Unidad-I: Conjunto de los Números Racionales Al plantear la

Universidad de Concepción
Facultad de Ciencias Veterinarias
Nivelación de Matemáticas(2012)
Unidad-I: Conjunto de los Números Racionales
Introducción:
Al plantear la necesidad de dividir números enteros, surge un problema: El cuociente de dos
números enteros, no siempre es otro número entero.
Analicemos la siguiente situación muy frecuente en los problemas de PSU.
Anahí quiere pintar un muro de 80 m2. Los pintores Cristian y Pablo le ofrecen el siguiente
presupuesto (trabajando ambos 8 horas diarias).
Cristian demora 5 días y cobra $ 1 000 por m2.
Pablo demora 3 días y cobra $1 200 por m2.
Anahí quiere pintar el muro antes de dos días . ¿ Contrata a los dos pintores?
Para resolver este problema debemos determinar ¿Cuánto avanza cada pintor por día?
Para Cristian como demora 5 días y lo que tiene que pintar es 80 m 2. en cada día avanza una
QUINTA parte de 80 m2. es decir 16 m2. Sin embargo para el caso de Pablo como pinta el muro
en 3 días en un día avanza una TERCERA parte del total (80 m2.) en este caso no encontramos
un número entero que nos exprese su avance diario. Para expresar esto utilizamos la notación
1
 80 .
3
El símbolo
1
se lee “tercera parte” o “Un tercio” o “razón uno es a tres” o “1 dividido por 3”.
3
1
también se escribe 1 : 3 y por un proceso de “división” ( recurso que se entrega en la
3
enseñanza básica) resulta que
Luego Pablo pinta en un día
1
 0.333……
3
1
 80  0.333...  80  26.666.... m2.
3
Ahora podemos calcular lo que pintan Cristian y Pablo en un día:
1
(16   80)m 2  (16  26.66)m 2  42.66... ., Por lo tanto ambos pintores pintan en dos días más
3
de 80 m2.
Respuesta: Con este resultado Anahí decide contratar a estos pintores.
Debe haber notado que hemos usado el signo  que significa “aproximadamente” y el supuesto
que se conoce como operar con los números de la forma
a
en que a y b son enteros,b diferente de cero .
b
fraccionarios (recuerda que
Esto
números
se
llaman
racionales
o
1
nos quiere expresar la tercera parte de ).
3
1
8
 2, 2  Z
4
5
 2.5,
2
5
Z
2
El conjunto de los números racionales se identifica con la letra Q.
Q={
a
:a  Z,b  Z y b0 }
b
Te sugerimos repaces ¿Cómo se operan las fracciones: sumas, restas,
multiplicaciones y divisiones). Te recordamos dos de ellas que son muy
importantes para aliviarnos el trabajo.
Equivalencia de Números Racionales
Dadas dos fracciones
a
c
y , diremos que ellas representan un mismo número racional, o sea,
b
d
son equivalentes entre sí, si y sólo si ad = bc.
a c

b d
 ad  bc
de acuerdo a esta definición tenemos:
9 3
 ,
12 4
pues 9  4  12  3
36
= 36
En matemática se adopta por lo general en el caso de un resultado que es racional representarlo
en la forma:
e
, f  0 , con m.c.d(e,f) = 1(m.c.d: máximo común divisor entre e y f) ( e y f se
f
dicen PRIMOS entre si cuando con m.c.d(e,f) = 1).
Veamos el siguiente ejemplo: Si al resolver un problema tu resultado es
9
9
3
es muy probable que este ( ) no aparezca como alternativa, la opción debería ser .
12
12
4
Recordemos específicamente dos “operaciones” con fracciones:
1.- Amplificación:
Amplificar una fracción consiste en multiplicar el numerador y denominador por una misma
cantidad NO nula. La fracción resultante es equivalente a la original (Valor no cambia). Por
ejemplo:
16 16  3 48


1
3
3
2 2  5 10
b) 

3 3  5 15
a) 16 
=
2
3
10
15
2
2.- Simplificación
Simplificar una fracción consiste en dividir el numerador y denominador por un mismo número
distinto de cero. Su valor NO se altera. Por ejemplo:
a)
80 000 80 000 : 40 2 000


 2 000
40
40 : 40
1
b)
27 27 : 3 9


33 33 : 3 11
Relación de Orden en Q
En Q definimos la relación mayor que (>) del siguiente modo:
a c
a c
a c
ad - bc

   0 , es decir , 

0
b d
b d
b d
bd
Como todo entero positivo es mayor que cualquier entero negativo, se desprende de aquí que
cualquier racional positivo es mayor que un racional negativo. Por lo tanto, efectuamos las
comparaciones solamente entre racionales positivos o entre racionales negativos.
Números Decimales
a
; a:b =c
b
Ejemplo :
3
,
8
donde c es un número decimal
3 : 8 = 0 , 375
Todo número racional Q: Se puede expresar como fracción decimal.
Fracción decimal: Su denominador es una potencia de 10.
Ejemplo:
1
125
= 0,125 =
8
100
3
Clasificación de Decimales
Si transformamos una fracción común a número decimal puede suceder que la división tenga
resultado un número decimal con un número fijo de cifras (decimal finito) o bien, que el
resultado sea un número decimal que no termine y se produzca la repetición de una o más cifras
en el cuociente. En éste último caso, decimos que estamos ante la presencia de un número
decimal infinito periódico o infinito semiperiódico.
FINITOS
DECIMAL
PERIODICOS
INFINITOS
SEMIPERIODICOS
Decimal Finito: La división entre el numerador y denominador, se obtiene un número decimal
con un número fijo de cifras.
Ejemplo:
1
 0, 5
2
Decimal Infinito:
i) Decimal Infinito Periódico : 0,15151... = 0,15 , entonces , 0,15 =
15
99
el período es
el denominador de la fracción. El denominador esta compuestos por tantos nueves como
cifras tenga el período.
ii) Decimal Infinito Semiperiódico : 0, 136666666... = 0,136 entonces 0,136 =
123
900
136  13
=
900
el numerador corresponde a la parte decimal menos el ante período. El
denominador posee tantos nueves como cifras tenga el período y tantos ceros como
cifras tenga el anteperíodo.
Decimales Infinitos no Periódicos : Irracionales
(Estos números son reales pero no racionales)
La característica de los números irracionales es, precisamente que su representación decimal no
es de ninguno de los tipos anteriores
Ejemplos :

= 3,1415926535...
4
2
= 1,414213562373...(Símbolo que se usa por ejemplo para
representar la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1)
1/ = 0,3183098861...
e
= 2,7182818285...
Definición:
Un número irracional es aquel que no tiene representación decimal finita o infinita
periódica o semiperiódica.
Por lo tanto los números irracionales no pueden escribirse en la forma de fracción
a
de números
b
con a y b enteros con b  0.
Este conjunto de los números Irracionales se representa por I . Los conjuntos Q e I son disjuntos :
QI=
La unión de estos conjuntos da origen a un nuevo conjunto que se llama el conjunto de los
números reales, el cual se representa por R.
QI=R
La figura siguiente muestra un cuadro resumen de los conjuntos numéricos:
Números
Irracionales
Enteros
Positivos
Números
Reales
Números
Racionales
Números
Enteros
Cero
Enteros
Negativos
Aproximación de Números Decimales.
Para aproximar un número decimal podemos proceder de dos maneras diferentes:
a) Por truncamiento , si consideramos el número que resulta de suprimir las cifras a partir del
orden de aproximación.
Ejemplo:
5,783687
 5.7 , aproximación a las décimas
b) Por redondeo, cuando consideramos la aproximación decimal más cercana al valor exacto.
En el ejemplo anterior, 5,7 y 5,8 son aproximaciones a la décima por defecto y por exceso,
respectivamente de 5,783687. sin embargo, este número es más cercano a 5,8.
5
Para obtener la aproximación por redondeo de un número hasta un determinado orden, observe la
primera cifra que debemos suprimir:
 Si esta cifra es menor que 5, aproxima por defecto.
 Si esta cifra es mayor que 5, aproxime por exceso, es decir, aumente en una unidad la
última cifra que se conserva
1.4 Potencias de Base Real y Exponente Entero
Si n es un entero positivo, la notación exponencial an que se define en la tabla de más abajo,
representa el producto del número real a multiplicado n veces por si mismo. La expresión an se
lee a la enésima potencia o simplemente a la n. El entero positivo se llama exponente y el
numero real a, base.
Notación exponencial
Caso general
(n es cualquier entero positivo)
Casos especiales
Ejemplo
es importante observar que si n es un entero positivo, entonces una expresión como 3an significa
3(an) pero no (3a)n. El número real 3 se llama coeficiente de an en la expresión 3an.
Ejemplo
Ahora ampliamos la definición de an a exponentes no positivos.
Ejemplo
 23   2 2 2  8
 2 3  (2  2  2)  8
Exponente cero y negativo
Definición
(a diferente de 0)
Ejemplo
6
Si m y n son enteros positivos, entonces
En vista de que el número total de factores de a la derecha es m+n, esta expresión es igual a am+n ;
es decir,
De esta forma se puede llegar a las leyes de exponentes que muestran a continuación:
Ley
a n 
Ejemplo
100  1
a 1
0
0
1
an
5 2 
1
52
Ejemplo
Simplificación
Simplificar una expresión donde hay potencias de números reales, significa cambiarla a otra en
que cada número real aparece solo una vez y todos los exponentes son positivos. Teniendo
presente que los denominadores representan números reales diferentes de cero.
Ejemplo
Solución:
7
Las igualdades siguientes son útiles para la solución de problemas con exponentes negativos.
Resolución de Ecuaciones Exponenciales
Se basa en la siguiente propiedad de las potencias
“Dos potencias con una misma base positiva y distinta de la unidad son iguales, si y sólo si son
iguales sus exponentes”.
Ejemplo:
Si
2a = 2b , entonces a = b
Muchas ecuaciones exponenciales se resuelven por el método de reducción, que consiste en
transformar la ecuación original en otra, donde sus miembros son potencias de igual base.
Ejemplo:
4 x  8 2 x 3
4 x  8
2 x 3
2 2 x  2 3 
2 x 3
 2 6 x 9
2x  6x  9
 4 x  9
x
9
4
8
E J E RC I C I O S
1.- El par antecesor de 2 m – 4.
2.- El impar antecesor de 4 K + 2
3.- ¿Cuál es el sucesor de 2m + 1?
4.- La suma de tres números impares consecutivos es 45 ¿ Cuáles son esos números?
5.- ¿Qué cambio experimenta una resta si el minuendo aumenta 12 unidades y el sustraendo
aumenta 9 unidades ?
6.- Si x e y son dos números naturales . La expresión ( x + 4 y ) representa un número par si x
es par o y es par.
7.- Si el doble de 2x es 12 n, entonces el cuádruplo de 4n es:
8.- Si m es múltiplo de 5 y n es múltiplo de 6 entonces ¿ cuál es el valor de m + n ?
9.- ¿Cuál es la mayor longitud de una regla con la que se puede medir exactamente una mesa
de 250 cm de largo y 130 cm de ancho?
10.- Si se cuentan de dos en dos las polcas de Samuel, sobra una .Lo mismo pasa si se cuentan
de tres en tres y de cinco en cinco ¿Cuál es el menor número de polcas que se pueden tener?
11.- Seis hermanos reciben de herencia $365380 cada uno, Si la madre recibe el doble de lo que
recibieron en conjunto sus hijos, ¿Cuál es la herencia total?
12.- Un comerciante compra dos piezas de género a $ 1.662 el metro. Una pieza mide 94 metros
y la otra 86 metros.¡ En cuánto compró las dos piezas. Si vende el metro en $2450, ¿cuánto
dinero ganó ?
13.- ¿Qué números son divisibles por dos?
14.- La suma de dos números pares es 36 y la diferencia entre ellos es12. ¿Cuál es el cuociente
entre el mayor y el menor?
15.- Determine el máximo común divisor (MCD ) y el mínimo común múltiplo(MCM ) de :
a) 4 , 8 y 12
b) 12 , 16 y 24
16.- Juan reparte sus bolitas en nueve partes iguales, y su hermano recibe 5 de ellas, quedándose
él con el resto. ¿qué fracción de las bolitas corresponde a Juan?
11 1  4
17.- ¿Cuantos quintos hay en la suma entre , ,
?
5 5 5
18.- La edad de Mónica es la mitad de los dos cuartos de María. ¿Cuántos años tiene Mónica si
María tiene 24 años?
19.- Si en 20 minutos camino los
2
de una cuadra, entonces en 10 cuadras cuánto caminare.
3
20.- La profesora entrega T cuadernos a cada uno de los 20 alumnos del curso. Luego se agregan
5 alumnos más y decide juntar todos los cuadernos y repartirlos en partes iguales entre todos los
niños. ¿Cuántos cuadernos recibe cada niño?
9
21.- Si las nueces se venden en bolsas de
1
de kilo, ¿cuántas bolsas se pueden obtener con 2,5
4
kilos?
22.- El decimal 0,76 es equivalente a:
100
76
76
a)
b)
c)
76
100
99
23.- el producto de 0,6 por 0,5 es igual a:
6
5
30
a)
b)
c)
10
10
10
d)
76
90
e) N.A.
d)
3
10
e) N.A.
24.- ¿Cuántas veces cabe la mitad de 0,2 en un entero?
a) 0,5
b)10
c)1
d)5
25.- ¿Qué valor tiene
a) 2
1
2
2p
2p
si
es igual a 9?
9
5
4
1
b)
c) 22
5
2
26.- ¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a
a)
6
10
e) 0,1
b)
4
15
c)
 18
45
d) 16
1
5
e) 5
2
?
5
d)
3
10
e) N.A.
27.- ¿cuánto le falta a 0,272727....para obtener el entero?
28.- ¿Cuál es la fracción que se forma si a
3
2 3
se le suman al numerador y denominador y
5
5 5
respectivamente?
29.- Expresar
 25
en forma decimal.
999
30.- Colocar los signos <,> ó = según corresponda, entre los siguientes números.
2
5
I
_____
3
9
 17
 32
II
_____
20
9
29
 78
III
_____
50
35
7
4
IV
_____
16
7
31.- ¿La cuarta potencia del doble de dos es?
32.- ¿El valor de
95  95  95
=?
95
2 2
33.- ¿Cuál es le valor de
=?
5
34.- La quinta potencia del antecesor del cuadrado de cuatro es:
10
35.- Si elevo a cero la suma de 2.235, 12 y 450.658 , se obtiene:
36.- El cuociente de dos potencias de igual base y diferentes exponentes es una potencia que........
37.- Elevo la potencia 32 a 2 y el resultado lo igualo a x, entonces x vale:
38.- El largo de un rectángulo es 106 y su ancho es 104 , luego el área del rectángulo es:
39.- El perímetro de un cuadrado de lado am es:
40.- Resolver:
a) (-2a)2
3
f)  
4
2
b) (-1)19
c) –119
d) (32)3
e) 2-2
32
g)
4
h) 0.6 4
i) (ambn)x
j) (a+b)2
41.- El producto de dos potencia de igual base es.............
42.- La potencia de base negativa y exponente impar siempre es...............
43.- ¿Cuál de las siguientes figuras es (son) verdaderas?
I) (0,2)2=0,4
II) (0,5)2=0,25
44.- Resolver:
4x+2 = 16
45.- Resolver:
1
0,252 =  
2
III)
12
=0,04
0.03
x
11