LABORATORIO DE FISICA I : 2do Sem 2014

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS – ESCUELA DE FÍSICA
LABORATORIO DE FISICA I
MEDICION DE CANTIDADES FISICAS
Esta primera práctica introduce un conjunto de conceptos básicos asociados con el proceso de
medición de cualquier cantidad física, aplicándolos en casos muy sencillos que sólo requieren el uso
de una regla convencional.
MEDIDAS E INCERTIDUMBRES
La realización de cualquier proceso experimental en disciplinas científico-tecnológicas pasa por una
serie de etapas como son: (a) definición de objetivos, (b) selección de montajes, dispositivos e
instrumentos, (c) observación y recolección de datos, (d) tratamiento de los datos para generar
resultados, (e) análisis de los resultados y (f) conclusiones del experimento.
El concepto de cantidad en Física está estrictamente asociado con la existencia de un método de
medida que permita establecer unívocamente un valor numérico en relación a una cantidad de la
misma especie elegida como unidad de medida o patrón.
Existen tres métodos de medidas: un método de comparación directa con el patrón (regla, balanza
analítica), el uso de instrumentos calibrados (termómetro, velocímetro) y un método indirecto
mediante el uso de una relación analítica (área, volumen).
Debido a la imperfección de los instrumentos y a las limitaciones sensoriales de cualquier persona,
toda medida siempre va a tener una cierta incertidumbre por lo que no necesariamente debe
coincidir con el valor verdadero correspondiente.
(En algunos textos en lugar del término incertidumbre se usa la palabra error, pero esto no significa que la medida sea
mala.)
Existen dos fuentes de incertidumbres: una de carácter sistemática cuando el valor medido resulta
siempre mayor (o siempre menor) que el valor verdadero como sería el caso de un cronómetro que
adelante (o atrase), y otra de carácter casual en que el valor medido resulta a veces mayor, a veces
menor, aleatoriamente respecto al valor verdadero, como ocurre al apretar el botón del cronómetro.
El primer caso, sistemático, es causado por una imperfección instrumental y la manera de mejorar la
medida no es hacer muchas medidas con el mismo cronómetro, sino usar otros cronómetros.
El segundo caso, aleatorio, puede ser causado por la imposibilidad de hacer coincidir exactamente
una señal con el movimiento de nuestro dedo para arrancar o detener el cronómetro o por un
descuido momentáneo. En esta situación tiene sentido, si es posible, tomar muchas medidas para
buscar un valor promedio.
En este primer curso de Laboratorio de Física nos restringiremos a tomar algunos elementos muy
sencillos para un primer tratamiento sobre la cuantificación de incertidumbres.
CUANTIFICACION DE INCERTIDUMBRES
Apreciación
La fuente más simple de incertidumbre en una medida la constituye la limitación física de un
instrumento que tiene una escala graduada como es el caso de una regla, en la que no se puede leer
menos de 1 mm, un transportador, en el que la menor lectura es 1º, o la pantalla de un cronómetro
digital, cuya menor lectura es 0.01 s. Se define como apreciación de un instrumento al mínimo valor
que se puede leer en su escala graduada o que muestre en su pantalla (menor medida que se puede
hacer).
Promedio
En el caso de medidas sujetas solamente a fuentes de incertidumbre de tipo casual, se suele obtener
experimentalmente el mejor valor de una cantidad X haciendo un conjunto de N medidas Xi y
determinando el valor medio o promedio por la media aritmética:
—
Xi
X =
N
∑
Incertidumbre absoluta e incertidumbre relativa
La incertidumbre absoluta ∆X de una sola medida X está dada directamente por la apreciación
del instrumento. El resultado se escribe como X ± ∆X
En el caso de un conjunto pequeño de medidas de la misma cantidad X (por ejemplo hasta cinco
medidas) que conduce a un valor medio X , una primera estimación de la incertidumbre absoluta
puede obtenerse haciendo la semidiferencia de las dos medidas extremas:
X − X min
∆X = max
2
(para un mayor número de medidas existe un tratamiento estadístico que conduce al concepto de desviación estándar el
cual da una mejor estimación de la incertidumbre)
Se define como incertidumbre relativa εx la relación entre la incertidumbre absoluta y la medida (o el
valor medio) expresada como porcentaje:
⎛ ∆X
⎞
×100 ⎟ %
εx = ⎜
⎝ X
⎠
Cifras significativas
Es el número de dígitos con que se expresa un resultado. Los ceros solo se cuentan si están entre
dígitos no nulos o explícitamente al final de la cantidad, no si están al comienzo. Por ejemplo, las
siguientes cinco cantidades tienen cuatro cifras significativas: 4213 , 31.24 , 0.01423 , 0.2003 , 104.0
En notación científica las mismas cinco cantidades anteriores con cuatro cifras significativas se
expresan como: 4.213x103 , 3.124x101 , 1.423x10-2 , 2.003x10-1 , 1.040x102 . (Nótese que este último
número sin el cero final,1.04x102 , tiene tres cifras significativas)
Usualmente las incertidumbres se expresan con una sola cifra significativa y su posición establece la
última cifra significativa de la cantidad principal, por ejemplo, 57.8 ± 0.6
Redondeo
Resulta lógico que carece de sentido expresar una cantidad con dígitos cuya posición esté por debajo
de la posición de su incertidumbre, por ejemplo, 57.841 ± 0.6 muestra una cantidad con tres
decimales, pero su incertidumbre está en el primer decimal, así que debe entonces reescribirse como
57.8 ± 0.6
Debe destacarse que lo importante es la cantidad medida. La incertidumbre en solo un valor
aproximado que permite tener una idea de que tan confiable es el valor obtenido de la cantidad
considerada.
Confianza
La confianza en el resultado de un conjunto de medidas viene dada por su exactitud y precisión.
Exactitud se refiere a la cercanía de las medidas al valor verdadero de la cantidad física y aumenta
con la apreciación de los instrumentos usados. Precisión se refiere a la cercanía de los valores
medidos entre sí y aumenta con la disminución de las incertidumbres casuales, por ejemplo al
aumentar el número de medidas para obtener un promedio. La precisión es independientemente de
las fuentes de incertidumbres sistemáticas.
PROPAGACIÓN DE INCERTIDUMBRES
En general una medida X se considera aceptable si su incertidumbre absoluta ∆X resulta pequeña
en comparación con su valor, por ejemplo, menor de un 5%.
Este hecho ( ∆X << X ) permite que en el caso de una cantidad F obtenida indirectamente a partir
de X se pueda hacer uso de una aproximación al desarrollar explícitamente la expresión F(X±∆X)
para estimar el efecto de la incertidumbre absoluta inicial de X en la incertidumbre absoluta final de
F . El procedimiento es conocido como propagación de incertidumbres.
Para el caso de una sola cantidad X se desarrollará específicamente en el punto 3 de la parte
experimental a continuación la propagación correspondiente al multiplicarla por una constante o
elevarla al cuadrado. En el punto 4 se plantea como ejercicio el caso de elevarla al cubo.
En la segunda práctica, Dimensión de Sólidos, se considerarán otros ejemplos simples a partir de dos
o tres cantidades iniciales y las propagaciones respectivas al sumarlas (o restarlas) y al multiplicarlas.
PARTE EXPERIMENTAL
En cualquier experimento debe conocerse como primer paso la apreciación de los instrumentos de
medición y las limitaciones que tienen.
La manera más convencional para determinar longitudes entre 1 mm y 100 m es mediante la
comparación directa de la dimensión a medir con la escala graduada en una regla o una cinta
métrica, instrumentos éstos cuya apreciación usualmente es de 1 mm.
Para las actividades a continuación se requiere hacer trazos “a mano suelta”, sin ayuda de reglas,
escuadras o plantillas. Un trazo “perfecto” con ayuda de útiles no permite cumplir con el objetivo.
1.
En una hoja de papel tamaño carta haga tres trazos rectos: uno corto (como el espesor de un
dedo), uno medio (como el ancho de la mano) y uno largo (como el largo de la hoja, pero
dejando márgenes).
Mida la longitud de cada trazo y exprese cada resultado junto con su incertidumbre absoluta
(apreciación): X ± ∆X
Determine en cada caso la incertidumbre relativa
concluye ?
2.
εx y compare los tres resultados. Qué
Dibuje un segundo trazo recto largo, paralelo al que ya existe, separado una distancia como el
ancho de la mano (recuerde que está trabajando a mano suelta). Note que en este caso la
imposibilidad de hacer un trazo recto exactamente paralelo al primero es una fuente de
incertidumbre casual, por lo que tiene sentido hacer varias medidas para obtener un valor medio
de la separación.
Mida la separación Xi entre los dos trazos en cinco puntos diferentes de las rectas: los dos
extremos, el medio y dos puntos intermedios. Obtenga el valor medio X de la separación.
Obtenga la incertidumbre absoluta ∆X evaluando la semidiferencia de los valores extremos.
Exprese la separación en sus dos formas: valor medio con su incertidumbre absoluta X ± ∆X ,
y valor medio con su incertidumbre relativa X con ε X
Cómo se compara la incertidumbre relativa en este caso con las obtenidas en la actividad 1.?
3.
Dibuje ahora un círculo del tamaño del puño. Nuevamente la imposibilidad de hacer un círculo
perfecto origina una incertidumbre de tipo casual.
Mida el diámetro en cuatro direcciones diferentes. Obtenga el valor medio
y las
d
incertidumbres absoluta ∆d y relativa εd . Exprese el diámetro en sus dos formas: valor medio
con su incertidumbre absoluta d ± ∆d , y valor medio con su incertidumbre relativa d con ε d
Conocido el diámetro medio d calcule la circunferencia media como: s = π d
Para determinar la incertidumbre absoluta en la circunferencia note que para la propagación de
la incertidumbre del diámetro en la circunferencia está multiplicando por una constante π así
que simplemente:
(s ± ∆s ) = π (d ± ∆d )
⇒
∆s = π ∆d
Otra cantidad a determinar es el área promedio: a =
(d )
4
π
2
En este caso está elevando el diámetro al cuadrado por lo que la propagación de su
incertidumbre se puede estimar desarrollando:
(a ± ∆a ) = π (d ± ∆d )2 = π ⎡⎢ (d )2 ± 2 d ∆d + (∆d )2 ⎤⎥ ≈ π ⎡⎢ (d )2 ± 2 d ∆d ⎤⎥
4⎣
4
⎦
4⎣
⎦
donde se ha despreciado explícitamente el tercer sumado (por qué ?), obteniéndose entonces:
∆a ≈
4.
π
2
d ∆d
Agarre ahora otra hoja y haga una pelota con ella. Cómo puede obtener el diámetro medio de la
pelota ?
Una forma podría ser superponer una regla y girar la pelota para determinar unos seis valores
del diámetro, pero esto agrega una imprecisión visual al momento de hacer las medidas.
Otra forma podría ser mediante el uso de una cuerda o equivalente (hilo, cordón de zapatos).
Se mide la circunferencia para unas cinco orientaciones distintas de la pelota, se calcula la
circunferencia media, y de ahí, el diámetro medio:
(d ± ∆d ) = π1 (s ± ∆s )
Conocido entonces el diámetro medio, proceda a calcular el área media y el volumen medio de
la esfera:
()
a =π d
2
v=
(d )
6
π
3
Haciendo un procedimiento similar al desarrollado para el área en el caso del círculo, demuestre
que las incertidumbres absolutas del área media y el volumen medio de la esfera son:
∆a ≈ 2 π d ∆d
∆v ≈
(d ) ∆d
2
π
2
REFERENCIAS
Tipler-Mosca Ι (cap.1) Serway-Beichner Ι (cap.1)
Gasiorowicz-Thornton Ι (cap.1)
Resnick-Halliday-Krane Ι (cap.1)
Fishbane-
Laboratorio de Física (Volumen 1): Iván Escalona & Perla H. Chocrón. UCV, Facultad de Ciencias,
Escuela de Física (1986, 2008)
IE/231114