PROPUESTAS T7 INTERPOLACIÓN MAT CCSS I

Actividades complementarias
7
Interpolación
Propuesta A
1. En la tabla adjunta se observa el precio, en dólares, del barril de crudo brent durante los últimos años:
Evolución del precio del barril de crudo brent
Año
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Marzo 2008
Precio ($)
29
24,7
25
28,8
43,5
54,2
66,2
72,5
95,9
a) Dibuja una gráfica que describa la evolución del precio el barril de crudo brent.
b) Halla el dominio y el recorrido de la función representada.
c) ¿Hay alguna función elemental que se ajuste a dicha gráfica?
2. Halla la función de interpolación lineal que pasa por los puntos (21, 3) y (5, 21).
Calcula el valor de dicha función para los puntos x 5 0 y x 5 7.
3. La siguiente tabla proporciona algunos valores de una determinada función:
x
0
2
5
f(x)
23
7
34
a) Determina, por interpolación lineal, el valor de dicha función para x 5 3.
b) Halla la función de interpolación cuadrática que se ajusta a los datos de la tabla.
Calcula el valor de dicha función para x 5 3 y x 5 7.
4. El precio del billete de una línea de autobuses interurbanos para un recorrido de 120 km es de 7,50 euros; y para
uno de 160 km, de 9,90 euros.
a) Halla la función lineal que determina el precio del billete en términos del número de kilómetros del trayecto.
b) ¿Cuál es el importe de un billete para un recorrido de 135 km? ¿Y para uno de 230 km?
c) Si un billete cuesta 5,10 euros, ¿cuántos kilómetros tiene el recorrido?
5. El número de habitantes de una determinada ciudad ha evolucionado de acuerdo a los datos reflejados en la siguiente
tabla:
Año
1995
2001
2007
23
27
33
Población (miles de habitantes)
a) Estima, mediante una función de interpolación cuadrática, la población en 2003.
b) ¿Qué población se espera que alcance la ciudad en el año 2012?
6. Sabiendo que log (2) 5 0,3010, log (3) 5 0,04771 y log (4) 5 0,6020, contesta a las siguientes preguntas:
a) Calcula, mediante interpolación lineal, log (2, 7).
b) Realiza el mismo ejercicio utilizando la interpolación cuadrática.
c) Compara los resultados obtenidos con los que proporciona la calculadora. A la vista de los resultados, ¿qué interpolación se ajusta más a la función log (x ) en el intervalo (2, 4)?
28
Actividades complementarias
Propuesta B
1. A partir de la tabla de valores de una determinada función, contesta a las preguntas siguientes.
x
0
2
4
6
8
10
f(x)
2
4
5
4
1
0
a) Halla la función de interpolación lineal a trozos que se ajusta a dicha tabla de valores y represéntala gráficamente.
b) A partir de dicha función, determina el valor que correspondería a f(x) en los siguientes puntos:
x 5 1,5
x 5 3
x 5 5,5
x 5 6,5
x 5 9
c) Halla la función de interpolación cuadrática que pasa por los puntos (2, 4), (4, 5) y (6, 4) y represéntala gráficamente.
d) A partir de dicha función, determina el valor que correspondería a f(x) en los puntos x 5 3 y x 5 5,5.
2. Los gastos de producción y los ingresos por ventas de una determinada empresa a lo largo de tres años consecutivos vienen dados por la siguiente tabla:
Gastos (millones de euros)
3
4,5
7
Ingresos (millones de euros)
10
13
20
a) Considerando los datos del primer y del tercer año, obtén la función de interpolación lineal que indica los ingresos
por ventas en términos de los gastos de producción.
b) ¿Cuál es el error que se comete al calcular los ingresos del segundo año utilizando la recta de interpolación?
3. En la siguiente tabla se observa la relación que existe entre la edad y el peso de los embriones de cierta especie
animal:
Edad (días)
3
5
8
Peso (g)
2
22
73
a) Obtén el polinomio de interpolación cuadrática que expresa el peso del embrión en función de su edad.
b) Determina el peso que correspondería a un embrión de seis días y medio.
4. La relación entre la antigüedad de un automóvil y el número medio de kilómetros rodados a lo largo de su vida viene determinada por la siguiente tabla de valores:
Antigüedad (años)
2
4
5
Kilometraje (miles de km)
30
50
60
a) Halla el polinomio de interpolación de segundo grado que expresa los kilómetros recorridos en función de los años
de vida del automóvil. ¿Cómo explicas el resultado obtenido?
b) Si un automóvil tiene 3 años, ¿cuántos kilómetros se esperaría que hubiese rodado, según esta estimación?
5. Con los datos de la siguiente tabla obtén, por interpolación lineal, el valor de Ï1,6
w.
x
1
2
1x
Ï1w
1,4142
1,7321
Compara el valor obtenido con el que da la calculadora, y acota el error cometido.
6. Sabiendo que sen 308 5 0,5; sen 328 5 0,5299 y sen 348 5 0,5592, responde a las siguientes preguntas:
a) Calcula el valor de sen 318, por interpolación lineal y por interpolación cuadrática.
b) Compara los resultados obtenidos con los que da la calculadora y, a la vista de los resultados, estima qué interpolación se ajusta más a la función f(x) 5 sen x en el intervalo (308, 348).
Actividades complementarias
29
1.
Precio ($)
Soluciones propuesta A
100
90
80
70
60
50
40
30
20
000
a) Representados los puntos de la tabla, se unen y se obtiene una aproximación
a la gráfica que indica la evolución del precio del crudo en el período 2000marzo de 2008.
b) El dominio de la función es el período 2000-marzo de 2008.
El recorrido de la función es R (f) 5 [24,7; 95,9].
02
04
06
08
Año
c) A la vista de la tabla de valores y de la gráfica, no se observa que la evolución del precio del crudo se ajuste a ninguna función elemental.
Se puede observar que en el último período ha tenido un crecimiento rapidísimo, mientras que en el primero el incremento ha sido muy moderado, con algunos períodos de descenso.
2. La expresión analítica de dicha función es:
f(x ) 5 ax 1 b
3 5 2a 1 b
21 5 5a 1 b
Como pasa por el punto (21, 3), será:
Como pasa por el punto (5, 21), será:
2
7
2
7
Resolviendo el sistema, se obtiene que a 5 2}} y b 5 }} . Por tanto, le expresión final será f(x) 5 2}} x 1 }} .
3
3
3
3
7
7
En el punto x 5 0 la función toma el valor f(0) 5 }} , mientras que en el punto x 5 7 toma el valor f(7) 5 2}} .
3
3
3. a) La expresión analítica de la función de interpolación lineal en el intervalo (2, 5) es f(x ) 5 ax 1 b.
Como pasa
Como pasa
Resolviendo
En el punto
por el punto (2, 7), será:
7 5 2a 1 b
por el punto (5, 34), será:
34 5 5a 1 b
el sistema, se obtiene que a 5 9 y b 5 211. Por tanto, la expresión de función es f(x) 5 9x 2 11.
x 5 3, la función toma el valor f(3) 5 16.
la función de interpolación cuadrática es g(x ) 5 ax 2 1 bx 1 c.
(0, 23), será:
23 5 c
(2, 7), será:
7 5 4a 1 2b 1 c
(5, 34), será:
34 5 25a 1 5b 1 c
4
17
Resolviendo el sistema, se obtiene que a 5 }} , b 5 }} y c 5 23. Por tanto, la expresión de la función es
5
5
4
17
f(x ) 5 }} x 2 1 }} x 2 3
5
5
72
En el punto x 5 3, la función toma el valor f(3) 5 }} ; y en x 5 7, el valor f(7) 5 60.
5
b) La expresión analítica de
Como pasa por el punto
Como pasa por el punto
Como pasa por el punto
4. a) Por tratarse de una función lineal, su expresión analítica es P(x ) 5 ax 1 b.
Según los datos, se tiene que:
P(120) 5 7,5 ⇒ 120a 1 b 5 7,5
P(160) 5 9,9 ⇒ 160a 1 b 5 9,9
Resolviendo el sistema, se obtiene que a 5 0,06 y b 5 0,3. Por tanto, la expresión de la función es P(x) 5 0,06x 1 0,3.
b) Para un recorrido de 135 km, el billete costará P(135) 5 8,40 €. Para uno de 230 km, P(230) 5 14,10 €.
c) P(x0) 5 5,10 ⇒ 0,06x 1 0,3 5 5,10 ⇒ x 5 80 km
5. Para simplificar los cálculos, tomamos 1995 como año 0.
a) Por tratarse de una función cuadrática, su expresión es P(x) 5 ax 2 1 bx 1 c.
Teniendo en cuenta los datos de la tabla, se resuelve el sistema:
5
c 5 23
⇒
36a 1 6b 1 c 5 27
144a 1 12b 1 c 5 33
1
1
La función, por tanto, tiene la expresión P(x) 5 }} x 2 1 }} x 1 23 ⇒ P(8) 5 28,78
36
2
La población en 2003 (x 5 8) será, aproximadamente, de 28 780 habitantes.
5
1
a 5 }}
36
1
b 5 }}
2
x 5 23
b) En 2012 (x 5 17): P(17) 5 39,53 ⇒ La población en 2012 será, aproximadamente, de 39 530 habitantes.
5 2a 1 b 5 0,3010
5 a 5 0,1761
6. a) Mediante interpolación lineal: f(x) 5 ax 1 b ⇒ 3a 1 b 5 0,4771 ⇒ b 5 20,0512 ⇒
⇒ log (x) 5 0,1761x 2 0,0512 ⇒ log (2, 7) 5 0,4243
b) Mediante interpolación cuadrática: f (x) 5 ax 2 1 bx 1 c ⇒
5
4a 1 2b 1 c 5 0,3010
9a 1 3b 1 c 5 0,4771 ⇒
16a 1 4b 1 c 5 0,6020
5
a 5 20,0256
b 5 0,3041 ⇒
c 5 20,2048
⇒ log (x) 5 20,0256x 2 1 0,3041x 2 0,2048 ⇒ log (2, 7) 5 0,4296
c) Con calculadora, se obtiene el valor log (2, 7) 5 0,4314. Es decir, la aproximación mediante la función de interpolación cuadrática se ajusta más a la función f (x ) 5 log (x ), en el intervalo (2, 4).
30
Actividades complementarias
Soluciones propuesta B
1. a) La expresión analítica del primer segmento de recta, que une los puntos (0, 2) y (2, 4) será:
f1(x) 5 ax 1 b ⇒
5 b2a512b 5 4 ⇒ 5 ba 55 12 ⇒ f (x) 5 x 1 2
1
b 5 2
⇒
5 2a
1 b 5 4
5 ba 55 }32} ⇒ f (x) 5 }12} x 1 3
1
Para el segundo segmento de recta, se tiene: f2(x ) 5 ax 1 b ⇒
2
De la misma manera, se obtienen los demás segmentos de recta: f3(x ) 5 x 1 7; f4(x ) 5 x 1 13; f4(x) 5 x 1 5
b) En el punto x 5 1,5 la función toma el valor f1(1,5)
3
En el punto x 5 3, toma el valor f2(3) 5 }} 1 3 5
2
5 1,5 1 2 5 3,5.
9
}} .
2
17
13
1
Para x 5 5,5; x 5 6,5 y x 5 9, la función toma los valores f3(5,5) 5 }} , f4(6,5) 5 }} y f5(x) 5 }} , respectivamente.
4
4
2
c) La expresión analítica de la función de interpolación cuadrática es f (x) 5 ax 2 1 bx 1 c.
Teniendo en cuenta los datos de la tabla, se resuelve el sistema:
f(2) 5 4a 1 2b 1 c 5 4
1
f(4) 5 16a 1 4b 1 c 5 5 ⇒ a 5 2}} , b 5 2, c 5 1 ⇒
4
f(6) 5 36a 1 6b 1 c 5 4
1
⇒ La función es: f(x) 5 2}} x 2 1 2x 1 1
4
En la gráfica se representan, conjuntamente, los puntos de la tabla de valores, la función de
interpolación lineal a trozos y la función de interpolación cuadrática.
5
Y
1
O 1
X
19
71
d) Para x 5 3, f (3) 5 }} . Para x 5 5,5, f(5,5) 5 }} .
4
16
2. a) La expresión analítica de la función de interpolación lineal es f(x) 5 ax 1 b.
Se resuelve el sistema que se obtiene al considerar los datos del primer y tercer año:
5
5
5
5
f(3) 5 3a 1 b 5 10
⇒ a 5 }} , b 5 }} ⇒ La función tiene la expresión f(x) 5 }} x 1 }} .
f(7) 5 7a 1 b 5 20
2
2
2
2
5
b) Para x 5 4,5 la función toma el valor f(4,5) 5 13,7. Por tanto, el error que se comete es E 5 u 13 2 13,75 u 5 0,75.
Es decir, el error en la estimación es de 750 000 euros.
5
f(3) 5 9a 1 3b 1 c 5 2
7
6
7
6
f (5) 5 25a 1 5b 1 c 5 22 ⇒ a 5 }} , b 5 2}} , c 5 27 ⇒ P(x) 5 }} x 2 2 }} x 2 7
5
5
5
5
f(8) 5 64a 1 8b 1 c 5 73
b) Un embrión de seis días y medio pesaría P(6,5) 5 44,35 gramos.
3. a) P(x ) 5 ax 2 1 bx 1c ⇒
4. a) La expresión analítica del polinomio cuadrático de interpolación es P(x) 5 ax 2 1 bx 1 c.
5
5
f(2) 5 4a 1 2b 1 c 5 30
a 5 0
f(4) 5 16a 1 4b 1 c 5 50 ⇒ b 5 10 ⇒ P(x) 5 10x 1 10
f(5) 5 25a 1 5b 1 c 5 60
c 5 10
El polinomio de interpolación es lineal, no cuadrático, ya que los tres puntos dados están alineados.
Teniendo en cuenta los datos se resuelve el sistema:
b) P(3) 5 40 ⇒ Se esperaría que hubiese rodado 40 000 km a los 3 años.
5 f(1) 5 a 1 b 5 1,4142
5 a 5 1,3179
5. Mediante interpolación lineal: f(x) 5 ax 1 b 5 Ï1
1 x ⇒
⇒
⇒
w
f(2) 5 2a 1 b 5 1,7321
b 5 1,0963
⇒ f(x) 5 0,3179x 1 1,0963
El valor Ïw
1 1 x 5 Ï1,6
w se corresponde con x 5 0,6.
El valor de la función de interpolación en ese punto es f(0,6) 5 1,2870.
Con calculadora, se obtiene el valor
w
Ï1,6
5 1,2649 ⇒ E 5 u 1,2649 2 1,2870 u 5 0,0221 ⇒ E , 0,03
5 f (30) 5 30a 1 b 5 0,5
5 a 5 0,01495
6. a) Mediante interpolación lineal: f (x) 5 sen x 5 ax 1 b ⇒ f (32) 5 32a 1 b 5 0,5299 ⇒ b 5 0,05150 ⇒
⇒ sen 31 5 f(31) 5 0,51495
Mediante interpolación cuadrática: f(x) 5 sen x 5 ax 2 1 bx 1 c ⇒
a 5 27 ? 1025
f(30) 5 900a 1 30b 1 c 5 0,5
⇒ f(32) 5 1024a 1 32b 1 c 5 0,5299 ⇒ b 5 0,0196
⇒ sen 318 5 f (31) 5 0,51503
f(34) 5 1156a 1 34b 1 c 5 0,5992
c 5 20,0205
b) Con calculadora, se obtiene el valor sen 318 5 0,515038. Es decir, la aproximación mediante la función de interpolación cuadrática se ajusta más a la función f(x) 5 sen x, en el intervalo (308, 348).
5
5
Actividades complementarias
31