4. Modelos Multivariantes Distribución conjunta de variables

4. Modelos Multivariantes
Curso 2011-2012
Estadística
Distribución conjunta de
variables aleatorias
Definiciones (v. a. discretas)
„
Distribución de probabilidad conjunta
de dos variables aleatorias X, Y
­ 3 ; = [ < = \ ≥ ∀[ \
°
3 ; = [ < = \ ® [ = ∞ \ = ∞
¦ ¦ 3 ; = [ < = \ = ° [ = −∞ \ = −∞
¯
„
Función de distribución conjunta:
);< [ \ = 3 ; ≤ [ < ≤ \ 3
Modelos Multivariantes
Lanzamiento de dos dados
'DGR52-2
1
2
3
4
5
6
'DGR
$=8/
1
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
2
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
3
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
4
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
5
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
6
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
X = “ Resultado de dado ROJO”
Y = “ Resultado de dado AZUL”
Distribución conjunta de probabilidad
P ( X=i , Y=j ) =1/36, (i,j de 1 a 6)
Modelos Multivariantes
4
Ejemplo
(MHPSOR6HODQ]DQGRVGDGRV\VHGHILQHQODVYDULDEOHV
DOHDWRULDVVXPD6\YDORUDEVROXWRGHODGLIHUHQFLD'
GHORVUHVXOWDGRV
'LVWULEXFLyQ&RQMXQWD36 [' \
0
1
D : DIFERENCIA 2
DE DOS DADOS 3
4
5
2
1/36
S : SUMA DE DOS DADOS
5
6
7
8
9
10 11 12
1/36
1/36
1/36
1/36
1/18
1/18
1/18
1/18
1/18
1/18
1/18
1/18
1/18
1/18
1/18
1/18
1/18
1/18
1/18
3
4
1/36
5
Modelos Multivariantes
Distribuciones Marginales
0
1
D : DIFERENCIA 2
DE DOS DADOS 3
4
5
S : SUMA DE DOS DADOS
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36 6/36
1/18
1/18
1/18
1/18
1/18
10/36
1/18
1/18
1/18
1/18
8/36
1/18
1/18
1/18
6/36
1/18
1/18
4/36
1/18
2/36
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
0DUJLQDOGH6
Modelos Multivariantes
0DUJLQDOGH'
6
Distribuciones Marginales
\ =∞
3 ; = [ = ¦ 3 ; = [ < = \ \ = −∞
[ =∞
3< = \ = ¦ 3 ; = [ < = \ [ = −∞
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
6XPDGH
GRVGDGRV
0,02
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7
Modelos Multivariantes
Distribuciones condicionadas
D : DIFERENCIA
DE DOS DADOS
0
1
2
3
4
5
S : SUMA DE DOS DADOS
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36 6/36
1/36
1/18
1/18
1/18
1/18
1/18
10/36
1/18
1/18
1/18
8/36
1/18
1/18
1/18
1/18
6/36
1/18
4/36
1/18
1/18
2/36
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
D|S= 8
'LVWULEXFLyQGHODGLIHUHQFLD
HQWUHORVGDGRVFRQGLFLRQDGDD
TXHODVXPDHV
3' \_6 3' \6 36 Modelos Multivariantes
0
1
2
3
4
5
1/5
0
2/5
0
2/5
0
1
8
Independencia
Las variables aleatorias ;<son independientes si y sólo si
P(X=i, Y=j) = P( X= i ) × P( Y= j )
'DGR52-2
1
2
3
4
5
6
'DGR
$=8/
1
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
2
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
3
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
4
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
5
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
6
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
9
Modelos Multivariantes
Variables aleatorias continuas
G E
3D ≤ ; ≤ E F ≤ < ≤ G = ³F ³D I ;< [ \ G[ G\
6LHQGR I ;< [ \ ODIXQFLyQGHGHQVLGDGFRQMXQWD
TXHFXPSOH I ;< [ \ ≥ ∀[ \
∞
∞
³−∞ ³−∞ I ;< [ \ G[ G\ = Modelos Multivariantes
10
Variables aleatorias continuas
„
Función de distribución
[
\
);< [ \ = ³−∞ ³−∞ I ;< X Y GX GY
„
Funciones de densidad marginales
∞
I ; [ = ³−∞ I ;< [ \ G\
∞
I< \ = ³−∞ I ;< [ \ G[
11
Modelos Multivariantes
Las variables aleatorias X, Y tienen como función
de densidad conjunta
I ;< [ \ = [\ < [ < < \ < 3 ; ≤ [ < ≤ \ = ³
[
³³
3 ; + < ≤ =
³
\
XY GXGY = [ \ [\ G[G\
[ + \ ≤
=³
³
− \
\
[\ G[G\ =
[ \
0DUJLQDOHV
I ; [ = ³ [\ G\ = [ < [ < I< \ = ³ [\ G[ = \ < \ < Modelos Multivariantes
12
Independencia
/DVYDULDEOHVDOHDWRULDV ;< VRQLQGHSHQGLH QWHVVL\VyORVL
I ;< [\ = I ; [I < \
­ I ; [ = [ < [ < °
I ;< [ \ = [\ < [ < < \ < Ÿ ®
° I \ = \ < \ < ¯ <
,QGHSHQGLHQWHV
[
­
° I ; [ = ³ [ G\ = < [ < I ;< [ \ = ≤ \ ≤ [ ≤ Ÿ ®
[
° I< \ = ³ G[ = − ORJ \ < \ < \[
¯
\
1RLQGHSHQGLHQWHV
[ 13
Modelos Multivariantes
Funciones de densidad
condicionadas
I ; _< [ _ \ =
I ;< [ \ FXDQGRI< \ > I< \ I< _ ; \ _ [ =
I ;< [ \ FXDQGRI ; [ > I ; [
Modelos Multivariantes
14
Independencia -II
­ I ; [ = [ < [ < °
I ;< [ \ = [\ < [ < < \ < Ÿ ®
° I \ = \ < \ < ¯ <
[\
I ; _< [ _ \ =
= [ < [ < [
,QGHSHQGLHQWHV
[
­
I
[
G\ = < [ < =
;
³
°
[
I ;< [ \ = ≤ \ ≤ [ ≤ Ÿ ®
[
° I < \ = ³ G[ = − ORJ \ < \ < \
[
¯
I ; _< [ _ \ = −
\ ≤ [ ≤
[ ORJ \ 1RLQGHSHQGLHQWHV
I < _ ; \ _ [ = ≤ \ ≤ [
[
15
Modelos Multivariantes
Independencia -III
/DVYDULDEOHVDOHDWRULDV ;< VRQLQGHSHQGLHQWHVVL\VyORVL
I ; _< [ _ \ = I ; [
I< _ ; \ _ [ = I< \
Modelos Multivariantes
16
Ejemplo
­ F [ + \ ≤ U I [ \ = ®
¯ [ + \ > U
F=
πU
∞
I ; [ = ³−∞ I [ \ G\
+
=
³
π U −
=
U −[
G\
U − [
U
−
[
−U ≤ [≤U
πU
17
Modelos Multivariantes
Ejemplo (cont.)
I < \ = ³
∞
−∞
=
=
I [ \ G[
π U
πU
I ; _< [ _ \ =
+ U − \
³−
U − \
G[
U − \ − U ≤ \ ≤ U
I [ \ =
− U − \ ≤ [ ≤ U − \
I< \ U − \ I<\
Modelos Multivariantes
I;_<[_\
18
Independencia
/DVYDULDEOHVDOHDWRULDV ;< VRQLQGHSHQGLHQWHVVL\VyORVL
I ;< [\ = I ; [I< \
­ I ; [ = [ < [ < °
I ;< [ \ = [\ < [ < < \ < Ÿ ®
° I \ = \ < \ < ¯ <
,QGHSHQGLHQWHV
­
=
I
[
U − [
;
°
­ πU
[ +\ ≤U
°
°
Ÿ®
I [ \ = ®πU °¯ [ + \ > U °
° I< \ = U − \
πU
¯
− U ≤ [ ≤ U
− U ≤ \ ≤ U
1R,QGHSHQGLHQWHV
19
Modelos Multivariantes
Esperanza de g(X,Y)
D 6L ;< VRQYDULDEOHVDOHDWRULDVGLVFUHWDVVHGHILQH
HVSHUDQ]DGHODIXQFLyQJ ; < FRPR [ =∞ \ =∞
(>J;<@ =
¦ ¦ J [ \ 3 ; = [ < = \ [ = −∞ \ = −∞
E 6L ;< VRQYDULDEOHVDOHDWRULDVFRQWLQXDVVHGHILQH
HVSHUDQ]DGHODIXQFLyQJ ; < FRPR (>J;<@ = ³
∞
³
∞
−∞ −∞
Modelos Multivariantes
J [ \ I ;< [ \ G[G\
20
Propiedades de E[g(X,Y)]
6LJ; < = J; + J < VHFXPSOH
(>J; + J <@ = ³
∞
∞
=³
∞
∞
( J [ + J \) I ;< [ \ G[G\
−∞ ³−∞ ∞
∞
J [ I ;< [ \ G[G\ + ³ ³ J \ I ;< [ \ G[G\
−∞ ³−∞ −∞ − ∞
∞
∞
∞
J [§¨ ³
I ;< [ \ G\ ·¸G[ + ³ J \ §¨ ³
I ;< [ \ G[ ·¸G\
−∞
−∞
© −∞
¹
© −∞
¹
=³
∞
=³
∞
−∞
J [ I ; [G[ + ³
∞
−∞
J \ I< \ G\
= (> J ; @ + (> J < @
(MHPSOR
(>; + <@ = (>;@ + (><@
21
Modelos Multivariantes
Covarianza
La covarianza de dos variables aleatorias ;< , se denota por
&RY;< y se define como :
&RY;< = (>; − ȝ ; < − ȝ< @
∞
∞
= ³−∞ ³−∞ [ − ȝ ; \ − ȝ< I ( [ \ )G[G\
donde ȝ ; = (>;@ y ȝ< = (><@
Si las v.a' s son discretas :
&RY;< = (>; − ȝ ; < − ȝ< @
= ¦ ¦ [L − ȝ ; \ M − ȝ< 3 ; = [L < = \ M L
Modelos Multivariantes
M
22
Propiedades de la covarianza
/DFRYDULDQ]DHVXQDPHGLGDGHODGHSHQGHQFLDOLQHDOHQWUH
ODVGRVYDULDEOHV6LODVYDULDEOHVVRQLQGHSHQGLHQWHV
&RY;< ∞
∞
&RY;< = ³−∞ ³−∞ [ − ȝ ; \ − ȝ< I ( [ \ )G[G\
∞
∞
= ³−∞ ³−∞ [ − ȝ ; \ − ȝ< I ; ( [ I< \ )G[G\
∞
∞
= ³−∞ [ − ȝ ; I ; ( [ )G[ ³−∞ \ − ȝ< I< \ G\ = 3URSLHGDGHV
‡ &RY;< (>;<@ (>;@(><@
‡9DU;< 9DU;9DU<&RY;<
23
Modelos Multivariantes
Medias y Matriz de Varianzas
;< GRVYDULDEOHVDOHDWRULDVFRQIXQFLyQGHGHQVLGDGFRQMXQWD
I[\
; I ; [ → µ ; = (> ; @ σ ; = 9DU> ; @
σ < = 9DU>< @
< I < \ → µ< = (>< @
σ ;< = &RY ; < 9HFWRU DOHDWRULR
§; ·
8 = ¨¨ ¸¸ ©< ¹
9HFWRU GH PHGLDV
§µ
( >8 @ = ¨¨ ;
© µ<
0DWUL]
§σ
9DU >8 @ = ¨¨
© σ ;<
;
Modelos Multivariantes
·
¸¸
¹
GH YDULDQ]DV
σ ;<
σ <
·
¸
¸
¹
24
Correlación
6HGHILQHFRHILFLHQWHGHFRUUHODFLyQ ρ HQWUHGRVYDULDEOHV
DOHDWRULDV ;< FRPR
ρ;< = &RY ; < 9DU ; 9DU < 3URSLHGDGHV
‡ ≤ ρ;<≤ ‡ 6L; H< VRQLQGHSHQGLHQWHVHQWRQFHVρ;< ‡ < DE;⇔ ρ;< E!Rρ;< E
25
Modelos Multivariantes
n variables aleatorias
3DUDKDFHUFiOFXORGHSUREDELOLGDGHVGHXQVXFHVRHQHO
TXHLQWHUYHQJDODVYDULDEOHVDOHDWRULDV;;;QHV
SUHFLVRFRQRFHUODGLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDGFRQMXQWD
6LODVYDULDEOHVVRQFRQWLQXDVVHHPSOHDODIXQFLyQGH
GHQVLGDGFRQMXQWD
§ ; ·
¨ ¸
¨; ¸
; =¨ ¸
#
¨ ¸
¨; ¸
© Q¹
I ; [[ [Q RODIXQFLyQGHGLVWULEXFLyQFRQMXQWD); [ [ [Q ); [ [ [Q = ³
[Q
³
[Q−
−∞ −∞
Modelos Multivariantes
[
" ³ I ; W W W Q GWGW " GW Q
−∞
26
Vector de variables aleatorias
; = ; ; ; Q → &RQMXQWRYHFWRUGHQYDFRQWLQXDV
6XGLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDGFRQMXQWDYLHQHFDUDFWHUL]DGDSRU
VXIXQFLyQGHGHQVLGDGFRQMXQWD I ; [ [ [Q RSRUODIXQFLyQGHGLVWULEXFLyQFRQMXQWD); [ [ [Q ); [ [ [Q = ³
[Q
³
[Q−
−∞ −∞
[
" ³ I ; W W W Q GWGW " GW Q
−∞
27
Modelos Multivariantes
Distribuciones marginales
; = ; ; ; Q → &RQMXQWRYHFWRUGHQYDFRQWLQXDV
/DIXQFLyQGHGHQVLGDGPDUJLQDOGH; L I L [L I L [L = ³
∞
³
∞
−∞ −∞
"³
∞
I [ [ [Q G[G[ " G[Q
−∞ ; 7RGDVPHQRV[L
/DIXQFLyQGHGHQVLGDGPDUJLQDOGH ; L ; M I LM [L [ M I LM [L [ M = ³
∞
³
∞
−∞ −∞
∞
" ³ I ; [ [ [Q G[G[ " G[Q
−∞
7RGDVPHQRV[L\ [M
Modelos Multivariantes
28
Esperanza
(VSHUDQ]DGHJ ; = J ; ; ; Q (> J ;@ = ³−∞∞ ³−∞∞ " ³−∞∞ J [ [ [Q I ; [ [ [Q G[G[ " G[Q
(VIiFLOGHPRVWUDU
(> ; L @ = ³−∞∞ ³−∞∞ " ³−∞∞ [L I ; [ [ [Q G[G[ " G[Q
= ³−∞∞ [L I L [L G[L
(> J ; ; @ = ³−∞∞ ³−∞∞ " ³−∞∞ J [ [ I ; [ [ [Q G[G[ " G[Q
= ³−∞∞ ³−∞∞ J [ [ I [ [ G[G[
29
Modelos Multivariantes
Vector de Medias y Matriz de
Varianzas
; = ; ; ; Q 7 → 9HFWRUGH Q YDULDEOHV DOHDWRULDV
§ µ · ­ µ = (> ; @
¨ ¸ °
¨ µ ¸ ° µ = (> ; @
(> ;@ = ¨ ¸ → ®
#
#
¨ ¸ °
¨ µ ¸ °µ = (> ; @
© Q¹ ¯ Q
Q
§ σ σ ¨
¨ σ σ 9DU> ;@ = ¨
#
¨ #
¨σ
© Q σ Q
Modelos Multivariantes
" σ Q ·
¸
9DU ; L = σ L
" σ Q ¸ ­°
¸→®
% # ¸ °̄&RY ; L ; M = σ LM L ≠ M
" σ Q ¸¹
30
Independencia
/DVYDULDEOHVDOHDWRULDV ; ; ; Q VRQLQGHSHQGLHQWHV
VL\VyORVL
I[[ [Q = I[ I [ " I Q[Q 31
Modelos Multivariantes
Transformaciones Lineales
; = ; ; ; Q 7 → 9HFWRUGHQYDULDEOHVDOHDWRULDV
D = D D DQ 7 → 9HFWRUGHQFRQVWDQWHV
< = D ; + D ; + " + DQ ; Q = D 7 ;
(>< @ = D 7 (> ;@ = Dµ + D µ + " + DQ µ Q
§ σ ¨
¨σ
9DU >< @ = D 7 9DU > ; @ D = (D D " DQ )¨ ¨ #
¨σ
© Q
Modelos Multivariantes
σ σ #
σ
Q
·§ D ·
¸¨ ¸
" σ Q ¸¨ D ¸
%
# ¸¸¨ # ¸
¨ ¸
" σ Q ¸¹¨© DQ ¸¹
" σ
Q
32
Transformaciones Lineales
Caso General
; = ; ; ; Q 7 → 9HFWRUGHQYDULDEOHVDOHDWRULDV
§ D D "
¨
D "
¨D
D = ¨ #
# %
¨
¨D
© P DP "
§ < · § D D "
¨ ¸ ¨
¨ < ¸ ¨ D D "
¨ # ¸=¨ #
# %
¨ ¸ ¨
¨< ¸ ¨ D
© P ¹ © P DP "
9DU>< @ = $ 9DU> ;@ $ 7
§ D D
¨
D
¨D
= ¨ #
#
¨
¨D
© P DP DQ ·
¸
D Q ¸
→ 0DWUL]GHP × QFRQVWDQWHV
# ¸
¸
DPQ ¸¹
DQ ·§ ; ·
¸¨ ¸
D Q ¸¨ ; ¸
= $; → (>< @ = $(> ;@
# ¸¨ # ¸
¸¨ ¸
DPQ ¸¹¨© ; Q ¸¹
" DQ ·§ σ σ ¸¨
" D Q ¸¨ σ σ % # ¸¨ #
#
¸¨
¸
¨
" DPQ ¹© σ Q σ Q
·§ D
¸¨
" σ Q ¸¨ D
%
# ¸¸¨ #
¨
" σ Q ¸¹¨© DQ
" σ
Q
D " DP ·
¸
D " DP ¸
# % # ¸
¸
D Q " DPQ ¸¹
33
Modelos Multivariantes
Transformaciones Lineales
(Independencia)
; = ; ; ; Q 7 → 9HFWRU GHQYDULDEOHV DOHDWRULDV LQGHSHQGLH QWHV
D = D D D Q 7 → 9HFWRU GHQFRQVWDQWHV
< = D ; + D ; + " + DQ ; Q
§ σ ¨
¨ 9DU >< @ = (D D " D Q )¨
¨ #
¨ ©
σ #
·§ D ·
¸¨ ¸
" ¸¨ D ¸
% # ¸¸¨ # ¸
¨ ¸
¸¨
" σ Q ¹© D Q ¸¹
"
= Dσ + Dσ + " + DQσ Q
Modelos Multivariantes
34
Ejemplo:
&DOFXODUODPHGLD\ODYDULDQ]DGHODVXPDGHYDULDEOHV
DOHDWRULDVLQGHSHQGLHQWHVFRQGLVWULEXFLyQXQLIRUPHHQ
§ 8 ·
¸
¨
¨ 8 ¸
8 =¨
8 L → 8QLIRUPH
# ¸
¸
¨
¨8 ¸
© ¹
< = 8 + 8 + " + 8
­ (>8 L @ = °
® 9DU>8 L @ = °&RY8 L 8 M = ¯
(>< @ = ¦ (>8 L @ =
L =
9DU>< @ = ¦ 9DU>8 L @ =
L =
35
Modelos Multivariantes
Ejemplo
Se dispone de n sobres con sus correspondientes cartas. Se
extraen las cartas de los sobres, se sortean y se vuelven a
introducir de forma aleatoria cada una en un sobre. ¿Cuál es el
número esperado de cartas que coinciden con su sobre inicial?
; ≡1~PHURGHFRLQFLGHQFLDV
; = ; + ; + " + ; Q
­6LODFDUWDLQRFRLQFLGHFRQVXVREUHLQLFLDO
;L = ®
¯ 6LODFDUWDLVtFRLQFLGHFRQVXVREUHLQLFLDO
(> ; @ = (> ; @ + (> ; @ + " + (> ; Q @
=
+ + " + = Q Q
Q
Modelos Multivariantes
36
Ejemplo
„
Un proceso fabrica una proporción p de tornillos defectuosos. Se
define X como la variable “número de tornillos extraídos del
proceso hasta que aparecen r defectuosos”. Se pide E[X] y
Var[X].
; ≡ Número de tornillos extraídos hasta que aparece el primer defectuoso
; ≡ Número de tornillos QXHYRV extraídos hasta que aparece el 2º defectuoso
; L ≡ Número de tornillos QXHYRV extraídos hasta que aparece el i - ésimo defectuoso
X = X1 + ; + " + ; U
E[X i @ = S
­
; L variable aleatoria geométrica ®
¯9DU> ; L @ = − S S
U
(> ; @ = (> X1@ + (> ; @ + " + (> ; U @ =
S
U − S 9DU> ; @ = 9DU> ; @ + 9DU> ; @ + " + 9DU> ; U @ =
S
37
Modelos Multivariantes
Media de n variables
aleatorias independientes
; = ; ; ; Q 7 → Vector de Q variables aleatorias independientes
­
(> ; @ + (> ; @ + " + (> ; Q @
(> ; @ =
°
Q
; + ; +"+ ; Q °
; = ®
Q
°
9DU> ; @ + 9DU> ; @ + " + 9DU> ; Q @
°9DU> ; @ =
¯
Q
Si las variables tienen la misma media y varianza
ȝ = (>; L @ ∀L
σ = 9DU>; L @ ∀L
­ (> ; @ = µ
; + ; + " + ; Q
°
Ÿ®
; =
σ
=
Q
9DU
>
;
@
°̄
Q
Modelos Multivariantes
38
Teorema Central del Límite
6HD ;; ; Q XQDVHFXHQFLDGHYDULDEOHVDOHDWRULDV
LQGHSHQGLHQWHVFRQODPLVPDGLVWULEXFLyQGHSUREDELOLGDG
GHPHGLDµ \YDULDQ]Dσ < ∞(QWRQFHV
§ ; −µ
·
≤ W ¸ = Φ W − ∞ < W < ∞
OLP 3¨
Q →∞ © σ Q
¹
GRQGH ; = ; + ; + " + ; Q Q
W −[ Φ W =
G[
³−∞ H
π
HVODIXQFLyQGHGLVWULEXFLyQGHODQRUPDOHVWiQGDU
39
Modelos Multivariantes
Teorema Central del Límite
Sea ; ; ; Q variables aleatorias independientes,
con la misma distribución de probabilidad de media µ y
varianza σ 2 < ∞
Entonces (aprox.) :
; → 1 µ Modelos Multivariantes
σ
Q
40
0HGLD ;L
9DU [
;=
; + ; + " + ; 0HGLD 9DU 41
Modelos Multivariantes
Binomial-Poisson-Normal
%LQRPLDO
QS
Q→∞
S → µ = QS
σ = QS − S
Modelos Multivariantes
Q → ∞ S → λ = QS
3RLVVRQ
λ
λ →∞
µ =λ
1RUPDO
µσ
σ
σ= λ
42
Aproximación Binomial-Normal
n=25, p=1/2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
43
Modelos Multivariantes
Aproximación Binomial-Normal
n = 50, p=0.5
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
Modelos Multivariantes
44
Corrección por continuidad
%LQRPLDO3;≤ 1RUPDO3;≤ 45
Modelos Multivariantes
Corrección por continuidad
1RUPDO3;≤ %LQRPLDO3;≤ 0
1
2
3
Modelos Multivariantes
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
46
6HKDWRPDGRXQDPXHVWUDGHSLH]DVGHXQSURFHVRTXHIDEULFD
XQSURPHGLRGHGHSLH]DVIXHUDGHHVSHFLILFDFLyQ
¢&XiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHHQODPXHVWUDKD\DH[DFWDPHQWH
HOHPHQWRVGHIHFWXRVRV"
&iOFXORH[DFWR; → %LQRPLDOQ = S = § ·
3; = = ¨ ¸ = © ¹
$SUR[LPDFLyQ1RUPDO< → 1 3; = = 3 ≤ < ≤ = ¢&XiOHVODSUREDELOLGDGGHTXHODPXHVWUDFRQWHQJD
RPiVSLH]DVGHIHFWXRVDV"
( 3; ≥ = 3; = + 3; = + " + 3; = = $ 3< ≥ = ĭ = − ĭ = Modelos Multivariantes
47
Aplicación a Control de Recepción
Modelos Multivariantes
48
Plan de muestreo simple por atributos
Una compañía recibe lotes con un gran número de piezas.
Según el contrato cada lote debe tener como máximo una
proporción de piezas defectuosas igual pA (AQL).
Un plan de muestreo simple por atributos consiste en
determinar
n: número de piezas muestreadas
c: número máximo de piezas defectuosas en
la muestra
De forma que si X es el número de piezas defectuosas en la
muestra se aplica la siguiente regla:
x ≤ c se acepta el lote
x > c se rechaza el lote
Modelos Multivariantes
49
Riesgos del vendedor y comprador
„
„
Riesgo del vendedor: Probabilidad de
rechazar un lote bueno (con porcentaje
de defectuosas igual al pA (AQL))
α=P( X > c| p = pA).
Riesgo del comprador: Probabilidad
de aceptar un lote malo (con un
porcentaje de defectuosas pR>> pA)
β = P( X≤ c| p = pR).
Modelos Multivariantes
50
Planteamiento del problema
Q
0XHVWUD
/RWH
'$726
2%-(7,92
S$ $4/α5LHVJRYHQGHGRU
QWDPDxRPXHVWUDO
S5 54/β5LHVJRFRPSUDGRU
FPi[LPRGHIHFWXRVDV
51
Modelos Multivariantes
Ecuación del vendedor
S ≡3URSRUFLyQ GH SLH]DV GHIHFWXRVD VHQ HOORWH
; ≡ 1~PHUR GH SLH]DV GHIHFWXRVD VHQ XQD PXHVWUD GH Q
; → %LQRPLDO Q S ≈ 1 QS QS − S 6L S = S $
Į = 3; > F_S = S $ = 3
; − QS $
>
QS $ − S $ F − QS $
QS $ − S $ = 3 = ≥ ]−α &RQRFLGR α Ÿ ]−α =
1
F − QS $
QS $ − S $ α
Modelos Multivariantes
]α
52
Ecuación del comprador
6L S = S 5 β = 3; ≤ F_S = S 5 = 3
; − QS 5
≤
QS 5 − S 5 F − QS 5
QS 5 − S 5 = 3 = ≤ ] β &RQRFLGR⠟ ] β =
F − QS 5
QS 5 − S 5 1
β
]β
53
Modelos Multivariantes
Valores de n y c
]−α =
F − QS $
QS $ − S $ § ]−α
Q=¨
¨
©
]β =
S $ − S $ − ] β
S5 − S $
F − QS5
QS5 − S5 S 5 − S 5 ·
¸
¸
¹
F = QS $ + ]−α QS $ − S $ Modelos Multivariantes
54
/RWH%XHQR
S S$
3UREDELOLGDGGH
DFHSWDUXQORWH
EXHQR
α
QS$ F
/RWH0DOR
S S5
3UREDELOLGDGGH
UHFKD]DUXQORWH
PDOR
β
F
QS5
5HFKD]DU/RWH
$FHSWDU/RWH
F
55
Modelos Multivariantes
Ejemplo: plan de muestreo
'LVHxDU XQ SODQ GH PXHVWUHR SDUD ORWHV GH XQLGDGHV FRQ XQ $4/ LJXDO DO 54/ LJXDO D
ULHVJR GH FRPSUDGRU GH \ GHO YHQGHGRU
LJXDODO
3DUDα = Ÿ ]α = \β = Ÿ ] β = −
§ × + × ·
¸ ≈ Q = ¨¨
¸
−
¹
©
F = × + × × ≈ Modelos Multivariantes
56
Distribución normal multivariante
§ σ σ § µ ·
§ ; ·
¨
¨ ¸
¨ ¸
¨ σ σ ¨ µ ¸
¨ ; ¸
; = ¨ ¸ µ = (> ; @ = ¨ ¸ 0 = 9DU> ; @ = ¨
#
#
#
¨ #
¨ ¸
¨ ¸
¨µ ¸
¨; ¸
¨σ
© Q¹
© Q¹
© Q σ Q
I [ [ [Q =
π Q 0
·
¸
" σ Q ¸
%
# ¸¸
" σ Q ¸¹
" σ
Q
­ ½
H[S®− [ − µ 7 0 − [ − µ ¾
¯ ¿
[ = [ [ [Q 7 ∈ ℜ Q
µ = µ µ µ Q 7 ∈ ℜ Q
0 ∈ 0DWUL]Q × QVHPLGHILQLGDSRVLWLYD
57
Modelos Multivariantes
Distribución normal bivariante
I [ [ =
π 0
­ § [ − µ ·½
H[S®− [ − µ [ − µ 0 −¨¨ ¸¸¾
© [ − µ ¹ ¿
¯ § σ σ · § σ ρσ σ ·¸
¸=¨
¨
0
=
7
¸ ¨
¨
µ = µ µ ∈ ℜ
σ ¸¹
© σ σ ¹ © ρσ σ −ρ ·
§ ¸
¨ σ σ ¸
¨ σ
−
0 = σ σ − ρ 0 =
¸
− ρ ¨ − ρ
¸
¨¨
σ ¸¹
© σ σ [ = [ [ 7 ∈ ℜ I [ [ =
πσ σ ­
ª§ [ − µ · § [ − µ · °
¸
«¨ ¸¸ + ¨¨ H[S®−
¸
¨ σ
¹
© σ ¹
− ρ
°̄ − ρ «¬©
§ [ − µ ·§ [ − µ ·º ½°
¸¸» ¾
− ρ ¨¨ ¸¸¨¨ © σ ¹© σ ¹¼ °¿
Modelos Multivariantes
58
59
Modelos Multivariantes
2
2
2
0
0
0
-2
-2
-2
-2
0
rho= 0
2
-2
0
rho= 0.5
2
2
2
2
0
0
0
-2
-2
-2
-2
0
rho= -0.2
2
Modelos Multivariantes
-2
0
rho= -0.5
2
-2
0
rho= 0.9
2
-2
0
rho= -0.9
2
60
Propiedades
„
„
„
„
Las dist. marginales son normales N(µi,
σi).
Las dist. condicionadas son normales.
ρ=0 ⇔ Las variables son independientes
Transformaciones lineales:
Y = AX
X es N(µ, M) Ÿ Y es N(A µ, AMAT)
61
Modelos Multivariantes
Ejemplo
6HD OD ; ; ; QRUPDO WULGLPHQV LRQDO GH PHGLD \ PDWUL] GH YDULDQ]DV
§
¨
0 = ¨
¨
©
·
¸
¸
¸¹
¢ 3; + ; ≥ ; + "
( >< @ = + − = ­
°
< = ; + ; − ; → 1RUPDO ®
°9DU >< @ = 9DU ; + 9DU ; + 9DU ; = ¯
3; + ; ≥ ; + = 3; + ; − ; ≥ = 3 < ≥ = 3
< −
≥ (
= − Φ Modelos Multivariantes
)
62