diagramas de fase de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales

DIAGRAMAS DE FASE DE SISTEMAS LINEALES
DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
Alejandro Lugon
26 de mayo de 2010
1.
Ecuaciones planares: dos dimensiones
Las soluciones del sistema homogéneo:
ẋ = ax + by
ẏ = cx + dy
se agrupan en tres categorı́as de acuerdo a las raı́ces de la ecuación (o polinomio) caracterı́stica(o) de A:
Det(A − λI) = 0
esta ecuación es un polinomio de segundo grado y por lo tanto tiene 2 raı́ces. Estas raı́ces
pueden ser:
1. Reales y diferentes
2. Reales e iguales
3. Complejos conjugados
Cada posibilidad es una categorı́a. En lo que sigue consideramos det(A) 6= 0:
1.1.
Raı́ces reales diferentes
Sean λ1 y λ2 dichas raı́ces, estas son los valores propios de A. Consideremos a v y w los
respectivos vectores propios asociados.
1
Luego la solución serı́a:
"
x(t)
y(t)
"
#
= K1 eλ1 t v + K2 eλ2 t w = K1 eλ1 t
v1
v2
"
#
+ K 2 e λ2 t
w1
w2
#
es decir
x(t) = K1 v1 eλ1 t + K2 w1 eλ2 t
y(t) = K1 v2 eλ1 t + K2 w2 eλ2 t
donde las constantes K1 y K2 se determinan con las condiciones iniciales:
x0 = x(0) = K1 v1 + K2 w1
y0 = y(0) = K1 v2 + K2 w2
resolviendo estas ecuaciones encontramos1
w2 x0 − w1 y0
w2 v1 − w1 v2
v1 y0 − v2 x0
=
w2 v1 − w1 v2
K1 =
K2
Para cada vector propio tenemos un subespacio invariante (una recta que pasa por el origen):
Tv = {rv|r ∈ R} = {(x, y)|yv1 − xv2 = 0}
Tw = {rw|r ∈ R} = {(x, y)|yw1 − xw2 = 0}
de manera que si la condición inicial pertenece a uno de estos subespacios toda la solución
también pertenecerá.
Por ejemplo si (x0 , y0 ) ∈ Tv entonces v1 y0 − v2 x0 = 0, esto implica que K2 = 0 y que la
solución particular es:
x(t) = K1 v1 eλ1 t
y(t) = K1 v2 eλ1 t
de donde podemos calcular:
v1 y(t) − v2 x(t) = 0
1
El denominador no es nulo porque v y w son linealmente independientes (no paralelos).
2
y verificar que para todo t:
(x(t), y(t)) ∈ Tv
De igual manera se puede proceder con Tw .
Los subespacios invariantes serán convergentes o divergentes según el valor propio asociado sea negativo o positivo.
Si los dos valores propios son negativos tendremos dos subespacios invariantes convergentes, el equilibrio será un nodo (asintóticamente) estable como en 1a2 .
Si un valor propio es positivo y el otro negativo tendremos un subespacio invariante
divergente y otro convergente, el equilibrio será tipo silla como en 1b. Algunas veces se
refiere a este tipo de equilibrio como condicionalmente estable.
Si los dos valores propios son positivos tendremos dos subespacios invariantes divergentes,
el equilibrio será un nodo inestable como en 1c.
1.2.
Raı́ces reales iguales
Sea λ 6= 0 el valor de dicha raı́z y v el vector propio asociado3 . Podemos conseguir otro
vector propio “generalizado”w resolviendo el sistema (A − λI)w = v (v y W son linelamente
independientes)
2
En este y todos los diagramas siguientes, el punto central corresponde al equilibrio (0, 0) y los ejes
coordenados X − Y no se dibujan para dar claridad al esquema.
3
No consideramos el caso especial en el cual podemos encontrar dos vectores propios linealmente independientes asociados a λ.
3
Con estos dos vectores la solución buscada es:
"
#
x(t)
= K1 eλt v + K2 eλt (w + tv)
y(t)
= (K1 v + K2 w)eλt + (K2 v)teλt
"
#
"
#
K1 v1 + K2 w1
K2 v1
λt
=
e +
teλt
K1 v2 + K2 w2
K2 v2
es decir
x(t) = (K1 v1 + K2 w1 )eλt + K2 v1 teλt
y(t) = (K1 v2 + K2 w2 )eλt + K2 v2 teλt
donde las constantes K1 y K2 se determinan con las condiciones iniciales:
x0 = x(0) = K1 v1 + K2 w1
y0 = y(0) = K1 v2 + K2 w2
resolviendo estas ecuaciones encontramos
w2 x0 − w1 y0
w2 v1 − w1 v2
v1 y0 − v2 x0
=
w2 v1 − w1 v2
K1 =
K2
Dados (x0 , y0 ) la solución particular es:
v1 y0 − v2 x0
v1 teλt
w2 v1 − w1 v2
v1 y0 − v2 x0
y(t) = y0 eλt +
v2 teλt
w2 v1 − w1 v2
x(t) = x0 eλt +
Para este caso solo hay un subespacio invariante determinado por el vector v:
Tv = {(x, y)|yv1 − xv2 = 0}
Nuevamente si (x0 , y0 ) ∈ Tv : v1 y0 − v2 x0 = 0, K2 = 0 y la solución particular es:
x(t) = K1 v1 eλ1 t
y(t) = K1 v2 eλ1 t
4
de donde podemos calcular:
v1 y(t) − v2 x(t) = 0
y verificar que para todo t:
(x(t), y(t)) ∈ Tv
El subespacio invariante sera convergente o divergente según el valor propio doble sea
negativo o positivo.
Si el valor propio es positivo tendremos un subespacio invariante divergente, el equilibrio
será un nodo inestable como en 2a o 2c.
Si el valor propio es negativo tendremos un subespacio invariante convergente, el equilibrio
será un nodo (asintóticamente) estable como en 2b o 2d.
1.3.
Raı́ces complejas conjugadas
Sean α + iβ y α − iβ las raı́ces del polinomio caracterı́stico. En general estos no tienen
vectores propios reales asociados a ellos, pero si podemos encontrar v y w vectores linealmente
5
independientes, tales que:
Av = αv − βw
Aw = βv + αw
La solución es
x(t) = K1 eαt Cos(βt) + K2 eαt Sen(βt)
y(t) = L1 eαt Cos(βt) + L2 eαt Sen(βt)
para ciertas constantes K1 , K2 , L1 y L2 .
En este caso no se tienen subespacios invariantes. Las trayectorias de las soluciones son
oscilantes alrededor del equilibrio. Si α 6= 0 las soluciones serán “espirales elı́pticas´´, la estabilidad está determinada por el signo de α, si es negativo tendremos un equilibrio asintóticamente estable, cómo en 3c, si es positivo tendremos un equilibrio inestable, como en 3b.
Si α = 0 las soluciones serán ciclos cerrados elı́pticos y el equilibrio será estable pero no
asintóticamente estable, como en 3a. En todos los casos el sentido del giro se puede determinar con el signo de ẋ evaluado en el punto (0, 1): ẋ|(0,1) = b, si b > 0 entonces ẋ|(0,1) > 0
y el sentido es horario, como en 3a, 3b y 3c, si b < 0 entonces ẋ|(0,1) < 0 y el sentido es
antihorario4 .
En 3a las lı́neas punteadas corresponden a los ejes de la elipse.
4
Si b = 0 no se tienen raı́ces complejas.
6