Asignaturas del doctorado en Matemticas

Asignaturas del doctorado en Matemáticas
(2005- 2006)
OPCIÓN ÁLGEBRA
Geometría algebraica
F 3 Op
Variedades afines y proyectivas. Topología de Zariski. El teorema de los zeros de
Hilbert. Morfismos regulares y aplicaciones racionales. Fajos y localización.
Variedades no singulares. Curvas no singulares y cuerpos de funciones. Teorema
de Riemann-Roch. Teoría de la dimensión y teoría de intersección. Se recomienda
haber hecho el curso de Álgebra conmutativa.
Joaquim Roé Vellvé
Álgebra Conmutativa
F 4,5 Op
Se estudiaran anillos noetherianos conmutativos y descomposición primaria,
extensiones enteras. Teoremas de ascenso y descenso, completaciones, teoría de
la dimensión, anillos de Cohen-Macaulay. En el caso especial de álgebras
finitamente generadas sobre un cuerpo, se demostrará el Lema de Normalización
de Noether y el Teorema de Zeros de Hilbert.
Dolors Herbera Espinal
Teoría de Grupos
F 3,00 Op
Se estudia la teoría combinatoria de grupos a través de la teoría de Bass-Serre de
grupos actuando sobre árboles. La aplicación principal será una
demostración del teorema de Stallings. (El teorema de Stallings y Swan dice que
los grupos de dimensión cohomológica como mucho 1 son
precisamente los grupos libres. Stallings hizo el caso de los grupos finitamente
generados).
Warren Dicks McLay
OPCIÓN ANÁLISIS MATEMÁTICA
Análisis Complexa Avanzada
F 3,00 Op
1. Representación conforme: Espacios de funciones meromorfas, teorema de
Riemann, fórmulas de Schwarz-Cristoffel, teoremas del área, Koebe,
distorsión.
2. Funciones clásicas: Funciones Gamma y zeta.
3. Teoremas de Picard: Teoremas de Bloch, de Landau, de Schottky y de Picard.
4. Aproximación racional: Teorema de Runge, de Mittag-Leffler. Teoremas de
Hartogs-Rosenthal y Mergelyan.
Joan Josep Carmona Domènech
Análisis Harmónica Avanzada
F 4,5 Op
- Distribuciones templadas y transformada de Fourier.
- Teoremas de recubrimiento y funciones maximals.
- Transformada de Hilbert.
- Operadores de Calderón-Zygmund.
- El espacio BMO y la desigualdad de John-Nirenberg.
Xavier Tolsa Domènech
Análisis Real Avanzada
F 3,00 Op
1. Diferenciación de funciones reales.
2. Integración abstracta y espacios de Lebesgue.
3. Teoremas de Lebesgue y de Radon-Nikodym.
4. Teorema de representación de Riesz
Joan Orobitg Huguet
OPCIÓN ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Procesos de Lévy y finanzas
F 3 Op
1. Modelos continuos en finanzas. El modelo de Black-Scholes.
2. Imperfecciones del modelo de Black-Scholes.
3. Procesos de Lévy y leyes infinitamente divisibles.
4. Modelos de Lévy paramétricos en finanzas.
5. Simulaciones y aplicaciones.
Josep Sole Clivilles
Josep Vives Santa-Eulalia
Joan del Castillo Franquet
Matingales e integrales estocásticas
F 3 Op
1. Procesos estocásticos a tiempo continuo.
2. Martingalas.
3. Integrales estocásticas.
4. Semimartingalas.
5. Cálculo de Itô.
Frederic Utzet Civit
Probabilidad y procesos estocásticos
F 4,5 Op
1. Teoría de la medida: medidas e integración.
2. Teoría de la probabilidad: espacios de probabilidad, esperanza matemática,
independencia, teoremas límite, probabilidad condicionada y
esperanza condicionada.
3. Procesos estocásticos: martingalas, introducción a los procesos de Markov y a
los procesos de Lévy.
Aureli Alabert Romero
OPCIÓN GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA
Cobordismo
F 3 Op
1. Cobordismo de variedades.
2. La construcción de Thom-Pontrjagin.
3. Cohomología del espectro de Thom.
4. La sucesión espectral de Adams.
5. Cálculo del anillo de cobordismo.
6. Géneros. El teorema de la signatura.
Jaume Aguade Bover
Teoría de homotopía
F 4 Op
En este curso se discutirán los conceptos y técnicas clásicas de la teoría de
homotopía como los grupos de homotopía de un espacio, fibraciones y
pull-backs, cofibraciones y push-outs, el homomorfismo de Hurewicz, los teoremas
clásicos (de Whitehead, de Freudenthal y de
Blackers-Massey), los k-invariantes de un espacio topológico y las torres de
Postnikov.
Jerome Scherer
Introducción a la Geometría Integral
F 3 Op
Fórmulas clásicas de geometría integral plana: medida de rectas y fórmula de
Cauchy-Crofton, medida cinemática y fórmula Blaschke.
Traslado de los conceptos anteriores a ciertos espacios homogéneos. Trabajo del
concepto de avaluación. Introducción del teorema de Hadwiger, que dice
cuales son las valuaciones generadoras de las valuaciones continuas sobre
policonvexas en el espacio euclidiano.
Eduardo Gallego Gómez
OPCIÓN MATEMÁTICA APLICADA
Las funciones didácticas de la modelización y las calculadoras simbólicas
F 3 Op
El modelo epistemológico dominante en los actuales sistemas de enseñamiento
presupone que la aritmética precede a la álgebra y esta al cálculo y
al análisis. Estudiaremos como la modelización matemática, considerada como
técnica didáctica y auxiliada con el uso sistemático de las
Calculadoras Simbólicas, permite superar este reduccionismo y diseñar un
proceso de estudio no lineal.
Josep Gascon Perez
Introducción a la Dinámica Discreta
F 4,5 Op
Dinámica combinatoria en el intervalo.
Nombres de rotación y Dinámica combinatoria en el círculo.
Funciones unimodales del intervalo: Teoría de "kneading" y bifurcaciones.
Dinámica en dimensión superior: la herradura de Smale, los automorfismos de los
tor y la bifurcación de Hopf.
Introducción a la dinámica complexa analítica: familia cuadrática, el conjunto de
Julia y su geometría.
Espacios de Sobolev, EDPs y cálculo variacional
F 3 Op
El curso analizará en detalle las propiedades básicas de los espacios de Sobolev y
aplicará los conceptos mencionados a estudiar las soluciones
variacionales de los problemas de contorno para la ecuación de Poisson y los
problemas de Cauchy para la ecuación del calor y las ondas.
Jose Antonio Carrillo de la Plata
Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales
F 3 Op
1)Puntos singulares, hiperbólicos, semi-hiperbólicos, nilpotentes y linealmente
zero.
2) Índice de un punto singular. Teorema de Poincaré-Hopf.
3) El problema de centre-focus.
4) Compactificación de Poincaré.
5) Ciclos límites.
6) Integrabilidad.
Jaume Llibre Salo