo a x; mientras que el techo redondea a x por encima. De
acuerdo a esto, si x 2
= Z; el piso de x es el más próximo entero a la izquierda de
x sobre la recta numérica, y el techo de x es el más próximo entero a la derecha
de x; ver Figura . La función piso f (x) = bxc y la función techo g(x) = dxe
son conocidas también como la función mayor entero y la función menor entero,
respectivamente.
p
p
Por ejemplo
2 = 1; b c = 3; b 3; 5c = 4;
2 = 2; d e = 4 y
d 3; 5e = 3:
La función piso es práctica cuando los números reales deben ser truncados o
aproximados a un número deseado de cifras decimales. Por ejemplo el número
real = 3;1415926535 : : : truncado a tres cifras decimales está dado por
b1000 c
3141
=
= 3;141;
1000
1000
de otro lado
redondeado a tres cifras decimales es
b1000 + 0;5c
= 3;142:
1000
Hay otro uso simple de la función piso. Suponga que se divide el intervalo unitario [0; 1) en 50 subintervalos de igual longitud y luego se pretende saber el
4 Estas dos notaciones y los nombres, piso y techo, fueron introducidas por Kenneth E.
Iverson en los albores de los 60s. Ambas notaciones son variaciones de la original notación
mayor entero [x] :
6
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
subintervalo que contiene el número 0;4567. Ya que b0;4567=0;02c + 1 = 23 éste
esta en el subintervalo número 23. De manera general, sea 0 x < 1: Entonces
x esta en el subintervalo bx=0;02c + 1 = b50xc + 1:
Ejemplo 3 (La función de la o…cina de correos) En 2006 la tasa de
franqueo en Estados Unidos para un primer tipo de carta de peso x; de no más
de una onza fue de 39c/; la tasa para cada onza adicional o fracción hasta 11
onzas fue un adicional de 24c/. Así, el franqueo p(x) para una primera clase de
carta puede de…nirse como p(x) = 0;39 + 0;24 dx 1e ; 0 < x 11: Por ejemplo,
el franqueo para una carta que pesa 7.8 onzas es p(7;8) = 0;39 + 0;24 d7;8 1e =
$2;07:
Algunas propiedades de la función piso y techo son listadas en el siguiente
teorema. Se probará una de ellas; las otras se proponen como ejercicio.
Teorema 4 Sea x cualquier número real y n un número entero. Entonces
1. bnc = n = dne
2. dxe = bxc + 1 (x 2
= Z)
3. bx + nc = bxc + n
4. dx + ne = dxe + n
5.
n
2
=
n 1
2
si n es impar.
6.
n
2
=
n+1
2
si n es impar.
Demostración. Todo número real x puede ser escrito como x = k + x0 ; donde
k = bxc y 0 x0 < 1: Ver Figura . Entonces
x+n
= k + x0 + n
= (k + n) + x0
así
bx + nc
= b(k + n) + x0 c
= k + n ya que 0
= bxc + n
que era lo que se quería mostrar.
x0 < 1
1.1. PROPIEDADES FUNDAMENTALES
7
Ejercicios 1.1.
Evalúe cada una de las siguientes expresiones, en donde x es un número real.
1. El matemático inglés Augusto De Morgan, que vivió en el siglo XIX, una
vez comentó que él tenía x años en el año x2 . ¿Cuándo nacio él?
Evalúe cada item, asuma que x es un número real.
2. f (x) =
x
jxj
(x 6= 0)
3. g(x) = bxc + b xc
4. h(x) = dxe + d xe
Determine si:
5.
b xc = bxc
6.
d xe = dxe
7. Hay cuatro números enteros entre 100 y 1000 que son, cada uno igual a
la suma de los cubos de sus dígitos. Tres de ellos son 153, 371, y 407.
Encuentre el cuarto número.
8. Un número entero positivo N de n dígitos es un número de Kaprekar
si la suma del número formado por los últimos n dígitos en N 2 , y el
número formado por los primeros n (o n 1) dígitos en N 2 es igual a
N . Por ejemplo, 297 es un número de Kaprekar ya que 2972 = 88209 y
88 + 209 = 297. Hay cinco números de Kaprekar < 100. Encuéntrelos.
9. Encuentre la falla en la siguiente "demostración":
Sean a y b números reales tales que a = b: Entonces
a2
ab = b2
ab = a2
b2
Factorizando, a(a b) = (a + b)(a b): Cancelando a b en ambos lados,
a = a + b: Ya que a = b; de esto se tiene que a = 2a: Cancelando a ambos
lados a, se tiene que 1 = 2:
10. El entero 1105 puede expresarse como la suma de dos cuadrados en cuatro
formas diferentes. Encuentrelas.
11. ¿Cuántos cuadrados perfectos pueden mostrarse en la pantalla de una
calculadora de 15 dígitos?
Pruebe cada item, asumiendo que a; b y n son enteros cualesquiera, y x
es un número real.
12. jabj = jaj jbj
8
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
13. ja + bj jaj + jbj
jnk n 1
=
si n es impar.
14.
2
2
lnm n + 1
=
15.
si n es impar.
2
2
16.
n2
4
=
n2
1
4
si n es impar.
n2
n2 + 3
=
si n es impar.
4
4
jnk lnm
18.
+
=n
2
2
17.
19. dxe = bxc + 1 (x 2
= Z)
20. dxe =
b xc
21. dx + ne = dxe + n
La distancia desde x hasta y sobre una línea recta, denotada por d(x; y);
se de…ne por d(x; y) = jy xj : Pruebe cada item, asumiendo que x; y y z
son enteros cualesquiera.
22. d(x; y)
0
23. d(0; x) = jxj
24. d(x; y) = 0 si y solo si x = y:
25. d(x; y) = d(y; x)
26. d(x; y)
d(x:z) + d(z; y)
1.1. PROPIEDADES FUNDAMENTALES
9
DERIVE. Laboratorio 1
Objetivo
En el presente taller se busca implementar algunos ejemplos trabajados en
esta sección y que utilizan la función Piso (FLOOR) y Techo (CEILING) en DERIVE.
Actividades
Inicialmente se establecen tres parámetros requeridos para implementar de
manera correcta las funciones que se desean crear, éstas determinan el modo de
precisión y el número de dígitos en las simpli…caciones:
PrecisionDigits:=100
NotationDigits:=100
Notation:=Decimal
1. Con base en la función Piso (FLOOR) se desea crear una función que se
llamará "truncar" cuyos parámetros serán:
x:valor a truncar
n:número de cifras en el truncamiento
La función se de…ne como:
truncar(x,n):=
FLOOR(x 10n )
10n
La función Piso es práctica cuando los números reales deben ser truncados
o aproximados a un número deseado de cifras decimales. Por ejemplo el
número real
= 3;1415926535::: truncado a tres cifras decimales está
dado por 3;141: Para ello basta con simpli…car en DERIVE, luego de
especi…cada la función anterior, la expresión
truncar(pi,3)
2. Similar a la función anterior, se desea crear, con base en la función Piso
(FLOOR) una función que se llamará "redondo" que busca redondear un
número dado y cuyos parámetros serán:
x:valor a redondear
n:número de cifras en el redondeo
La función se de…ne como:
redondo(x,n):=
FLOOR(x 10n + 0;5)
10n
Así,
redondeado a tres cifras decimales es 3;142 y se puede obtener
simpli…cando
redondo(pi,3)
10
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
3. La función a continuación pretende, al dividir el intervalo [0; 1) en n subintervalos, encontrar el subintervalo que contiene al valor x. La función se
bautizará con el nombre "endonde(x,n)"los parámetros representan:
x:valor que se pretende ubicar
n:número de subintervalos en que se divide el intervalo [0; 1)
Para esto, la función se de…ne como:
endonde(x,n):=FLOOR(x n + 1)
Por ejemplo, suponga que se divide el intervalo unitario [0; 1) en 50 subintervalos de igual longitud, y luego se pretende saber el subintervalo que
contiene el número 0;4567: Para ello se simpli…ca la expresión
endonde(0.4567,50)
4. Mediante la siguiente función se ilustra el Ejemplo 3 página 6, "La función
de la o…cina de correos".
En 2006 la tasa de franqueo en Estados Unidos para un tipo de carta de
peso x, de no más de una onza fue de 39 centavos, la tasa para cada onza
adicional o fracción hasta 11 onzas fuen un adicional de 24 centavos. la
función post(x) de…nida a continuación permite calcular el franqueo de
una carta con peso x.
post(x):=0.39+0.24 CEILING(x
1)
Por ejemplo, simpli…cando post(7.8) se encuentra el franqueo para una
carta de 7.8 onzas.
5. Por último, algunas funciones adicionales para esta sección son valor absoluto, mínimo y máximo que se obtiene mediante
ABS(x)
MIN(X1,X2,...)
MAX(X1,X2,...)
Por ejemplo ABS(
4 respectivamente.
), MIN(2,4,-2) y MAX(2,4,-2)se simpli…can a ;
2y
1.2. LA NOTACIÓN SUMATORIA Y PRODUCTORIA
1.2.
11
La Notación Sumatoria y Productoria
Se dará la notación de sumatoria y productoria muy utilizada a lo largo de
este texto. Primero se iniciará con la notación sumatoria.
La Notación Sumatoria
Sumas tales como ak + ak+1 +
+ aP
m ; pueden escribirse de manera más
compacta usando el símbolo sumatoria
(letra Griega mayúscula sigma), la
cual se denota con la palabra suma. La notación de sumatoria fue introducida
en 1722 por el matemático francés Joseph Louis Lagrange.
Un término típico de la suma referida con anterioridad puede ser ai ; así,
la suma anterior es la suma de los números ai con P
i recorriendo los números
i=m
enteros desde k hasta m que se puede escribir como i=k ai : De esta forma
i=m
X
ai = ak + ak+1 +
+ am
i=k
La variable i es el índice de la sumatoria. Los valores k y m son, respectivamente, los límites inferior y superior del índice i: El "i = " del límite
superior es usualmente omitido:
i=m
X
ai =
i=k
m
X
ai
i=k
Por ejemplo
5
X
i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52
i=1
El índice i es una variable dummy; se puede usar cualquier variable como
índice sin afectar el valor de la suma, así
m
X
ai =
i=k
Ejemplo 5 Evalúe
Solución.
0
X
j 3 (j
1)2
P1
j= 2
=
j 3 (j
m
X
j=k
aj =
m
X
ar
r=k
1)2
( 2)3 ( 2
1)2 + ( 1)3 ( 1
1)2 + (0)3 (0
1)2
j= 2
=
76
Los siguientes resultados son muy usados en la evaluación de sumas …nitas, ellos pueden ser probados utilizando inducción matemática, un método de
prueba que se presentará más adelante.
12
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
Teorema 6 Sean n cualquier entero positivo y c cualquier número real, y a1 ;
a2 ; ::: ; an ; y b1 ; b2 ; ::: ; bn un par de secuencias numéricas. Entonces
n
X
c = nc
(1.1)
i=1
n
X
cai = c
i=1
n
X
n
X
ai
(1.2)
i=1
(ai + bi ) =
i=1
n
X
ai +
i=1
n
X
bi
(1.3)
i=1
(Este resultado puede ser extendido a cualquier límite inferior k 2 Z:)
Ejemplo 7 Evalúe
Solución.
3
X
P3
j=1
10j 2 + 3j :
2
10j + 3j
= 10
3
X
j=1
j=1
=
=
2
j +3
3
X
j
j=1
10(12 + 22 + 32 ) + 3(1 + 2 + 3)
158
Sumatorias Indexada
La notación sumatoria puede ser extendida
a secuencias con conjuntos de
P
índices I como sus dominios. Por ejemplo, i2I ai denota la suma de los valores
ai cuando i recorre todos los valores de I: P
Por ejemplo, si I = f1; 3; 5; 7g ; entonces i2I (i2 + 1) representa la suma de
los valores de i2 + 1 cuando i toma los valores en I; esto es,
X
(i2 + 1) = (12 + 1) + (32 + 1) + (52 + 1) + (72 + 1)
i2I
=
88
P
Frecuentemente se requiere evaluar sumas de la forma
P aij ; donde los
subíndices i y j satisfacen ciertas propiedadesPP:
Por ejemplo, sea I = f1; 2; 3; 4g: Entonces 1 i<j 4 (2i+3j); denota la suma
de
los
valores de 2i + 3j; donde 1 i < j 4: Esto puede ser abreviado como
P
(2i
+ 3j) proporcionado, obviamente, el conjunto de índices del contexto.
i<j
Para encontrar esta suma, se consideran todas las posibles parejas (i; j); donde
i; j 2 I e i < j: Así,
X
(2i + 3j) = (2 1 + 3 2) + (2 1 + 3 3) + (2 1 + 3 4) + (2 2 + 3 3)
i<j
+(2 2 + 3 4) + (2 3 + 3 4)
= 80
1.2. LA NOTACIÓN SUMATORIA Y PRODUCTORIA
Ejemplo 8 Evalúe
Solución.
X
d
P
d 1
dj6
13
d; donde dj6 signi…ca que d divide a 6:
= suma de los enteros positivos d; divisores de 6
d 1
dj6
= suma de los divisores positivos de 6
= 1 + 2 + 3 + 6 = 12
Sumatorias múltiples también son frecuentes en matemáticas. EllasP
se evalúan
P
por lo general de derecha a izquierda. Por ejemplo, la doble sumatoria i j aij
P P
se evalúa como i
j aij ; como se muestra a continuación.
Ejemplo 9 Evalúe
Solución.
P1
1
0
X
X
i= 1
P0
3i2 j
j= 1
=
i= 1 j= 1
3i2 j:
1
X
i= 1
=
1
X
2
4
0
X
j= 1
3
3i2 j 5
3i2 ( 1) + 3i2 (0)
i= 1
=
1
X
3i2
i= 1
=
=
3( 1)2 +
6
3(0)2 +
3(1)2
La Notación Productoria
La notación productoria es usada de manera
Qi=msimilar a la notación sumatoria,
Q
el producto ak ak+1
am se denota por i=k ai ; el símbolo productoria
corresponde a la letra Griega mayúscula pi. Como en el caso de la notación
sumatoria, la "i = " arriba del símbolo productoria se omite frecuentemente:
i=m
Y
i=k
ai =
m
Y
ai = ak ak+1
am
i=k
Nuevamente, i es una variable dummy.
La función factorial, se usa frecuentemente en teoría de números, y puede
de…nirse usando la notación productoria, como se muestra en el siguiente ejemplo.
14
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
Ejemplo 10 La función factorial f (n) = n! (se lee n factorial o el factorial
de n) se de…ne como n! = n(n 1) 2 1; donde 0! = 1: Usando la notación
productoria
n
Y
f (n) = n! =
i
i=1
Ejemplo 11 Evalúe
Solución.
4
Y
Q4
i=2 (2i
(2i + 3)
+ 3):
=
[2(2) + 3] [2(3) + 3] [2(4) + 3]
=
693
i=2
Ejemplo 12 Evalúe
Q
i;j2I (2i
ijj
i<j
+ 3j) donde I = f1; 2; 3; 4g:
Solución. Se re…ere aquí a la productoria de todas las parejas de la forma
(i; j); donde i y j son elementos de I; pero especí…camente aquellas parejas en
donde i divide a j siendo i menor que j: Estas son (1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 4); así,
evaluando 2i + 3j en cada una de estas parejas se tiene que
Y
(2i + 3j) = (2 1 + 3 2)(2 1 + 3 3)
i;j2I
ijj
=
(2 1 + 3 4)(2 2 + 3 4)
19172
Ejercicios 1.2
Evalúe cada suma.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
P6
i=1
i
P4
j=0 (j
P4
k=0 (3
P4
i= 1
P2
j= 2
1)
+ k)
3
j(j
P5
k=1 (3
2)
2k)k
Reescriba cada suma utilizando la notación sumatoria.
7. 1 + 3 + 5 +
8. 31 + 32 +
+ 23
+ 310
1.2. LA NOTACIÓN SUMATORIA Y PRODUCTORIA
9. 1 2 + 2 3 +
15
+ 11 12
10. 1(1 + 2) + 2(2 + 2) +
+ 5(5 + 2)
Determine si cada proposición es verdadera.
Pn
Pn
11.
i)
i=m i =
i=m (n + m
Pn
P
n
i
n+m i
12.
i=m x =
i=m x
Pn
13. Sumas de la forma S = i=m+1 (ai ai 1 ) son llamadas sumas telescopicas. Muestre que S = an am :
14. Use el Ejercicio 13 y la identidad
Pn
1
para i=1 i(i+1)
:
1
i(i+1)
=
1
i
1
i+1 ;
2
15. Usando el Ejercicio
Pn 13 y la identidad (i + 1)
formula para i=1 i:
16. Usando el EjercicioP13 y la identidad (i + 1)3
n
una formula para i=1 i2 :
17.
18.
19.
20.
21.
Evalue.
P5 P6
j=1 (2i
i=1
P3
i=1
Q3
Pi
j=1 (i
i=0 (i
Q5
j=3 (j
Q50
k=0 (
y encuentre una formula
i2 = 2i + 1; desarrolle una
i3 = 3i3 + 3i + 1; desarrolle
+ 3j)
+ 3)
+ 1)
2
+ 1)
1)k
Evalue cada ítem, donde p 2 f2; 3; 5; 7; 11; 13g e I = f1; 2; 3; 5g :
P
22.
p 10 p
Q
23. i2I (3i 1)
P
i
j
24.
i;j2I (2 + 3 )
ijj
25.
Q
i;j2I
i j
ij
26. Encuentre el dígito de las decenas en la suma
P999
k=1
k!
16
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
DERIVE. Laboratorio 2
Objetivo
En el presente taller se busca implementar algunos ejemplos trabajados en
esta sección y que utilizan la función Sumatoria (SUM) y Productoria (PRODUCT)
en DERIVE.
Algunas funciones requeridas
Antes de comenzar se revisarán dos funciones adicionales como son VECTOR
y DIVISORS.
La función VECTOR(u, k, m, n) se simpli…ca a un vector de n-m+1 elementos generado por la simpli…cación de la expresión u(k) con la variable k variando
desde m hasta n en saltos de 1. Por ejemplo
VECTOR(k^2, k, 2, 5)
se simpli…ca al vector
[4, 9, 16, 25]
Los parámetros m y n pueden cambiarse por un vector sobre el cual la variable
k toma valores evaluados en la función u(k); por ejemplo
VECTOR(k^2, k, [3, 5, 8])
que se simpli…ca al vector
[9, 25, 64] :
La función DIVISORS(n) se simpli…ca al vector ordenado de todos los divisores positivos de n. Por ejemplo
DIVISORS(28)
se simpli…ca a
[1, 2, 4, 7, 14, 28] :
Actividades
La función SUM maneja los mismos parámetros de la función VECTOR y se
interpretan de manera similar, así la sumatoria de la expresión u respecto a n
desde k hasta m se puede introducir mediante la expresión
SUM(u, n, k, m)
la diferencia es que mientras la función VECTOR genera un vector con ciertos
elementos, la función SUM entrega la suma de dichos elementos. A continuación
1.2. LA NOTACIÓN SUMATORIA Y PRODUCTORIA
17
se ingresará la sumatoria del Ejemplo 5 y se simpli…cará utilizando la función
SUM. Recordando la sumatoria de este ejemplo, esto es,
0
X
j 3 (j
1)2
=
( 2)3 ( 2
1)2 + ( 1)3 ( 1
1)2 + (0)3 (0
1)2
j= 2
=
=
72 + ( 4) + 0
76
ésta se ingresa a DERIVE a través del siguiente código
SUM(j^3(j-1)^2, j, -2, 0)
que se simpli…ca efectivamente a 76. Cabe observar que si se cambia la instrucción SUM por VECTOR su simpli…cación genera en un vector la sucesión de
números sumandos en esta sumatoria, así al simpli…car
VECTOR(j^3(j-1)^2, j, -2, 0)
se obtiene
[-72, -4, 0]
Para el caso de las productorias se procede de manera similar, salvo que se
cambia la orden SUM por PRODUCT, los parámetros son los mismos
PRODUCT(u, n, k, m)
con este código se obtiene la productoria de la expresión u respecto a n desde k
hasta m.
Para el Ejemplo 11
4
Y
(2i + 3)
= [2(2) + 3] [2(3) + 3] [2(4) + 3]
i=2
=
693
se digita y simpli…ca la siguiente expresión en DERIVE
PRODUCT(2j+3, j, 2, 4) :
Para el Ejemplo 8,
X
d = suma de los enteros positivos d; divisores de 6
d 1
dj6
= suma de los divisores positivos de 6
= 1 + 2 + 3 + 6 = 12
se simpli…ca en DERIVE la siguiente expresión
SUM(j, j, DIVISORS(6)) :
18
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
Anidando la función sumatoria una en otra sePobtiene
P0una suma doble, de
1
esta forma como el Ejemplo 9 lo pide, calcular i= 1 j= 1 3i2 j; digitando
sobre DERIVE el siguiente código obtenemos esta sumatoria
SUM(SUM(3i^2j, j, -1,0),i,-1,1)
y simpli…cando obtenemos la solución.
1.3. INDUCCIÓN MATEMÁTICA
1.3.
19
Inducción Matemática
El principio de inducción matemática (PIM) es una poderosa técnica de
prueba que se usará con frecuencia en posteriores capítulos.
Muchos resultados interesantes en matemáticas se cumplen para todos los
enteros positivos. Por ejemplo las siguientes proposiciones son verdaderas para
cada entero positivo n y todos los números reales x; y; y xi :
(x y)n = xn y n
log(x1
xn ) =
n
P
log xi
i=1
n
P
i=
i=1
nP1
i=0
n(n + 1)
2
ri =
rn
r
1
1
¿Cómo se puede probar que esos resultados se tienen para cada entero positivo n ? Obviamente, es imposible sustituir cada entero positivo por n y veri…car
que la fórmula se mantiene. El principio de inducción puede establecer la validez
para tales fórmulas.
Antes de pasar a la inducción matemática, es necesario establecer el principio
de buen-orden, el cual se aceptará como un axioma. (Un axioma es una a…rmación que es aceptada como verdadadera; con frecuencia se trata de proposiciones
obvias, evidentes.)
El Principio de Buen-Orden
Todo conjunto no vacío de enteros positivos tiene un elemento mínimo.
Por ejemplo, el conjunto f17; 23; 5; 18; 13g tiene un elemento mínimo, a saber,
5. Los elementos del conjunto pueden ser ordenados como 5; 13; 17; 18; y 23.
En virtud del principio del buen-orden, el conjunto de enteros positivos es
bien ordenado. Se puede notar que el conjunto de enteros negativos no es bien
ordenado.
El siguiente ejemplo es una aplicación simple del principio de buen-orden.
Ejemplo 13 Pruebe que no hay enteros positivos entre 0 y 1
Demostración (por contradicción). Supongamos que hay un entero positivo
a entre 0 y 1. Sea S = fn 2 Z+ j 0 < n < 1g. Ya que 0 < a < 1; a 2 S, así S
es no vacío. Por lo tanto, por el principio de buen-orden, S tiene un elemento
mínimo l, donde 0 < l < 1 . Entonces 0 < l2 < l , así l2 2 S . Pero l2 < l , lo
que contradice nuestra suposición que l es el elemento mínimo de S . Así, no
hay enteros positivos entre 0 y 1 .
El principio de buen-orden puede extenderse a casi todos los números, como
lo muestra el siguiente ejemplo.
20
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
Ejemplo 14 Pruebe que cada conjunto no vacío de enteros no negativos tiene
un elemento mínimo.
Demostración (por casos). Sea S un conjunto de enteros no negativos.
Caso 1
Supongamos que 0 2 S . Ya que 0 es menor que todo entero
positivo, 0 es menor que cada elemento diferente de cero en S , así 0 es el
elemento mínimo de S .
Caso 2 Supongamos que 0 2
= S . Entonces S contiene únicamente enteros
positivos. Así, por el principio de buen-orden, S tiene un elemento mínimo.
De esta forma, en ambos casos, S tiene un elemento mínimo.
Versión Débil de Inducción
El siguiente teorema es pieza fundamental para el principio de inducción.
Teorema 15 Sea S un conjunto de enteros positivos que satisface las siguientes
propiedades:
1. 1 2 S.
2. Si k es un entero positivo arbitrario en S, entonces k + 1 2 S:
Luego S = N .
Demostración(por contradicción).
Suponga que S 6= N. de…niendo el conjunto
S 0 = fn 2 N j n 2
= Sg
Ya que S 0 6= ;, por el principio de buen orden, S 0 tiene un elemento mínimo l0 .
Entonces l0 > 1 por la condición (1). Dado que l0 es el elemento mínimo de S 0 ,
l0 1 2
= S 0 . Por lo tanto l0 1 2 S. Consecuentemente, por la condición (2),
0
(l
1) + 1 = l0 2 S. Esto contradice lo establecido en la suposición.
Este resultado puede ser generalizado, como lo muestra el siguiente teorema.
La prueba queda como ejercicio.
Teorema 16 Sea n0 un entero …jo. Sea S un conjunto de enteros que satisfacen
las siguientes condiciones:
1. n0 2 S.
2. Si k es un entero arbitrario
n0 tal que k 2 S, entonces k + 1 2 S.
Luego S contiene todos los enteros positivos n
n0 .
Luego de ver los anteriores resultados, se tienen las herramientas para poder
demostrar el teorema de interés y que se enuncia a continuación.
1.3. INDUCCIÓN MATEMÁTICA
21
Teorema 17 (Principio de Inducción Matemática)
Sea P (n) una
proposición que satisface las siguientes condiciones, donde n 2 Z:
1. P (n0 ) es verdadera para algún entero n0 .
2. Si P (k) es verdadera para un entero arbitrario k
también es verdadera.
Luego P (n) es verdadera para cada entero n
n0 , entonces P (k + 1)
n0 .
Demostración. Sea S un conjunto de enteros
n0 para los cuales P (n) es
verdadera. Ya que P (n0 ) es verdadera, n0 2 S . Por la condición (2), cada vez
que k 2 S , k + 1 2 S , así, por el Teorema 16, S contiene todos los enteros n0
. Consecuentemente, P (n) es verdadera para cada entero n n0 .
En la condición (1) del teorema 17 se asume la proposición P (n) como verdadera cuando n = n0 . En la condición (2): Si P (n) es verdadera para un
entero k n0 , también lo es para n = k + 1 . Entonces, aplicando nuevamente
la condición (2), P (n0 + 1), P (n0 + 2); : : : se mantienen verdaderas. En otras
palabras , P (n) permanece para cada n n0 .
El Teorema 17 puede ser establecido directamente desde el principio de buenorden.
Demostrar un resultado por inducción comprende dos pasos clave:
Paso Básico: Compruebe que P (n0 ) es cierto.
Paso de Inducción: Asumir que P (k) es cierto para algún entero arbitrario
k n0 (hipótesis inductiva)
A continuación, compruebe que P (k + 1) también es cierto.
Para recordar: Con frecuencia nos preguntamos "¿No es este
un razonamiento circular? ¿No estamos suponiendo lo que queremos
demostrar?"De hecho, no. La confusión deriva una mala interpretacion del paso 2 para la conclusión. El paso de inducción muestra que
P (k) implica P (k + 1); esto es que si P (k) es verdadero, entonces
P (k + 1) también lo es. La conclusión es: "P (n) es verdadera para
cada n n0 ".
Ejemplo 18 Pruebe que
1 + 2 + 3 + ::: + n =
n(n + 1)
para cada entero positivo n
2
(1.4)
22
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
Demostración. (por inducción) Sea P (n) el enunciado
n
X
i=
i=1
n(n + 1)
2
Paso Básico: Veri…car que P (1) es verdadero (nota: aquí n0 = 1)
n
X
=
1
=
donde n = 1; LMD = 1(1+1)
i =LMI.5 Entonces, P (1) es ver2
i=1
dadero.
Paso de Inducción: Sea k un entero positivo arbitrario. Se debe mostrar
que P (k) implica P (k + 1). Asuma que P (k) es verdadero,es decir
n
X
i=
i=1
n(n + 1)
2
(hipótesis de inducción)
Se muestra que P (k) implica P (k + 1), es decir
k+1
X
i=
(k+1)(k+2)
,
2
empezamos
i=1
con LMI en esta ecuación
LM I
=
k+1
X
i=1
i=
k
X
i=1
i + (k + 1);
"
Nota:
k+1
X
xi =
i=1
k
X
xi
i=1
!
#
+ (xk + 1)
k(k + 1)
+ (k + 1) por hipótesis de inducción
2
(k + 1)(k + 2)
=
2
= LM D
=
Luego si P (k) es verdadero, entonces P (k + 1) también lo es. Así, por inducción, P (n) es verdadero para cualquier entero n 1; esto es, la fórmula vale
para cada entero positivo.
Ejemplo 19 Deduzca una formula para la suma de los n primeros enteros positivos impares y luego use la inducción para establecer la conjetura.
Solution 20 Primero, se estudiar las primeras cuatro sumas, y luego se identi…ca un patrón para predecir la fórmula de la suma de los n primeros enteros
positivos impares. Las primeras cuatro sumas son
1 = 12
1 + 3 = 22
1 + 3 + 5 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 42
5 LMD y LMI son las abreviaciones de lado a mano izquierda y lado a mano derecha,
respectivamente, al referirse a una expresión y con el signo de igualdad como referente.
1.3. INDUCCIÓN MATEMÁTICA
23
Se puede observar claramente el patrón, entonces se puede establecer que la suma
de los n primeros enteros positivos impares es n2 ;esto es
n
X
(2i
1) = n2
(1.4)
i=1
Se mostrará ahora la prueba por el principio de inducción.
n
1
X
X
Demostración. Cuando n = 1,
(2i 1) =
(2i 1) = 1 = 12 , entonces el
i=1
i=1
resultado es válido cuando n = 1. Ahora, asuma que la fórmula es válida cuando
n = k,
k
X
(2i 1) = k 2 :
i=1
Para mostrar que es válida cuando n = k + 1, considerese la suma
k+1
X
(2i
1).
i=1
Luego tenemos que
k+1
X
i=1
(2i
1)
=
k
X
(2i
1) + [2(k + 1)
1]
i=1
2
= k + (2k + 1) por hipótesis de inducción
= (k + 1)2
En consecuencia, si la fórmula es válida cuando n = k, es también válida cuando
n = k + 1. Por tanto, por inducción, la fórmula es válida para cualquier entero
positivo n:
Volviendo a la inducción, nosotros encontramos que ambos, los pasos básicos
como los pasos de inducción son esenciales para la prueba por inducción, como
se puede ver en los dos siguientes ejemplos.
Ejemplo 21 Considere la "fórmula" 1 + 3 + 5 +
+ (2n 1) = (n 2)2 .
Claramente es cierta cuando n = 1. Pero no es cierta cuando n = 2: La verdad
es que los pasos básicos no aseguran que el enunciado 1 +3 + 5 + + (2n 1) =
(n 2)2 sea cierto para cualquier entero n:
El siguiente ejemplo muestra que la validez del paso de inducción es necesaria, pero no su…ciente para garantizar que P (n) es verdadero para todos los
enteros deseados.
24
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
Ejemplo 22 Considere la "fórmula" P (n) : 1 + 3 + 5 + + (2n
k
X
Suponga que P (k) es verdadero:
(2i 1) = k 2 + 1. Entonces
1) = n2 + 1.
i=1
k+1
X
(2i
1)
=
i=1
=
=
k
X
(2i
1) + [2(k + 1)
1]
i=1
2
(k + 1) + (2k + 1)
(k + 1)2 + 1
Entonces si P (k) es verdadero, P (k + 1) también lo es. Sin embargo, la fórmula
no incluye a cualquier entero positivo n. Se puede veri…car que P (1) no se tiene.
Versión fuerte de inducción
Ahora se presentará la versión fuerte de inducción. A veces lo cierto de
P (k) puede no ser su…ciente para establecer la veracidad de P (k + 1). En otras
palabras, la veracidad de P (k + 1) puede requerir más que la de P (k). En tales
casos, se tiene que asumir una hipótesis de inducción más fuerte tal como que
P (n0 ), P (n0 + 1); : : : ; P (k) son todos verdaderos; luego veri…car que P (k + 1)
es también verdad. Esta versión fuerte, que puede ser demostrada usando la
versión débil de inducción, se establece como sigue.
Teorema 23 (Segundo Principio de la Inducción Matemática) Sea P (n)
un enunciado que satisfase las siguientes condiciones, donde n 2 Z:
1. P (n0 ) es verdadero para algún entero n0 :
2. Si k es un entero arbitrario n0 tal que P (n0 ); P (n0 + 1); : : : ; P (k) son
verdaderos, entonces P (k + 1) también lo es.
Luego P (n) es verdadero para cualquier entero n
n0 .
Demostración. Sea S = fn 2 Z j P (n) es verdaderog. Como P (n0 ) es verdadero por la condición (1) n0 2 S.
Ahora asumamos que P (n0 ), P (n0 +1); : : : ; P (k) es verdadero para un entero
arbitrario k. Entonces n0 ; n0 + 1; : : : ; k pertenece a S. Luego por la condición
(2), k + 1 también pertenece a S. Por lo tanto por el teorema 16, S contiene
todos los enteros n n0 . En otras palabras, P (n) es verdadero para cada entero
n n0 :
El siguiente ejemplo muestra la técnica de prueba.
Ejemplo 24 Pruebe que cualquier envío postal cuyo valor es de n (
tavos puede hacerse con estampillas de dos y tres centavos.
2) cen-
1.3. INDUCCIÓN MATEMÁTICA
25
Demostración. Sea P (n) el enunciado que a…rma que cualquier envío postal
cuyo valor es de n centavos puede hacerse con estampillas de dos y tres centavos.
Paso básico (Note que n0 = 2) Dado que un envío de dos centavos se puede
hacer con una estampilla de dos centavos, P (2) es verdadero. Del mismo modo,
P (3) es también verdadero.
Paso de inducción Supongamos que P (2); P (3); P (4); : : : ; P (k) son verdaderos, es decir, cada envío postal de dos centavos hasta de k centavos puede
hacerse con estampillas de dos y tres centavos. Para mostrar que P (k + 1) es
verdadero, considere un envío postal de k+1 centavos. Ya que k+1 = (k 1)+2,
un envío de k + 1 centavos puede formarse con estampillas de dos y tres centavos si el envío de k 1 centavos puede realizarse con estampillas de dos y tres
centavos. Como P (k 1) es verdero por la hipótesis de inducción, esto implica
que P (k + 1) también es verdadero.
Por lo tanto, por la versión fuerte de inducción, P (n) es cierto para cada
n 2, es decir, cualquier envío postal de n( 2) centavos se puede hacer con
estampillas de dos o tres centavos.
Ejercicios 1.3
Usando Inducción matemática pruebe cada una de las siguientes proposiciones para todo entero n 1:
Pn
1.
1) = n2
i=1 (2i
Pn 2
n(n+1)(2n+1)
2.
i=1 i =
6
Pn 3 h n(n+1) i2
3.
i=1 i =
2
4.
Pn
i=1
ari
1
=
a(r n 1)
r 1 ;
r 6= 1
Determine si cada conjunto es bien ordenado. Si su respuesta es no, explique.
5. El conjunto de los enteros negativos.
6. El conjunto de los enteros.
7. fn 2 Njn
8. fn 2 Zjn
5g
3g
Probar.
9. Sea a 2 Z: No hay enteros entre a y a + 1:
10. (Propiedad Arquimediana) Sean a y b enteros positivos. Entonces hay un
entero positivo n tal que na
b: (Sugerencia: Use el principio de buen
orden y contradicción)
26
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
1.4.
Relaciones de Recurrencia
La Recursión es una de las más elegantes técnicas para solucionar problemas. Ésta es una herramienta muy poderosa que puede ser apoyada a través de
lenguajes de programación.
Se iniciará esta sección con un problema muy conocido denominado el Problema del Apretón de Manos:
Hay n invitados a una …esta. Cada persona estrecha la mano, exactamente
una vez, con cada uno de los otros invitados. ¿cuántos apretones de manos se
hacen?
Si se decide solucionar un problema como éste, la solución puede no ser
obvia. Sin embargo, es posible que el problema pueda de…nirse en términos de
una versión más simple de si mismo. Tal de…nición es una de…nición inductiva.
Por consiguiente, el problema dado se puede resolver si la versión simple se puede
resolver.
De…nición recursiva de una función
Sea a 2 W y X = fa; a + 1; a + 2; : : :g. Una de…nición inductiva de una
función f con dominio X; consiste de tres partes:
Paso base
Algunos valores iniciales f (a); f (a+1); : : : ; f (a+k 1) se
especi…can. Ecuaciones que especi…can tales valores iniciales se denominan
condiciones iniciales.
Paso de recursión
Se proporciona una fórmula para calcular f (n)
desde los k precedentes valores funcionales f (n 1); f (n 2); : : : ; f (n
k). Tal fórmula se denomina una relación de recurrencia (o fórmula
recursiva).
Paso …nal
Solamente valores así obtenidos son valores funcionales
válidos. (Por conveniencia, esta cláusula se establece desde la de…nición
recursiva.)
En una de…nición recursiva de f , f (n) se pueden de…nir usando los valores
de f (k), donde k 6= n; así no todas las funciones de…nidas recursivamente pueden
de…nirse inductivamente; Ver ejercicios 8-14.
De esta forma, la de…nición recursiva de f consiste de un número …nito de
condiciones iniciales y una relación de recurrencia.
Puede emplearse recursión para encontrar el mínimo y el máximo de tres o
más números reales. Por ejemplo
m n fw; x; y; zg = m n fw; fm n fx; m n fy; zgggg ;
1.4. RELACIONES DE RECURRENCIA
27
max fw; x; y; zg puede evaluarse de manera similar. Por tanto
m n f23; 5; 6; 47; 31g = m n f23; m n f5; m n f 6; m n f47; 31gggg =
6
y
max f23; 5; 6; 47; 31g = max f23; max f5; max f 6; max f47; 31gggg = 47
Los siguientes ejemplos ilustran de…niciones recursivas.
Ejemplo 25 De…na recursivamente la función f factorial.
Solución.
Llamando a la función factorial f; de…nida por f (n) = n!, donde f (0) = 1.
Y al tenerse que n! = n(n 1)!, puede de…nirse la recursividad de la siguiente
manera
f (0) = 1
f (n) = n f (n
1); n
condición inicial
relación de recurrencia
1
Suponga que se quiere calcular f (3) recursivamente. Se debe continuar aplicando
la relación de recurrencia hasta que se encuentre la condición inicial, como se
muestra:
f (3)
=
.
f (2) =
.
f (1) =
.
f (0) =
3 f (2)
(1.5)
2 f (1)
(1.6)
1 f (0)
(1.7)
1
(1.8)
Ya que f (0) = 1, 1 se sustituye por f (0) en la ecuación (1.7) y f (1) se calcula:
f (1) = 1 f (0) = 1 1 = 1. Este valor se sustituye para f (1) en la ecuación (1.6)
y f (2) se calcula: f (2) = 2 f (1) = 2 1 = 2. Este valor se utiliza en la ecuación
(1.5) para calcular f (3): f (3) = 3 f (2) = 3 2 = 6, como era de esperar.
Ahora, volviendo al problema del apretón de manos.
Ejemplo 26 (El problema del apretón de manos) Hay n invitados en una
…esta. Cada persona estrecha la mano a cada uno de los demás exactamente
una vez. De…na por recursividad el número de apretones de manos hechos h(n):
Solución.
Claramente, h(1) = 0, entonces sea n
2. Sea x uno de los invitados. El
número de apretónes de manos hechos por los n 1 invitados entre ellos, por
de…nición es h(n 1). Ahora la persona x estrecha su mano con cada uno de
los n 1 invitados, realizando n 1 apretones de manos. Así el número total
de apretones de manos es igual a h(n 1) + (n 1), donde n 2.
28
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
Luego, h(n) puede de…nirse recursivamente como sigue:
h(1) = 0
h(n) = h(n
1) + (n
1); n
2
condición inicial
relación de recurrencia.
Ejemplo 27 (Torre de Brahma) Según una leyenda, al inicio de la creación,
Dios apiló 64 discos de oro sobre una de tres clavijas de diamante en una
plataforma de latón en el templo de Brahma en Benares, India (ver Figura 1.2).
Pidieron a los sacerdotes de turno mover los discos desde la primera clavija a
la tercera , usando la clavija del medio como clavija auxiliar, bajo las siguientes
condiciones:
Únicamente un disco será movido en cada turno
Ningún disco puede colocarse sobre un disco más pequeño
Si las clavijas se etiquetan de izquierda a derecha con las letras X, Y y
Z. Suponga que hay n discos en la clavija X. Denote por bn el número de
movimientos necesarios para trasladar los discos desde la clavija X hasta la
clavija Z usando la clavija Y como un intermediaria. De…na bn recursivamente.
Solución.
Si hay un sólo disco, simplemente se mueve a la clavija deseada. Si se asumen
n
2 discos, se comienza de manera recursiva por invocar el algoritmo para
mover los n 1 discos superiores a la clavija Y; quedando un solo disco en
la clavija X: Durante estos movimientos el disco más grande queda …jo en la
clavija X: Después se mueve el disco que queda …jo de la clavija X a la clavija
Z: Por último, de nuevo se invoca el algorítmo de manera recursiva para mover
los n 1 discos de la clavija Y a la clavija Z:
Así el total de movimientos necesarios es bn 1 + 1 + bn 1 = 2bn 1 + 1.
Entonces bn puede de…nirse recursivamente como sigue:
bn =
1
2bn
si n = 1
+
1
si n 2
1
condición inicial
relación de recurrencia
Figura 1.2: Torre de Hanoi
1.4. RELACIONES DE RECURRENCIA
29
Por ejemplo,
b4
=
=
=
=
=
=
2b3 + 1
2[2b2 + 1] + 1
4b2 + 2 + 1
4[2b1 + 1] + 2 + 1
8b1 + 4 + 2 + 1
8(1) + 4 + 2 + 1 = 15
De esta forma son 15 movimientos para transferir 4 discos desde X hasta Z.
Note que la de…nición recursiva de una función f no proporciona una fórmula
explicita para f (n) pero establece un procedimiento sistemático para encontrarla.
El Método Iterativo para encontrar una fórmula para f (n) involucra dos
pasos:
1. Aplique la fórmula iterativa de recurrencia y mire un patrón para predecir
la formula explícita.
2. Use inducción para probar que la fórmula es verdadera para cada posible
valor del entero n:
El siguiente ejemplo ilustra este método.
Ejemplo 28 Solucione la relacion de recurrencia en el ejemplo del problema
del apretón de manos.
Solución.
Usando iteración, se tiene:
h(n)
= h(n 1) + (n 1)
= h(n 2) + (n 2) + (n 1)
= h(n 3) + (n 3) + (n 2) + (n 1)
..
.
= h(1) + 1 + 2 + 3 +
+ (n 2) + (n 1)
= 0+1+2+3+
+ (n 1)
n(n 1)
=
:
2
Ejercicios 1.4
En los ejercicios 1-4, calcule los primeros cuatro términos de la secuencia
de…nida recursivamente.
30
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
1. a1 = 1
an = an
1
+ 3; n
2
2. a1 = 1
an =
n
n 1 an 1 ;
n
2
3. a1 = 1; a2 = 2
an = an
1
+ an
2;
n
3
4. a1 = 1; a2 = 2; a3 = 3
an = an
1
+ an
2
+ an
3;
n
4
De…na recursivamente cada secuencia numérica.
5. 1; 4; 7; 10; 13; :::
6. 0; 3; 9; 21; 45; :::
7. 1; 2; 5; 26; 677; :::
La función-91 de…nida por John McCarthy, se de…ne recursivamente sobre
W como sigue:
f (x) =
x 10
Si x > 100
f (f (x + 11)) Si 0 x 100
Calcule:
8. f (99)
9. f (98)
10. f (f (99))
11. f (f (91))
12. Muestre que f (99) = 91
13. Pruebe que f (x) = 91 para 90
14. Pruebe que f (x) = 91 para 0
x
100
x < 90
1.4. RELACIONES DE RECURRENCIA
31
DERIVE. Laboratorio 3
Objetivo
En el presente taller se busca implementar algunos funciones de recurrencia
utilizando la orden (IF) e ilustrar su utilización a partir de algunos ejemplos
trabajados en esta sección.
Algunas funciones requeridas
La forma general de las expresiones IF es
IF (test, entonces, en caso contrario, en caso de duda)
Por ejemplo, se creará una función que al ingresar en su argumento un número
positivo devuelve un 1 de lo contrario devuelve un 0, el nombre de la función
sera "positivo":
positivo(x):=IF (x>0, 1, 0)
Para esta función positivo(2) se simpli…ca a 1, positivo(0) se simpli…ca a 0,
positivo(-0.5) se simpli…ca a 0.
Actividades
1. A continuación se utilizará la orden IF para crear una función que permita ilustrar la fórmula de recurrencia del Ejemplo 26, el problema del
apretón de manos. Para ello se creará la función denominada apretones,
cuyo argumento será n el número de individuos en la …esta y al simpli…car
dicha función en un valor particular se generará el número de apretones
de manos que se darán las personas que se indica están en la …esta de
acuerdo al contexto del problema. Así
apretones(n):=IF (n=1, 0, apretones(n-1)+(n-1))
De esta manera si se simpli…ca apretones(5) da como resultado 10 que
corresponde al número de apretones de manos si hay 5 personas en la
…esta.
2. Para el Ejemplo 27 que hace referencia al ejemplo de la torre de Hanoi o
torre de Brahma, la función de recurrencia puede ingresarse digitando el
siguiente código que utiliza la orden IF,
Hanoi(n):=IF (n=1, 1, 2*Hanoi(n-1)+1)
De esta forma, Hanoi(7) se simpli…ca a 7, que indica que son mínimo 7
los pasos requeridos para pasar 3 discos de la clavija X a la clavija Z.
32
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
1.5.
El Teorema Binomial
Los binomios son sumas de dos términos, y aparecen a menudo en matemáticas. Esta sección muestra la forma de expandir potencias enteras positivas de
manera sistemática. Los coe…cientes en una expansión binomial tienen varias
propiedades interesantes.
Se empezará con un análisis de los coe…cientes binomiales.
Coe…cientes Binomiales
Sean n y r enteros no negativos. El coe…ciente binomial6
por
n
r
=
n!
si r
r!(n r)!
n
está de…nido
r
n;
y es 0 en otro casos; esto también se denota por C(n; r) o n Cr .
Por ejemplo,
5
3
=
=
5!
3!(5 3)!
5 4 3 2 1
= 10
3
2 1 2 1
Se desprende de la de…nición que
n
0
=1=
n
:
n
Hay muchos casos en los que se necesita calcular el par de coe…cientes bino6 El término coe…ciente binomial fue introducido por el alemán algebrista Michel Stifel
(1486-1567). En su trabajo más conocido, Arithmetica Integra (1544), Stifel da los coe…cientes binomiales para n 17. La notación de paréntesis binivel para coe…ciente binomial fue
introducida por el matemático y físico alemán Baron Andreas von Ettinghausen (1796–1878).
Von Ettinghausen, nacio en Heidelberg, asistió a la Universidad de Viena en Austria. Durante
dos años trabajó como asistente de matemáticas y física en la Universidad. En 1821 se convirtió en profesor de matemáticas, y en 1835, profesor de física y director del Instituto de Física.
Trece años más tarde, se convirtió en el director de Estudios de Matemáticas e Ingeniería de
la Academia de Viena.
Un pionero en la física matemática, von Ettinghausen trabajó en el análisis, álgebra,
geometría diferencial, mecánica, óptica y electromagnetismo.
1.5. EL TEOREMA BINOMIAL
n
r
miales
y
n
n
r
33
: Ya que
n
n
n!
(n r)! [n (n r)]!
n!
n!
=
(n r)!r!
r! (n r)!
n
r
=
r
=
=
en este caso no es necesario evaluar ambos, lo que reduce signi…cativamente el
trabajo. Por ejemplo,
25
20
=
25
25
20
=
25
5
= 53130:
El siguiente teorema muestra una importante relación de recurrencia que
satisfacen los coe…cientes binomiales. Se conoce como la identidad de Pascal,
debida al extraordinario matemático y …lósofo francés Blaise Pascal.
Teorema 29 (Identidad de Pascal) Sean n y r enteros positivos con r
Entonces
n
n 1
n 1
=
+
:
r
r 1
r
n:
Demostración. Se simpli…cará la expresión del LMD y demostrará que es igual
a la expresión del LMI:
n
r
1
n 1
+
1
r
=
=
=
=
=
=
(n 1)!
(n 1)!
+
1)! (n r)! r! (n r 1)!
(n r) (n 1)!
r (n 1)!
+
r (r 1)! (n r)! r! (n r) (n r 1)!
r (n 1)!
(n r) (n 1)!
+
r! (n r)!
r! (n r)!
(n 1)! [r + (n r)]
(n 1)!n
=
r! (n r)!
r! (n r)!
n!
r! (n r)!
n
r
(r
así el teorema queda demostrado.
34
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
Triángulo de Pascal
n
; donde 0
r
n; pueden arr
7
reglarse en forma de un triángulo, llamado triángulo de Pascal
Los diferentes coe…cientes binomiales
0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
3
0
2
2
3
1
3
2
4
1
4
0
4
2
4
3
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
3
3
1
4
4
…la
…la
…la
…la
…la
0
1
2
3
4
El triángulo de Pascal tiene muchas propiedades interesantes:
Cada …la empieza y termina en 1.
El triángulo de Pascal es simétrico sobre una línea vertical que pasa por
el centro.
Cualquier número en el interior de cada …la es la suma de los números a
izquierda y a derecha de la …la inmediatamente superior. Esto es así en
virtud de la identidad de Pascal.
La suma de los números en cualquier …la es una potencia de 2. El Corolario
31 veri…cará ésto.
La n ésima …la puede utilizarse para determinar 11n . Por ejemplo, 113
= 1331 y 114 = 14641. Para calcular altas potencias de 11, se debe tener
cuidado ya que algunos de los números envuelven la participación de dos
o más dígitos. Por ejemplo, para calcular 115 se procede de la siguiente
manera con base en los valores de la …la 5:
1 5 10 10 5 1
7 Aunque
el triángulo de Pascal es el nombre de Pascal, esto actualmente aparece primero
en 1303 en una obra del matemático chino Chu Shi-Kie.
1.5. EL TEOREMA BINOMIAL
35
De derecha a izquierda, liste los dígitos simples. Cuando se llegue a un
número de dos dígitos, escriba los dígitos de las unidades y lleva los dígitos
de las decenas al número de la izquierda. Añadiendo el número que lleva
al de su izquierda. Continue este proceso hacia la izquierda. El número
resultante es 161051, que corresponde a 115 .
El siguiente teorema muestra cómo los coe…cientes binomiales pueden usarse
para encontrar la expansión del binomio (x + y)n :
Teorema 30 (El Teorema Binomial)8 Sean x y y número reales, y n un
entero no negativo. Luego
n
P
n
(x + y) =
r=0
n n
x
r
r r
y :
Demostración. (inducción débil) Cuando n = 0, LMI = (x + y)0 = 1 y LMI
P0
n 0 r r
= r=0
x y = x0 y 0 = 1, así LMI=LMD.
r
Supongamos P (k) es cierto para algunos k 0:
(x + y)k =
k
X
k k
x
r
r=0
r r
y
Entoces
(x + y)k+1
(x + y)k (x + y)
#
" k
X k
k r r
x
y (x + y)
=
r
r=0
=
k
k
X
k k+1 r r X k k r r+1
x
y
x
y +
r
r
r=0
r=0
"
#
k
k k+1 X k k+1 r r
=
x
+
x
y +
r
0
r=1
#
"k 1
X k
k
xk r y r+1 +
y k+1
r
k
r=0
=
=
k
k + 1 k+1 X k k+1
x
+
x
0
r
r=1
k
X
r=1
8 El
C.).
k
r
1
xk+1
r r
y +
r r
y +
k + 1 k+1
y
k+1
teorema binomial para n = 2 se puede encontrar en el trabajo de Euclides (ca. 300 B.
36
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
=
k
k + 1 k+1 X
x
+
0
r=1
k
k
+
r
r 1
xk+1
r r
y +
k + 1 k+1
y
k+1
=
=
k
k + 1 k+1 X k + 1 k+1
x
+
x
0
r
r=1
k+1
X
r=0
k + 1 k+1
x
r
r r
y +
k + 1 k+1
x
k+1
r r
y
Así, por inducción, la fórmula es válida para todo entero n
0:
Se deduce del teorema binomial que los coe…cientes binomiales en la expann
sión de (x + y) son los distintos números en la n ésima …la del triángulo de
Pascal.
El teorema binomial se puede usar para establecer varias identidades interesantes involucrando los coe…cientes binomiales, como lo muestra el siguiente
corolario9 .
Corolario 31
n
X
n
r
r=0
= 2n
esto es, la suma de los coe…cientes binomiales es 2n :
Esto se sigue haciendo x = 1 = y en el teorema binomial.
Ejercicios 1.5
(Doce Días de Navidad) Supongamos que el primer día de la Navidad has
enviado a tu amor 1 regalo, 1 + 2 regalos en el segundo día, 1 + 2 + 3 regalos
al tercer día, y así sucesivamente.
1. Mostrar que el número de regalos enviados en el n ésimo día es
donde 1
n
n+1
,
2
12:
2. Mostrar que el número total de los regalos enviados en el n ésimo día es
n+2
, donde 1 n 12:
3
Encontrar el coe…ciente en cada caso.
8
3. x2 y 6 en la expansión de (2x + y) .
9 Un
corolario es un resultado que se desprende del anterior teorema.
1.5. EL TEOREMA BINOMIAL
37
4. x4 y 5 en la expansión de (2x
3y)9 :
Usando el teorema binomial, expandir.
5. (2x
1)5
6
6. (x + 2y)
Encontrar el término medio en la expansión binomial de cada caso.
7. 2x +
2 8
x
8. x2 +
1 10
x2
Encontrar el más grande coe…ciente binomial en la expansión de cada caso.
9. (x + y)5
10. (x + y)6
11. (x + y)7
12. (x + y)8
13. Usando los ejercicios 9-12, encontrar el mayor coe…ciente en la expansión
binomial (x + y)n .
Los números de Bell Bn son llamados así en honor al matemático AmericanoEscoses Eric T. Bell (1883-1960). Éstos son utilizados en combinatoria y se
de…nen recursivamente como sigue:
B0
Bn
=
1
n
X1
=
n
i=0
1
i
Calcular los siguientes números de Bell.
14. B2
15. B3
16. B4
17. B5
18. Veri…car que
n
r
=
n
r
n
i
1
:
1
Bi;
n
1:
38
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
2n
n
19. Probar que
es un entero par. (L. Moser, 1962)
Probar cada una de las siguientes proposiciones.
2n
; cuando se escribe ajb signi…ca que a es un factor de b y
n
20. (n + 1) j
n
21.
0.
n
X
r=0
2n
2r
=
n
X
r=1
2n
2r 1
(Sugerecia: Use el Corolario 1.1)
22.
n
X
2r
r=0
23.
n
r
= 3n
n
X
n
r
r=0
n
n
r
=
2n
n
(Sugerencia: Considere (1 + x)2n = (1 + x)n (1 + x)n )
24.
n
X
i=1
n
i
1
n
i
=
2n
n+1
(Sugerencia: Considere (1 + x)2n = (x + 1)n (1 + x)n .)
Evalúe cada suma.
25. 1
n
n
n
+2
+3
+
2
3
1
+n
n
n
(Sugerecia: Denote con S la suma. Utilice S y la suma en el orden inverso
para calcular 2S)
26. a
n
n
n
+ (a + d)
+ (a + 2d)
+
0
1
2
+ (a + nd)
n
n
(Sugerencia: Utilice la misma sugerecia del Ejercicio 25)
27. Muestre que C(n; r 1) < C(n; r) si y sólo si r <
n+1
cuando 0
2
r < n:
28. Usando el ejercicio 27, pruebe que el mayor coe…ciente binomial C(n; r)
ocurre cuando r = bn=2c
Usando inducción, pruebe.
1.5. EL TEOREMA BINOMIAL
39
n
n+1
n+2
+
+
+
0
1
2
29.
n+r
r
+
n+r+1
r
=
(Sugerencia: Use la identidad de Pascal)
30. 1
n
n
+2
+
1
2
n
0
31.
2
+
n
1
2
+
+n
n
2
n
n
= n2n
2
+
2
n
n
+
1
=
2n
n
(Identidad de Lagrange)
A partir de la expansión binomial
(1 + x)n =
n
X
n r
x ;
r
r=0
se puede mostrar que
n(1 + x)n
1
=
n
X
n
rxn
r
r=1
1
:
Usando este resultado, pruebe.
32. 1
n
n
n
+2
+3
+
1
2
3
+n
n
n
33. 1
n
n
n
+3
+5
+
1
3
5
=2
n
n
n
+4
+6
+
2
4
6
34. Conjeture una fórmula para
= n2n
1
= n2n
n
X
i
:
2
i=2
35. Prube la fórmula que supuso en el Ejercicio 34.
36. Conjeture una fórmula para
n
X
i
3
i=3
37. Probar la fórmula supuesta en el Ejercicio 36.
38. Usando los ejercicios 34-37, prediga una fórmula para
n
X
i=k
i
:
k
2
40
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
DERIVE. Laboratorio 4
Objetivo
En el presente taller se busca construír una función que ilustre el desarrollo
de binomios a partir del teorema del binomio y algunas otras involucren el
coe…ciente binomial comb(n,r).
Algunas funciones requeridas
La función COMB(n, r) da el número combinatorio, se simpli…ca a
n!
:
r!(n r)!
Actividades
1. En esta primera actividad se creará una función que genere un vector con
la k ésima …la del triángulo de pascal, se le llamará a la función "…la",
de esta forma la fución es
fila(n):=VECTOR(COMB(n,r),r,0,n)
Así, fila(4), se simpli…ca a un vector con los elementos de la cuarta …la
del triángulo de Pascal, es decir a [1, 4, 6, 4, 1].
2. La función a continuación denominada "binomio"permite encontrar la expansión de un binomio a la n ésima potencia, utilizando el teorema del
binomio.
binomio(x, y, n):=SUM(COMB(n, k) x^(n - k) y^k, k, 0, n)
Por ejemplo binomio(2a,b,3) se simpli…ca a la expansión del binomio
(2a + b)3 es decir a 8a3 + 12a2 b + 6ab2 + b3 :
3. A continuación se de…ne una función denominada termino(k,x,y,n), esta
función permite obtener el k ésimo término de la expansión del binomio
(x + y)n
termino(k, x, y, n) := COMB(n, k - 1) x^(n - (k - 1)) y^(k - 1)
así, termino(3, 2a, b, 3) se simpli…ca al tercer término de la expansión
del binomio (2a + b)3 en este caso 6ab2 :
1.6. NÚMEROS POLIGONALES
1.6.
41
Números Poligonales
Un número poligonal es aquel número que pueden con…gurarse en un polígono regular. Ellos proporcionan un fascinante eslabón entre la teoría de números
y la geometría. No sorprende que los números poligonales tengan un origen antiguo, y efectivamente se cree que ellos fueron inventados por los pitagóricos en
1665. Pascal publicó un libro sobre ello llamado Tratado sobre números cifrados.
Los números poligonales, también conocidos como números cifrados en el
plano, son enteros positivos que pueden ser representados por polígonos regulares en un modelo sistemático. Se mostrará algunos tipos de tales números:
números triangulares, números cuadrados, números pentagonales y números
hexagonales.
En bolos los diez pinos son ordenados inicialmente en un despliegue triangular. De manera similar, las 15 bolas en el juego de pool son inicialmente colocadas
en una forma triangular. Ambos números 10 y 15 son números triangulares.
De acuerdo a lo expresado, se presenta la siguiente de…nición.
Números Triangulares
Un número triangular es un entero positivo que puede ser representado grá…camente por un arreglo triangular equilátero. El n ésimo número triangular
se denota por tn , con n 1:
Los primeros cuatro números triangulares son, 1; 3; 6; y 10 y ellos se representan en la Figura 1.3 Ya que la i ésima …la, de arriba hacia abajo, en el
i ésimo número triangular tiene i puntos, tn es igual a la suma de los n primeros
enteros positivos, esto es
tn =
n
X
i=1
Por ejemplo, t4 = (4
5)
i=
n(n + 1)
.
2
2 = 10 y t36 = (36
37) 2 = 666:
Figura 1.3: Números Triangulares.
42
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
Figura 1.4: Números Cuadrados
Luego
tn =
n+1
;
2
de esta forma, los números triangulares pueden ser leidos en el triángulo de
Pascal.
Ya que en cada con…guración triangular cada …la contiene un punto más que
la …la anterior, tn puede ser de…nida recusivamente, ver Tabla 1.
Tabla 1
Una Fórmula Recursiva para
t1
tn
= 1
= tn
1
tn
+ n; n
2
Como un ejemplo, ya que t3 = 6; t4 = t3 + 4 = 6 + 4 = 10:
El Ejercicio 1 de esta sección plantea resolver la relación de recurrencia para
encontrar una formula explícita para tn :
Números Cuadrados
Enteros positivos que pueden ser representados por arreglos cuadrados (de
puntos) se denominan números cuadrados. El n ésimo número cuadrado
se denota por sn . La Figura muestra los primeros cuatro números cuadrados,
1; 4; 9 y 16. En general sn = n2 ; n 1: Como antes, sn también puede de…nirse
recursivamente. La Figura 1.5 permite ver como esto puede considerarse. Puede
verse un patrón, en donde el número de puntos en cada arreglo (excepto el
1.6. NÚMEROS POLIGONALES
43
Figura 1.5: Recursividad para números cuadrados
primero), es igual al número de puntos en el arreglo anterior más dos veces el
número de puntos en la …la del anterior arreglo más uno; esto es,
sn
= sn
= sn
+ 2(n 1) + 1
1
1 + 2n
1
Así, se tiene la siguiente de…nición recursiva de sn :
Una Fórmula Recursiva para
s1
sn
= 1
= sn
Sn
(1.9)
1
+ 2n
1; n
2
Ahora se demostrará una relacion entre tn y sn . El siguiente teorema conocido por el matematico griego Theon de Smyrna (ca. A.D. 100) Y Nicomachus,
establece algebráicamente que sn = tn + tn 1 :
Teorema 32 La suma de dos números triangulares consecutivos es un cuadrado.
Demostración.
tn + tn
1
n(n + 1) n(n 1)
+
2
2
n
n
=
(n + 1 + n 1) = (2n)
2
2
= n2 = sn :
=
A continuación se presentan algunos resultados a través de dos teoremas
cuyas demostraciones se dejan como ejercicio.
44
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
Figura 1.6: Números Pentagonales
Teorema 33
t2n
1
+ t2n = tn2 :
Teorema 34
8tn + 1 = (2n + 1)2
8tn
1
+ 4n = (2n)2
El siguiente turno es para los números pentagonales10 pn :
Números Pentagonales
Los primeros tres números pentagonales 1; 5 y 12 son ilustrados en la Figura
1.6 y se puede notar que
n(3n 1)
pn =
2
(Ver sección de ejercicios).
Una interesante relación que conecta números triangulares, cuadrados y pentagonales puede establecerse de la siguiente forma,
tn
1
+ sn = pn ; n
2;
esto puede veri…carse algebráicamente y se deja como ejercicio para el lector.
A continuación se discutirá respecto a los números hexagonales
1 0 El
1 1 El
pre…jo griego penta signi…ca cinco
pre…jo griego hexa signi…ca seis
11
hn :
1.6. NÚMEROS POLIGONALES
45
Figura 1.7: Números hexagonales
Números Hexagonales
La Figura 1.7 muestra la representación grá…ca de los primeros tres números
hexagonales 1; 6 y 15. Se puede veri…car que
hn = n(2n
1); n
1
(Ver sección de ejercicios).
Los números triangulares, pentagonales y hexagonales satisfacen la relación
pn + tn
1
= hn
se puede veri…car esto (Ver sección de ejercicios).
Ejercicios 1.6
1. Resuelva la relación de recurrencia para tn :
2. Encuentre el valor de n tal que tn = 666: (El número 666 se conoce como
el número de la bestia)
3. Resuelva la relación de recurrencia para sn :
4. Muestre que 8tn + 1 = s2n+1 : Diofanto
5. De…na recursivamente el n ésimo número pentagonal pn :
6. Usando la relación en el ejercicio 5, encuentre una formula explícita para
pn :
Pruebe para n
7. t2n
1
+ t2n = tn2
8. pn + tn
1
= hn
2.
46
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
9. De…na recursivamente el n ésimo número hexagonal hn :
10. Usando la relación de recurrencia en el ejercicio 9, encuentre una formula
explícita para hn :
1.6. NÚMEROS POLIGONALES
47
DERIVE. Laboratorio 5
Objetivo
En el presente taller se busca conocer las funciones que permiten obtener los números poligonales, en particular los números triangulares, cuadrados,
pentagonales y hexagonales trabajados en esta sección.
Algunas funciones requeridas
Para los números triangulares se tiene la función TRIANGULAR(n) que permite
obtener el n ésimo número triangular. En general, la función POLYGONAL(n,
p) se simpli…ca al n ésimo número poligonal con p caras, p 2. Por ejemplo,
para hallar los 10 primeros números poligonales de 3 caras, o tambien llamados
triangulares, se simpli…ca cualquiera de las dos siguientres expresiones,
VECTOR(TRIANGULAR(n),n,1,10)
o
VECTOR(POLYGONAL(n, 3),n,1,10)
su simpli…cación genera el vector
[1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55]
Si se quiere generar, por ejemplo, un vector con los 20 primeros números hexagonales se procede a simpli…car la expresión
VECTOR(POLYGONAL(n, 6),n,1,20)
Actividades
Con base en las relaciones de recurrencia de…nidas para cada tipo de número
poligonal y utilizando la función IF es posible de…nir también en DERIVE
funciones que permitan obtener los números poligonales. Puede utilizarse la
función de recurrencia en (1.9), de…nida para los números cuadrados, y construir
una función en DERIVE para los números cuadrados así,
cuadrado(n):=IF(n=1,1,cuadrado(n-1)+2n-1)
Habiendo de…nido esta función, simpli…cando la expresión
VECTOR(cuadrado(n),n,1,10)
se obtiene un vector con los 10 primeros números cuadrados, esto es
[1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100]
48
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
Figura 1.8: Números Piramidales Triangulares
1.7.
Números Piramidales
Ahora se estudiará …guras sólidas de números, las cuales están comprendidas
por enteros positivos que pueden ser representados de forma piramidal. Se obtienen realizando sumas sucesivas de los correspondientes números poligonales.
Los números de lados en la base de una pirámide se incrementa a partir de
tres, de esta forma se van obteniendo los diversos números piramidales, como
los triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales y así sucesivamente.
Se iniciará con el más simple de los números piramidales, los números piramidales triangulares, también conocidos como números tetraédricos.
Números Piramidales Triangulares
El n ésimo número piramidal triángular T n es la suma de los n primeros
números triangulares tn . Los cuatro primeros números son de la forma: T1 = 1;
T2 = t1 +t2 = 1+3 = 4; T3 = t1 +t2 +t3 = 1+3+6 = 10; y T4 = t1 +t2 +t3 +t4 =
1 + 3 + 6 + 10 = 20. La Figura 1.8 permite observar la obtención de los diferentes
números piramidales triangulares, apilando canicas en el orden mostrado.
Los diferentes números pirámidales triángulares pueden construirse utilizando la regularidad presentada en la Tabla 1.9. Luego, para obtener el 5o número
piramidal triangular se suma el 4o número piramidal triangular con el 5o número
triangular. De manera general Tn = Tn 1 + tn ; que equivale a, Tn = Tn 1 +
[n(n + 1)]=2:Ya que
n
X
Tn =
ti;
i=1
1.7. NÚMEROS PIRAMIDALES
49
Figura 1.9: Regularidad Números Piramidales Triangulares
de la sección anterior se tiene que:
Tn
=
n
X
i(i + 1)
i=1
=
=
2
n(n + 1)(n + 2)
6
n+2
3
Por consiguiente, Tn también puede ser leído en el triángulo de Pascal.
Números Piramidales Cuadrados
Aquí la base de la piramide para la obtención de los números piramidales
cuadrados es, efectivamente un cuadrado. Y cada nivel contiene sn puntos. La
Figura 1.10 muestra la construcción del 4o número piramidal cuadrado, utilizando una estructura a partir de canicas.)
Figura 1.10: Construcción del 4o número piramidal cuadrado
Los primeros cuatro números piramidales cuadrados son 1, 5, 14 y 30.
Los números cuadrados pirámidales, notados Sn ; pueden construirse fácilmente
usando la estructura presentada en la Figura 1.11.Luego el n ésimo número
piramidal cuadrado se puede obtener
Sn
=
n
X
k=1
=
sk =
n
X
k2
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
:
6
50
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
Figura 1.11: Regularidad Números Piramidales Cuadrados
Números Piramidales Pentagonales
La n ésima …la de una pirámide pentagonal representa el n ésimo número
pentagonal pn , los primeros cinco números pirámidales pentagonales son 1,
6, 18, 40, y 75. Una vez más, se presenta mediante la Figura 1.12 la regularidad
para su construcción.Se propone como ejercicio encontrar una fórmula explícita
para el n ésimo número piramidal pentagonal notado Pn .
Figura 1.12: Regularidad Números Piramidales Pentagonales
Finalmente se hablará de los números pirámidales hexagonales Hn :
Números Piramidales Hexagonales
La n ésima …la de una piramide hexagonal representa el n ésimo número
hexagonal hn , los primeros cinco números pirámidales hexagonales son 1,
7, 22, 50 y 95. De igual manera, se propone como ejercicio, con base en la Figura
1.13, encontrar una formula explícita para Hn .
Figura 1.13: Regularidad Números Piramidales Hexagonales
Ejercicios 1.7
1. Encuentre los primeros cuatro números triangulares que son cuadrados.
1.7. NÚMEROS PIRAMIDALES
51
donde T1 = 1;
2. Usando la relación de recurrencia Tn = Tn 1 + n(n+1)
2
encuentre una formula explícita para el n ésimo número triangular piramidal Tn :
3. De…na recursivamente en n ésimo número piramidal cuadrado Sn .
4. Usando el ejercicio 3, encuentre una fórmula explícita para Sn :
5. Encuentre una fórmula para el n ésimo número piramidal pentagonal Pn :
6. De…na recursivamente el n ésimo número piramidal pentagonal Pn :
7. Use el ejercicio 6, encuentre una fórmula explícita para Pn :
8. Encuentre una fórmula para el n ésimo número piramidal hexagonal Hn :
9. De…na recursivamente el n ésimo número piramidal hexagonal Hn :
10. Use el ejercicio 9, encuentre una fórmula explícita para Hn :
52
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
DERIVE. Laboratorio 6
Objetivo
En el presente taller se explorará la función POLYGONAL_PYRAMID(n, p, d)
que permiten obtener los diferente tipo de números piramidales.
Algunas funciones requeridas
En general, Derive provee una función que permite generar cualquier número
piramidal, incluso con esta función se pueden obtener los números poligonales.
La función a que se re…ere es
POLYGONAL_PYRAMID(n, p, d)
cuyos parámetros son n que indica que se va a generar el n ésimo número que
se quiere, p que hace referencia al número de lados del polígono que constituye
la base del número que se pretende obtener y d es la dimensión, cuando d es dos
hablamos de poligonos mientras que para d igual a 3 se habla de piramides en
3 dimensiones, idea que puede ser genralizada a más dimensiones.
Actividades
A continuacion se generará un vector con los 10 primeros números piramidales triangulares mediante la simpli…cacion del siguiente código
VECTOR(POLYGONAL_PYRAMID(n, 3, 3),n,1,10)
cuyo resultado genera el vector
[1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220]
Para los 10 primeros piramidales cuadrados se simpli…ca
VECTOR(POLYGONAL_PYRAMID(n, 4, 3),n,1,10)
que genera como resultado
[1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385]
Para los 10 primeros piramidales hexagonales se simpli…ca
VECTOR(POLYGONAL_PYRAMID(n, 6, 3),n,1,10)
que permite obtener el vector
[1, 7, 22, 50, 95, 161, 252, 372, 525, 715]
1.8. NÚMEROS DE CATALÁN
1.8.
53
Números de Catalán
Los números de Catalán son un un conjunto de números que encajan de
manera perfecta dentro de este contexto, éstos son excelentes candidatos para la
exploración, la experimentación y para establecer conjeturas. Como los números
de Fibonacci y de Lucas, éstos tienen, como Martin Gardner escribió en la Scienti…c American, "la misma encantadora propensión para aparecer de improviso,
en particular en problemas combinatorios "(1976). Aquellos sitios inesperados
en donde aparecen incluyen el álgebra abstracta, la teoría combinatoria, la informática, la teoría grafos, y la geometría.
Los números de Catalán son llamados así luego de que el matemático belga Eugene C. Catalán, los descubriera en 1838, mientras él estudiaba las secuencias gramaticalmente correctas de paréntesis. Antes, alrededor de 1751, el
excepcional matemático suizo Leonhard Euler los encontró estudiando las triangulaciones de polígonos convexos.
El Problema de la Triangulación de Euler
Se inicia el estudio de los números de Catalán Cn ; con la investigación de
Euler del problema de la triangulación:
Problema 35 Encuentre el número de formas An ; en que el interior de un
n ágono convexo12 puede ser dividido en áreas triangulares no superpuestas
dibujando diagonales que no se cruzan, donde n 3:
Hay sólo un forma de dividir un triángulo en áreas triangulares, dos modos
diferentes de dividir en áreas triangulares un cuadrado, cinco modos diferentes
de dividir en áreas triangulares un pentágono, y 14 modos diferentes de dividir
un hexágono, como se muestra en la Figura 1.14. Así, se tienen los números de
Catalán 1, 2, 5, y 14.Se propone como ejercicio para el lector encontrar las 5
formas de dividir en áreas triangulares el pentagono.
Euler usa un argumento inductivo para establecer la formula
An =
2 6 10
(n
(4n
1)!
10)
para incluir los casos n = 0; 1; 2 haciendo k = n
Ak+3 =
para n
3
3 se tiene
2 6 10
(4k + 2)
para k
(k + 2)!
0
Así, A3 = 1; A4 = 2; A5 = 5; se obtienen de la anterior expresión asignando
valores de k = 0; k = 1 y k = 2 y que corresponden a los números de Catalán
1 2 Un n ágono convexo es un polígono con n lados tal que todas sus diagonales quedan
totalmente en el interior del polígono.
54
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
Figura 1.14: El Problema de la Triangulación de Euler
C1 ; C2 ; C3 respectivamente. Cambiando dos espacios a la derecha se tiene que
Cn = An+2 ; luego
Cn = An+2 =
2 6 10
(4n
(n + 1)!
2)
para n
1;
pero
Cn
=
=
=
2 6 10
(4n 2)
(n + 1)!
(4n 2) 2 6 10
(4n
n+1
n!
(4n 2)
Cn 1
n+1
6)
Cuando n = 1 se tiene que C1 = C0 ; pero ya que C1 = 1; de…niendo C0 = 1 se
puede escribir la recursividad de los números de Catalán como sigue.
Una De…nición Recursiva de
C0
=
Cn
=
1
(4n 2)
Cn
n+1
Cn
1
si n
1:
1.8. NÚMEROS DE CATALÁN
Una Formula Explícita para
55
Cn
Para la solución de la relación de recurrencia presentada antes se tiene,
Cn
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(4n 2)
Cn 1
n+1
(4n 2) (4n 6)
Cn 2
n+1
n
(4n 2) (4n 6) (4n 10)
Cn 3
n+1
n
n 1
..
.
(4n 2)(4n 6)(4n 10) 6 2
C0
(n + 1)n(n 1) 3 2
(2n 1)(2n 3)(2n 5) 3 1
2n
(n + 1)!
(2n
1)(2n
3)(2n 5) 3 1 2 4
2n
(n + 1)!
2 4
(2n)!
1
2n
(n + 1)! 2n [1 2
n]
1
(2n)!
2n
(n + 1)! 2n n!
1
(2n)!
1
2n
=
:
(n + 1) n!n!
n+1 n
(2n)
(2n)
2n
(se propone esta a…rmación como ejercicio para el
n
13
lector) , de esto se sigue que todo número de Catalán es entero positivo. A
continuación se presentan los primeros números de Catalán:
Ya que (n + 1)j
1; 1; 2; 5; 14; 42; 132; 429; 1430; 4862; 16796; 58786; :::
Se sigue desde la formula explícita que todo número de Catalán Cn puede
extraerse desde el triángulo de Pascal: Dividiendo cada coe…ciente binomial
1 3 ajb
signi…ca que a es factor de b, o que a divide a b.
56
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
central
2n
n
entre (n + 1);
#
0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
3
0
2
2
3
1
4
0
3
2
4
1
3
3
4
2
"
4
3
4
4
Ejercicios 1.8
Probar.
1. Cn =
1
2n
n n 1
2n
n
2. Cn =
3. Cn+1 =
4. Cn =
2n
n
2n
n
1
2n
n
2
1
2n + 1
2n + 1
n
5. Cn =
6. Cn = 2
2n 1
n 1
2n
n
2n 1
n 2
2n + 1
n
2n + 1
2n
2
n+1
n+1
Usando la formula recursiva
7. Cn =
Cn =
b(n 1)=2c
X
r=0
calcule Cn para cada valor de n:
8. n = 5
9. n = 6
n
1
2n
2n
2r 1
Cr
1.8. NÚMEROS DE CATALÁN
57
DERIVE. Laboratorio 7
Objetivo
En el presente taller se explorará la función CATALAN(n) y se construirá otra
a partir de la recursividad que genere los números de Calalán.
Algunas funciones requeridas
La función en Derive que por defecto genera los números de Catalán se de…ne
como CATALAN(n) y se simpli…ca al n ésimo número de Catalán.
Actividades
Para obtener un vector con los diez primeros números de Catalán se simpli…ca
la expresión a continuación
VECTOR(CATALAN(n),n,1,10)
Utilizando la de…nición recursiva del los números de Catalán dada en esta
sección es posible construir una función que genere dichos números, es así como
de…niendo la función
c(n):=IF(n = 0, 1, (4 n - 2)/(n + 1)c(n - 1))
y simpli…cando
VECTOR(c(n),n,1,10)
se obtiene
[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796]
58
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS
Capítulo 2
Divisibilidad
Este capítulo continua con el estudio de las propiedades de los enteros y
explora los números primos, los cuales son un componente básico de éste conjunto, los números compuestos y una clase particular de números denominados
números de Fermat.
2.1.
El Algoritmo de la División
El algoritmo de división es una …na aplicación del principio del buen orden y
a menudo se emplea como método de comprobación del proceso de la división.
Suponga que un entero a se divide por un entero positivo b. Entonces se
obtiene un único cociente q y un único residuo (o resto) r, donde el residuo
satisface la condición 0
r < b; a es el dividendo y b es el divisor. Esto
formalmente se establece de la siguiente forma.
Teorema 36 (El Algoritmo de la División) Sea a cualquier entero y b un
entero positivo. Entonces existen enteros únicos q y r tales que
a=b q+r
donde 0
r < b:
Demostración. La prueba consiste en dos partes. Primero se establecera la
existencia de los enteros q y r y luego se mostrará que ellos son únicos.
Demostración de la existencia
Considere el conjunto S = fa bnj(n 2 Z) y (a bn 0)g : Claramente,
S W: Se desea mostrar que S tiene un mínimo elemento. Para este …n, primero
se muestra que S es un subconjunto no vacio de W :
59
60
CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD
Caso 1. Suponga a
0: Entonces a = a
b 0 2 S; así S contiene un elemento.
Caso 2. Suponga a < 0: Ya que b 2 Z+ ; b 1: Entonces
a ba 0: Consecuentemente, a ba 2 S:
ba
a; esto es,
En ambos casos, S contiene al menos un elemento, así S es un subconjunto
no vacío de W: Por tanto, por el principio del buen orden, S contiene un mínimo
elemento r:
Ya que r 2 S, existe un entero q tal que r = a bq; donde r 0:
Por mostrar que r < b :
Se mostrará esto por contradicción. Escogiendo r b: Entonces r b 0:
Pero r b = (a bq) b = a b(q + 1): Ya que a b(q + 1) es de la forma
a bn y es 0; a b(q + 1) 2 S; esto es, r b es más pequeño que r y está en
S: Esto contradice la forma de escoger r; así r < b.
Así, hay enteros q y y talque a = bq + r; donde 0 r < b:
Demostración de la unicidad
Se quiere ahora mostrar que los enteros q y r son únicos. Suponiendo que
hay enteros q; q 0 ; r y r0 tales que a = bq + r y a = bq 0 + r0 ; donde 0 r < b y
0 r0 < b:
Asumiendo, por conveniencia, que q q 0 : Entonces r0 r = b(q q 0 ): Ya que
q q 0 ; q q 0 0 y ya que r0 r 0: Pero, ya que r0 < b y r < b; r0 r < b:
Suponga que q > q 0 ; esto es, q q 0
1: Entonces b(q q 0 )
b; esto es,
r0 r b: Que es una contradicción ya que r0 r < b: Por tanto, q q 0 ; así,
q = q 0 ; y ya que, r = r0 : Luego, los enteros q y r son únicos, completando la
prueba de unicidad.
Aunque tradicionalmente se haya dado a este teorema el nombre de algoritmo
de división, éste no presenta un algoritmo para encontrar q y r. Ellos se pueden
encontrar usando el método largo de la división.
Ejemplo 37 Encuentre el cociente q y el residuo r cuando
1. 207 se divide por 15
2.
23 se divide por 5
Solución.
1. 207 = 15 3 + 12; así q = 13 y r = 12:
2. Ya que 23 = 5 ( 4) + ( 3); se estaría tentado a decir que q = 4 y
r = 3: El residuo, sin embargo, nunca puede ser negativo. Pero 23 se
puede escribir como 23 = 5 ( 5) + 2; donde 0
r(= 2) < 5 (Ver la
recta numérica en la Figura 2.1). De esta forma, q = 5 y r = 2:
2.1. EL ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
Figura 2.1: Ilustración de la division de
61
23 entre 5 en la recta numérica.
Puede notarse que la ecuación a = bq + r puede escribirse
a
r
=q+ ;
b
b
donde 0
r=b < 1: Consecuentemente, q = ba=bc y r = a
bq = a
b ba=bc :
Operadores Div y Mod
Los operadores binarios, div y mod, son frecuentemente usados en el área de
las matemáticas discretas y computacionales para encontrar cocientes y residuos.
Se pueden de…nir de la siguiente forma:
a div b
a mod b
= cociente cuando a se divide entre b
= residuo cuando a se divide entre b
Por ejemplo, 23 div 5 = 4; y 23 mod 5 = 3; 23 div 5 =
como se argumentó en el ejemplo anterior.
De las de…niciones anteriores se puede escribir
5; y
23 mod 5 = 2;
q = a div b = ba=bc
y
r = a mod b = a
bq = a
b ba=bc :
El Principio del Palomar y el Algoritmo de la División
El principio del palomar es también conocido como el principio de las
cajas de Dirichlet luego de que el matemático alemán Gustav Peter Lejeune
Dirichlet lo usara extensivamente en sus trabajos sobre teoría de números. Este
principio puede ser utilizado en variadas situaciones.
Suponga m palomas volando hacia n palomares, donde m > n: ¿Cuál es su
conclusión? Ya que hay más palomas que palomares, al menos dos palomas se
posarán en el mismo palomar; en otras palabras, hay palomares que contendrán
dos o más palomas.
Se establecerá y probará a continuación una versión simple del principio de
palomar.
62
CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD
Teorema 38 (El Principio del Palomar) Si m palomas son asignadas a
n palomares, donde m > n; entonces al menos dos palomas ocupan el mismo
palomar.
Demostración. (por contradicción) Suponga que la conclusión es falsa; esto
es, no hay dos palomas que ocupan el mismo palomar. Entonces toda paloma
puede ocupar un distinto palomar, así n
m; lo cual contradice la hipótesis
que m > n. Así, dos o más palomas ocupan el mismo palomar.
Ejemplo 39 El principio del palomar permite probar que en nuestra ciudad
existen dos personas que tienen el mismo número de pelos en la cabeza. La
situación se puede argumentar de la siguiente manera, suponga que una persona
tiene a lo más 150.000 pelos en la cabeza, habrán calvos (0 pelos en la cabeza),
personas con tendencia a la calvicie (digamos 100 pelos en la cabeza), en …n,
ellos se podrían clasi…car dependiendo del número de pelos en la cabeza. Suponga
que en un primer cuarto entran todos los calvos, en un segundo cuarto entran
los que tienen un pelo y así sucesivamente en el último cuarto entran los que
tienen 150 mil pelos. De esta forma se tendrían 150.001 cuartos en donde están
todos los habitantes de nuestra ciudad. Bajo estos supuestos, si nuestra ciudad
tiene más de 150.001 habitantes1 , por el teorema del palomar, necesariamente
debe existir un cuarto que tiene al menos dos personas, esto es, tienen la misma
cantidad de pelos en la cabeza.
A continuación se presenta la relación de divisibilidad.
La Relación de Divisibilidad
Suponga que en el algoritmo de la división r = 0: Entonces a = bq + 0 = bq:
Se puede a…rmar que b divide a a; b es factor de a; a es divisible por b; o a es
un múltiplo de b; y se escribe bja: Si b no es factor de a; se escribe b - a:
Por ejemplo, 3j12; 5j30; pero 6 - 15:
Ejemplo 40 Sea b un entero
2: Suponga que b + 1 enteros se seleccionan
aleatoriamente. Probar que la diferencia de dos de ellos es divisible por b:
Solución. Sea q el cociente y r el residuo cuando un entero a se divide
por otro entero b: Entonces, por el algoritmo de la división, a = bq + r; donde
0 r < b: Los b + 1 enteros dan b + 1 residuos (palomas), pero hay solamente
b posibles residuos (palomares). Por tanto, por el principio del palomar, dos de
los residuos deben ser iguales.
1 La siguiente página de Internet permite, oprimiendo la tecla F5, saber cuántos habitantes
tiene la ciudad de Bogotá en un instante, en el momento en que se escribe este texto hay
7.261.523 habitantes:
http://www.sdp.gov.co:8443/www/formula_contador.php
2.1. EL ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
63
Sean x y y los corrrespondientes enteros. Entonces x = bq1 + r y y = bq2 + r
para algunos cocientes q1 y q2 : Por tanto,
x
así, x
y
= (bq1 + r) (bq2 + r)
= b (q1 q2 )
y es divisible por b:
Un Acertijo Intrigante
Piense en un número de tres dígitos abc: Multiplique el número abc y sus
sucesivas respuestas por 7; 11 y 13; respectivamente. Su respuesta es el número
abcabc: ¿Sorprendido? ¿Puede usted explicar el porqué de este resultado?
A continuación se estudian varias propiedades de la divisibilidad. Se deja al
lector sus pruebas como ejercicios.
Teorema 41 Sean a y b enteros positivos tales que ajb y bja: Entonces a = b:
Teorema 42 Sean a; b, c,
enteros cualesquiera.2 Entonces
y
1. Si ajb y bjc; entonces ajc: (Propiedad Transitiva)
2. Si ajb y ajc; entonces aj( b + c):
3. Si ajb; entonces ajbc:
Observación La expresión b + c se llama combinación lineal de b y c:
Así, por la parte 2, si a es un factor de b y c; entonces a es también combinación
lineal de b y c: En particular, aj(b + c) si
= = 1 y aj(b c) si
=1 y
= 1:
La función piso puede usarse para determinar el número de números enteros
positivos menores o iguales que un número entero positivo a y divisible por un
número entero positivo b, como el siguiente teorema muestra.
Teorema 43 Sean a y b enteros positivos. Entonces el número de enteros positivos a y divisible por b es ba=bc :
Demostración. Suponga que hay k enteros positivos
a y divisibles por b:
Se necesita mostrar que k = ba=bc : Los múltiplos positivos de b menores o
iguales que a son b; 2b; :::; kb: Claramente, kb a; esto es, k a=b: Más aun,
(k + 1)b > a: Así, k + 1 > a=b o a=b 1 < k: Por lo tanto,
a
b
2
y
1<k
son las letras griegas alfa y beta.
a
:
b
64
CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD
Así, k es el más largo entero menor o igual a a=b; luego k = ba=bc :
Por ejemplo, el número de enteros positivos
2076 y divisibles por 19 es
b2076=19c = b109; 26316c = 109:
A continuación, se consideraran algunos aspectos de conjuntos y de el principio de inclusión-exclusión.
Unión, Intersección y Complemento
Sea A un conjunto …nito y sea jAj el número de elementos en A: Por ejemplo,
si A = f3; 5; 8; 17g ; entonces jAj = 4: (En el Capítulo 1, se utilizó las barras
verticales para denotar el valor absoluto de un número, pero aqui denotará el
número de elementos en un conjunto. El signi…cado de la notación debe poder
deducirse dependiendo del contexto.)
Sean A y B dos conjuntos . Su unión A [ B es el conjunto de elementos
pertenecientes a A o a B; su intersección A \ B consiste en los elementos
comunes; A0 denota el complemento de A; esto es, el conjunto de elementos en
el conjunto universal que no están en A:
A continuación se estudiará el principio de inclusión-exclusión.
Teorema 44 (El Principio de Inclusión-Exclusión) Sean A1 ; A2 ; :::; An n
conjuntos …nitos. Entonces
n
[
i=1
Ai
=
X
1 i n
+
jAi j
X
1 i<j n
X
1 i<j<k n
jAi \ Aj j
jAi \ Aj \ Ak j
n+1
+ ( 1)
n
\
Ai :
i=1
Los siguientes dos ejemplos son simple aplicaciones de este teorema.
Ejemplo 45 Encuentre el número de enteros positivos
ambos, 4 y 5:
Solución. Sea
2076 y divisibles por
A = fx 2 Njx
2076 y divisibles por 4g
B = fx 2 Njx
2076 y divisibles por 5g :
y
Entonces
jA [ Bj = jAj + jBj jA \ Bj
= b2076=4c + b2076=5c b2076=20c
= 519 + 415 103 = 831:
2.1. EL ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
65
Así, entre los primeros 2076 números enteros positivos, hay 2076 831 = 1245
números enteros no divisibles por 4 o 5.
Ejemplo 46 Encuentre el número de enteros positivos 3000 y divisibles por
3; 5 o 7:
Solución. Sean A, B y C los conjuntos enteros positivos 3000 y divisibles
por 3; 5 o 7: Por el principio de inclusión-exclusión,
jA [ B [ Cj = jAj + jBj + jCj jA \ Bj jB \ Cj jA \ Cj + jA \ B \ Cj
= b3000=3c + b3000=5c + b3000=7c b3000=15c
b3000=35c b3000=21c + b3000=105c
= 1629:
Ahora se retornará al algoritmo de la división y se discutirá sobre algunas
propiedades de la divisibilidad que envuelve enteros pares e impares.
Enteros Pares e Impares
Suponga que en el algoritmo de la división se hace b = 2: Entonces se tiene
a = 2q + r; donde 0 r < 2: Así, r = 0 o r = 1: Cuando r = 0; a = 2q; tales
enteros son enteros pares. Cuando r = 1; a = 2q + 1; tales enteros son enteros
impares. Se sigue de esta de…nición que todo entero es uno de dos, par o impar,
pero no ambos.
Los Pitagóricos consideraron los números impares como masculinos y buenos,
y los números pares como femeninos y malos. El número 1 no fue considerado ni
masculino ni femenino. El número 5; es la suma del primer número masculino y
el primer femenino, por tanto fue considerado como el símbolo del matrimonio.
Algunos …lósofos, soportados por la temprana teología cristiana, identi…caron
los números con Dios.
Las siguientes propiedades también fueron conocidas por los Pitagóricos. Su
demostración se propone como ejercicio.
La suma de dos enteros pares es par.
El producto de dos enteros pares es par.
La suma de dos enteros impares es par.
El producto de dos enteros impares es impar.
La suma de un entero par y uno impar es impar.
El producto de un entero par y uno impar es par.
Si el cuadrado de un entero es par, entonces el entero es par.
Si el cuadrado de un entero es impar, entonces el entero es impar.
66
CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD
Ejercicios 2.1
Encuentre el cociente y el residuo cuando el primer entero se divide por el
segundo.
1. 78; 11
2. 57; 75
3.
325; 13
4.
23; 25
Denote con f (n) el número de factores positivos del entero n: De esta
forma evalue.
5. f (16)
6. f (12)
7. f (15)
8. f (17)
Encuentre el número de enteros positivos
3076 y
9. Divisibles por 19
10. Divisibles por 23
11. No divisibles por 17
12. No divisibles por 24
Encuentre el número de enteros positivos en el rango de 1976 hasta 3776
que son
13. Divisibles por 13
14. Divisibles por 15
15. No divisibles por 17
16. No divisibles por 19
Marque como verdadero o falso, suponiendo que a; b y c son enteros arbitrarios.
17. 1ja
18. Si ajb; entonces aj
b
19. aj0
20. Si ajb y bja; entonces a = b:
21. Si ajb; entonces a < b:
2.1. EL ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
67
22. Si ajb; entonces ajb:
23. Si ajb y bjc entonces ajc:
24. Si a - b; entonces b - a:
25. Cero no divide ni a pares ni a impares.
26. No hay ningún residuo cuando un entero par se divide por 2:
Probar o refutar cada proposición, asumiendo a; b y c son enteros arbitrarios.
27. Si a2 = b2 entoces a = b.
28. Si ajb y bja; entonces a = b:
29. Si aj(b + c); entonces ajb y ajc:
30. Si ajbc entonces ajb y ajc:
Evalue asumiendo d entero positivo.
P
31.
dj12 d
P
32.
dj12 1
P
1
33.
dj18 d
P
18
34.
dj18 d
35. Un número desnudo es un número natural n tal que cada uno de sus dígitos
es un factor de n: Encuentre los números desnudos impares de tres dígitos
que no contienen dígitos repetidos.
Sea f una función de…nida recursivamente por
f (n) =
1
si 3jn
f (n + 1) en otro caso
36. Encuentre f (16)
37. Encuentre una formula explícita para f (n):
Probar cada proposición, asumiendo a y b son enteros positivos.
38. Si ajb y bja; entonces a = b.
39. Si ajb y cjd; entonces acjbd.
40. La suma y el producto de cualquier dos enteros pares son pares.
68
CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD
DERIVE. Laboratorio 8
Objetivo
En el presente taller se explorará la función MOD(m,n) y se construirá con
base en esta la función DIV(m,n)
Algunas funciones requeridas
La función MOD(m,n) se simpli…ca al residuo no negativo de dividir m entre
n. Así cuando se divide 23 entre 5, como se vió en el Ejemplo 37, el residuo es
2, de esta forma al simpli…car
MOD(-23,5)
se obtiene 2.
Actividades
Para de…nir el operador DIV se procede de la siguiente forma, ya que DIV
es una función reservada para Derive se utilizará como nombre de la función
Q(m,n),
Q(m,n):=FLOOR(m/n)
así
Q(-23,5)
se simpli…ca al cociente de dividir 23 entre 5, es decir a 5.
Con este par de funciones así de…nidas se construira una función que dados
dos números el divisor y el dividendo arroje como resultado un vector de dos
componenetes que cuyas componentes sean la cociente y el residuo, soportado
por el algoritmo de la división. Llamando la función AD(a,b) en donde a es el
divisor y b el dividendo se tiene que,
AD(a,b):=[Q(a,b),MOD(a,b)]
Por tanto si se le pide a Derive que simpli…que AD(-23,5) el programa arrojará
[-5, 2].
2.2. CONFIGURACIONES NUMÉRICAS
2.2.
69
Con…guraciones Numéricas
Las con…guraciones de números son una diversión tanto para a…cionados como para profesionales. A menudo el interés recae en añadir una o dos …las al
modelo construido, entonces se debe tener capacidad para reconocer el modelo
para tener éxito en el arte de razonamiento inductivo. Esto requiere tanto habilidad como ingenio. En dos de los siguientes ejemplos, pruebas matemáticas
establecen la validez del modelo.
La siguiente fascinante con…guración numérica fue publicada en 1882 por el
matemático francés François-Edouard-Anatole Lucas.
Ejemplo 47 Estudie la siguiente con…guración numérica y adicione dos o más
líneas.
1
12
123
1234
12345
123456
9+2
9+3
9+4
9+5
9+6
9+7
=
=
=
=
=
=
11
111
1111
11111
111111
1111111
..
.
Solución. Aunque el modelo aquí sea muy obvio, se hacen unas observaciones, se estudia, se buscar un comportamiento similar, y se aplica el modelo
para añadir dos líneas más:
El LMI de cada ecuación es la suma de dos números. El primer número
es el producto del número 123:::n y 9.
El valor de n en la primera ecuación es 1, en la segunda es 2, en la tercera
es 3, etc.
Observando los segundos sumandos en el LMI: 2; 3; 4; 5; :::: Esta es una
secuencia creciente que comienza en 2, así el segundo sumando en la
n ésima ecuación es n + 1.
El LMD de cada ecuación es un número cada vez mayor de 1s, la n ésima
ecuación contiene n + 1 unos.
Así, el
el segundo
compuesto
Así las
modelo que es: El primer número en la línea n ésima es 123:::n;
número es siempre 9; el segundo sumando es n + 1; y el LMD está
de n + 1 unos.
dos siguientes líneas son
1234567 9 + 8
12345678 9 + 9
=
=
11111111
111111111
70
CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD
Ejemplo 48 Estudie la con…guración numérica y adicione dos o más …las:
1
12
123
1234
12345
123456
8+1
8+2
8+3
8+4
8+5
8+6
= 9
= 98
= 987
= 9876
= 98765
= 987654
..
.
Solución. Un mirada a varias …las revela el modelo siguiente: El primer
factor del producto en el LMI de la ecuación n ésima tiene la forma 123:::n; el
segundo factor es siempre 8. El segundo sumando en la ecuación es n. El número
en el LMD de la ecuación n ésima contiene n dígitos, cada uno comienza con
el dígito 9, y de izquierda a derecha cada dígito disminuye en 1.
Así las dos siguientes líneas de la con…guración son
1234567 8 + 7
12345678 8 + 8
= 9876543
= 98765432
¿Qué garantiza que estos dos modelo se sostendrán? En general, las conclusiones alcanzadas después de la observación del modelo no tienen que ser
verdaderas. En otras palabras, el razonamiento inductivo no necesariamente
nos conduce a conclusiones verdaderas.
Por ejemplo, considere la secuencia 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6:::: Claramente, hay un
modelo. ¿Cuál es el siguiente número en la secuencia? ¿Es el 7? Éste es seguramente una posibilidad, pero el siguiente número también podría ser 0 para
obtener el modelo 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 0; 1; 2::::
Por suerte, es posible establecer la validez de cada modelo usando pruebas
matemáticas, como lo muestran los dos ejemplos siguientes.
Ejemplo 49 Establezca la validez del Ejemplo 47.
Demostración. Se quiere probar que
123:::n
9 + (n + 1) = 11
: : 11}
| :{z
n+1 un os
2.2. CONFIGURACIONES NUMÉRICAS
LMI
= 123:::n 9 + (n + 1)
= 9 1 10n 1 + 2 10n
=
=
n 1
(10
1) 1 10
n
n 1
10 + 2 10
n
n 1
= 10 + 10
= |11 :{z
: : 11}
2
+ 3 10n
n 2
+ 2 10
+
n 2
+ 10
71
3
+ n + (n + 1)
+ 3 10
+ n 10
+
+
10
n 3
n 1
+
+ n + (n + 1)
+ 2 10n
2
+
+ n + (n + 1)
+ 10 + 1
n+1 unos
= LMD
(Sería interesante ver si este resultado se mantiene para cualquier entero positivo n; inténtelo.)
Se estudiará un ejemplo adicional.
Ejemplo 50 Adicione dos o más …las en el siguiente modelo, conjeture una
formula para la n ésima …la, y pruebela:
9
98
987
9876
98765
9 + 7 = 88
9 + 6 = 888
9 + 5 = 8888
9 + 4 = 88888
9 + 3 = 888888
..
.
Solución.
Las siguientes dos …las de con…guraciones son
987654 9 + 2
9876543 9 + 1
=
=
8888888
88888888
La con…guración general esta dada por
987:::(10
n) 9 + (8
n) = 888
: : 888}; 1
| :{z
n+1 ochos
Para probar la conjetura:
n
8
72
CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD
Demostración.
LMI
= 987:::(10 n) 9 + (8 n)
= (10 1)[9 10n 1 + 8 10n 2 + 7 10n 3 +
+ (11 n)10
+(10 n)] + (8 n)
= [9 10n + 8 10n 1 +
+ (11 n)102 + (10 n)10]
n 1
n 2
[9 10
+ 8 10
+
+ (11 n)10 + (10 n)] + (8 n)
n
n 1
n 2
= 9 10
(10
+ 10
+
+ 10) (10 n) + (8 n)
n
n 1
n 2
= 9 10
(10
+ 10
+
+ 10 + 1) 1
= 10 10n (10n + 10n 1 +
+ 10 + 1) 1
=
10n+1
=
8(10n+1
9
10n+1
9
1
1; ya que
k
X
ri =
i=0
1)
rk+1 1
(r 6= 1)
r 1
Pero
10n+1
1 = |99 :{z
: : 99}
n+1 n ueves
así
10n+1
9
Por tanto,
LMI =
8(10n+1
9
1
= 11
: : 11}:
| :{z
n+1 un os
1)
= 88
: : 88} = LMD
| :{z
n+1 ochos
Ejercicios 2.2
Encuentre los siguientes dos elementos de cada secuencia.
1. 1; 3; 6; 10; 15; :::
2. 1; 4; 7; 10; 13; :::
3. 1; 5; 12; 22; 35; :::
4. 1; 6; 15; 28; 45; :::
5. 1; 4; 10; 20; 35; :::
6. 1; 5; 14; 30; 55; :::
7. 1; 1; 2; 3; 5; 8; :::
Adicione dos o más …las a cada con…guración numérica.
2.2. CONFIGURACIONES NUMÉRICAS
73
8.
0+1
1+3
4+5
9+7
=
=
=
=
1
4
9
16
1
1+2
1+2+3
1+2+3+4
=
=
=
=
9.
1
3
6
10
10.
1+0
1+1
1+2
1+3
1
3
4
5
=
=
=
=
1
4
9
16
=
=
=
=
1
2
3
4
11.
23
33
43
53
2
3
4
5
2
3
4
5
3
4
5
6
12.
1 1
11 11
111 111
1111 1111
11111 11111
=
=
=
=
=
1
121
12321
1234321
123454321
7 7
67 67
667 667
6667 6667
66667 66667
=
=
=
=
=
49
4489
444889
44448889
4444488889
13.
74
CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD
14.
123456789 9 =
123456789 18 =
123456789 27 =
123456789 36 =
123456789 45 =
111111111
222222222
333333333
444444444
555555555
15.
4 4
34 34
334 334
3334 3334
33334 33334
=
=
=
=
=
16
1156
111556
11115556
1111155556
102
104
106
108
1010
=
=
=
=
=
91
9901
999001
99990001
9999900001
16.
10 + 1
102 + 1
103 + 1
104 + 1
105 + 1
17-24. Conjeture una formula para la n ésima …la en cada una de las con…guraciones en los ejercicios del 9 al 16.
25-29. Establezca la validez de su formula en los ejercios 17-20 y 24.
2.3.
Números Primos y Compuestos
Los números primos están contenidos en la familia de los números enteros
positivos. Por medio de dos algoritmos que son usados a menudo, podemos
determinar si un número entero positivo es primo. Algunos enteros positivos
tienen exactamente dos factores positivos, otros tienen más de dos. Por ejemplo,
3 tiene exactamente 2 factores positivos, 1 y 3; otros como el 6 tienen por ejemplo
4, estos son: 1, 2, 3 y 6.
Ahora de acuerdo con lo que se ha analizado, se dará la siguiente de…nición:
2.3. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
75
Números Primos y Compuestos
Un entero positivo > 1 es un número primo (o simplemente un primo) si solo
tiene dos factores primos, uno y él mismo. Un entero positivo mayor que uno
que no sea un primo, es un número compuesto (o simplemente un compuesto).
Se notará por de…nición que 1 no es ni número primo, ni tampoco número
compuesto, este es justamente la unidad multiplicativa o la unidad.
Los diez primeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29; los diez
primeros números compuestos son 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16 y 18.
Siguiendo la de…nición, el conjunto de números positivos pueden ser divididos
en tres clases:
El conjunto de los primos, el conjunto de los compuestos, y el conjunto f1g.
¿Cuántos primos hay? ¿Hay alguna forma sistemática para determinar si un
números positivo es primo?
Para responder a la primera pregunta, es necesario el siguiente Lema3 , el
cual se prueba por inducción. Puede también probarse por contradicción.
Lema 51 Todos entero n
2 tienen un factor primo.
Demostración. (induccion fuerte) La proposición dada es claramente cierta
cuando n = 2: Ahora se asumirá que también es verdadera para todos los enteros
positivos n k, donde k
2. Ahora se considerará el entero k + 1.
Caso 1. Si k+1 es un primo, entonces k+1 tiene un factor primo (él mismo).
Caso 2 Si k + 1 no es un primo, k + 1 es un número compuesto, entonces
éste debe tener un factor d k. Ahora, por hipótesis de inducción, d tiene un
factor primo p. Luego, p es un factor primo de k + 1, por el Teorema 42.
Así, por la versión fuerte de inducción, la proposición es verdadera para
todo entero
2; Luego hemos demostrado que todo número entero
2 tiene
un factor primo.
Puede probarse que hay un número in…nito de primos. Este resultado elegante presentado por Euclides, es muy usado en teoría de números. Se usará
esencialmente su técnica proveniente del libro IX de los Elementos, para su
prueba. Pueden observarse pruebas alternativas de este resultado.
Teorema 52 Hay in…nitos números primos.
Demostración. (por contradicción) Asuma que hay un número …nito de
primos, p1 ; p2 ; :::; pn . Considere el entero N = p1 ; p2 :::pn + 1: Ya que N 2, por
Lema 51 N es divisible por algún primo pi , donde 1
i
n. Ya que pi jN y
pi jp1 p2
pn ; entonces pi j(N p1 p
pn ), por el Teorema 42; es decir, pi j1 lo
cual es imposible.
Así, la suposición hecha es falsa, por tanto tienen que haber in…nitos números
primos.
3 Un
lema es un menor resultado usado para probar un teorema.
76
CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD
La prueba de este teorema gira en la escogencia del número En = p1 p2 :::pn +
1, donde pi denota el i ésimo primo e i 1. Los primeros 5 valores de En son
E1 = 3; E2 = 7; E3 = 31; E4 = 211 y E5 = 2311, todos primos. Desafortunadamente, no todos los valores de En son primos. En 1996 A. A. K. Majumdar de
la universidad Jahangirnagar , Bangladesh estableció un cota superior para En ,
cuando n 6: En < (pn+1 )n 2 : Esto se puede establecer usando inducción.
Primos y Pi
Ahora se hace una interesante disgresión. En 1734 el gran
P matemático suizo
Leonard Euler mostró que la suma de primos recíprocos p p1 diverge. Sin emQ
bargo, el producto in…nito
1 p12 converge a un límite . De hecho, puede
p
mostrarse que
1
X
1
1
1
1
= 2+ 2+ 2+
:
2
n
1
2
3
n=1
P1
2
En 1734 Euler también mostró que n=1 n12 = 6 entonces
Q
Así pues, p 1 p12 = 62
0;6079271018:
1
=
=
6 4
2
:
Ahora que ya se sabe que hay un número in…nito de primos, ¿puede encontrarse algoritmos para determinar la primalidad de enteros
2?. El gran
matemático alemán Gauss escribió en 1801 en Disquisitiones Arithmeticae:“ El
problema de distinguir número primos de números compuestos... se conoce por
ser uno de los más importantes y útiles en la aritmética... Mas allá, la dignidad
de la ciencia en si requiere que todo posible signi…cado sea explorado para la
solución de un problema muy elegante y muy celebrado”. Afortunadamente, hay
un algoritmo que está basado en siguiente resultado.
Teorema 53 Todo numero compuesto n tiene un factor primo
p
b nc :
Demostración. Ya que n es compuesto, hay enteros p
positivos apy b tales que
n y bp> n. Entonces
n = ab, donde
1
<
a
<
n
y
1
<
b
<
n
Suponga
a
>
p p
p
n = ab > n n = n, lo cual es imposible. Por lo tanto,pa
n o bp
n. Ya
que ambos, a y b son enteros. de esto se sigue que a b nc o b b nc.
Por Lema 51 todo entero positivo 2 tiene un factor primo. Tal factor de a
obp
también es un factor de a b = n, por lo tanto n debe tener un factor primo
b nc :
Observación
Se sigue del Teorema anterior que si n no tiene factores
p
primos b nc ; entonces n es un número primo; en otro caso, n es un número
compuesto.
Este hecho puede usarse para determinar cuando un entero n
como en el siguiente ejemplo.
4
es la letra griega nu.
2 es primo,
2.3. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Ejemplo 54 Determinar si 1601 es un número primo.
Solución. Primero se lista todos los números primos
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 y 37.
77
p
1601 . Estos son
Dado que ninguno es factor de 1601, es un número primo.
La Criba de Eratóstenes
El Teorema 53 también es la base de un antiguo algoritmo, la “Criba” de
Eratóstenes, usado para encontrar todos los primos
a un entero positivo n.
Es un e…ciente algoritmo para n < 106 . Se Ilustra el mecanismo de la “Criba”
para n = 100 en la Figura 2.2.
Para encontrar todos los primos
100, primero se enlistan todos los enteros positivos del 1 al 100. Entonces eliminamos al 1 y a todos los números
compuestos 100 como sigue. Por el p
Teorema 53, cualquier número compuesto
100 debe tener un factor primo
100 , que es, 10. Pero los primos 10
son 2; 3; 5; 7, entonces los números compuestos
100 son aquellos números
positivos divisibles por alguno de ellos.
Para eliminar los no primos de la lista primero se comienza con el 1 ya que no
es primo (coloreamos con gris su recuadro), ahora a todos los múltiplos de 2; 3;
5; 7 pero no a ellos ya que son primos. Los números ya eliminados no necesitan
ser sombreados nuevamente. Los que quedan son los primos 100.
Hay 25 números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,
59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Aunque la “criba” parezca un buen proceso,
a medida que n crezca el método se hace ine…ciente. De hecho, no existe un
método práctico para probar la primalidad de números grandes.
Teóricos de los números a menudo sueñan con encontrar formulas que generen
números primos para valores consecutivos de un variable entera n. Euler encontró una formula en 1772: E(n) = n2 n + 41 la cual sirve para enteros positivos
Figura 2.2: Criba de Eratóstenes
78
CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD
n 40. Pero cuando n = 41; E(41) = 412 41 + 41 = 412 que no es un número
primo.
En 1798 Adrien-Marie Legendre (1752–1833) encontró la formula L(n) =
n2 + n + 41 que puede generar primos cuando 1
n
40. Note que L(n) =
E( n). Sin embargo, nadie nunca ha construido con éxito un polinomio f (n)
que genere números primos para todos los enteros n. La raazón se aclara en el
siguiente ejemplo:
Ejemplo 55 Probar que no existe un polinomio con coe…cientes enteros que
genere primos para todo entero n:
Demostración. (por contradicción) Suponga que existe tal polinomio, f (n) =
ak nk + ak 1 nk 1 + ::: + a1 n + a0 , donde ak 6= 0. Sea b un entero. Ya que f (n)
es siempre un primo, f (b) debe ser un primo p; esto es,
f (b) = ak bk + ak
1b
k 1
+ ::: + a1 b + a0 = p
(2.1)
Sea t un entero arbitrario. Entonces
f (b + tp)
= ak (b + tp)k + ak 1 (b + tp)k 1 +
+ a1 (b + tp) + a0
k
k 1
= (ak b + ak 1 b
+
+ a1 b + a0 ) + p g(t)
donde g(t) es un polinomio en t: Así,
f (b + tp)
= p + pg(t), por la ecuación (2.1)
= p[1 + g(t)]
Entonces pjf (b + tp). Pero todo valor de f es primo, luego f (b + tp) debe ser
primo y de ahí f (b + tp) = p. Así, f (b) = p = f (b + tp). Esto implica que f
toma en el mismo valor in…nitamente veces, ya que t es un entero arbitrario.
Pero f (n) es un polinomio de grado k; entonces no puede asumir el mismo
valor más de k veces, siendo esto una contradicción.
Así pues, no existe ningún polinomio con coe…cientes enteros que genere solo
números primos.
Una Función Teórico-Numérica
Sea x un número real positivo. Entonces (x) denota el numero de primos
x.
Por ejemplo, (10) = 4; (28;75) = 9 y (100) = 25.
Usando la notación de sumatoria (x) se puede de…nir como:
X
(x) =
1; donde p denota un primo.
p x
La siguiente fórmula para (n) donde n es un entero positivo, puede ser
establecida usando el principio de inclusión-exclusión. Su prueba es complicada
y aquí se omite.
2.3. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Teorema 56 Sea p1 ; p2 ; :::; pt ser primos
(n)
= n
p
1 + ( n)
X
i<j<k
p
79
n. Entonces
X n
X n
+
pi
p i pj
i
i<j
n
n
+ ::: + ( 1)t
pi pj pk
p1 p2 :::pt
El siguiente ejemplo ilustra el resultado.
Ejemplo 57 Usando el teorema 2.10 encontrar el número de primos 100.
Solución.
p
p
Aquí n = 100: Entonces ( n) = ( 100) = (10) = 4; Hay 4 primos
10, son 2; 3; 5; 7 llamémoslos p1 ; p2 ; p3 ; and p4 , respectivamente. Entonces por
el teorema 2.10
(100)
100
100
100
100
+
+
+
2
3
5
7
100
100
100
100
100
100
+
+
+
+
+
+
2 3
2 5
2 7
3 5
3 7
5 7
100
100
100
100
+
+
+
2 3 5
2 3 7
2 5 7
3 5 7
100
+
2 3 5 7
= 103 (50 + 33 + 20 + 14) + (16 + 10 + 7 + 6 + 4 + 2) (3 + 2 + 1 + 0) + 0
= 25
= 100
1+4
Lo cual es consistente con la deducción hecha a partir de la criba de Erastótenes.
Aunque la fórmula para (n) en el Teorema 56 es elegante en el sentido que
da el número exacto de cantidad de primos, no es muy práctica cuando n es muy
grande. Es aquí donde el teorema del número primo, uno de los más celebrados
resultados en teoría de números, llega a ser extremadamente útil. Este da un
valor aproximado de (n ), cuando n es muy grande.
Teorema 58 (El Teorema del Número Primo)
lm
x!1
(x)
=1
x= ln x
Esto es, mientras x se haga mas grande (x) se aproxima a x= ln x:4
4 ln x
denota el logaritmo natural de x:
80
CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD
Gauss notó la similitud entre los valores de (x) y x= ln x, mientras x se haga
más grande y conjeturó el teorema en 1793, pero no dió una prueba. En 1850 el
matematico ruso Pafnuty Lvovich Chebychev hizo signi…cativos progresos hacia
la prueba, el probó que existen constantes positivas tales que
a
donde x
x
x
< (x) < b
ln x
ln x
2:
En 1870, el matemático alemán Ernest Meissel (1826-1895) mostró que hay
5;761;455 números primos menores que 108 . En 1893, cien años después de
la conjetura de Gauss, el matemático danés N. P. Bertelsen a…rmó que hay
50;847;478 números primos menores que 109 . En 1959, sin embargo, Derrick
H.Lehmer (1905-1991) mostró que la respuesta de Bertelsen era incorrecta y
que el número correcto era 50;847;534. También mostro que existen 455;052;512
menores que 1010
En 1896, sin embargo, el matemático Frances Jacques Hadamard (1865-1963)
y el matemático Belga Charles-Jean-Gustave-Nicholas de la Valleé-Poussin (18661962), trabajando independientemente, probó el teorema usado matemáticas
avanzadas.
Esta prueba era un jalón en el desarrollo de teoría de los números. Pero en
1950, el matemático húngaro Paul Erdös (1913-1996) y el matemático noruego
Alte Selberg (1917-) demostró el teorema usando cálculo elemental.
Según el teorema de número primo, cuando x es su…cientemente grande,
(x) puede ser aproximado por x= ln x (mirar columnas 2 y 3 en la Tabla 2.4).
Pero una mejor aproximación es la función li (x), de…nida por Gauss en 1792 a
la edad de 15 años,
Z x
dt
li (x) =
ln
t
2
Se pude notar en la tabla que
(x)
x= ln x :
que
de x:
(x)
li (x)
se aproxima a 1 más rápidamente
En efecto, li (x) es una aproximación superior para valores pequeños
x
103
104
105
106
107
108
109
1010
(x)
168
1229
9592
78498
664579
5761455
50847534
455052512
(x)
x= ln x
(x)
li (x)
1;160
1;132
1;104
1;085
1;071
1;061
1;054
1;048
0;9438202
0;9863563
0;9960540
0;9983466
0;9998944
0;9998691
0;9999665
0;9999932
2.3. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
81
En 1985, sin embargo, R. H. Hudson de la Universidad de Carolina del sur
mostró que no es verdad para valores arbitrarios de x. Cuatro años después, C.
Bays de la Universidad de Carolina del Sur y Hudson mostraron que (x) > li(x)
en la vecindad de 1;39822 10316 :
Aunque se haya establecido la in…nitud de los números primos, ¿Qué se
puede decir acerca de la distribución de los primos? ¿Cómo se distribuyen entre
los enteros positivos? ¿Hay enteros consecutivos que son primos? ¿Hay enteros
impares consecutivos que son primos?.
Primero, no hay pauta para distribuir los primos. Por ejemplo, 2 y 3 son los
únicos dos enteros consecutivos que son primos. También se sabe que 3, 5, y 7
son los único tres enteros impares consecutivos que son primos. Aunque hay sólo
dos enteros consecutivos que son primos, nosotros podemos encontrar cualquier
número de enteros consecutivos que son números compuestos, como nos muestra el siguiente teorema. Este teorema muestra que los primos se encuentran
en intervalos imprevisibles. Su prueba es una prueba de existencia, así que se
necesita porporcionar n de tales números compuestos.
Teorema 59 Para todo entero positivo n, hay n enteros consecutivos que son
números compuestos.
Demostración. Considere n enteros consecutivos (n+1)!+2; (n+1)!+3; :::; (n+
1)! + (n + 1), con n 1. Suponga que 2 k n + 1, entonces kj(n + 1)!, así
kj[(n + 1)! + k], por Teorema 42, para cada k. Por lo tanto, cada uno de ellos
son un número compuesto.
Así, los n enteros consecutivos (n + 1)! + 2; (n + 1)! + 3; :::; (n + 1)! + (n + 1)
son compuestos.
El ejemplo siguiente ilustra el teorema.
Ejemplo 60 Encuentre seis enteros cosecutivos que sean compuestos.
Solución. Por el Teorema 59, hay seis enteros consecutivos que empiezan
con (n + 1)! + 2 = (6 + 1)! + 2 = 5042, a saber, 5042, 5043, 5044, 5045, 5046 y
5047: Aunque la cadena consecutiva más pequeña y que puede verse en la Figura
2.2 es 90, 91, 92, 93, 94, y 95.
Ejercicios 2.3
Marque verdadero o falso, asumiendo a, b, d y n son enteros positivos arbitrarios.
1. Un entero positivo no primo es compuesto.
2. Un entero positivo no compuesto es un primo.
3. Todo primo es impar.
82
CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD
4. No hay primos mayores que googolplex.5
5. Si p es primo entonces p + 2 es un primo.
6. Si p es primo entonces p2 + 1 es un primo.
7. Hay in…nitos números primos.
8. Hay un in…nito número de números compuestos.
9. Si p es primo tal que pjab; entonces pja o pjb:
10. Hay primos de la forma n! + 1
Determine si cada número es primo o compuesto.
11. 129
12. 217
13. 1001
14. 1729
Usando el Teorema 56, calcule el número de primos
de n:
n para cada valor
15. 47
16. 61
17. 96
18. 131
19. Encuentre cinco enteros consecutivos < 100 que sean números compuestos.
Encuentre n enteros consecutivos que sean compuestos para cada valor de
n:
20. siete
21. ocho
22. nueve
23. diez
24. Liste los primos de la foma n2 + 1 y < 100:
Encuentre los factores positivos en cada caso, asumiendo p y q primos
distintos.
5 Un googolplex es un número desmesuradamente elevado que corresponde a 10 elevado a
100
un googol, es decir, 10g o o g o l ó 1010
(un 1 seguido de googol ceros).
2.3. NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
83
25. pq
26. p2 q
27. pq 2
28. p2 q 2
Sea q1 = 2 y qn = q1 q2
qn
1
+ 1; donde n
2:
29. Encuentre los cuatro primeros primos de la forma qn
30. Encuentre los números compuestos más pequeños de la forma qn :
31. De…na qn recursivamente.
Probar.
32. 2 y 3 so los dos únicos enteros consecutivos que son primos.
33. 3, 5 y 7 son los tres únicos enteros impares consecutivos que son primos.
34. Si p y p2 + 8 son primos, entonces p3 + 4 es también un primo. (D. L.
Silverman, 1968)
35. Si p es primo y 1
k
p; entonces pj
p
k
36. Sean p y q primos impares sucesivos y p+q = 2r: Entonces r es compuesto.
(J. D. Baum, 1966)
84
CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD
DERIVE. Laboratorio 9
Objetivo
En el presente taller se explorará diversas funciones que tienen que ver con
números primos, la funciones PRIME?(m), NEXT_PRIME(m) y PREVIOUS_PRIME(m).
Algunas funciones requeridas
Algunas funciones que involucran primos en Derive se relacionan a continuación:
NTH_PRIME(n): se simpli…ca al n ésimo número primo.
PRIME?(m): se simpli…ca "true"(verdadero) si m es primo; a "false"(falso)
si m no es primo.
NEXT_PRIME(m): se simpli…ca al siguiente número primo mayor que m.
PREVIOUS_PRIME(m): se simpli…ca al primer número primo menor que m si
existe; en caso contrario se simpli…ca a ?.
Actividades
Anidando dos funciones VECTOR es posible construir una matriz, por ejemplo
la orden
VECTOR(VECTOR(i+j,i,0,20,5),j,1,5)
se simpli…ca a una matriz de 5 5 con los números del 1 al 25. Anidando en la
orden anterior la función NTH_PRIME(n) en el argumento de la misma es posible
generar una matriz con los primeros 25 números primos, esto es, simpli…cando
la orden
VECTOR(VECTOR(NTH_PRIME(i+j),i,0,20,5),j,1,5)
cuyo resultado es
0
2
B3
B
B5
B
@7
11
13 31
17 37
19 41
23 43
29 47
1
53 73
59 79C
C
61 83C
C
67 89A
71 97
A continuación se creará una función denominada test(n) que se simpli…ca a
la frase “es primo” o “es compuesto” dependiendo del valor de n,
test(n):=IF(PRIME?(n) = true, “es primo” , “es compuesto”)
así, por ejemplo al simpli…car test(5) devuelve es primo mientras que test(5)
devuelve es compuesto. La orden
VECTOR([i + 1, test(i + 1), i + 11, test(i + 11), i + 21,
test(i + 21), i + 31, test(i + 31), i + 41, test(i + 41)], i, 1, 10)
devuelve una matriz de 10 10 con los números del 2 al 51 frente a los cuales
se dice si cada uno es primo o compuesto.
2.4. NÚMEROS DE FERMAT
2.4.
85
Números de Fermat
n
Los números de la forma fn = 22 + 1 fueron estudiados por el excepcional
matemático frances Pierre de Fermat y son llamados "números de Fermat".
Los cinco primeros números de Fermat son f0 = 3, f1 = 5, f2 = 17, f3 = 257, y
f4 = 65537.
El siguiente teorema, presenta una interesante relación de recurrencia que se
satisface para fn .
Teorema 61 Denote por fn el n ésimo número de Fermat, entonces fn =
fn2 1 2fn 1 + 2, donde n 1.
n
1
Demostración. Para ésta demostración, se substituirá fn 1 = 22
+ 1 en la
expresión fn2 1 2fn 1 + 2, y simpli…candola se demostrará que es igual a fn :
fn2
1
2fn
1
+2
n
1
n
1
(22
+ 1)2 2(22
+ 1) + 2
h n 1
i
n 1
n 1
= (22 )2 + 2(22 ) + 1
2(22 )
=
2+2
n
= 22 + 1
= fn .
Esto completa la demostración.
Este Teorema conduce a una de…nición recursiva de fn :
Una de…nición recursiva de
f0
fn
= 3
= fn2
1
fn
2fn
1
+ 2, n
1
Por ejemplo,
f1 = f02
2f0 + 2 = 9
2(3) + 2 = 5
2f1 + 2 = 25
2(5) + 2 = 17
y
f2 = f12
Podemos hacer una observación interesante sobre los números de Fermat.
Note que los números f2 = 17, f3 = 257, f4 = 65537, f5 = 4294967297, y f6 =
18446644033331951617 todos acaban en el mismo dígito decimal, 7. ¡Asombroso!
¿Qué podría usted conjeturar acerca de los números de Fermat?
Aquí está otra observación interesante: Los primeros cinco números de Fermat 3, 5, 17, 257, y 65537 son primos. Fermat conjeturó que cada número de la
n
forma 22 + 1 era un número primo.
Sin embargo, en 1732 Euler estableció la falsedad de su conjetura produciendo un contraejemplo. Él mostró que f5 es divisible por 641: f5 = 4294967297 =
86
CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD
641 6700417. Una demostración alternativa fue propuesta en 1926 por el matemático belga M. Kraitchik (1882-1957) en su Théorie des nombres.
El siguiente ejemplo proporciona una demostración elemental e inteligente,
por G. T. Bennett. La belleza de su demostración desmiente el hecho de que f5
sea primo, ya que tiene un factor diferente a él mismo y la unidad.
Ejemplo 62 Demuestre que 641jf5
Solution 63 Primero note que
641 = 5 27 + 1
(2.2)
Ahora
5
22 + 1
=
=
=
=
=
=
4294967297 =
232 + 1 = 24 228 + 1
16 228 + 1 = (641 625) 228 + 1
(641 54 );228 + 1 = 641(2)28 (5 27 )4 + 1
641(2)28 (641 1)4 + 1, por ecuación (2.2)
641(2)28 (6414 4(641)3 + 6(641)2 4(641) + 1) + 1
641(228 6413 + 4(6412 ) 6(641) + 4)
641(6700 417)
Una demostracion alternativa
En 1995, Stanley Peterburgsky, estudiando en la New England Academy
f5
of Torah, Rhode Island, demostró que f5 es compuesto ya que 641
puede ser
expresado como la suma de dos cuadrados. Para ver esto, recuerde que (a2 +
b2 )(c2 + d2 ) = (ac + bd)2 + (ad bc)2 para cualesquier números enteros a, b, c,
y d. Entonces
(a2 + b2 )
(ac + bd)2 + (ad bc)2
=
2
2
(c + d )
(c2 + d2 )2
Ahora, sea a = 216 , b = 1, c = 4, y d = 25. Entonces
f5
641
=
=
=
(216 )2 + 12
(4)2 + (25)2
(216 4 + 25)2 + (25 216
6412
2
2
409 + 2556
4)2
Lamentablemente, no se conoce nada sobre la in…nitud de los primos de
Fermat. Esto todavía deja un problema no resuelto. De hecho, ningún primo
de Fermat más allá de f4 ha sido encontrado; El primo de Fermat mas grande
conocido sigue siendo f4 , mientras que el más grande compuesto es f2478782 ,
descubierto en 2003.
2.4. NÚMEROS DE FERMAT
87
¿Cada número de Fermat es cuadrado-libre, es decir sin factores cuadrados? Esto ha sido conjeturado tanto por Lehmer como por A. Schinzel, el hecho
de que en los números de Fermat hay in…nitos cuadrados-libres.
El siguiente resultado, obtenido por Lucas, es un instrumento sumamente
útil en la factorización prima de fn . En 1747, Euler demostró que cada factor
primo de fn debe ser de la forma A 2n+1 +1. En 1879, Lucas rede…nió el trabajo
de Euler mostrando que A debe ser un número entero par 2k. Esto conduce al
siguiente teorema.
Teorema 64 Todo factor primo de fn es de la forma k 2n+2 + 1, donde n
2
De acuerdo con la a…rmación de éste teorema, si fn no tiene ningun factor
primo de la forma k 2n+2 +1, entonces fn debe ser un número primo. El siguiente
ejemplo rati…ca este hecho.
Ejemplo 65 Demuestre que f4 = 65537 es primo.
Solution 66 Para ello será su…ciente mostrar que f4 no tiene ningún factor
primo propio. Ya que cada factor primo de f4 es de la forma
26 k + 1 = 64k + 1,
p
65537 , esto es 256.
si f4 es compuesto, este debe tener un factor primo
El único primo de la forma 64k + 1 y 256 es 193, pero 193 - 65537; entonces
f4 es un primo.
Como dato curioso, en 1963, S. W. Golomb del Instituto de Tecnología de
California estableció que la suma de los recíprocos de números de Fermat es un
número irracional.
Finalmente, hay un eslabón notable entre los primos de Fermat y la construcción de polígonos regulares con regla y compás, donde la regla es empleada
solamente para dibujar líneas, y el compás para trazar arcos. En 1796, Gauss
demostró el siguiente teorema famoso.
Teorema 67 Un polígono regular de n lados es construible con regla y compas
si y sólo si n es de la forma f1 f2 : : : fk o 2k f1 f2 : : : fk , donde k 0 y f1 , f2 ,
: : :, fk son primos de Fermat distintos.
Los antiguos Griegos conocían la construcción de los polígonos regulares de
lados 2k , 3 2k , 5 2k y 15 2k . (Note que 3 y 5 son primos de Fermat.) Ellos
también conocían la construcción de los polígonos de 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, y 16
lados, pero no la construcción del polígono regular de 17 lados. Cuando Gauss, a
la edad de 19 años, demostró que el polígono regular de 17 lados es construible,
se puso tan eufórico por su descubrimiento que decidió dedicar el resto de su vida
a las matemáticas. Él también solicitó que un polígono regular de 17 lados fuera
88
CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD
grabado sobre su lápida. Aunque su deseo nunca fuera cumplido, tal polígono
se puede encontrar sobre un monumento a Gauss en el lugar de su nacimiento
en Brunswick, Alemania.
( Una discusión cuidadosa de tales construcciones geométricas requiere técnicas avanzadas del álgebra abstracta, a saber, la teoría de Galois.)
Ejercicios 2.4
1. Usando recursión, calcule los números de Fermat f3 y f4 :
2. Haga una conjetura acerca de los dígitos de las decenas en el valor decimal
de fn :
3. Establezca su conjetura en el Ejercicio 2. (Sugerencia: Use inducción.)
Probar las siguientes proposiciones.
4. Si 2m + 1 es un primo, entonces m debe ser una potencia de 2.
5. Si 2m
1 es un primo, entonces m debe ser una potencia de 2.
6. Pruebe o refute: Si m es primo, entonces 2m
1 es un primo.
7. Pruebe que 3 es el único número de Fermat que es número triangular
también. (S. Asadulla, 1987)
(Sugerencia; Use los Ejercicios 2 y 3)
8. Vuelva a hacer el Ejercicio 7 utilizando el hecho que el producto de dos
números enteros es una potencia de 2 si y sólo si ambos números enteros
son potencias de 2.
2.4. NÚMEROS DE FERMAT
89
DERIVE. Laboratorio 10
Objetivo
En el presente taller se presentarán dos formas de de…nir los números de
Fermat, una a través de la de…nición y otra mediante la relación de recurrencia
establecida en el Teorema 61.
Actividades
A través de la opción “Definición de una Función...”en Derive es posible construir una función que permita obtener los números de Fermat, así, se
llamará a la función “F(n)” de…nida como se hace a continuación,
F(n):=2^2^n + 1
simpli…cando la siguiente expresión
VECTOR(F(n), n, 0, 5)
se obtendrá el siguiente vector con los 6 primeros números de Fermat,
[3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297] :
De manera similar se puede de…nir, a partir de la relación de recurrencia presentada en el Teorema 61, una función que permita obtener los números de Fermat,
se llamará a esta función “Fermat(n)” y se de…ne de la siguiente forma,
Fermat(n):=IF(n = 0, 3, Fermat(n - 1)^2 - 2 F(n - 1) + 2)
De…nida la función “Fermat(n)” al simpli…car
VECTOR(Fermat(n), n, 0, 5)
se obtiene de igual manera un vector con los primeros 6 números de Fermat.
90
CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD
Capítulo 3
Máximo Común Divisor
Este capítulo trata la teoría de la divisibilidad. Se comienza explorando los
factores comunes de dos o mas números enteros positivos.Se establece el teorema fundamental de la aritmética, la piedra angular de la teoría de números,
y luego se miran los múltiplos comunes de dos o mas números enteros positivos. Finalmente, se trabajan algunas clases importantes de ecuaciones linelaes
diofanticas.
3.1.
Máximo Común Divisor
Un entero positivo puede ser un factor de dos enteros positivos, a y b. Tales
factores son divisores comunes, o factores comunes, de a y b.
Por ejemplo, 12 y 18 tiene cuatro divisores comunes, que son , 1, 2, 3, y 6;
mientras que 12 y 25 tienen exactamente un factor común, que es, 1.
Muchas veces no se está interesado en todos los divisores comunes de a y b,
pero si en el divisor común más grande, así se tiene la siguiente de…nición.
Máximo Común Divisor
El máximo común divisor (MCD) de dos enteros a y b, ninguno de los dos
cero, es el más grande entero positivo que divide a a y a b y se denota por (a; b).
Por ejemplo, (12; 18) = 6, (12; 25) = 1, (11; 19) = 1, ( 15; 25) = 5 y (3; 0) =
3.
Observación Ya que (a; b) = ( a; b) = ( a; b), la discusión se centra
en MCDs de enteros positivos.
¿Cómo se sabe si el MCD de a y b siempre existe? Ya que 1ja y 1jb, 1 es
común divisor de a y b, así que ellos tienen un divisor común que es 1. Si d es
común divisor, entonces d a y d b, así d m n fa; bg. Luego el conjunto de
factores comunes es …nito, así (a; b) existe.
91
92
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Una segunda pregunta importante es la unicidad: ¿Es el MCD de a y b único?
Para poder hablar de MCD de a y b (Ésto se propone como ejercicio para el
lector).
La de…nición verbal precedente de MCD, aunque simple y clara, no es tan
práctica, por eso se escribirá simbolicamente.
Una De…nición Simbólica de MCD
Un entero positivo d es el MCD de dos enteros positivos a y b si
dja y djb; y
si d0 ja y d0 jb, entonces d0
d, donde d0 es también un entero positivo.
Así, d = (a; b) si se satisfacen las condiciones:
d debe ser un factor común de a y b.
d debe ser el más grande factor común de a y b; en otros términos, cualquier
otro factor común d0 debe ser d.
En la siguiente sección, se desarrollará un método e…caz para encontrar el
MCD de dos enteros positivos.
Hay enteros positivos cuyo MCD es 1. Por ejemplo, (6; 35) = 1. De acuerdo
con lo anterior, se da la siguiente de…nicion.
Enteros Primos Relativos
Dos enteros positivos a y b son primos relativos si su MCD es 1; eso es, si
(a; b) = 1.
Así, 6 y 35 son primos relativos; como lo son 11 y 24.
Esta posible relación entre los enteros será útil en próximas discusiones.
Lema 68 Denote por fi el i ésimo número de Fermat. Entonces f0 f1
fn 2, donde n 1:
fn
1
=
Demostración. (Por Inducción) Cuando n = 1, LMD= f0 = 3 = 5 2 =LMI.
Así, el resultado se mantiene cuando n = 1.
Ahora se asumirá que el resultado es verdadero cuando n = k:
f0 f1
fk
1
= fk
2
Entonces
f0 f1
fk
1 fk
=
=
(f0 f1
fk 1 )fk
(fk 2)fk , por hipótesis de induccion
=
(22
k
k+1
= 22
= fk+1
k
1)(22 + 1)
1 = (22
2
k+1
+ 1)
2
3.1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
93
Así, si el resultado es verdadero cuando n = k, también es verdadero cuando
n = k + 1. De esta forma, por inducción, el resultado se tiene para cada entero
n 1.
La formula en este lema, conocida como identidad de Duncan, se descubrió en 1964 por D.C Duncan.
Usando este resultado, se puede mostrar que culquier dos números de Fermat
son primos relativos; este resultado fue establecido en 1925 por G. Polya de la
universidad de Stanford.
Teorema 69 (Polya, 1925) Sean m y n enteros distintos no negativos. Entonces fm y fn son primos relativos.
Demostración. Asumiendo, por conveniencia, que m < n. Sea d = (fm ; fn ).
Entonces djfm y djfn . Pero fn 2 = f0 f1
fm
fn 1 , por el Lema 68. Puesto
que djfm , djf0 f1
fm
fn . Así d=(fn 2), pero d j fn ; Por tanto, dj2, por
Teorema 42. Por consiguiente , d debe ser 1 o 2. Pero los números de Fermat
son todos impares, así d 6= 2. Entonces, d = 1; eso es, (fm ; fn ) = 1:
n
El resultado de Polya puede generalizarse: Sea gn = (2k)2 + 1, donde k > 0.
Entonces (gm ; gn ) = 1, asumiendo m 6= n.
Usando estos dos resultados, podemos demostrar ahora de nuevo que hay
in…nitos primos.
Teorema 70 Existen in…nitos números primos.
Demostración. Por Lema 51, cada número de Fermat tiene un factor primo.
Por consiguiente, por el teorema de Polya, no hay dos números distintos de
Fermat que tengan factores primos comunes, signi…cando que cada uno tiene un
factor primo distinto. Así, ya que hay in…nitos números de Fermat, hay también
in…nitos primos.
A continuación se presenta una con‡uencia asombrosa de teoría del número,
probabilidad y análisis.
Números Primos Relativos y Pi
En la Sección 2.3, se encuentra unY
eslabon cercano entre los números primos
y el número , dado por la formula
(1 1=p2 ) = 6= 2 . Usando técnicas
p2P
avanzadas, se puede mostrar que el producto in…nito representa el recíproco de la
probabilidad que dos números enteros positivos seleccionados al azar sean primos
relativos.1 Así, la probabilidad que dos números
Y enteros positivos seleccionados
al azar sean primos relativos esta dada por
1=(1 1=p2 ) = 6= 2 .
p2P
1 Ver
Ogilvy y Anderson.
94
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
A continuación se centrará la atención en algunas usadas propiedades interesantes del los MCDs.
Teorema 71 Sea (a; b) = d. Entonces
1. (a=d; b=d) = 1
2. (a; a
b) = d
Demostración.
1. Sea d0 = (a=d; b=d). Se Debe mostrar que d0 = 1:
Ya que d0 es un factor común de a=d y b=d, a=d = ld0 y b=d = md0 para
algunos enteros l y m. Entonces a = ldd0 y b = mdd0 , de este modo dd0 es
un factor común de a y b. Entonces, por de…nición, dd0 d, de este modo
d0 1. Así, d0 es un entero positivo tal que d0 1, entonces d0 = 1. Por
tanto, si (a; b) = d, entonces a=d y b=d son primos relativos.
2. Sea d0 = (a; a b). Se debe mostrar que d = d0 , se mostrará que d
d0 d. Para mostrar que d d0 :
d0 y
Entonces d es un común divisor de a y b, a = md y b = nd para algunos
enteros m y n. Entonces a b = (m n): Así dja y dj(a b); entonces d
es común divisor de a y a b. Luego, por de…nición, d debe ser menor o
igual que (a; a b); esto es d d0 .
Para mostrar que d0
d:
0
Entonces d es un factor común de a y a b, a = d0 y a b = d0
para algunos enteros y . Entonces a (a b) = d0
d0 ; esto es,
0
0
0
b=(
)d . Así, d es común divisor de a y b, entonces d
d.
De esta forma, d
d0 y d0
d, entonces d = d0 .
Se sigue, por la parte (2) de este teorema que (a; a+b) = (a; b). (Ver ejercicio
38).
A continuación, se prueba que el MCD de a y b se puede expresar como la
suma de múltiplos de a y b; pero primero se presenta una de…nición.
Combinación Lineal
Una combinacion lineal de los enteros a y b es la suma de múltiplos de a y
b, esto es, una suma de la forma a + b, donde y son enteros.
Por ejemplo, 2 3 + 5 7 es una combinacion lineal de 3 y 7; así como ( 4)
3 + 0 7.
Ahora se establece y demuestra el resultado mencionado en el párrafo precedente. Su prueba es una elegante aplicación del principio del buen orden.
3.1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
95
Teorema 72 (Euler) El MCD de enteros positivos a y b es la combinacion
lineal de a y b.
Demostración. Sea S el conjunto de combinaciones lineales positivas de a y b;
esto es, S = fma + nb j ma + nb > 0; con m; n 2 Zg :
Se mostrará que S tiene al menos un elemento:
Ya que a > 0, a = 1 a + 0 b 2 S, entonces S no es vacío. Así, por el principio
de buen orden, S tiene un mínimo elemento d.
Para mostrar que d = (a; b):
Ya que d pertenece a S, d = a + b para algunos enteros y .
1. Primero mostraremos que dja y djb:
Por el algoritmo de la división, existen enteros q y r tal que a = dq + r,
donde 0 r < d. Sustituyendo d,
r
= a dq
= a ( a + b)q
= (1
q)a + ( q)b
Esto muestra que r es una combinación lineal de a y b.
Si r > 0, entonces r 2 S. Ya que r < d, r es menor que el elemento más
pequeño en S, lo cual es una contradicción. Así r = 0; por tanto, a = dq;
luego dja:
Similarmente, djb: Así d es un común divisor de a y b:
2. Por mostrar que cualquier divisor común positivo d0 de a y b es
0
0
0
d:
0
Sea d ja y d jb, d j( a + b), por el teorema 42; esto es, d jd. Entonces
d0 d.
Así, por las partes (1) y (2), d = (a; b).
Observación Se sigue, por este teorema que el MCD (a; b) siempre puede
expresarse como una combinacion lineal a + b. En efecto, esta es la más
pequeña de tales combinaciones lineales positivas.
Un modo de encontrar tal combinación lineal es por ensayo y error, especialmente cuando a y b son pequeños, como lo muestra el siguiente ejemplo.
Ejemplo 73 Exprese (28; 12) como combinacion lineal de 28 y 12.
Solución. Primero se tiene que (28; 12) = 4. Luego, se deben encontrar
enteros y tal que
28 +
12 = 4. Por ensayo y error, = 1 y = 2
da como resultado 1 28 + ( 2) 12 = 4.
96
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Observación Note que los valores de y en la combinación lineal no
tienen porque ser únicos. En el anterior ejemplo se puede notar que ( 5) 28 +
12 12 = 4.
Una segunda forma de encontrar y es usando una tabla de múltiplos de
a y b y entonces escoger la combinación correcta, como lo muestra la siguiente
Tabla.
28
12
28
12
56
24
84
112
140
36
48
60
144
En la siguiente sección se presenta un método sistemático para encontrar
y .
El Teorema 72 se puede usar para re…nar la de…nición de MCD y sacar
obtener varios resultados útiles acerca de MCDs.
Teorema 74 Si d = (a; b) y d0 es cualquier comun divisorde a y b, entonces
d0 jd.
Demostración. Puesto que d = (a; b), por Teorema 72, existen y tal que
d = a + b:Como d0 ja y d0 jb, por Teorema 42, d0 j ( a + b); de esta manera
d0 jd.
Así, cada común divisor d0 de a y b es un factor de su MCD d, y d0
manera inversa, suponga que
d. De
dja y d jb ; y
si d0 ja y d0 jb, entonces d0 jd: Entonces d0
d; así d = (a; b).
Por tanto, la de…nición simbólica de MCD puede modi…carse como sigue.
Una De…nición Alternativa de MCD
Un entero positivo d es el MCD de a y b si
dja y djb; y
si d0 ja y d0 jb, entonces d0 jd, donde d0 es un entero positivo.
Teorema 75 Sean a,b, y c enteros positivos. Entonces (ac; bc) = c (a; b) :
La prueba de esto es bastante simple y se deja como ejercicio.
3.1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
97
Teorema 76 Dos enteros positivos, a y b, son primos relativos si y solo si hay
enteros y tales que a + b = 1.
Demostración. Si a y b son primos relativos, entonces (a; b) = 1. Por tanto,
por Teorema 72, existen enteros y tal que a + b = 1.
Recíprocamente, suponga que existen y tales que a + b = 1. Para
demostrar que (a; b) = 1; sea d = (a; b). Entonces por Teorema 42 dj ( a + b);
esto es dj1, así d = 1. Por tanto, a y b son primos relativos.
Se puede deducir la parte (1) del Teorema 71 a partir de este Teorema, y
este es útil para resolver el ejercicio propuesto número 41.
Corolario 77 Si d = (a; b), entonces (a=d; b=d) = 1:
El siguiente Corolario se sigue del Teorema 72 (Vea ejercicio 43)
Corolario 78 Si (a; b) = 1 = (a; c);entonces (a; bc) = 1:
Supongamos ajc y bjc. ¿Signi…ca ésto que abjc ? No. Por ejemplo, 3j12 y 6j12,
pero 3 6 - 12. El siguiente corolario proporciona un criterio por el cual abjc.
Corolario 79 Si ajc y bjc, y (a; b) = 1, entonces abjc:
Demostración. Como ajc; c = ma para algún entero m. Similarmente, c = nb
para algún entero n. Ya que (a; b) = 1, por Teorema 75, a + b = 1 para
algunos enteros y . Entonces ac + bc = c: Ahora sustituyendo nb por la
priemera c y ma para el la segunda:
a(nb) + b(ma) = c
Esto es, b (n + m ) = c; así abjc:
Se debe recordar que ajbc no signi…ca que ajb o ajc; aunque bajo algunas
condiciones esto se cumple. El siguiente corolario explica cuando esto es verdadero.
Corolario 80 (Euclides) Si a y b son primos relativos, y si ajbc; entonces ajc:
98
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Demostración. Dado que a y b son primos relativos, por Teorema 75, existen
enteros y tal que a + b = 1; entonces ac + bc = c ya que aj ac y aj bc
, aj ac + bc por Teorema 42; esto es ; ajc:
La de…nición de MCD puede extenderse a tres o más enteros positivos, como
muestra la siguiente de…nición.
El MCD de n Enteros Positivos
El mcd de n ( 2) enteros positivos a1 ; a2 ; :::; an es el entero positivo más
grande que divide a cada uno de los ai . Éste se denota por (a1; a2 ; :::; an ) :
El siguiente ejemplo ilustra esta de…nición.
Ejemplo 81 Encuentre (12; 18; 28), (12; 36; 60; 108), (15; 28; 50).
Solución.
a) El entero positivo más grande que divide a 12; 18 y 28 es 2, así, (12; 18; 28) =
2:
b) 12 es el factor más grande de 12, y 12 es factor de 12, 36, 60, y 108; así,
(12; 36; 60; 108) = 12:
c) Ya que (15; 28) = 1 el factor común más grande de 15, 28 y 50 es 1; esto
es (15; 28; 50) = 1:
El Teorema 72 puede ampliarse a n números enteros. Pero primero, se ampliará la de…nición de una combinacion lineal de n enteros positivos.
Una Combinación Lineal de n Enteros Positivos
Una combinación lineal de n enteros positivos a1 ; a2 ; :::an es una suma de
la forma 1 a1 + 2 a2 + ::: + n an donde 1 ; 2 ; :::; n son enteros.
Por ejemplo, ( 1) 12 + 1 15 + 0 21 es una combinación lineal de 12; 15 y
21; Así como también lo es 3 12 + ( 2) 15 + ( 5) 21:
Ahora se establece la extensión del Teorema 72 y se deja la prueba como un
ejercicio.
Teorema 82 El MCD de los enteros positivos a1 ; a2 ; :::; an ;es el menor entero
positivo que es combinación lineal de a1 ; a2 ; :::; an :
El siguiente ejemplo ilustra este Teorema.
Ejemplo 83 Exprese (12; 15; 21), en una combinación lineal de 12; 15; 21:
Solución. Primero se puede notar que (12; 15; 21) = 3. Después se encuentran números enteros , y , por ensayo y error, tal que 12+ 15+ 21 = 3;
= 1 , = 1 , = 0 es una de tal combinación: ( 1) 12 + 1 15 + 0 21 = 3:
3.1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
99
El siguiente teorema muestra como la recursión puede usarse para encontrar
el MCD de tres o más números enteros.
Teorema 84 Sea a1 ; a2 ; :::an n (
((a1 ; a2 ; :::; an 1 ) ; an ) :
3) enteros positivos. Entonces (a1 ; a2 ; :::; an ) =
Demostración. Sea d = (a1 ; a2 ; :::; an ) ; d0 = (a1 ; a2 ; :::; an
mostramos que d0 = d00 :
1)
yd00 = (d0 ; an ) :
Se mostrará que djd00 :
Dado que d = (a1 ; a2 ; :::; an ) ; djai para todo i: Así djd0 y djan : Entonces
dj (d0 ; an ) ; esto es djd00 :
Se mostrará que d00 jd :
Ya que d00 = (d0 ; an ) ; d00 jd0 y d00 jan : Pero d00 jd0 implica que d00 jai para
1 i n 1: Así d00 jai para 1 i n; por tanto d00 jd:
Luego, djd00 y d00 jd; así d = d00 ; por el Teorema 41.
El siguiente ejemplo ilustra este teorema.
Ejemplo 85 Usando recursión, evalue (18; 30; 60; 75; 132) :
Solución.
(18; 30; 60; 75; 132)
= ((18; 30; 60; 75) ; 132) = (((18; 30; 60) ; 75) ; 132)
= ((((18; 30) ; 60) ; 75) ; 132) = (((6; 60; ) ; 75) ; 132)
= ((16; 75) ; 132) = (3; 132)
= 3:
El corolario a continuación se obtiene por inducción y el Teorema 84. Se
puede establecer una prueba y se deja como ejercicio. (Ejercicio 55.)
Corolario 86 Si d = (a1 ; a2 ; :::; an ) : Entonces djai para todo entero i, donde
1 i n:
El siguiente corolario es una extensión del Corolario 80.
Corolario 87 Si dja1 a2 :::an y (d; ai ) = 1 para 1
i
n
1, entonces djan :
100
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Antes de enunciar otro corolario, se introduce la siguiente de…nición.
Primos Relativos por Pares
Los enteros positivos a1 ; a2 ; :::; an son primos relativos por pares, si todo
par de enteros son primos relativos, esto es , (ai ; aj ) = 1; siempre i 6= j:
Por ejemplo, los enteros 8; 15; y 49 son primos relativos por pares, mientras
que los enteros 6; 25; 77; y 91 no son primos relativos por pares.
El siguiente resultado se deduce del Teorema 76.
Corolario 88 Si los enteros positivos a1 ; a2 ; :::; an son pares de primos relativos
entonces (a1 ; a2 ; :::; an ) = 1:
Por ejemplo, ya que los enteros 8, 15 y 49 son primos relativos por pares,
(8; 15; 49) = 1:
Observación Se debe tener en cuenta que el recíproco de este corolario
no es verdadero; esto es, si (a1 ; a2 ; :::; an ) = 1; entonces los enteros a1 ; a2 ; :::; an
no necesariamente son primos relativos por pares. Por ejemplo (6; 15; 49) = 1;
pero 6; 15 y 49 no son primos relativos por pares, ya que (6; 15) = 3:
Ejercicios 3.1
Marque verdadero o falso, asumiendo a; b y c son enteros positivos y p es un
primo arbitrario.
1. (a; b) = (b; a)
2. (a; b) = (a; a
b)
3. (a; b) = (a; a
2b)
4. (a; a + 2) = 1
5. (p; p + 2) = 1
6. (ac; bc) = c (a; b)
7. Si (a; b) = 1, entonces a y b son primos relativos.
8. Si (a; y b) son primos relativos entonces(a; b) = 1:
9. Si (a; b) = 1 = (b; c), entonces (a; c) = 1:
10. Si (a; b) = 2 = (b; c) entonces (a; c) = 2:
11. Si (a; b) = d; entonces (a + b; a
b) = d
Exprese el mcd de cada par de números como combinación lineal.
3.1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
101
12. 18; 28
13. 24; 28
14. 15; 28
15. 21; 26
Denote con f (n) el números de enteros positivos n y primos relativos
a él. Por ejemplo, f (1) = 1; f (2) = 1, f (3) = 2 y f (4) = 2: Encontrar.
16. f (10)
17. f (13)
18. f (18)
19. f (24)
20. Evalúe
P
djn
f (d) para n = 12; 18; 19 y 25:
21. Usando el Ejercicio 20, prediga una formula para
22. Encuentre el mínimos valores posible de (a; b):
P
djn
f (d)
Encuentre (a; b) si
23. b = 1
24. b = a + 1
25. b = a2
26. b = na
Exprese el MCD de los números dados como una combinación de los
números.
27. 12; 15; 18
28. 12; 18; 20; 24
Use recursión para evaluar.
29. (12; 18; 28; 38; 44)
30. (14; 18; 21; 36; 48)
31. (a2 b; ab3 ; a2 b2 ; a3 b4 ; ab4 )
Refute cada proposición.
32. Si (a; b) = 1 = (b:c) ; entonces (a; c) = 1:
33. Si (a; b) = 2 = (b:c) ; entonces (a; c) = 2:
Pruebe cada ítem, asumiendo que a; b; c; d; k; m; y n son enteros positivos
arbitrarios, p algún primo y fn el n ésimo número Fermat.
102
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
34. El MCD de cualquier par de números enteros es único.
35. (a; b) = (a; b)
36. ( a; b) = (a; b)
37. ( a; b) = (a; b)
38. (a; a + b) = (a; b)
39. (ac; bc) = c(a; b)
40. Si p - a; entonces p y a son primos relativos.
41. Usando el Teorema 76, pruebe que si d = (a; b); entonces (a=d; b=d) = 1:
42. Si d = (a1 ; a2 ; :::; an ); entonces djai para todo entero i; donde 1
i
n:
43. Si (a; b) = 1 = (a; c); entonces (a; bc) = 1:
n
44. Sea gn = (2k)2 + 1; donde n
45. Sea n > m
0: Entonces (gm ; gn ) = 1; donde m 6= n:
0: Muestre que fm j(fn
2):
46. Usando en Ejercicio 45, muestre que (fm ; fn ) = 1; donde m 6= n:
47. Usando el Teorema 69 e inducción, pruebe que hay in…nitos primos.
3.1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
103
DERIVE. Laboratorio 11
Objetivo
En el presente taller se de…ne y se explorará una función que permita calcular
el MCD de dos o más números.
Algunas funciones requeridas
La función que se utilizará en este taller se de…ne como GCD(m1,m2,...,mn)
y permite calcular el MCD de los n números m1 ; m2 ; :::; mn :
Actividades
Mediante la opción “GCD(m1,m2,...,mn)” en Derive es posible calcular el
MCD de un conjunto de números, por ejemplo, la simpli…cación de la expresión
GCD(12,18)
arroja como resultado el valor 6 que es le MCD de los dos números 12 y 18. La
función permite calcular la el MCD de más de dos números enteros, es así como
la simpli…cación de
GCD(12,18,28)
arroja como resultado el valor 2 y la simpli…cación de
GCD(12,36,60,108)
da como resultado 12, que son los MCD de los conjuntos de números respectivamente.
104
3.2.
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El Algoritmo de Euclides
Existen varios procedimientos para encontrar el MCD de dos enteros positivos. Un algoritmo e…ciente es el Algoritmo de Euclides, llamado después
Euclidiano, quien lo incluyó en el Libro VII de su extraordiario trabajo, Los
elementos. El algoritmo, sin embargo, probablemente era antes conocido. Ésta
es una herramienta fundamental en la teoría de números algorítmica.
El siguiente teorema establece la base para el algoritmo de Euclidiano.
Teorema 89 Sean a y b enteros positivos y r el residuo, cuando a se dividide
por b. Entonces (a; b) = (b; r):
Demostración. Sea d = (a; b) y d0 = (b; r). Se debe probar que d = d0 ; es
su…ciente mostrar que djd0 y d0 jd . Por el algoritmo de la división, existe un
único cociente q tal que
a = bq + r
(3.1)
Se mostrará que djd0 :
Ya que d = (a; b), dja y djb, así djbq, por el Teorema 42. Entonces dj(a bq);
de nuevo por el Teorema 42. En otras palabras, djr, por la ecuación (3.1). De
este modo, djb y djr, así dj(b; r); esto es djd0 .
Similarmente, puede mostrarse que d0 jd (ver Ejercicio 9). Así, por el Teorema
41, d = d0 ; esto es, (a; b) = (b; r):
El siguiente ejemplo ilustra este teorema.
Ejemplo 90 Ilustrar el Teorema 89 con a = 120 y b = 28.
Solución. Primero, se puede veri…car que (120; 28) = 4.
Ahora , por el algoritmo de la división, 120 = 4 28 + 8 , entonces por el
Teorema 89, (120; 28) = (28; 8). Pero (28; 8) = 4. Por lo tanto, (128; 28) = 4:
El siguiente ejemplo ilustra como el Teorema 89 puede ser utilizado para
encontrar (a; b).
Ejemplo 91 Usando el Teorema 89, evalúe (2076; 1776).
Solución. Aplicando el algoritmo de la división con 2076 (el mayor de los
dos números) como el dividendo y 1776 como el divisor:
2076 = 1 1776 + 300
Aplicando el algoritmo de la división con 1776 como el dividendo y 300 como el
divisor:
1766 = 5 300 + 276
3.2. EL ALGORITMO DE EUCLIDES
105
Continuando este procedimiento hasta llegar al residuo cero:
2076
1766
300
276
24
=
=
=
=
=
1 1776 + 300
5 300 + 276
1 276 + 24
11 24 + 12
2 12 + 0
último residuo diferente de cero
Aplicando repetidamente el Teorema 89 se tiene:
(2076; 1776)
= (1776; 300) = (300; 276)
= (276; 24) = (24; 12)
= 12
por tanto , el último residuo diferente de cero en este procedimiento es el MCD.
Ahora se justi…cará este algoritmo, aunque sea algo obvio.
El Algoritmo Euclidiano
Sean a y b dos enteros positivos con a
b: Si a = b, entonces (a; b) = a,
así se asume a > b. (Si esto no es verdad entonces se intercambian.) Sea r0 =
b. Entonces aplicando sucesivamentes el algoritmo de la división, se tendrá la
secuencia de ecuaciones:
a = q 0 r0 + r1 ; 0
r0 = q 1 r1 + r2 ; 0
r1 = q 2 r2 + r3 ; 0
..
.
r1 < r 0
r2 < r 1
r3 < r 2
Continuando de esta manera, se obtiene la siguente secuencia de residuos:
b = r0 > r1 > r2 > r3 >
0
Dado que los residuos son no negativos y son cada vez más y más pequeños,
esta secuencia debería eventualmente terminar con el residuo rn+1 = 0. Así, las
dos últimas ecuaciones en el procedimiento anterior son
rn
2
= qn
1 rn 1
+ rn ; 0
rn < rn
1
y
rn
(rn
1
= q n rn
Se sigue por inducción que (a; b) = (a; r0 ) = (r0; r1 ) = (r1 ; r2 ) =
1 ; rn ) = rn ; el último residuo diferente de cero (ver Ejercicio 10).
El siguiente ejemplo también demuestra el Algoritmo Euclidiano.
=
106
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Ejemplo 92 Aplique el algoritmo euclidiano para encontrar (4076; 1024).
Solución.
Por la aplicación sucesiva del algoritmo de la división se tiene:
4076 = 3 1024 + 1004
1024 = 1 1004 + 20
1004 = 50 20 + 4
último residuo diferente de cero
20 = 5 4 + 0
ya que el anterior residuo diferente de cero es 4, (4076; 1024) = 4.
Ejemplo 93 Usando el algoritmo euclidiano exprese (4076; 1024) como combinación lineal de 4076 y 1024.
Solución. Utilizando las ecuaciones obtenidas en el Ejemplo 92 en orden
inverso, sustituyendo de manera iterativa en el residuo de la ecuación previa
(4076; 1024)
=
=
=
=
=
=
4
último residuo diferente de cero
1004 50 20
1004 50(1024 1 1004) (sustituyendo el 20)
51 1004 50 1024
51(4076 3 1024) 50 1024 (sustituyendo el 1024)
51 4076 + ( 203)1024
Ejercicios 3.2
Usando el algoritmo euclidiano, encuentre el MCD de los enteros dados.
1. 1024; 1000
2. 2024; 1024
3. 2076; 1076
4. 2076; 1776
5-8. Usando el algoritmo euclidiano, exprese el MCD de cada pareja en los
Ejercicios 1-4 como una combinación lineal de los números dados.
9. Sea a y b dos enteros positivos, y r el residuo cuando a se divide por b:
Sea d = (a; b) y d0 = (b; r): Pruebe que d0 jd:
10. Sea a y b enteros positivos con a b: Usando la secuencia de ecuaciones
en el algoritmo euclideano, pruebe que (a; b) = (rn 1 ; rn ); donde n 1:
3.2. EL ALGORITMO DE EUCLIDES
107
DERIVE. Laboratorio 12
Objetivo
En el presente taller se de…ne una función que permita expresar el MCD
entre dos números como combinación lineal de ellos.
Algunas funciones requeridas
La función que se utilizará en este taller se de…ne como EXTENDED_GCD(a, b)
y que se simpli…ca al vector de enteros [g, [x, y]] donde g = (a; b) = xa + yb
usando el algoritmo de Euclides para el máximo común divisor.
Actividades
El cálculo de el MCD de los números 4076 y 1024 en el Ejemplo 92 se obtiene
simpli…cando en Derive la orden
GCD(4076,1024)
esta simpli…cación da como resultado 4. Por otro lado, utilizando la función
EXTENDED_GCD(a, b) y simpli…cando la expresión
EXTENDED_GCD(4076,1024)
Derive arroja como resultado
[4, [51, -203]]
que se interpreta como que
(4076; 1024) = 4 = 51 4076 + ( 203)1024
como se pudo observar en el Ejemplo 93.
108
3.3.
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El Teorema Fundamental de la Aritmética
Continuando ahora con el estudio de los primos. Se puede establecer, sin
temor a equivocarse, la a…rmación de que los números primos son los ladrillos
de todos los enteros. En otros términos, enteros 2 son construidos a partir de
primos; es decir, cada entero
2 puede descomponerse en primos. Este resultado, llamado El Teorema Fundamental de la Aritmética, es ciertamente
la piedra angular de la teoría de números y uno de sus resultados principales.
Éste aparece en Los Elementos de Euclides.
Antes de enunciarlo formalmente y demostrarlo, se necesitan dos lemas fundamentales. A lo largo de estos lemas, se asumirá que todas las letras denotan
números enteros positivos.
Lema 94 Si p es un primo y pjab, entonces pja o pjb.
Demostración. Suponga que a - p: Entonces p y a son primos relativos, por el
Teorema 76, hay enteros y tal que p + a = 1. Multiplicando ambos lados
de esta ecuación por b; se tiene pb + ab = b. Como pjp y pjab, pj( pb + ab)
por el Teorema 42; es decir, pjb.
El siguiente lema extiende este resultado a tres o más factores, usando inducción.
Lema 95 Sea p un primo y pja1 a2
an dónde a1 ; a2
tivos, entonces pjai para algún i dónde 1 i n.
; an son enteros posi-
Demostración. (por inducción débil) Cuando n = 1, el resultado se da
claramente. Así que suponga que es verdad para un entero positivo arbitrario
k : Si pja1 a2
ak , entonces pjai para algún i. Suponga que pja1 a2
ak+1 , es
decir, pj(a1 a2
ak )ak+1 . Entonces, por el Lema 93, pja1 a2
ak o pjak+1 . Si
pja1 a2
ak , entonces pjai , para algún i dónde 1 i k. Por tanto, pjai dónde
1 i k, o pjak+1 . En cualquier caso, pjai para algún i; dónde 1 i k + 1.
Así, por inducción, el resultado se tiene para cada entero positivo n.
El siguiente resultado se sigue de este lema.
Corolario 96 Si p; q1 ; q2
; qn son primos tales que pjq1 q2
qi para algún i; dónde 1 i n.
qn , entonces p =
Demostración. Como pjq1 q2
qn , por el Lema 94, pjqi para algún i. Pero p
y qi son primos, por lo que p = qi :
Podemos ahora declarar y establecer el teorema fundamental de aritmética,
el resultado más fundamental en la teoría de números. La prueba consiste en
dos partes y una parte larga, por lo que necesitamos seguirlo cuidadosamente.
3.3. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA
109
Teorema 97 (El Teorema Fundamental de la Aritmética) Todo entero
cualquiera n 2 es un primo o puede expresarse como un producto de primos.
La factorización en primos es única salvo el orden de los factores.
Demostración. Primero, se mostrará por inducción fuerte que n o es un primo
o puede expresarse como un producto de primos. Entonces se establecerá la
unicidad de tal factorización.
1. Sea P (n) la proposición que n es un primo o puede expresarse como un
producto de primos.
Se mostrará que P (n) es verdad para cada entero n 2:
Como 2 es un primo, claramente P (2) es verdad.
Ahora suponga que P (2) ; P (3) :::; P (k) son verdaderas; es decir, todo entero
desde 2 hasta k o es un primo o puede expresarse como un producto de primos.
Si k + 1 es un primo, entonces P (k + 1) es verdad. Así que, suponga que
k + 1 es compuesto. Entonces k + 1 = ab para algunos enteros a y b dónde
1 < a; b < k + 1. Por la hipótesis de inducción, a y b o son primos o pueden
expresarse como los productos de primos; en cualquier caso, k + 1 = ab puede
expresarse como un producto de primos. Así, P (k + 1) también es verdad.
Así, por inducción fuerte, el resultado se tiene para cada entero n 2.
2. Para establecer la unicidad de la factorización:
Sea n un número compuesto con dos factorizaciones en primos: n = p1 p2
pr =
q1 q2
qS . Se mostrará que r = s y que cada pi es igual a algún qj ; dónde
1 i; j r; es decir, los primos q1 ; q2 : : : ; qs son una permutación de los primos
p1 ; p2 :::; pr .
Asuma, por conveniencia que r s. Como p1 p2
pr = q 1 q 2
qs , p1 jq1 q2
qs ,
por el Corolario 95, p1 = qi para algún i. Dividiendo ambos lados por p1 , se
tiene:
p2
pr = q 1 q 2
qi 1 qi+1
qi+1
qs
Ahora p2 divide el LMD, y de nuevo por el Corolario 95, p2 = qj para algún
j. Cancelando p2 a ambos lados:
p3
pr = q 1 q 2
qi
1 qi+1
qj
1 qj qj+1
qs
Como r s, al continuar así, se cancela cada pt con algún qk . Esto nos da
1 al …nal en el LMI. Entonces el LMD no puede ser un primo o un producto
de primos, ya que, un primo o un producto de primos nunca puede dar 1; así,
se deben haber agotado todas las qk s. Por consiguiente, r = s y por tanto los
primos q1 ; q2 :::; qs son loa mismos primos p1 ; p2
; pr en algún orden. Así, la
factorización de n es única, salvo por el orden en el cual los primos fueron
escritos.
Se sigue de este teorema que cada número compuesto n puede factorizarse
en primos. Tal factorización es llamada factorización en primos de n.
Por ejemplo, 5544 = 2 2 3 7 2 11 3 es una factorización en primos de
5544. Usando la notación exponencial, este producto es a menudo escrito como
5544 = 23 32 7 11. Tal producto es la descomposición en potencias de
110
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
factores primos de n; si los primos se escriben en el orden creciente, entonces
esta es la descomposición canónica.
Descomposición Canónica
La descomposición canónica de un entero positivo n es de la forma n =
pa1 1 pa2 2
pakk , donde p1 ; p2
; pk son distintos primos con p1 < p2 <
< pr
y cada exponente ai es un entero positivo.
Hay dos técnicas normalmente usadas para encontrar la descomposición
canónica de un número compuesto. El primer método involucra hallar todos
los factores primos, empezando con el más pequeño primo, como el siguiente
ejemplo muestra.
Ejemplo 98 Halle la descomposición canónica de 2520.
Solución. Empezando con el más pequeño primo 2, desde que 2j2520,2520 =
2 1260. Ahora 2 es un factor de 1260, por lo que 2520 = 2 2 630; 2j630 de
nuevo, por lo que 2520 = 2 2 2 315. Ahora 2 - 315, pero 3 si lo hace, por
lo que 2520 = 2 2 2 3 105; 3 también es un factor de 105, por lo que
2520 = 2 2 2 3 3 35. Continuando así conseguimos:
2520 = 2 2 2 3 3 5 7 = 23 32 5 7
qué es la descomposición canónica deseada.
Este método puede consumir mucho tiempo si el número n es bastante
grande. El segundo método que es generalmente más e…caz, involucra expresar
explícitamente n como el producto de dos enteros positivos, no necesariamente
primos, y se continua expresando cada factor en factores hasta que todos los
factores obtenidos sean primos. Entre más grandes sean los factores el método
se hará más corto. El siguiente ejemplo clari…ca este método, bastante fácil.
Ejemplo 99 Halle la descomposición canónica de 2520 por el segundo método.
Solución. Note que 2520 = 40 63. Por lo que ninguno de los factores es
primo, dividiendo nuevamente: 40 = 4 10 y 63 = 7 9, se tiene que 2520 =
(4 10) (7 9). Como 4, 10 y 9 son compuestos, reexpresando cada uno de ellos
se tiene: 2520 = (2 2) (2 5) (7) (3 3). Ahora todos los factores son primos, por
lo que el procedimiento para. Se obtiene entonces la descomposición canónica:
2520 = 23 32 5 7.
La descomposición canónica de un número compuesto puede usarse para
encontrar sus factores positivos, como lo muestra el siguiente ejemplo.
3.3. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA
111
Ejemplo 100 Halle los factores positivos de 60.
Solución. Primero, note que 60 = 22 3 5. Por el teorema fundamental de
la aritmética, cada factor de 60 es de la forma 2a 3b 5c , dónde 0
a
2,
0 b y c 1. Así, los distintos factores son:
20 30 50
21 30 50
22 30 50
= 1
= 2
= 4
20 30 51 = 5
21 30 51 = 10
22 30 51 = 20
20 31 50 = 3
21 31 50 = 6
22 31 50 = 12
20 31 51 = 15
21 31 51 = 30
22 31 51 = 60
(Así, 60 tiene 12 factores. ¿Podría pensar en una buena manera de encontrar
el número de factores positivos sin listarlos?)
El siguiente ejemplo presenta una aplicación bonita del teorema fundamental
de la aritmética y la función piso. Muestra muy bien que se puede determinar
el número de ceros un valor decimal de n!, sin calcularlo. (Por ejemplo, 11! =
39;916;800 tienen dos ceros al …nal.)
Ejemplo 101 Halle el número de ceros …nales en 234!.
Solución. Por el teorema fundamental de aritmética, 234! puede factorizarse como 2a 5b c; donde a y b son enteros positivos (¿por qué?) y c denota
el producto de primos de la misma manera que 2 y 5. Claramente, a > b (¿por
qué?). Cada cero …nal en 234! corresponde a 10 en una factorizacion y viceversa;
cada 10 es el producto de un 2 y un 5.
(No. de ceros …nales en 234!)
=
No. de productos de la forma 2 5
en una factorización prima de 234!
= el mínimo de a y b (¿por qué?)
= b
Para encontrar b, procedemos como sigue:
No. de enteros positivos 234 y divisibles por 5 = b234=5c = 46.
Cada uno de ellos contribuye en un 5 a la factorización en primos de 234!.
No. de enteros positivos 234 y divisibles por 25 = b234=25c = 9.
Cada uno de ellos contribuye en un 5 adicional a la factorización en primos
de 234!.
No. de enteros positivos 234 y divisibles por 125 = b234=125c = 1.
Contribuye todavía en un 5 adicional a la factorización en primos.
Ninguna potencia superior de 5 contribuye en un 5 a la factorización prima
de 234!, así el número total de 5s en la factorización prima es igual a 46+9+1 =
56. Así, 234! tiene 56 ceros …nales.
Se sigue de este ejemplo que el exponente más alto e de un primo p que
divide n! se obtiene como
e = bn=pc + bn=p2 c + bn=p3 c +
112
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Sea k el entero más pequeño tal que pk > n. Entonces n=pk = 0, por lo
que la suma es …nita.
Por ejemplo, el exponente más grande de 2 que divide 97! es
e = b97=2c + b97=22 c + b97=23 b+b97=24 c + b97=25 c + b97=26 c
= 48 + 24 + 12 + 6 + 3 + 1 = 94
De manera interesante, hay una relación íntima entre el número de unos en
la representación binaria de 97 y el exponente más alto de 2 que divide 97!.
Para ver esto, note que 97 = 1100001dos , por lo que la representación binaria
contiene tres 1s y 97 = 94 + 3.
De manera general, se tiene el siguiente resultado debido al matemático
francés Adrian Mari Legendre.
Teorema 102 Denotando por e el exponente más alto de 2 que divide n! y b el
número de 1s en la representación binaria de n. Entonces n = e + b:
Demostración. Sea n = (ak ak
1 i k. Entonces:
1
n
a0 + a1 2 +
+ ai
=
2i
2i
+ ak 2k . Sea
: : : a1 a0 )dos = a0 + a1 2 +
2i
1
1
+ ak 2k
+ ai + ai+1 2 +
1
Pero
a0 + a1 2 +
+ ai
1
2i
1
1 + 2 + 22 +
= 2i 1
< 2i ;
así
a0 + a1 2 +
+ ai
1
2i
2i
+ 2i
1
1
=0
(3.2)
Por consiguiente,
n
= ai + ai+1 2 +
2i
+ ak 2k
i
(3.3)
Entonces,
k
X
n
i
2
i=1
= a1 + a2 2 + a3 22 +
+ ak 2k
+a2 1 + a3 2 +
+ ak 2k
+a3 1 +
+ ak 2k 3
..
.
+ak 1
2
1
3.3. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA
113
Esto es,
e = a1 + a2 (1 + 2) + a3 1 + 2 + 22 +
1) + a2 22
= a1 (2
1 + a3 23
2
= a0 + a1 2 + a2 2 +
= n b
+ ak 2
+ ak 1 + 22 +
1 +
k
+ ak 2k
(a0 + a1 +
+ 2k
1
+ ak )
1
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Así, n = e + b.
Las descomposiciones canónicas de enteros positivos proporciona un nuevo
método encontrar MCDs, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 103 Usando las descomposiciones canónicas de 168 y 180, para encontrar su MCD.
Solución. Se puede veri…car que 168 = 23 3 7 y 180 = 22 32 5. Los
únicos factores primos comúnes son 2 y 3, por lo que 5 o 7 no pueden aparecer
en su MCD. Como 2 aparece tres veces en la descomposición canónica de 168,
pero sólo dos veces en la descomposición canónica de 180, 22 son un factor
en el MCD. De manera similar, 3 también es un factor común, por lo que
(168; 180) = 22 3 = 12.
Observación
(168; 180) = 22 3 = 22 31 50 70 = 2minf3;2g 3minf1;2g 5minf1;0g 7minf1;0g
Esta técnica puede generalizarse como sigue. Sea a y b enteros positivos con
las siguientes descomposiciones canónicas:
a = pa1 1 pa2 2
pann
y
b = pb11 pb22
pbnn
donde ai ; bi
0. (permitiendo que los exponentes sean cero, siempre se puede
asumir que ambas descomposiciones contienen la mismas bases primas pi .) Entonces:
Observación
minfa1 ;b1 g minfa2 ;b2 g minfan ;bn g
p2
pn
(a; b) = p1
Se dará nuevamente un vistazo a la distribución de los primos, que se estudio
en el capítulo precedente.
Revisión de Distribución de Primos
Por el algoritmo de la división, cada entero es de la forma 4n + r, donde
r = 0; 1; 2, o 3; así que cada entero impar es de la forma 4n + 1 o 4n + 3. Por
114
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
ejemplo, 13 y 25 son de la forma 4n + 1: 13 = 4 3 + 1 y 25 = 4 6 + 1, mientras
que 11 y 31 son de la forma 4n + 3: 11 = 4 2 + 3 y 31 = 4 7 + 3.
Observando los enteros positivos de la forma 4n + 3. Los primeros once de
tales números son 3; 7; 11; 15; 19; 23; 27; 31; 35; 39 y 43 de los cuales siete
(aproximadamente 64 %) son primos.
¿Qué se podría conjeturar razonablemente de esta observación? Si se supusiera que hay in…nitos primos de la forma 4n + 3, se estaría en lo correcto.
Antes de que se establezca la validez de esta suposición, se necesita que se proponga un fundamento en la forma del siguiente lema.
Lema 104 El producto de dos enteros cualesquiera de la forma 4n + 1 también
es de la misma forma.
Demostración. Sean a y b dos enteros cualesquiera de la forma 4n+1, suponga,
a = 4` + 1 y b = 4m + 1 para algunos enteros ` y m. Entonces
ab = (4` + 1) (4m + 1)
= 16`m + 4` + 4m + 1
= 4 (4`m + ` + m) + 1
= 4k + 1 donde k = 4`m + ` + m es un entero
Así, ab también es de la misma forma.
Este resultado puede extenderse a cualquier número …nito de tales enteros y
la prueba se deja como ejercicio.
Ahora se está listos para demostrar la siguiente conjetura. Observe que la
demostración es similar a la demostracion de Euclides que estableció la in…nidad
de primos.
Teorema 105 Hay in…nitos primos de la forma 4n + 3.
Demostración. Suponga que sólo hay …nitos primos de la forma 4n+3, es decir,
p0 ; p 1 ; p 2
; pk dónde p0 = 3. Considere el entero positivo N = 4p1 p2
pk + 3.
Claramente, N > pk y también es de la misma forma.
Caso 1 Si el propio N es primo, entonces N sería mayor que el primo pk ; el
más grande de la forma 4n + 3 que es una contradicción.
Caso 2 Suponga que N es compuesto. Como N es impar, todo factor de N es
de la forma 4n + 1 o 4n + 3. Si cada factor es de la forma 4n + 1, entonces,
por el Lema 103, N sería de la misma forma. Pero, como N es de la forma
4n + 3, por lo menos uno de los factores primos, digamos, p, debe ser de
la forma 4n + 3.
Subcaso 1 Sea p = p0 = 3. Entonces 3jN , por lo que 3j (N 3) por el Teorema
42; esto es, 3j4p1 p2
pk . Así, por el Lema 94, 3j2 o 3jpi , donde 1 i k,
pero los dos son imposibles.
3.3. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA
115
Subcaso 2 Sea p = pi donde 1 i k. Entonces pjN y pj4p1 p2
pk , por lo
que pj (N 4p1 p2
pk ), es decir, pj3, que es de nuevo una contradicción.
Ambos casos nos llevan a una contradicción, por lo que la suposición debe
ser falsa. Así, hay un número in…nito de primos de la forma dada.
Ahora que se ha establecido la in…nitud de los números primos de la forma
4n + 3, se hace la siguiente pregunta lógica: ¿Hay in…nitos primos de la forma
4n + 1? Afortunadamente, la respuesta es de nuevo un sí. De hecho, ambos
resultados son juicios incidentales del siguiente resultado notable, demostrado
por Dirichlet en 1837, pero declarados originalmente por Legendre en 1785. Su
prueba es sumamente complicada, por lo que se omite.
Teorema 106 (Teorema de Dirichlet) Si a y b son primos relativos, entonces la sucesión aritmética a; a + b; a + 2b; a + 3b : : : contiene in…nitos primos.
Por ejemplo, sea a = 3 y b = 4; entonces la sucesión 3; 4 1 + 3; 4 2 + 3;
4 3 + 3 : : : contiene un número in…nito de primos, a saber, primos de la forma
4n + 3.
Igualmente, escogiendo a = 1 y b = 4, de esto se sigue que hay un número
in…nito de primos de la forma 4n + 1.
Más aun, hay otro ejemplo, escoja a = 7 y b = 100. Entonces a + nb =
100n+7, así la sucesión 7; 107; 207; 307 : : : contiene un número in…nito de primos,
y terminan en 7.
Ejercicios 3.3
Encuentre la descomposición canónica de cada número compuesto.
1. 1947
2. 1661
3. 1863
4. 1976
5. 227 + 1
6. 248
1
7. 10; 510; 100; 501
8. 1; 004; 006; 004; 001
Encuentre los factores positivos en cada caso, asumiendo que p y q son
distintos primos.
9. p
116
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
10. p2
11. pq
12. pq 2
Encuentre los factores positivos de cada número compuesto.
13. 48
14. 90
15. 210
16. 1040
Encuentre el número de ceros en el valor decimal de cada número.
17. 100!
18. 376!
19. 609!
20. 1010!
Encuentre los valores de n para los que n! contiene el número de ceros
dado.
21. 58
22. 93
Encuentre el MCD de cada par de números, asuma que p; q; y r son distintos primos.
23. 23 3 5; 2 32 53 72
24. 24 32 75 ; 34 5 112
25. p2 q 3 ; pq 2 r
26. p3 qr3 ; p3 q 4 r5
Usando las descomposiciones canónicas, encuentre el MCD de cada par de
números.
27. 48; 162
28. 72; 108;
29. 175; 192
30. 294; 450
Encuentre el número de ceros en la representación binaria de cada entero.
3.3. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA
117
31. 28
32. 32
33. 208
34. 235
35. Usando los Ejercicios 31-34, prediga el número de ceros en la representación
binaria de el entero positivo n.
Encuentre la más alta potencia de cada uno de los númesor que divides a
1001!
36. 2
37. 3
38. 5
39. 7
Usando el Teorema 101, encuentre el número de unos en la representación
binaria de cada entero.
40. 234
41. 1001
42. 1976
43. 3076
44. Usando el Ejemplo 100, conjeture sobre el número de ceros que tiene el
valor decimal de n!
Demuestre cada ítem, aumiendo que p es un primo, y a; b; y n son enteros
positivos.
45. Si pja2 , entonces pja.
46. Si pjan , entonces pja.
47. El producto de de n enteros del forma 4k + 1 también es de la misma
forma.
48. Si (a; b) = 1, entonces (an ; bn ) = 1.
49. Si (an ; bn ) = 1, entonces (a; b) = 1.
50. Hay in…nitos primos de la forma 2n + 3.
51. Hay in…nitos primos de la forma 8n + 5.
118
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
52. Todo entero positivo n puede escribirse como n = 2e m, donde e
es un entero impar.
0ym
53. Cada entero positivo n puede escribirse como n = 2a 5b c, dónde c no es
divisible por 2 o 5.
54. Un entero positivo es un cuadrado si y sólo si cada exponente en su descomposición canónica es entero par.
F
Encuentre el número de factores positivos de cada caso, asuma que p, q,
y r son distintos primos.
55. pq
56. pq 2
57. p2 q 2
58. pq 2 r3
F
Encuentre la suma de los factores positivos en cada caso, asumiendo que
p, q, y r son distintos primos.
59. pi
60. pq j
61. pi q j
62. pi q j rk
Un entero positivo es un cuadrado-libre si no es divisible por el cuadrado
de cualquier entero positivo > 1. Por ejemplo, 105 = 3 5 7 es cuadradolibre.
63. Un entero > 1 es cuadrado-libre si y sólo si su factorización prima consiste
de distintos primos.
64. Cualquier entero n > 1 puede escribirse como el producto de un cuadrado
y un entero cuadrado-libre.
3.3. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA
119
DERIVE. Laboratorio 13
Objetivo
En el presente taller se de…ne una función que permite descomponer, de
acuerdo al Teorema Fundamental de la Aritmética, en producto de factores
primos.
Algunas funciones requeridas
La función que se utilizará en este taller se de…ne como FACTOR(n) y que se
simpli…ca a la factorización del entero n en producto de factores primos.
Actividades
Mediante la simpli…cación de la orden
FACTOR(2520)
se obtiene la factorización del número 2520 como producto de factores primos,
de la misma forma en que se ilustró en el Ejemplo 98, la simpli…cación de esta
orden en Derive devuelve como resultado
23 32 5 7
120
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
3.4.
Mínimo Común Múltiplo
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos enteros positivos a y b está estrechamente relacionado con su MCD. De hecho, se utiliza el mcm cada vez que
sumamos y restamos fracciones. Ahora se explorará dos métodos para encontrar el mcm de a y b. El primer método que se empleará es la descomposición
canónica, y el segundo emplea su MCD. Se empezará con una de…nición.
Mínimo Común Multiplo
El mínimo común múltiplo de dos enteros positivos a y b es el menor entero
positivo divisible tanto por a como por b, y se denota como [a; b] :
Suponga que se quiere evaluar [18; 24] : Ya que los múltiplos de 18 son
18; 36; 54; 72; 90; ::: y de 24 son 24; 48; 72; 96; ::: Así, sus múltiplos comunes son
72; 144; 216; ::: Por tanto [18; 24] =su mcm= 72:
Las dos preguntas que normalmente nos podemos hacer son si el mcm de dos
enteros ¿siempre existe? Ya que ab es un múltiplo de ambos a y b; el conjunto
de comunes múltiplos es simpre diferente de vacío; así, por el principio del buen
ordenamiento, el conjunto tiene un mínimo elemento; por tanto, [a; b] siempre
existe.
Y la otra pregunta que surge es ¿si el mcm es único? La respuesta es nuevamente a…rmativa (Su demostración se propone como ejercicio)
A continuación se presentará una de…nición simbólica del mcm.
Una De…nición Simbólica del mcm
El mcm de dos números enteros positivos a y b es el entero positivo m tal
que:
ajm y bjm; y
si ajm0 y bjm0 ; entonces m
m0 ; donde m0 es un entero positivo.
La descomposición canónica de a y b se puede emplear para encontrar su
mcm. Suponga que queremos encontrar [90; 168]: Note que 90 = 2 32 5 y
168 = 23 3 7: Observando las potencias primas, se sigue que su mcm debe ser
múltiplo de 23 ; 32 ; 5 y 7; así su mcm es 23 32 5 7 = 2520:
Observación
[90; 168]
= 2 3 32 5 7
= 2maxf1;3g 3maxf2;1g 5maxf1;0g 7maxf0;1g
Esto nos lleva a la siguiente generalización.
3.4. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
121
Sean a; b enteros positivos con las siguientes descomposiciones canónicas
a = pa1 1 pa2 2 pa3 3
pann y b = pb11 pb22 pb33
pbnn con ai ; bi
0:
(De nuevo, se supone que ambas desomposiciones canónicas contienen exactamente las mismos bases primas pi :) Luego:
maxfa1 ;b1 g maxfa2 ;b2 g
p2
[a; b] = p1
n ;bn g
pmaxfa
n
El siguiente ejemplo ilustra la técnica anterior.
Ejemplo 107 Encuentre el mcm de 1050 y 2574 usando la decomposición canónica.
Solución. Tenga en cuenta que:
1050 = 2 3 52 7
y
2574 = 2 32 11 13
Por lo tanto
[1050; 2574] = 2maxf1;1g 3maxf1;2g 5maxf2;0g 7maxf1;0g 11maxf1;0g 13maxf0;1g
= 21 32 52 71 111 131 = 450;450
A continuación, se desarrollará una estrecha relación entre el MCD y el mcm
de dos enteros positivos. Pero primero, se estudiará un ejemplo y se dará una
observación.
Observe que (18; 24) = 6 y [18; 24] = 72: También, 6 72 = 18 24. En otras
palabras
18 24
[18; 24] =
(18; 24)
El siguiente teorema muestra que esto no es una coincidencia, que siempre se da
el caso. Se trata de una aplicación directa del Teorema 2 y de la descomposición
canónica.
Teorema 108 Sean a y b enteros positivos. Entonces
[a; b] =
ab
:
(a; b)
Demostración. Sean a = pa1 1 pa2 2 pa3 3
pann y b = pb11 pb22 pb33
posiciones canónicas de a y b; respectivamente. Entonces
m nfa1 ;b1 g m nfa2 ;b2 g m nfa3 ;b3 g
p2
p3
(a; b) = p1
pbnn , las descom-
nfan ;bn g
pm
n
122
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
y
maxfa1 ;b1 g maxfa2 ;b2 g maxfa3 ;b3 g
p2
p3
[a; b] = p1
n ;bn g
pmaxfa
n
Por tanto,
m nfa1 ;b1 g
(a; b) [a; b] = p1
nfan ;bn g
pm
n
m nfa1 ;b1 g+maxfa1 ;b1 g
= (pa1 1 pa2 2 pa3 3
n ;bn g
pmaxfa
n
nfan ;bn g+maxfan ;bn g
pm
n
= p1
= pa1 1 +b1 pa2 2 +b2
maxfa1 ;b1 g
p1
pann +bn
pann ) pb11 pb22 pb33
pbnn
= ab
Así,
[a; b] =
ab
(a; b)
que era lo que se quería demostrar.
Este teorema proporciona una segunda forma de cálcular [a; b], siempre que
se conozca (a; b), como se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 109 Use (252; 360); y calcular [252; 360]:
Solución. Tenga en cuenta que 252 = 22 32 7 y 360 = 23 32 5; así
(252; 360) = 22 32 = 36: Por tanto, por el teorema anterior
252 360
36
= 2520
[252; 360] =
Retornando al Teorema 107, suponga que (a; b) = 1: Entonces [a; b] = ab:
Corolario 110 Dos enteros positivos a y b son primos relativos si y solo si
[a; b] = ab:
Por ejemplo, ya que 15 y 28 son primos relativos, [15; 28] = 15 28 = 420:
Como en el caso del MCD, la idea de mcm puede también ser extendida a
tres o más enteros positivos. Por ejemplo 24 = 23 3; 28 = 22 7 y 36 = 22 32 :
Por tanto,
[24; 28; 36] = 2maxf3;2;2g 3maxf1;0;2g 7maxf0;1;0g
= 23 32 71
= 504
3.4. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
123
Nuevamente, como en el caso de MCD, la recursividad puede ser aplicada
para evaluar el mcm de tres o más enteros positivos, como lo muestra el siguiente
resultado. La prueba se deja como ejercicio para el lector.
Teorema 111 Sean a1 ; a2 ;
[a1 ; a2 :
; an n (
3) enteros positivos. Entonces
an ] = [[a1 ; a2 :
an
1 ] ; an ]
El siguiente ejemplo ilustra este resultado.
Ejemplo 112 Use recursión para evaluar [24; 28; 36; 40] :
Solución.
[24; 28; 36; 40] = [[24; 28; 36] ; 40] = [[[24; 28] ; 36] ; 40]
= [504; 40] = [[168; 36] ; 40]
= 2520
(Usted puede veri…car el resultado usando la descomposición canónica de 24, 28,
36 y 40.)
Los siguientes dos resultados se siguen del Teorema 110.
Corolario 113 Si los enteros positivos a1 ; a2 ;
pares, entonces [a1 ; a2 ;
; an ] = a1 a2
an :
; an son primos relativos por
Por ejemplo, 12, 25 y 77 son primos relativos por pares, así [12; 25; 77] =
12 25 77 = 23;100:
¿Es el recíproco de este resultado cierto?.
Teorema 114 Si m1 ja y m2 ja entonces [m1 ; m2 ] ja:
Demostración. Llamando [m1 ; m2 ] = t , se tiene m1 jt y m2 jt: Además, si
m1 jt0 y m2 jt0 , debe ocurrir que t t0 :
Se quiere probar que tja:
Por el algoritmo de la división a = tq + r con 0
r < t; o de manera
equivalente
r = a tq; con 0 r < t:
Suponga que 0 < r < t; como m1 ja y m1 jt entonces por el Teorema 42
m1 ja tq, es decir m1 jr: De igual forma, como m2 ja y m2 jt entonces m2 ja tq;
es decir m2 jr:
Ya que por de…nición y como se enuncio inicialmente, si existe otro común
múltiplo de m1 y m2 ; este tiene que ser mayor que [m1 ; m2 ] = t; entonces r t
que contradice el supuesto que 0 < r < t; por lo tanto r = 0; así tja:
124
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Corolario 115 Si m1 ; m2 ;
; mk y a son enteros positivos tales que mi ja
para 1 i k: Entonces [m1 ; m2 ; :::; mk ] ja:
Demostración. (inducción fuerte sobre k) Claramente se puede ver que se
cumple para k = 1; y el Teorema 113 muestra que igualmente se cumple para
k = 2:
Suponga que se cumple para todos los enteros desde 1 hasta t. Ahora suponga
que mi ja con 1 i t+1: Entonces por hipótesis de inducción [m1 ; m2 ; : : : ; mt ]ja
y además mt+1 ja; así, otra vez por la hipótesis, [[m1 ; m2 ; : : : ; mt ]; mt+1 ]ja; esto
es, [m1 ; m2 ; : : : ; mt+1 ]ja por el Teorema 110. Luego, por inducción, el resultado
es verdadero para cada entero k.
Ejercicios 3.4
Marque verdadero o falso, asumiendo que a,b y c son enteros positivos arbitrarios y p es un número primo.
1. El mcm de dos primos es su producto.
2. El mcm de dos enteros positivos consecutivos es su producto.
3. El mcm de dos primos distintos es su producto.
4. Si (a; b) = 1; entonces [a; b] = ab:
5. Si p - a; entonces [p; a] = pa:
6. Si (a; b) = 1; entonces a = 1 = b:
7. Si [a; b] = b; entonces a = 1:
8. Si [a; b] = b; entonces ajb:
9. Si [a; b] = ab; entonces a = b:
10. Si [a; b] = ab y [b; c] = bc; entonces [a; c] = ac:
Encuentre el mcm de cada par de enteros.
11. 110; 210
12. 65; 66
Encuentre [a; b] si
13. ajb
14. bja
15. a = 1
16. a = b
17. a y b son distintos primos.
3.4. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
18. b = a + 1
Encuentre [a; b] si
19. (a; b) = 3 y ab = 693:
20. ab = 156 y a y b son primos relativos.
21. Encuentre el entero positivo a si [a; a + 1] = 132:
22. Encuentre el par de primos p y q tal que [p; q] = 323:
Encuentre los enteros positivos a y b tales que
23. (a; b) = 20 y [a; b] = 840
24. (a; b) = 18 y [a; b] = 3780
25. ¿Cuál es su conclusión si (a; b) = [a; b]? ¿Por qué?
Usando recursividad, encuentre el mcm de los enteros dados.
26. 12; 18; 20; 28
27. 12; 15; 18; 25; 20
28. Pruebe o refute: [a; b; c] = abc=(a; b; c)
125
126
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
DERIVE. Laboratorio 14
Objetivo
En el presente taller se de…ne y se explorará una función que permita calcular
el mcm de dos o más números.
Algunas funciones requeridas
La función que se utilizará en este taller se de…ne como LCM(m1,m2,...,mn)
y permite calcular el mcm de los n números m1 ; m2 ; :::; mn :
Actividades
Mediante la opción “LCM(m1,m2,...,mn)” en Derive es posible calcular el
mcm de un conjunto de números, por ejemplo, la simpli…cación de la expresión
LCM(12,18)
arroja como resultado el valor 36 que es le mcm de los dos números 12 y 18. La
función permite calcular la el mcm de más de dos números enteros, es así como
la simpli…cación de
LCM(12,18,28)
arroja como resultado el valor 252 y la simpli…cación de
LCM(12,36,60,108)
da como resultado 540, que son los mcm de los conjuntos de números respectivamente.
3.5. ECUACIONES LINEALES DIOFÁNTICAS
3.5.
127
Ecuaciones Lineales Diofánticas
Frecuentemente se está interesado en soluciones enteras de ecuaciones con
coe…cientes enteros. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diofánticas,
después de Diofanto, quien escribió extensivamente sobre éstas. Por ejemplo,
cuando se restringe la solución a enteros, las ecuaciones 2x + 3y = 4; x2 + y 2 = 1
y x2 + y 2 = z 2 son ecuaciones diofánticas.
Geométricamente, tales soluciones de la ecuación 2x + 3y = 4 son puntos
sobre la línea 2x + 3y = 4 con coordenadas enteras. Puntos con coordenadas
enteras son llamados puntos látices. Por ejemplo, ( 1; 2) es una de tales soluciones; en efecto, ésta tiene in…nitas soluciones de la forma (2 + 3t; 2t); donde
t es un entero arbitrario.
La ecuación diofántica x2 + y 2 = 1 tiene exactamente cuatro soluciones:
( 1; 0) y (0; 1); los puntos donde el círculo unitario x2 + y 2 = 1 intersecta a
los ejes.
Las soluciones de la ecuación diofántica x2 + y 2 = z 2 representa la longitud
de los lados de un triángulo rectángulo; (3; 4; 5) es una solución. Esta ecuación
también tiene un número in…nito de soluciones.
Ecuaciones Lineales Diofánticas
La clase más simple de ecuaciones diofánticas es la clase de ecuaciones lineales diofánticas (ELDs). Una ecuación líneal diofántica en dos variables x
y y es una ecuación de la forma ax + by = c: La solución de tal ELD envuelve
sistemáticamente el algoritmo de euclides, como se verá a continuación. Primero
se estudiarán ELD en dos variables. Las ELDs se conocían en China antigua e
India y sus usos se daban en astronomía y cribas.
El primer problema es debido al matemático indio Mahavira (año 850 a.c.).
Ejercicio 116 Veintitrés viajeros cansados entraron a un bello bosque. Allí encontraron 63 montones de plátanos y siete platanos sueltos y los dividieron en
igual número entre ellos.
Encuentre el número de platanos que había en cada montón.
Solución. Denote por x el número de plátanos en cada montón y y el
número de plátanos recibido por cada viajero. Entonces se obtiene la siguiente
ELD
63x + 7 = 23y
Ya que ambos, x y y son enteros positivos, el interés recae solamente en
encontrar las soluciones enteras positivas de la ELD. Resolviendo la anterior
ecuación para y; se tiene
63x + 7
y=
23
Cuando x > 0; claramente y > 0: Entonces, se ensaya con los valores 1, 2,
3 y así sucesivamente para x; hasta que el valor de y sea un entero.
128
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
x
y
1
70=23
2
133=23
3
196=23
4
252=23
5
14
28
77
De la Tabla se sigue que para x = 5, y = 28 es una solución. Se puede veri…car
que x = 28; y = 77 es otra solución. Efectivamente, se puede mostrar que la
ELD tiene in…nitas soluciones.
Otro antiguo enigma, llamado el problema de las cien aves, se encuentra
en un Clásico Matemático, el libro del siglo sexto de la matemática china llamado
el Chang Chiu-chien.
Ejercicio 117 ¿Si un gallo vale cinco monedas, una gallina tres monedas, y
tres polluelos juntos una moneda, cuántos gallos, gallinas, y polluelos, que sumen
100, pueden ser comprados con 100 monedas?
Solución. Denote con x el número de gallos, con y el números de gallinas y
con z el número de polluelos. Claramente x, y y z son enteros positivos, cero en
su defecto. Entonces los datos que se suministran se condensan en el siguiente
par de ELDs
x+y+z
z
5x + 3y +
3
=
100
=
100
Despejando z de la primera ecuación (z = 100 x y) y sustityendo en la
segunda se tiene
1
5x + 3y + (100 x y) = 100
3
Esto es,
7x + 4y
=
y
=
100
100
7x
4
7
x
4
= 25
Así, para que y sea un entero, 7=4x debe ser entero; pero 4 - 7; x debe ser un
múltiplo de 4: x = 4t; donde t es entero. Entonces,
y = 25
7
x = 25
4
7
(4t) = 25
4
7t
y
z = 100
x
y = 100
4t
(25
t) = 75 + 3t
Así, toda solución del rompecabezas es de la forma x = 4t; y = 25 7t y
z = 75 + 3t; donde t es un entero arbitrario.
Ahora, para encontrar la solución del rompecabezas, se procede de la siguiente
forma: Ya que x 0; t 0: Además ya que y 0; 25 7t 0; esto es t 25=7;
3.5. ECUACIONES LINEALES DIOFÁNTICAS
129
así t
3: Y ya que z
0; 75 + 3t
0; esto es t
25; pero esto no da
información adicional, así que se concluye que 0 t 3:
Por tanto, la criba tiene cuatro posibles soluciones, estas corresponden a
t = 0; 1; 2 y 3 : x = 0; y = 25, z = 75; x = 4; y = 18, z = 78; x = 8; y = 11,
z = 81; y x = 12; y = 4, z = 84:
Teorema 118 La ELD ax + by = c es tiene solución si y solo si djc, donde
d = (a; b): Si x0 ; y0 es una solución particular de la ELD, entonces todas sus
soluciones estan dadas por
b
x = x0 + t
d
y
y = y0
a
t
d
donde t es un entero arbitrario.
Demostración. La prueba consiste en cuatro partes:
Si la ELD tiene solución, entonces djc:
Si djc entonces la ELD tiene solución.
x = x0 + db t y y = y0
a
dt
es una solución de la ELD.
Toda solución de la ELD es de esta forma.
Se probará cada parte una a una en este orden.
Si la ELD tiene solución, entonces djc :
Suponga x =
yy=
es una solución. Entonces
a +b =c
Ya que d = (a; b); dja y djb; así dja + b esto es djc:
Para probar que si djc entonces la ELD tiene solución:
Suponga que djc: Entonces c = de para algún entero e: Ya que d = (a; b)
existen enteros r y s tales que ra + sb = d: Multiplicando ambos lados de la
ecuación por e se obtiene
rae + sbe = de
Esto es,
a(re) + b(se) = c
Así, x0 = re y y0 = se es una solución de la ELD; esto signi…ca que tiene
solución.
Para mostrar que x = x0 + db t y y = y0
a
dt
es una solución de la ELD:
130
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Se tiene que
ax + by
b
a
= a x0 + t + b y0
t
d
d
abt abt
= (ax0 + by0 ) +
d
d
= ax0 + by0
= c
De esta forma x = x0 + db t y y = y0
t.
a
dt
es una solución para cualquier entero
Para mostrar que toda solución x0 , y 0 es de la misma forma:
Ya que x0 ; y0 y x0 ; y 0 son soluciones de la ELD, se tiene que:
ax0 + by0 = c y ax0 + by 0 = c
entonces
ax0 + by0 = ax0 + by 0
Por tanto,
a(x0
x0 ) = b(y0
y0 )
(3.8)
dividiendo ambos lados de la ecuación por d :
a 0
(x
d
x0 ) =
b
(y0
d
y0 )
Por el Teorema 71, (a=d; b=d) = 1; así por el Corolario 80,
tanto x0 x0 = db t para algún entero t:
Esto es,
b
x0 = x0 + t
d
Ahora sustituyendo x0 x0 en la ecuación (3.8), se tiene
a
b
t
d
a
t
d
y0
b
0
d j(x
x0 ) y por
y0 )
= b(y0
= y0
y0
= y0
a
t
d
Así toda solución de la ELD es de la misma forma.
Observación
Se sigue del teorema que si la ELD ax + by = c tiene solución, entonces tiene
in…nitas soluciones. Estas soluciones estan dadas por la solución general
b
x = x0 + t y y = y0
d
a
t
d
3.5. ECUACIONES LINEALES DIOFÁNTICAS
131
siendo t un entero arbitrario. Dando a t diferentes valores, es posible encontrar
cualquier número de soluciones particulares.
Este teorema tiene un corolario interesante y útil.
Corolario 119 Si (a; b) = 1; entonces la ELD ax + by = c tiene solución y la
solución general está dada por x = x0 + bt y y = y0 at; donde x0 ; y0 es una
solución particular.
Ejemplo 120 Determine si las ELDs 12x+18y = 30; 2x+3y = 4 y 6x+8y = 25
tienen solución.
Solución.
(12; 18) = 6 y 6j30; la ELD 12x + 18y = 30 tiene solución.
(2; 3) = 1; así por el Corolario 119, la ELD tiene solución.
(6; 8) = 2 y 2 - 25; así que la ELD 6x + 8y = 25 no tiene solución.
Ejemplo 121 Encuentre la solución general del problema de Mahavira planteado en el Ejemplo 116.
Solución.
La ELD en el problema de Mahavira es 63x 23y = 7: Ya que (63; 23) = 1;
la ELD tiene solución.
Para encontrar una solución particular x0 ; y0 primero se expresa el MCD 1
como combinación lineal de 63 y 23, aplicando primero el algoritmo de Euclides:
63 = 2 23 + 17
23 = 1 17 + 6
17 = 2 6 + 5
6 = 1 5+1
5 = 5 1+0
Ahora usando las ecuaciones en orden inverso:
1
=
=
=
=
=
=
=
6 1 5
6 1(17 2 6)
3 6 1 17
3(23 1 17) 1 17
3 23 4 17
3 23 4(63 2 23)
( 4)63 + 11 23
132
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Multiplicando ambos lados de la ecuación por
7
7:
= ( 7)( 4)63 + ( 7)11 23
= 63 28 23 77
luego x0 = 28; y0 = 77 es una soluci’on particular de la ELD.
Por tanto, por el Corolario 119, la soluci’on general está dada por x =
x0 + bt = 28 23t y y = y0 at = 77 63t; donde t es un entero arbitrario.
3.5.1.
Método de Euler para la solución de ELDs
Euler inventó un método para solucionar ELDs que emplea el algoritmo de
la división, pero no el algoritmo euclideo.
Ejemplo 122 Resuelva la ELD 1076x + 2076y = 3076 por el método de Euler.
Solución.
Ya que (1076; 2076) = 4 y 4j3076; la ELD tiene in…nitas soluciones. El
método de Euler implica la solución de la ELD para la variable con más pequeño
coe…ciente, x en este caso:
2076y + 3076
(3.9)
1076
1000y + 924
y+2+
por el algoritmo de la división (3.10)
1076
x =
=
Sea u = 1000y+924
: (Note que u es un entero. ¿Por qué?) De esta expresión
1076
se obtiene la ELD
1076u + 1000y = 924
Esta ELD tiene coe…cientes más pequeños que la original. Resolviendo para y :
y
1076u + 924
1000
76u + 924
u+
; por el algoritmo de la división
1000
=
=
76u+924
;
1000
Sea v =
(3.11)
(3.12)
de donde
76u + 1000v = 924
resolviendo para u :
u
=
1000v + 924
76
=
13v + 12 +
(3.13)
12v + 12
; por el algoritmo de la división (3.14)
76
3.5. ECUACIONES LINEALES DIOFÁNTICAS
Sea w =
12v+12
;
76
133
así
12v + 76w = 12
resolviendo para v :
v=
76w + 12
=
12
6w + 1
w
3
Ya que v es un entero, w=3 debe ser un entero también, así que w=3 = t:
Para obtener una solución particular, se hace t = 0; entonces w = 0 y
trabajando con las ecuaciones (3.9), (3.11) y (3.13) en el orden inverso:
v
=
u
=
y
=
w
0
= 6(0) + 1
=1
3
3
1000(1) + 924
1000v + 924
=
= 1
76
76
1076( 1) + 924
1076u + 924
=
=2
1000
1000
2076(2) + 3076
2076y + 3076
=
= 1
1076
1076
6w + 1
x =
Puede veri…carse que x0 = 1; y0 = 2 es en efecto una solución de la ELD.
Para encontrar la solución general, con t como entero arbitrario, usando
sucesivas sustituciones, nuevamente en orden inverso:
w
v
=
=
u =
y =
x =
3t
6w + 1
w
= 19t + 1
3
13v + 12 + w = 250t 1
u + v = 269t + 2
y + 2 + u = 519t 1
Así la solución general es x = 519t
1; y =
269t + 2:
Teorema 123 La ELD a1 x1 + a2 x2 +
+ an xn = c tiene solución si y solamente si (a1 ; a2 ; :::; an )jc: Cuando ésta es soluble, tiene in…nitas soluciones.
Ejemplo 124 Determine si las ELD 6x + 8y + 12z = 10 y 6x + 12y + 15z = 10
tienen solución.
Solución.
Ya que (6; 8; 12) = 2 y 2j10; la ELD 6x + 8y + 12z = 10 tiene solución.
(6; 12; 15) = 3; pero 3 - 10 luego 6x + 12y + 15z = 10 no tiene soluciones
enteras.
134
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Se concluye esta sección con un ejemplo que ilustra la solución de ELDs con
tres variables.
Ejemplo 125 Encuentre la solución general de la ELD 6x + 8y + 12z = 10:
Solución. Por el ejemplo precedente, la ELD 6x + 8y + 12z = 10 tiene
in…nitas soluciones. Ya que 8y + 12z es una combinación lineal de 8 y 12, esta
combinación es múltiplo de (8; 12) = 4. Así
8y + 12z = 4u
(3.15)
Esto permite obtener la ELD en dos variables: 6x + 4u = 10: Resolviendo
ésta se tiene
2 = 1 6 + ( 1) 4
10 = 5 6 + ( 5) 4
luego x0 = 5; u0 = 5, de donde x = 5 + 2t y u =
arbitrario.
Ahora sustituyendo u en la ecuación (3.15):
8y + 12z = 4( 5
Note que (8; 12) = 4 y 4 =
4( 5
5
3t con t un entero
3t)
1 8 + 1 12; por tanto
3t) = (5 + 3t) 8 + ( 5
3t) 12
Así, por el Teorema 118, la solución general de la ecuación (3.15), asumiendo
como soluciones particulares y0 = 5 + 3t; z0 = 5 3t y parámetro t0 es y =
5 + 3t + 3t0 ; z = 5 3t 2t0 : De esta forma la solución general de la ELD
dada es
x = 5 + 2t
y = 5 + 3t + 3t0
z =
5 3t 2t0
donde t y t0 son enteros arbitrarios.
Obviamente, este método de reducir el número de variables puede ser ampliado a ELDs con cualquier número …nito de variables.
Ejercicios 3.5
Usando el Teorema 118 determine si cada una de las ELDs tiene solución.
1. 12x + 16y = 18
2. 14x + 16y = 15
3.5. ECUACIONES LINEALES DIOFÁNTICAS
3. 12x + 13y = 14
4. 28x + 91y = 119
5. 1776x + 1976y = 4152
6. 1076x + 2076y = 1155
Encuentre la solución general de cada ELD usando el Teorema 118.
7. 2x + 3y = 4
8. 12x + 16y = 20
9. 12x + 13y = 14
10. 15x + 21y = 39
11. 28x + 91y = 119
12. 1776x + 1976y = 4152
Determine si cada ELD tiene solución.
13. 2x + 3y + 4z = 5
14. 8x + 10y + 16z = 25
15. 12x + 30y
42z = 66
16. 76w + 176x + 276y + 376z = 476
Resuleva las siguientes ELDs.
17. x + 2y + 3z = 6
18. 2x
3y + 4z = 5
19. 6x + 12y
20. 12x + 30y
15z = 33
42z = 66
135
136
CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Apéndice A
Una Introducción al
paquete DERIVE
A.1.
¿QUÉ ES DERIVE?
Derive es un programa de cálculo simbólico, o en otras palabras un lenguaje
de programación de alto nivel, ofreciendo al usuario unas características particulares tales como:
1. Tiene la posibilidad de de ingresar expresiones de tipo racional, como
por ejemplo 2=9 sin la necesidad de operar con su resultado inmediato =
0;222 22, aunque también se puede ingresar éste para efectuar las debidas
operaciones matemáticas.
2. Permite la manipulación de variables sin asignación, lo que indica que
podemos emplear expresiones no numéricas, obteniendo así expresiones de
tipo algebraico donde los datos ingresados no han de ser necesariamente
valores numéricos.
3. Soportan estructuras de datos de tipo vectorial y matricial.
4. Admiten realizar programaciones, aunque DERIVE utiliza una programación funcional en algunos casos muy poco operativa.
137
138
A.2.
APÉNDICE A. UNA INTRODUCCIÓN AL PAQUETE DERIVE
RECUENTO DE LOS PRINCIPALES COMANDOS
A continuación, vamos a describir brevemente los comandos funcionales del
software Derive 6.0, así como los principales íconos que se emplearan con mayor
frecuencia a lo largo del trabajo aplicativo. Al ingresar por primera vez a Derive,
podremos observar la pantalla:
En ella podemos identi…car los comandos que abarcan desde la parte superior
hasta la inferior, los cuales, describiremos a continuación:
A.2.1.
Barra de Títulos
En ésta aparece el nombre del programa, así como el nombre que le hemos
asignado a nuestro archivo en Derive, para este caso Álgebra 1 que es otorgado
automáticamente por el software. Adicionalmente los botones de minimizar,
maximizar y cerrar la ventana.
A.2.2.
Barra de Menú
En ésta aparecen las funciones básicas de Derive, clasi…cadas en forma de
menú. Los menús principales son; Archivo, edición, editar (autor), simpli…car, resolver, cálculo, de…nir, opciones, ventana y ayuda. Para acceder a ellos podemos
hacerlo de dos maneras: La primera, dando clic con el mouse sobre el comando,
desplegando así el grupo de subcomandos que lo contiene, la segunda„ aplicar
A.3. APLICACIONES CON DERIVE
139
la secuencia ALT+(Letra Subrayada), por ejemplo para desplegar el comando
Edición, pulsaría la secuencia ALT+E.
A.2.3.
Barra de herramientas o de órdenes
En la barra de herramientas se encuentran los iconos que representan los
comandos utilizados con mayor frecuencia, tales como; Nuevo, guardar, simpli…car, sumatoria, límite, etc.
A.2.4.
Ventana de álgebra
Aquí aparecen las operaciones que queremos efectuar luego de ser ingresadas
en la barra de introducción de expresiones, estas aparecen antecedidas por etiquetas como: #1, #2, etc.
A.2.5.
Barra de estado
En la barra de estado recibimos mensajes del programa con relación a las
operaciones que estamos ejecutando.
A.2.6.
Barra de introducción de expresiones
Llamada también línea de edición, nos permite introducir las expresiones
matemáticas que después serán visualizadas en la ventana de álgebra.
A.2.7.
Barra de de letras griegas y símbolos matemáticos
En ella tenemos disponibles un conjunto de letras y símbolos de los cuales
podemos disponer a la hora de efectuar los cálculos en la línea de edición con
solo dar clic con el mouse sobre cada botón.
A.3.
APLICACIONES CON DERIVE
A.3.1.
Introducir expresión
Luego de una breve introducción a nuestro software derive, procederemos
con la aplicabilidad del mismo. Lo primero que vamos a hacer es incorporar una
expresión matemática, sea la ecuación x2 4x + 16 = 0, dicha expresión. Para
ingresarla, iremos a la barra de menús, tomamos la opción introducir y damos
clic en donde aparece Expresión (o bien se puede solo presionar F2). Luego en
la barra de introducción de expresiones el cursor empezará a titilar, esperando
a que se introduzca la ecuación.
También podemos simplemente dirigirnos directamente a la barra de introducción de expresiones e ingresar la ecuación. Para elevar la x al cuadrado,
como opción se tiene en la barra de símbolos matemáticos la tecla ^, tan solo
140
APÉNDICE A. UNA INTRODUCCIÓN AL PAQUETE DERIVE
la pulsamos y enseguida tomara el valor anterior como un término elevado a
la potencia que el usuario de…na. A continuación para verla en la ventana de
álgebra, pulsamos Enter en donde nuestra ecuacion aparecerá precedida de la
etiqueta #1, así
A.3.2.
Simpli…car Expresiones
Normal
Para simpli…car normal, se hace clic sobre =, o simplemente se pulsa Ctrl+B.
Sirve para simpli…car numérica y algebraicamente expresiones matemáticas. Esta orden simpli…ca la expresión o la subexpresión resaltada y muestra el resultado en la Ventana de Álgebra. El resultado se resalta y recibe una etiqueta (un
número con #). Si se quiere ver tanto la expresión de entrada como el resultado
una vez simpli…cado en una sola línea, introduzca la expresión seguida de un
signo igual (=) y haga clic sobre Sí. Derive muestra una ecuación cuyo segundo
término es el resultado de simpli…car el primer término.
El segundo objetivo de simpli…car normal es transformar las expresiones
en otras que sean lo más pequeñas posibles, ya que así ocupan menos espacio
para ser almacenadas. Según como sea la expresión, puede que tarde mucho en
ser simpli…cada. Después de algunos segundos, el diálogo Progreso del Cálculo
aparecerá indicando:
1. La expresión que está siendo simpli…cada
2. La cantidad de tiempo utlizada en simpli…car la expresión
3. El porcentaje de la memoria que está siendo usada para simpli…car la
expresión.
Expandir
El objetivo de expandir una expresión con respecto a unas variables es maximizar el número de términos que son algebraicamente independientes respecto
de esas variables. Use simpli…car expandir, pulsando Ctrl+E o use la función
EXPAND para expandir una expresión o subexpresión con respecto de algunas
(o todas) de sus variables. Si una expresión polinómica se expande, se obtiene
justamente la expansión de ese polinomio. Si se expande una expresión racional,
se obtiene su descomposición en fracciones simples. Notemos que simpli…car
expandir y la función EXPAND no controlan expansiones exponenciales, logarítmicas ni trigonométricas.
Simpli…car expandir expande la expresión resaltada o sólo la subexpresión
resaltada. Es este último caso, el resultado será una copia de la expresión en
la que se ha expandido la subexpresión resaltada. Una expresión que contiene
más de una variable puede ser expandida con respecto a algunas o a todas sus
variables. Simpli…car expandir muestra una lista de las variables. Pulse Enter
A.3. APLICACIONES CON DERIVE
141
si la expansión quiere hacerla con respecto a todas las variables en el orden
mostrado. De otro modo, entre la primera variable, la secundaria, etc.
La función EXPAND puede usarse para introducir directamente la expresión
que se quiera expandir así: EXPAND(u, x, y,...) expande la expresión u(x,
y,...) con respecto a las variables x, y,... Si no se especi…can las variables,
la expansión se hace con respecto a todas las variables de la expresión. También se usa Simpli…car expandir y la función EXPAND para descomponer en
fracciones simples una expresión racional (o una subexpresión) con respecto a
alguna o a todas las variables de su denominador.
Factorizar
Utilice simpli…car factorizar, pulsando Ctrl+F o use la función FACTOR
para factorizar una expresión o subexpresión con respecto a alguna o a todas sus
variables. Simpli…car factorizar, factoriza la expresión o subexpresión resaltada,
de modo que si se resalta una subexpresión, el resultado es una copia de la
expresión completa en la que sólo la subexpresión se ha factorizado.
Una expresión de varias variables puede ser factorizada con respecto a algunas o a todas sus variables. Simpli…car factorizar le permite seleccionar las variables para la factorización. Haga clic sobre la que quiera que sea la primera, la
segunda, etc. Las subexpresiones que no contienen las variables de factorización
se simpli…can sin ser transformadas innecesariamente. En otras palabras, las
subexpresiones que sólo contienen variables que no son las de factorización no
son expandidas ni factorizadas innecesariamente. Las potencias de exponentes
semejantes se reúnen y se simpli…can. La función FACTOR puede usarse desde
la línea de entrada como: FACTOR(u, amount, x, y,...) factoriza la expresión
u(x, y,...) con respecto a las variables x, y,... Si no se indican variables,
la expansion se hace con respecto a todas ellas.
Aproximar
Utilice simpli…car aproximar, pulsando Ctrl+G o usando la función APPROX que sirve para aproximar los números irracionales en tales expresiones
sin cambiar la precisión. Resolver expresiones usando aproximar es equivalente
a reducir expresiones con simpli…car normal pero cambiando temporalmente
la precisión aproximada y la notación cientí…ca. Simpli…car aproximar permite
además introducir el número de dígitos de precisión que se usarán en los cálculos
y que se mostrarán en el resultado.
La función APPROX puede usarse de forma equivalente en la línea de entrada así: APPROX (u, n) aproxima la expresión u usando n dígitos de precisión. Si
se omite n, se toma el número seleccionado actualmente por defecto en Derive.
Señalemos que tanto simpli…car expandir, factorizar, aproximar como simpli…car
normal transforman una expresión en otra en forma su…cientemente simple. Sin
142
APÉNDICE A. UNA INTRODUCCIÓN AL PAQUETE DERIVE
embargo, simpli…car normal es casi siempre mucho más rápida y usualmente
proporciona un tipo de expresión más parecida a la expresión original.
A.3.3.
Introducir vector
Para introducir un vector, realizaremos el proceso que empleamos al insertar
una expresión, es decir, nos dirigimos al menú introducir solo que ésta vez damos
clic en donde aparece vector (otra manera es oprimir en la barra de ordenes la
opción introducir vector). A continuación, nos mostrara una ventana en donde
solicitará el número de elementos de dicho vector, para nuestro ejemplo elegiremos 4 y damos Sí a la ventana. Nuevamente, aparecerá una ventana en donde
la parte superior describirá el número de elementos que hemos seleccionado; allí
ingresaremos los valores de nuestro vector por ejemplo ingresemos los números
impares del 1 al 7 al dar Sí, en la ventana de álgebra se obtendrá [1, 3, 5,
7].
A.3.4.
Introducir Matriz
De igual forma que para montar un vector, Derive ofrece la opción en el
menú introducir para insertar una matriz (o en la barra de ordenes oprimir
introducir matriz). Al pulsar en ella aparecerá el cuadro de diálogo similar a
introducir vector, solo que esta vez solicitara que demos las dimensiones (…las
y columnas), ingresemos las opciones de 4 …las y 4 columnas, luego asociemos
a cada celda un número, tomemos como ejemplo los números f2; 3; 4; 5g en
la primera …la, f3; 4; 5; 6g en la segunda …la, f4; 5; 6; 7g en la tercera …la, y
f5; 6; 7; 8g en la cuarta …la luego demos Sí para que genere nuestra matriz:
3
2
2 3 4 5
6 3 4 5 6 7
7
6
4 4 5 6 7 5
5 6 7 8
Ahora, de forma manual pulsamos F2 y en la barra de introducción de expresiónes escribimos: VECTOR(VECTOR((j + k), j, 1, 4), k, 1, 4), en donde j
y k varian desde uno hasta cuatro para cada uno de los valores.