Cálculo II, Diferenciación

CÁLCULO II,
1 DIFERENCIACIÓN
HANS SIGRIST
UAC
∞
infinitus
cbna 2010
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.
1
C ÁLCULO D IFERENCIAL
Dos pueden vivir con el mismo dinero que uno,
pero sólo la mitad del tiempo.
A NÓNIMO
Índice
cbna 2010 ∞ [email protected]
/
Ingeniería Comercial (PCE) UAC
.
Objetivos de aprendizaje
Al finalizar este capítulo, el alumno estará en condiciones de:
Diferenciar funciones de una variable desconocida.
Encontrar la pendiente de una función usando diferenciación.
Deducir ingresos marginales y costos marginales usando diferenciación y relacionándolas con las respectivas
funciones de ingreso y costo totales.
Calcular la elasticidad puntual de funciones de demanda no lineales.
Usar el cálculo para encontrar impuestos de ventas que maximizan la devolución de impuestos.
Deducir los multiplicadores Keynesianos usando diferenciación.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
Diferenciación
Problemas
Reglas de diferenciación
Problemas
Ingresos marginales y totales
Problemas
Costo marginal y costo total
Problemas
Soluciones
2
3
4
5
5
10
10
12
12
1.1 Diferenciación Este capítulo introduce algunas técnicas básicas del cálculo y su aplicación a los problemas
de la economía. Estableceremos aquí lo concerniente a “el cálculo diferencial”.
1
1 CÁLCULO DIFERENCIAL
1.1 Diferenciación
La diferenciación es un método para hallar la pendiente de una función en cualquier punto. Además de ser una
herramienta muy útil en sí misma, forma también la base de poderosas técnicas en la solución de problemas de
optimización, que estudiaremos más adelante.
La técnica básica de diferenciación es sencilla y de fácil aplicación. Considere una función muy simple de un
solo término
y = 6x 2
Para hallar una expresión para la pendiente de esta función, para cualquier valor de x, las reglas básicas de
diferenciación requieren que Ud.:
multiplique la constante o coeficiente numérico por la potencia de x, y
sustraiga 1 de la potencia de x.
En este ejemplo existe un término cuadrático, luego la potencia de x se reduce de 2 a 1. Usando las reglas básicas
entonces la derivada de la función queda
2 × 6x 2−1 = 12x
Esta última expresión es conocida como la derivada de y con respecto a x, que usualmente se escribe d y/d x,
que leemos “de y en de x”200
150
100
50
1
2
3
4
5
6
F IGURA 1. y = 6x 2
Podemos verificar que esto es correcto observando la gráfica de la función y = 6x 2 en la Figura 1. Cualquier
término en x 2 aumentará indefinidamente a medida que x aumenta. La pendiente es la derivada de la función
con respecto a x, que hemos concluido igual a 12x. Cuando x crece, también lo hace 12x, lo cual confirma que la
fórmula deducida cumple con los requerimientos.
Para determinar el valor actual de la pendiente de la función y = 6x 2 para cualquier valor dado de x, simplemente reemplazamos x por el valor deseado
pend i ent e = 12x
Cuando x = 4, entonces pend i ent e = 48; cuando x = 5, entonces pend i ent e = 60, etc.
Ejemplo 1. ¿Cuál es la pendiente de la función y = 4x 2 cuando x es igual a 8?
Demostración. Diferenciando “y ′′ obtenemos
pend i ent e =
dy
= 2 × 4x 2−1 = 8x
dx
Cuando x = 8, entonces pend i ent e = 8(8) = 64.
3
Ejemplo 2. Encuentre una fórmula para la pendiente de la función y = 6x que sirva para cualquier valor de x.
Demostración.
pend i ent e =
2
dy
= 3 × 6x 3−1 = 18x 2 , ∀x
dx
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CÁLCULO II,
1 DIFERENCIACIÓN
1 CÁLCULO DIFERENCIAL
1.3 Reglas de diferenciación
Ejemplo 3. ¿Cuál es la pendiente de la función y = 45x 4 , cuando x = 10?
Demostración.
dy
= 180x 3
dx
Cuando x = 10, entonces pend i ent e = 180(1000) = 180000.
pend i ent e =
1.2 Problemas
Ejercicio 1. Deduzca una fórmula para la pendiente de la función y = 12x 3 .
Ejercicio 2. ¿Cuál es la pendiente de la función y = 6x 4 cuando x = 2?
Ejercicio 3. ¿Cuál es la pendiente de la función y = 0,2x 4 cuando x = 3?
Ejercicio 4. Deduzca un expresión para la pendiente de la función y = 52x 3 .
Ejercicio 5. Cree Ud. mismo su propia función de una variables y derívela.
1.3 Reglas de diferenciación Una de las principales reglas de diferenciación establece que: si y = ax n , donde a y
n son parámetros conocidos, entonces
dy
= nax n−1
dx
Cuando se trata de expresiones con más de un término unidos por sumas o restas, entonces la regla de diferenciación se aplica a cada uno de los términos que aparezcan.
Ejemplo 4. Derivar la función y = 3x 2 + 10x 3 − 0,2x 4
Demostración.
dy
= 2x × 32−1 + 3 × 10x 3−1 − 4 × 0,2x 4−1 = 6x + 30x 2 − 0,8x 3
dx
Ejemplo 5. Encuentre la pendiente de la función y = 6x 2 − 0,5x 3 cuando x = 10.
Demostración.
dy
= 12x − 1,5x 2
dx
Cuando x = 10, pend i ent e = 120 − 1,5(100) = 120 − 150 = −30.
pend i ent e =
Ejemplo 6. Deduzca una expresión para la pendiente de la función y = 4x 2 + 2x 3 − x 4 + 0,1x 5 , para cualquier valor
de x.
Demostración.
dy
= 8x + 6x 2 − 4x 3 + 0,5x 4
dx
pend i ent e =
Recuerde cuando use la regla de diferenciación que x 1 = x y que x 0 = 1.
Ejemplo 7. Diferenciar la función y = 8x
Demostración.
y
dy
dx
=
8x = 8x 1
=
1 × 8x 1−1 = 8x 0 = 8
Ejemplo 8. Deduzca una expresión para la pendiente de la función y = 30x − 0,5x 2 para cualquier valor de x.
pend i ent e =
dy
= 30x 0 − 2(0,5)x = 30 − x
dx
Ejemplo 9. Derive la función y = 14x.
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3
1 CÁLCULO DIFERENCIAL
1.4 Problemas
Demostración.
dy
= 14x 1−1 = 14x 0 = 14
dx
El ejemplo anterior ilustra el hecho de que la derivada de cualquier término en donde aparezca “x”, es simplemente el valor del coeficiente que se encuentre delante de él.
Cualquier constante, siempre desaparece cuando una función es derivada. Para entender porque, considere
una función conformada tan sólo por una constante y = 5. Esta función puede ser reescrita de la forma y = 5x 0 ,
derivando esta función obtenemos
dy
= 0(5x −1 ) = 0
dx
Ejemplo 10. Diferenciar la función y = 20 + 4x − 0,5x 2 + 0,01x 3
Demostración.
dy
= 4 − x + 0,03x 2
dx
Ejemplo 11. Deduzca una expresión para la pendiente de la función y = 6 + 3x − 0,1x 2
Demostración.
pend i ent e =
dy
= 3 − 0,2x
dx
Cada vez que la potencia de “x” en una función, sea negativa o no entera (fraccionario o decimal), aplicamos la
regla de diferenciación de la misma forma que antes.
Ejemplo 12. ¿Cuál es la pendiente de la función y = 4x 0,5 cuando x = 4?
Demostración.
pend i ent e =
Cuando x = 4, pend i ent e = 2 × 4
−0,5
( )
1
= 1.
= 2×
2
dy
= 0,5 × 4x 0,5−1 = 2x −0,5
dx
Ejemplo 13. Diferenciar la función y = x −1 + x 0,5 .
Demostración.
dy
= −1 × x −1−1 + 0,5x 0,5−1 = −x −2 + 0,5x −0,5
dx
1.4 Problemas
Ejercicio 6. Diferenciar la función y = x 3 + 60x.
Ejercicio 7. ¿Cuál es la pendiente de la función y = 12 + 0,5x 4 , cuando x = 5?
Ejercicio 8. Deduzca una fórmula para la pendiente de la función y = 4 + 4x −1 − 4x.
Ejercicio 9. ¿Cual es la pendiente de la función y = 4x 0,5 , cuando x = 4?
Ejercicio 10. Diferenciar la función y = 25 − 0,1x −2 + 2x 0,3 .
Ejercicio 11. Cree Ud. su propia función con al menos tres términos diferentes, potencias fraccionarias o decimales
y potencias negativas.
4
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1 DIFERENCIACIÓN
1 CÁLCULO DIFERENCIAL
1.5 Ingresos marginales y totales
1.5 Ingresos marginales y totales Afirmar que la diferenciación luce como un cambio infinitesimal en la variable
independiente x, que es reflejado en la variable dependiente y, parece ser un concepto muy extraño, lo que queda
de esta sección pretende mostrar como esto ocurre. En primer lugar examinemos un ejemplo que nos introducirá
en el tema.
Ejemplo 14. Diferenciar la función y = 6x + 2x 2 usando la definición de diferenciales.
Demostración. Suponga que provocamos un pequeño aumento en la variable independiente x, digamos δx. Esto
producirá un pequeño aumento ∆y en la variable dependiente y.
Dada la función
y = 6x + 2x 2
(1)
El nuevo valor de y (i.e. “y +∆y”) puede encontrarse sustituyendo el nuevo valor de x (i.e. “x +∆x”) en la función.
Luego,
y + ∆y
=
6(x + ∆x) + 2(x + ∆x)2
y + ∆y
=
6x + 6∆x + 2x 2 + 4x∆x + 2(∆x)2
Ahora bien, si restamos de este resultado la ecuación (1), obtenemos
y + ∆y = 6x + 6∆x + 2x 2 + 4x∆x + 2(∆x)2
(−) y = 6x + 2x 2
∆y = 6∆x + 4x∆x + 2(∆x)2
(2)
Dividiendo (2) por ∆x,
∆y
= 6 + 4x + 2∆x
∆x
Y ahora haciendo ∆x infinitamente pequeño, vemos que el último término desaparece y finalmente
∆y
= 6 + 4x
∆x
Por definición se obtiene el mismo resultado que calculando el d y/d x usando las reglas básicas de diferenciación explicadas previamente. Obviamente, es más fácil y rápido usar dichas reglas que la definición, Sin embargo
este ejemplo permite entender una aplicación del cálculo de derivadas usando la definición aplicadas a la economía.
En textos introductorios a la economía, ingreso marginal (IM) es a veces definido como el cambio en el ingreso
total (IT) que se produce cuando la cantidad vendida se incrementa una unidad, es decir, al incremento del ingreso
total que supone la venta adicional de una unidad de un determinado bien.
Una definición más precisa de ingreso marginal es que este es la tasa de cambio del ingreso total relativo al
aumento en la demanda.
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1 CÁLCULO DIFERENCIAL
1.5 Ingresos marginales y totales
T′
$
A
b
T
B
b
b
C
IT
q
F IGURA 2. Ingreso marginal: unidades (Q) vs. valor ($)
En la figura (2), la tasa de cambio del ingreso total entre los puntos B y A es
∆I T
AC
=
= pendiente de la línea AB
∆Q
BC
lo cual es un valor aproximado del ingreso marginal a lo largo del rango de salida (demanda q).
Suponga ahora que la distancia entre B y A es pequeña. Como el punto B se mueve sobre I T en dirección a A la
pendiente de la recta AB se acercará a la pendiente de TT′ , que es la pendiente de I T en el punto A. 1 Luego, para
pequeños cambios en la cantidad q, I M será casi igual a la pendiente de la recta de I T en el punto A. Si dichos
cambios son infinitamente pequeños, entonces la pendiente de AB será exactamente igual a la pendiente de T T ′ .
En consecuencia, I M , será igual a la pendiente de la función I T en cualquier punto q.
Sabemos que la pendiente de una función puede hallarse mediante diferenciación y este es el caso, luego
IM =
dIT
dq
(3)
Ejemplo 15. Dado I T = 80q − 2q 2 , deduzca una función para el I M .
Demostración.
IM =
dIT
= 80 − 4q
dq
El resultado anterior nos permite explicar algunas propiedades de las relaciones entre el I M y el I T . La curva
(recta) de demanda D en la figura (3) representa a la función
p = 80 − 2q
(4)
Sabemos por definición que I T = p · q. Luego, sustituyendo en (4) obtenemos
I T = (80 − 2q)q = 80q − 2q 2
que es la misma función definida en el ejemplo anterior. Podemos ver que al superponer amabas gráficas (la de
I M arriba y I T abajo) cuando I T aumenta entonces I M es positivo y que cuando I T esta cayendo, entonces I M es
negativo. A medida que la tasa de aumento de I T se hace más pequeña, También lo hace el valor del I M . Cuando
I T es máximo, I M es cero.
1Una tangente a una curva en cualquier punto es una línea recta que contiene la pendiente en ese punto.
6
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1.5 Ingresos marginales y totales
p
80
D
MR
IM
q
0
£$
800
TR
IT
0
20
40
q
Figure 8.3
F IGURA 3. Ingreso total vs. Ingreso Marginal
Con la función de ingreso marginal deducida anteriormente, es fácil encontrar el valor exacto de la producción
We know that by definition TR = pq. Therefore, substituting (1) for p,
cuando I T es máximo. La función I T es horizontal en su punto máximo y su pendiente (inclinación) es cero, por
tanto también es cero la función I M . Luego, cuando I T es máximo
TR = (80 − 2q)q = 80q − 2q 2
I M = 80 − 4q
=
0
which is the same as the TR function in Example 8.15 above. This TR function is plotted in
80 = 4q
the lower section of Figure 8.3 and the function for MR, already derived, is plotted in the top
20 = q
section.
You can
seede
that
when TR is rising, MR is positive, as one would expect, and when TR is
Dada una función de demanda
lineal
la forma
falling, MR is negative. As the rate of increase of TR gets smaller so does the value of MR.
When TR is at its maximum,
p = aMR
− bqis zero.
(5)
With
the
function
for
MR
derived
above
it
is
very
straightforward
to
find
the
exact
value of
Tenemos que el ingreso total
2TR function is horizontal at its maximum point
the output at which
TR
is
a
maximum.
The
I T = pq = (a − bq)q = aq − bq
and its slope is zero and so MR is also zero. Thus when TR is at its maximum
Por otra parte, el ingreso marginal
IM =
dIT
MR = 80 − 4q = 0 d q
= a − 2bq
Vemos que ambas, la curva de demanda y la función I M tienen en común la intersección con el eje vertical, y la
80 = 4q
pendiente de la I T es 2b que es obviamente el doble de la pendiente de la curva de demanda.
20 =noqvale para las curvas de demanda no lineal. Si una curva de la
También hay que señalar que este resultado
demanda no es lineal, entonces es mejor para obtener la pendiente de la función I M partir de la definición.
© 1993, 2003 Mike Rosser
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1 CÁLCULO DIFERENCIAL
1.5 Ingresos marginales y totales
Ejemplo 16. Deduzca el I M de la función de demanda no lineal p = 80 − q 0,5 .
Demostración.
IT
=
IM
=
pq = (80 − q 0,5 )q = 80q − q 1,5
dIT
= 80 − 1,5q 0,5
dq
En el caso no lineal los interceptos con el eje de los precios siguen siendo 80, pero la pendiente del I M es 1,5 veces
la pendiente de la función de demanda.
Ejemplo 17. Para la función de ingresos totales
I T = 500q − 2q 2
encuentre el valor del I M cuando q = 80
Usando cálculo y las reglas básicas de diferenciación.
Usando una planilla de cálculo que permita estimar los incrementos de q por sobre el valor inicial 80 y que
aumenten progresivamente. Compare ambas respuestas.
dIT
= 500 − 4q. Luego, cuando q = 80, I M = 500 − 4(80) = 500 − 320 = 180.
dq
La planilla mostrada en la tabla (4) puede ser construida siguiendo las siguientes instrucciones. Esta planilla
muestra que el incremento en q (relativo al valor original 80) hace más y más pequeño el valor del I M (o sea
de ∆I T /∆q) que tiende a 180.
Demostración.
IM =
celda
A1:B4 y A6:E6
D2
D3
D4
B7
B8
B9:B13
A7
A8:A13
C7
C8:C13
D7
D8:D13
E7
E8:E13
A7:E13
8
ingresa
IT=500q-2q^2
80
=500*D3-2*D3^2
10
=B7/10
copia la fórmula de B8 hacia abajo (+)
=B7+d$3
copia la fórmula en la celda A7 hacia abajo (+)
=500*A/-2*A7^2
copia la fórmula en la celda C7 hacia abajo (+)
=C7-d$4
copia la fórmula en la celda D7 hacia abajo (+)
=D7/B7
copia la fórmula de la celda E7 hacia abajo (+)
alarga las columnas (doble click rápido) y aumente el número de decimales
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1 CÁLCULO DIFERENCIAL
1.7 Costo marginal y costo total
F IGURA 4. Diferenciación del IT
1.6 Problemas
Ejercicio 12. Dada la función de demanda p = 120−3q, deduzca una función para el I M y encuentre la producción
en la cual I T es máxima.
Ejercicio 13. Para la curva de demanda dada por p = 40 − 0,5q encuentre el valor del I M cuando q = 15.
Ejercicio 14. Halle la producción en la cual el I M es cero cuando p = 720 − 4q 0,5 describe la curva de demanda.
Ejercicio 15. Un empresa sabe que la función de demanda para sus productos es p = 400−0,5q. ¿Qué precio debería
cobrar para maximizar los ingresos por ventas?
Ejercicio 16. Haga su propia función de demanda y luego deduzca la correspondiente función de I M y encuentre el
nivel de salida que corresponde a cero el ingreso marginal.
1.7 Costo marginal y costo total Tal como el I M es definido como la tasa de cambio de la función I T , el costo
marginal C M se define como la tasa de cambio de la función costo total C T . De hecho, De hecho, en casi todas
las situaciones en las que uno trata con el concepto de un aumento marginal, la función marginal es igual a la tasa
de cambio de la función original, es decir, para deducir la función marginal basta tan sólo diferenciar la función
original.
Ejemplo 18. Dada C T = 6 + 4q 2 deduzca el la función C M .
Demostración.
CM =
dC T
= 8q
dq
El ejemplo anterior es poco realista, ya que asume una función de C M dado por una línea recta. Esto se debe a
la función C T se da como una función cuadrática simple, mientras que normalmente se espera que una función de
C T tenga una forma similar a la mostrada en la Figura (5). Esta representa una función cúbica cuyas propiedades
son
La tasa de variación del C T primero cae y luego se levanta;
El C T en realidad nunca cae al aumentar la producción, es decir, C M nunca es negativo. (Si bien es cierto,
es bastante común encontrar economías de escala que causan los costos medios a caer, ninguna empresa
va a encontrar el costo total de descenso de la producción cuando la producción aumenta.)
El punto más plano de la presente lista C T está en M , que corresponde al valor mínimo de C M .
Una función cúbica costo total tiene las propiedades anteriormente mencionadas si
C T = aq 3 + bq 2 + c q + d
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1.7 Costo marginal y costo total
$£
CT
TC
M
q
0
£
$
CM
MC
q
0
Figure 8.4
F IGURA 5. Costo Marginal vs. Costo Total
The example above is somewhat unrealistic in that it assumes an MC function that is a straight
line. This is because the TC function is given as a simple quadratic function, whereas one
a, c, da>TC
0, b function
< 0 y b 2 < to
3achave a shape similar to that shown in Figure 8.4. This
normally expects
represents a cubic function with certain properties to ensure that:
Ejemplo 19. SI C T = 2,5q 3 − 13q 2 + 50q + 12 deduzca la función C M .
(a) the rate of change of TC first falls and then rises, and
Demostración.
CT
(b) TC never actually
falls as output increases, i.e. MC is never negative. (Although it is
= 7,5q 2 − 26q + 50
d q to find economies of scale causing average costs to fall, no firm is going
quite common
to find the total cost of production falling when output increases.)
donde a, b, c y d son parámetros tales que
Ejemplo 20. ¿Cuándo el costo variable
promedio
obtendrá
valor
mínimoispara
la función
de la C T ?
The flattest
point
of thissuTC
schedule
at M,
which corresponds
of MC.
C T = 40 + 82q − 6q 2 + 0,2q 3 ?
A cubic total cost function has the above properties if
to the minimum value
(6)
Demostración. La Teoría de Costos nos dice que la curva de costos marginales cortará en el punto mínimo a la
curva de costo promedio (C P ) y aTC
la =
curva
promedio
aq 3de+costo
bq 2 +
cq + d variable (C PV ). Por tanto, necesitamos deducir
donde la función C M se cruza (corta) con la curva C PV .
wheredea,C b,
c and
are parameters
such
Es obvio observando la función
T (6),
quedposee
un costo fijo
C T Fthat
= 40 y que la función de costo variable
2
3
C PV = 82q − 6q + 0,2q . Luego,
a, c, d > 0, b C<T V0 and b2 < 23ac.
C PV =
= 82 − 6q + 0,2q
q
This
applies
to
the
TC
functions
in the examples below.
y
dC T
CM =
= 82 − 12q + 0,6q 2
dq
Haciendo C M = C PV , obtenemos
Example 8.19
82 − 12q + 0,6q 2
=
82 − 6q + 0,2q 2
2
If TC = 2.5q 3 − 13q
0,4q 2 +=50q6q+ 12 derive the MC function.
© 1993, 2003 Mike Rosser
q
=
6
= 15
0,4
es el punto mínimo del C PV .
10
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1 DIFERENCIACIÓN
1 CÁLCULO DIFERENCIAL
1.9 Soluciones
1.8 Problemas
Ejercicio 17. Si C T = 65 + q 1,5 calcule el C M cuando q = 25.
Ejercicio 18. Deduzca una fórmula para el C M si C T = 4q 3 − 20q 2 + 60q + 40.
Ejercicio 19. Si el C T = 0,5q 3 − 3q 2 + 25q + 20 deduzca funciones para (a) C M , (b) C P y (c) la pendiente del C P .
Ejercicio 20. ¿Qué ocurre con el C M si C T = 25 + 0,8q?
Ejercicio 21. Cree Ud. su propia función de C T y luego derívela para obtener la función de C M .
1.9 Soluciones
1 36x 2
2 192
3 21,6
4 156x 2
6 3x 2 + 60
7 250
8 −4x −2 − 4
9 1
10 0,2x −3 + 0,6x −0,7
12 1206q, 20
13 25
14 14400
15 $200
17 7,5
18 12q 2 − 40q + 60
19 (a) 1,5q 2 − 6q + 25 (b) 0,5q 2 − 3q + 25 + 20q −1 (c) q − 3 − 20q −2
20 El C M es constante en 0,8
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