LOS SABERES MATEMÁTICOS PREVIOS DE JÓVENES Y

LOS SABERES MATEMÁTICOS PREVIOS DE JÓVENES Y ADULTOS: ALCANCES Y DESAFÍOS
Conocimiento matemático en jóvenes y adultos, UNESCO, Chile, 1997. Ponencia presentada en río de Janeiro (Brasil) en las jornadas de Reflexión y Capacitación Matemática de Jóvenes y Adultos, 24 – 28 de Octubre de 1995.
Germán Marino S.
Nuestro punto de partida en esta reflexión es el reconocimiento de la existencia de saberes matemáticos entre los jóvenes y adultos previos e independientes de los que presentan los programas educativos formales e informales.
Afortunadamente, en la actualidad disponemos de un inventario relativamente amplio de tales saberes, derivado de investigaciones realizadas en varios países de América Latina (Isabel Soto, Chile, 1992; Alicia Ávila, México, 1990; Germán Marino, Colombia, 1983; Ecuador, 1988; El Salvador, 1992).
Aquí no vamos a presentar esos trabajos. Quien desee conocerlos puede recurrir a las referencias bibliográficas pertinentes. Sin embargo, conviene dar cuenta de dos de los principales resultados:
-
El uso mental de algoritmos diferentes a los utilizados tradicionalmente para realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división.
El manejo mental de sistemas de notación diferentes al sistema de escritura posicional.
Es conveniente aclarar que tales estrategias son utilizadas con algunos cambios según los sectores de la población que los emplean; estas variaciones dependen de variables tales como el tipo de trabajo desempeñado, el sexo, la zona (rural o urbana), etc. El universo numérico en el que se mueve con pericia un pequeño campesino no es el mismo que el de un mediano comerciante, por ejemplo. Esto quiere decir que, a pesar de que existen tendencias bastante generales, se presentan variaciones.
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El reconocimiento e identificación sistemático de los saberes previos constituye, en sí mismo, una verdadera revolución para cualquier proyecto de educación matemática, pues desde el comienzo el educador ­y el currículo­ se relaciona con un interlocutor que sabe muchas cosas ­de aritmética, por ejemplo­, si bien opera de manera diferente. Su principal problema es la carencia de escritura. Ya no se está, pues, frente a un “ignorante” que debe ser llenado de saber, sino de un experto que trabaja con otra lógica.
Lo que acabamos de decir constituye quizás la principal consideración sobre los saberes previos, si bien existen otras que no por estar más alejadas de las prácticas diarias dejan de plantear enormes desafíos. La más importante, con toda seguridad, es la de responder a la pregunta de por qué coinciden no sólo los resultados de las investigaciones realizadas en diferentes países ­sin que medie entre ellas comunicación alguna­ sino básicamente el dar cuenta de las similitudes existentes durante largos períodos históricos y en los más diversos espacios. Como lo muestra la historia de las matemáticas, tales procedimientos fueron utilizados por los pueblos egipcio y mesopotámico.
Al revisar la bibliografía sobre la investigación de los procesos de enseñanza­aprendizaje de la aritmética entre los niños, encontramos que ahí también se han encontrado estrategias similares. Tendríamos, entonces, convergencias entre niños escolarizados y adultos analfabetos que nunca asistieron a la escuela; pero, además, convergencias de estos últimos con las poblaciones de culturas que vivieron hace muchos siglos (Dickson, Linda et al., 1991).
Ciertamente Piaget con su tesis ontogenética ya había encontrado situaciones similares en el surgimiento de nociones físicas, matemáticas y biológicas en los niños (Piaget y García, 1982). Pero a las puertas de la postmodernidad, muchas de las tesis de los estructuralislas se encuentran seriamente cuestionadas.
Las similitudes encontradas ¿no son más que el producto de la ilusión generada por el efecto Pigmalión, es decir, que los investigadores sólo “ven lo que esperan ver”? ¿Hay ahí indicios de condicionamientos Los Saberes Matemáticos previos de Jóvenes y Adultos: Alcances y Desafios por German Mariño se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribución­No Comercial­Licenciamiento Recíproco 3.0 Unported.
biológicos, de estrategias universales, de juicios sintéticos a priorí (a la manera kantiana) o, simplemente, respuestas análogas frente a problemas similares?*
No pretendemos responder aquí a tan compleja cuestión. Esa es una tarea que compete a los especialistas en epistemología y psicología.
Nuestra preocupación central es de carácter educativo, de ahí que la reflexión que sigue se encuentre íntimamente ligada con los fines de la educación y, más específicamente aún, con los supuestos de los diversos modelos que orientan el reconocimiento de los saberes previos.
¿QUÉ HACER CON LOS SABERES PREVIOS?
El reconocimiento y la caracterización de los saberes previos es un resultado en el que convergen, desde perspectivas diferentes, las investigaciones realizadas en el campo de la educación de adultos y de niños.
En la educación de niños se parte de una visión básicamente epistemológica, derivada de los trabajos de la Escuela de Ginebra y plasmada posteriormente en lo que se denomina el enfoque constructivista. En esta perspectiva, el niño es un sujeto activo que, mediante una dialéctica donde se conjuga lo que sabe previamente (“amarrado” a un determinado desarrollo lógico) con lo que le llega, va resignificando o rechazando lo nuevo (proceso de asimilación­
acomodación).
En la educación de adultos el abordaje es sociológico y antropológico. Sociológico, en la medida en que se parte del presupuesto que desconocer los conocimientos de los adultos es simplemente una actitud altiva y vanguardista, con serias implicaciones en el plano político. Antropológico, porque se tiene como premisa la existencia de la diversidad cultural, lo que inicialmente sólo es claramente aceptado para *
Esta temática la abordamos en la ponencia Analfabetismo funcional, los conocimientos
informados y los medios masivos, presentada en la Reunión Técnica de la REDALF, San Salvador.
24-27 de noviembre de 1992. Cf. Marino (1993).
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otras etnias (de ahí, por ejemplo, los trabajos pioneros en etnomatemática) pero que gradualmente se va extendiendo a los grupos campesinos y urbanos marginales, hablándose entonces de culturas populares, las cuales deben ser respetadas y tenidas en cuenta.
Encontramos, pues, una convergencia, obtenida desde perspectivas diferentes. Pero existen también divergencias, explicables en gran medida precisamente por el ángulo de acercamiento. Las divergencias se presentan en la respuesta a la pregunta: ¿qué hacer con los saberes previos?
Para el enfoque constructivista, los saberes previos son indispensables para lograr que los alumnos aprendan lo que la escuela ha determinado de antemano. Esta posición es perfectamente justificable en la medida en que la escuela es una instancia donde se socializa el saber acumulado por la humanidad. De ahí que los niños, a partir de la “destrucción” de sus hipótesis previas (por sucesivos conflictos cognitivos, por ejemplo), deban ir acercándose a los saberes considerados por la comunidad científica como los más potentes en un determinado período histórico. Los saberes previos deben ser “extirpados”, para ser gradualmente sustituidos por los saberes estatuidos. En este sentido, lo que el enfoque constructivista propone en última instancia es más bien una reconstrucción que una verdadera construcción.
Sin embargo, el enfoque constructivista no logra evitar la idea de objetivos predeterminados, ni siquiera enriqueciéndose con las tesis de Vigotsky quien incluye la dimensión cultural y social que, en gran medida, Piaget soslayó (al concebir al niño como un agente solitario que conquista gradualmente el mundo).
En este sentido, es muy serio el cuestionamiento que manifiesta el comentario que formula Jerome Bruner sobre la Zona de Desarrollo Próximo (ZDP), en una de las tesis vigotskianas más sugestivas, según la cual los niños avanzarían siempre de lo que son (culturalmente) hacia una zona próxima que le propone el medio social (escuela, tradición, padres, etc.), siempre y cuando ésta se encuentre “al alcance de”, es decir, que no esté excesivamente lejos.
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Haciendo un poco de futurología sobre las ideas de Vigotsky, Bruner afirma: “sus tesis saben demasiado a liberalismo del siglo XX. ¿La zona de Desarrollo Próximo es siempre la mejor? ¿El estrato superior de quién?" (Bruner, 1988, p. 84).
Situaciones muy diferentes ocurren en el campo de la educación de adultos. Por una parte se encuentra la tendencia populista, para la cual sólo existe una posibilidad: la admiración incondicional de los saberes populares. Los adultos no sólo saben, sino que lo que saben es definitivamente superior y, por consiguiente, sus saberes deben mantenerse intactos y reverenciarse. Estos casos son muy frecuentes en campos como los de la salud, la agricultura, etc., y, obviamente, también se dan en las propuestas de educación matemática (y en etnomatemática).
En la educación de adultos también existe otra posición, que se podría enmarcar dentro de lo que se denomina el "diálogo cultural". Como su nombre lo indica, consiste en enriquecerse con las distintas miradas. No se trata aquí de conocer al otro para “arrasarlo”, como lo pueden hacer los misioneros que aprenden una lengua indígena para luego traducir la Biblia e imponer, en nombre de una cultura superior, una determinada religión. Se trata de un intercambio de saberes, que sin ceder al populismo, evite la tentación del mesianismo.
En términos de educación matemática, el reto consistiría en diseñar sistemas de notación numérica o algoritmos para la suma, por ejemplo, que retomando las estrategias contenidas en los saberes previos las calificara con los aportes de la matemática estatuida. ¿Es posible llevar a la práctica esta última alternativa? ¿Se puede diseñar un currículo, unos materiales, unos procesos de capacitación y evaluación para tal empresa?
A continuación, precisamente, presentamos un recuento de los alcances y desafíos planteados por las experiencias realizadas desde dicha óptica, algunas efectuadas en pequeña escala y otras a nivel de todo un país (por los Ministerios de Educación de Colombia, Ecuador y El Salvador).
ALGUNAS EXPERIENCIAS ALTERNATIVAS CON EL uso DE LOS SABERES PREVIOS
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En pequeña escala
Los saberes matemáticos previos de jóvenes y adultos han sido utilizados en pequeña escala (nivel micro) de dos maneras. La primera como "telón de fondo", como referente teórico para ayudar a comprender eventuales problemas de aprendizaje; el educador los tiene presentes para encarar situaciones donde los alumnos dan respuestas “raras”, las cuales se consideran tradicionalmente "erróneas". La segunda manera de utilizarlos está muy cercana de la óptica populista: se los presenta de manera autosuficiente, sin preocuparse por "conectarse" con el mundo de la escritura matemática estatuida. Dicho de otra manera: se asume una postura aislacionista. Los algoritmos, por ejemplo, a pesar de que se enriquecen con la escritura (se respetan los procedimientos utilizados, pero se les "agrega" la escritura) –existiendo por ello una gran dosis de diálogo cultural, pues una cultura aporta el algoritmo y la otra la escritura­ se detienen en la sistematización escrita de los saberes. Esto se justifica aduciendo que lo verdaderamente importante es que los jóvenes y adultos aprendan mejor lo que saben, lo que de por sí ya implica un tiempo que, en caso de alargarse (precisamente por tratar de dar visiones más amplias), bien podría incidir en el aumento de la ya inmensa deserción existente en tales programas.
Esa fue nuestra posición inicial entre 1983 y 1985.* *
Nosotros realizamos, en ese período, tres trabajos. El primero se denominó ¿Cómo opera
matemáticamente el adulto del sector popular? (Hipótesis para una investigación) y fue publicado
en el marco del proyecto Co97347—5-02-83, financiado por COLCIENClAS. Se trata de un estudio
de carácter exploratorio que, como lo indica su subtítulo, no tenía mayores pretensiones.
Una vez concluido este primer trabajo, emprendimos el diseño de una cartilla, Cuentas claras, de la
que se imprimió sólo 100 ejemplares. Esta fue experimentada con vendedores de la Central de
Abastos de Bogotá (CORABASTOS), apoyado por un pequeño grupo de estudiantes de Psicología
de la Universidad Javeriana.
En 1986, como resultado que se continúa en 1985, nuevamente con el auspicio de COLCIENCIAS
(CO 3217 - 10-002 -85), se publica una nueva aproximación; esta vez se trata de un estudio de 86
páginas que lleva el mismo título que la primera, pero con un subtítulo diferente: constataciones y
propuestas, en la que se plantean nuestros puntos de vista in extenso.
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Escribíamos entonces: “No somos populistas, porque introducimos a los saberes prácticos tanto la escritura para los algoritmos (que sólo “registra” mentalmente), como el sistema posicional (...), pero el adulto es pragmático e inmediatista; desea aprender cosas que le sirvan y, además, quiere hacerlo rápido.
Asumir la propuesta (presentada en la canilla Cuentas claras­1983) contribuye a disminuir la deserción (...) y, más aún, en el caso de que deserte, se va con un conocimiento que optimiza su desempeño matemático y no como antes, donde lo único que se lleva son unos procedimientos ininteligibles que bien pronto terminará por olvidar (Marino, 1986, pp. 69­70).”
Diez años después vemos con claridad que nos encontrábamos deslumbrados por el descubrimiento de los saberes populares y que llegábamos a valorarlos tanto que asumíamos una posición aislacionista.
Quizás nuestra terquedad no fue más que la expresión de un periodo histórico, donde requeríamos a toda costa darle identidad a los sectores populares para compensar las desigualdades sociales.*
Una alternativa intermedia: la campaña CAMINA del Ministerio de Educación de Colombia.
Hacia 1984, Jorge Castaño reelaboró los materiales de matemáticas (cartilla Leo y Escribo) para la campaña CAMINA, impulsada masivamente en Colombia. Este caso es muy interesante porque retoma tan sólo parcialmente nuestros planteamientos sobre los saberes previos de los jóvenes y adultos de los sectores populares.
Ciertamente, parte de una valoración de tales saberes: “Después de pedirle a los adultos que realicen una suma planteada en la canilla, comenta: describa las operaciones que hizo en la mente (...). Claro, no es tan fácil. Uno también hace muchas cosas en la cabeza que después no *
La identidad nos llevó también a “rescatar” en la cartilla Cuentas claras ese asombroso ábaco de
los incas llamado Yupana.
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sabe explicar (...). El adulto está descubriendo o, como se dice, “tomando conciencia” de sus métodos, y usted está aprendiendo cómo es que ellos hacen las operaciones. (Colombia, Ministerio de Educación Nacional, s.f., p. 63).”
Un poco más adelante, explicando una página de la cartilla donde aparece una estrategia del adulto, se dice: “(…) piense en la satisfacción que da el encontrar escrito, nada menos que en libro, algo que se ha descubierto por su propia cuenta!
(Colombia, Ministerio de Educación Nacional, s.f., p. 64).”
Sin embargo, a pesar de la valoración positiva, toma distancia de una propuesta
“radical”. Los pasos que presenta son, básicamente, los siguientes:
Primero: Problema ­escritura de métodos usados por los adultos. Análisis de esos métodos.
Segundo: Presentación de problemas para encontrar un método que mejore los anteriores.
Tercero: Presentación de este nuevo método ligado a situaciones con dinero y después con números.
Cuarto: Presentación del método que nos han enseñado en la escuela. Dicho de otro modo: hace reconocer parte de los saberes de los adultos para pasar a plantear sus limitaciones y posteriormente introducir "el método que nos han enseñado en la escuela”. Y al método estatuido le agrega el ábaco.
No estamos aquí frente a la primera perspectiva señalada, es decir, los saberes corno telón de fondo para comprender problemas de aprendizaje; va mucho más allá: los recupera y hace tomar conciencia de ellos (tanto al educando como al educador).
Ahora se entiende por qué constituye una alternativa intermedia: los saberes previos son el punto de partida, pero no juzga prudente trabajar Los Saberes Matemáticos previos de Jóvenes y Adultos: Alcances y Desafios por German Mariño se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribución­No Comercial­Licenciamiento Recíproco 3.0 Unported.
con ellos durante mucho tiempo. Veamos un segmento de la cartilla donde se presenta un ejemplo a propósito de la sustracción.
Esta conversación tiene entre temas ciertos aspectos que, seguramente, tocan muy de cerca a algunos participantes: ejemplo, los problemas que tienen para encontrar mercado para sus productos, consecuencias que trae verse obligados a vender a precios desventajosos y otras situaciones
similares. Aproveche para interiorizarse hechos que explican muchos los problemas de este país. Tal vez surjan ideas interesantes para enfrentar esos problemas hasta acciones concretas... Definitivamente, es mucho lo que Ud. puede hacer a este respecto. sus por las en de y 10 Problemas de sustracción o resta
Observe, cuidadosamente, los 3 gráficos de esta Los Saberes Matemáticos previos de Jóvenes y Adultos: Alcances y Desafios por German Mariño se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribución­No Comercial­Licenciamiento Recíproco 3.0 Unported.
lección. Verá que se siguen los mismos pasos que en la lección 8: “Adiciones o sumas completando la decena” (es evidente que aquí se trata de “descompletar” y no de completar).
Como
se
trata prácticamente de lo mismo, dediquemos un tiempo a ver cómo reaccionan en este caso
los
adultos participantes (Ud. tendrá acceso, oportunamente, al conjunto de la lección).
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Miremos, por ejemplo, este caso: 27­8. El método del participante es, más o menos, el siguiente:
Como se puede observar, en este método se suma para poder restar!
Y este procedimiento es tan válido como el tradicional. Si no fuese porque con números grandes, por ejemplo de 3 cifras, el primer método se hace largo, difícil y poco práctico, hasta podríamos prescindir del tradicional.
Veamos que se puede hacer con el ábaco en estos casos. Como siempre es muy útil. Trabajemos con el mismo ejemplo 27­8.
de 8 a 10 son 2 más 10 a 20 son 12
más 7, a 27, son 19.
Algunos simplifican así: 8 a 10 son 2
más 17, a 27 son 19.
Para profundizar en cómo opera el adulto puede consultar a: Germán Marino: ¿Cómo opera matemáticamente el adulto del sector popular? Hipótesis de una investigación, Dimensión Educativa, Bogotá, Colombia.
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Situación inicial
Situación intermedia
Como no se puede sacar 8 de
7, es necesario sacar una
tapita del grupo de 10 y
pasarla a la primera fila de la
derecha.
Situación final
Ahora en la fila de la
derecha hay 17 tapitas
de las que se sacaron 8.
¿Qué le parece? Haga, Ud. ahora la siguiente operación: 36­7
Observe como este conjunto ilustra, al pie de la letra y a las mil maravillas, el método que usamos diariamente:
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El 1 que se pide “prestado” es la tapita que pasó a la fila de la derecha en el Abaco convirtiéndose en 10 (en el sistema decimal el 1 de la izquierda vale 10 a la derecha y el 10 de la derecha es 1 a la izquierda)
Hay que tener presente que este método, tan difícil de ser entendido cuando se explica sólo con números, es facilísimo con el Abaco .
Sin embargo, no ha llegado aún el momento de presentar a los participantes este método aparentemente tan complicado. Se requiere que los participantes vayan avanzando poco a poco.
El segmento que acabamos de presentar ilustra cómo, al mismo tiempo, retoma pero toma prudente distancia: “Si no fuera porque para números muy grandes el método resulta largo, difícil y poco práctico, hasta podríamos quedarnos con él”.
Al respecto podríamos anotar que, ciertamente, el método resulta largo y difícil cuando todo se tiene que llevar en la memoria, pero existe la posibilidad de utilizar la escritura, sin abandonar el algoritmo original. Eso es precisamente lo que intentamos hacer en las experiencias que reseñaremos posteriormente.
De todos modos, sin pretender cerrar la controversia ­hasta dónde es prudente “despegarse” de los algoritmos “espontáneos”­ quisiéramos pasar a comentar la alternativa implementada: el ábaco.
Sin lugar a dudas, la utilización del ábaco es la propuesta que más frecuentemente aparece cuando hablamos de innovaciones en el campo de la educación matemática de jóvenes y adultos. En el encuentro sobre el tema, realizado en Medellín (Colombia) en 1990, el ábaco estuvo representado por tres experiencias muy consolidadas: la del grupo del CLEBA (Colombia), desarrollada por Orlando Mesa y Gabriel Pareja; la de Newton Duarte (Brasil) y la de Luis Benavides, del CREFAL (México) (Dimensión Educativa/CLEBA, CEAAL, 1990). Más recientemente (1990), Ramiro Párraga, de la Comisión Episcopal de Educación de Solivia, publicó el Abecedario Matemático, donde retoma el Yupana (Jakhuña) de los incas.
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Cuando escribíamos las Impresiones Generales en la parte introductoria de las memorias del libro del encuentro de Medellín antes mencionado, anotábamos: “No es fácil escribir algunos comentarios de un encuentro donde hubo tantos desencuentros (...) precisamente uno de ellos fue la función de los apoyos didácticos: ¿Calculadoras electrónicas? ¿Ábacos? ¿Rompecabezas? o simplemente cabezas? (Dimensión Educativa/CLEBA, CEAAL, 1990, p. xiv).”
Lo decíamos porque ahí se presentó un debate muy interesante sobre los apoyos didácticos. Las opiniones sobre el ábaco eran muy diversas. Para algunos era un instrumento clave, que facilitaba enormemente el aprendizaje; otros (entre quienes me incluyo), no terminábamos de ver claro su papel.
Si los adultos de los sectores populares operan mentalmente, ¿para qué utilizar materiales concretos? ¿No supone esto adoptar una posición involutiva? El regreso a lo concreto, ¿no es innecesario con personas que han elaborado los conceptos y operan con ellos en la cabeza? No podemos dejar de recordar la polémica de Piaget con Montessori sobre el uso de algunos materiales didácticos, independientemente de lo que sucede “por dentro” de los niños. El concepto de "número", por ejemplo, no se imprime como una copia de la realidad, como postulan los empiristas.
¿Cuáles son las implicaciones del uso del ábaco si no se tiene en cuenta para nada los algoritmos ya elaborados por el adulto? ¿Se podría utilizar el ábaco para visualizar el sistema posicional ­que el adulto no maneja­, pero sin “arrasar” con los sistemas de notación “espontáneos” (los cuales son, entre otros, aditivos y multiplicativos) y los algoritmos previos? Más aún, ¿se podría utilizar el ábaco para visualizar el desarrollo de los saberes previos? Ciertamente, nos parece una controversia muy interesante, que aún debe ser objeto de debate. Avanzaríamos muy poco si simplemente nos situamos en dos bandos: quienes defienden el ábaco y quienes lo impugnan. La propuesta de Jorge Castaño da, algunas pistas sugestivas que bien podrían ayudar a esclarecer el debate.
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El Programa Nacional “EL ECUADOR ESTUDIA” del Ministerio de Educación del Ecuador
Hacia mediados de 1989, el Ministerio de Educación del Ecuador contrata al Centro de Educación y Promoción Popular (CEPP) ­una ONG con sede en Quito­ el diseño de una propuesta curricular y la elaboración de los materiales para el nuevo Programa de Educación Básica de Adultos. Esta institución, con la cooperación técnica de funcionarios del ministerio y, en algunos puntos, con la colaboración de otras ONG *, desarrolla su propuesta hasta principios de 1991. El área de matemáticas se desarrolla como parte de un currículo integrado donde hay temas como la educación, la salud, el trabajo y el medio ambiente.
En esta experiencia se solicitó mi contribución en calidad de consultor y tuve la posibilidad de proponer una estrategia ya decantada, en la que se superaba la fase aislacionista de mi primera etapa y se planteaba un desarrollo simultáneo tanto de los sistemas de numeración (del adulto y el estatuido) como de los algoritmos para las cuatro operaciones aritméticas.*
Las personas que estuvieron a cargo de la elaboración de los materiales de matemáticas (integrado en los módulos generales) fueron Norma Crespo (en la primera parte) y fundamentalmente, Cristina Jurado, quien venía de realizar un amplio trabajo de diseño de materiales para la enseñanza de matemáticas en un programa de educación a distancia (coordinado por el mismo CEPP).
El primer módulo (unidad de refuerzo), plantea la suma (llevando una y dos veces) y la resta. Como ya se mencionó, en esta propuesta se plantean simultáneamente la escritura de los dos saberes, respetando el hecho de que el adulto suma “de los números grandes a los pequeños” (es decir, de izquierda a derecha) y que los números los escribe como se pronuncian (sistema aditivo­mulltiplicativo). Veámoslo en la página de la cartilla que se presenta a continuación:
*
La Corporación Ecuatoriana de Investigación y Servicios Educativos (CIESE), por ejemplo, trabaja
el tema generador Nuestra Educación. El eje de participación social fue trabajado por la Asociación
Latinoamericana de Derechos Humanos (ALDHU).
*
La coordinación técnica estuvo a cargo de Cecilia Amaluisa y la del diseño curricular de Rolando
Pichún.
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Etapa 4
En esta etapa se realizan sumas “llevando” dos veces
•
Ejercicio 1 Pedir que lean los problemas y luego analicen las sumas:
En un primer momento, al sumar
600 más 500 se obtiene 1.100 que
se escribe 1.000 100
Luego, se suma 60 + 80, obteniendo
140 y se escribe 100 40
Ahora, se suma 3 + 2
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Finalmente, se suma todo
Así se llega al resultado: 1.245
Explique estos pasos en el pizarrón y haga lo mismo con el segundo problema. Sugiera que calculen cuánto dinero necesitan para comprar el diario, si es que llega a su comunidad. En ese caso proponga que los participantes junten el dinero para comprarlo, aunque sólo puedan hacerlo algunas veces y lean el periódico en grupo. •
Ejercicio 2
En este ejercicio los participantes resolverán las sumas siguientes:
Respuestas:
356 + 478 = 83,684 - 97 = 781
824 + 418 = 1.242,593 + 631 = 1.224,
3.468 + 2.716 = 6.184
En los módulos 1 y 2 se “despachan” todas las situaciones de la suma y la resta.
Pero la situación se complica cuando se pasa a la multiplicación y a la división.
En el telefax enviado el 17 de mayo de 1990, Cecilia Amaluisa y Cristina Jurado comentan: “(…) En este momento tratamos de definir la conveniencia o no de presentar al educando el proceso tradicional de la multiplicación, tomando en cuenta que en el estudio de la suma y la resta se hizo un tratamiento paralelo de los dos procesos, de tal suerte que el Los Saberes Matemáticos previos de Jóvenes y Adultos: Alcances y Desafios por German Mariño se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribución­No Comercial­Licenciamiento Recíproco 3.0 Unported.
educando, en un momento determinado, pueda aplicar el proceso tradicional (para la suma y la resta).
Pero con respecto a la multiplicación nos preguntamos: (...). Tal vez le interesa al adulto conocer los mismos procesos que manejan los demás (...) hay quienes plantean la necesidad de incluir los procesos tradicionales como mecanismo para mantener latente el interés del adulto por terminar la primaria (...).”
De todos modos y al mismo tiempo, la misma Cristina Jurado plantea alternativas para enfrentar el problema, sugiriendo “puentes” para pasar de un proceso a otro. Mi respuesta trata de incentivar la prosecución de una línea innovadora:
Mi primera consideración es que hay que reconocerle al algoritmo tradicional dos grandes ventajas: su velocidad y el pequeño espacio de papel que requiere, aunque tal valor se empieza a relativizar cuando pensamos en que también (y con mucho mayor éxito) lo logran realizar las calculadoras electrónicas, ya no tan imposibles de adquirir por parte de los adultos. El algoritmo tradicional es rápido y corto, pero es básicamente mnemotécnico. Es el resultado de sucesivas abstracciones que lo han alejado de la explicitación. El problema está en que en aras de esa velocidad, se soslaya el proceso analítico y termina aprendiéndose de memoria. Pero el algoritmo en sí mismo no es malo; lo malo es que se presente dejando a un lado su comprensión y, en el caso de los adultos, sus maneras de operar, el camino aprendido en la práctica social.
Creo, entonces, que el algoritmo tradicional bien podría ser enseñado, pero sin pretender atribuirle funciones que lo desbordan (pues, precisamente, ha desarrollado su optimización mediante el ocultamiento del proceso). Podría enseñarse como lo que es: un procedimiento mnemotécnico. El tratar de convertirlo en analítico nos conduce necesariamente a procesos similares a los identificados para el adulto no escolarizado. Los Saberes Matemáticos previos de Jóvenes y Adultos: Alcances y Desafios por German Mariño se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribución­No Comercial­Licenciamiento Recíproco 3.0 Unported.
Lo anterior implicaría que de todos modos habría que enseñar el camino analítico y, para el caso de la multiplicación, quizá no de forma paralela, sino posterior. Veámoslo con el ejemplo que me envían (421 x 248).
Primer paso: proceso rápido.
421 1 ………………..248
10……………….2480
20……………….4960
100……………...24800
200……………...49600
400………………99200
248
4960
9920
104408
Segundo paso: Transición al algoritmo tradicional (puede omitirse posteriormente y pasarse directamente al tercer paso)
Segundo paso Tercer paso
248 x 400 20 1
248 4960 99400 104408 248
x 421
248
4960
99400 104408
En la multiplicación, el algoritmo del adulto explícita fantásticamente todo aquello que oculta el algoritmo tradicional (por ejemplo, los ceros).
Ciertamente, el denominado por ustedes proceso más rápido es una bonita y elegante alternativa que, eventualmente, podría sustituir el Los Saberes Matemáticos previos de Jóvenes y Adultos: Alcances y Desafios por German Mariño se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribución­No Comercial­Licenciamiento Recíproco 3.0 Unported.
segundo y tercer pasos propuestos por mí o que bien podría integrarse de una manera como:
Con este proceso más rápido, afinado con la explicación de los ceros, es posible tener una sugestiva propuesta que podría “venderse” con relativa facilidad.
Pero en caso de que no se lograra suficientes adeptos, se podría negociar que una vez realizado tal proceso se trabajara el algoritmo mnemotécnico, enseñando a construir las tablas, pero de manera sintética, como en la forma clásica (que no vale la pena entrar a desagregar aquí, salvo que habría que aclarar que sería suficiente con construir una única tabla que contuviera los resultados del 1 al 9). A la objeción de que el proceso entonces se alargaría demasiado se puede responder que no, puesto que esta fase no se trabajaría de forma analítica (pues, irremediablemente, regresaríamos a una explicación similar a las vistas; y el hecho de utilizar una forma analítica distinta a la ya elaborada por el adulto sería una gran pérdida de tiempo, además de que nuevamente lo estaríamos considerando un ignorante que no sabe nada, lo que es tremendamente bancario y paternalista).
De la manera anterior podríamos motivar al adulto para que continúe su prima ver con el no tener en cuenta para nada sus saberes. Obviamente que ellos no alcanzan a conceptualizarlo y no nos lo van a expresar directamente, simplemente no vuelven.
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Un razonamiento parecido al de la multiplicación podríamos hacer respecto a la división. Es decir, se podría presentar el algoritmo desarrollado por el adulto y posteriormente, como una estrategia básicamente mnemotécnica, el algoritmo tradicional:
Veamos un ejemplo:
Ciertamente, la correspondencia entre el
algoritmo del adulto y el algoritmo
tradicional no siempre se ve tan
claramente, pero podrían crearse
escrituras para lograrlo.
Finalmente, con mis sugerencias y los aportes de Cristina, el módulo 3 plantea 1. Las lavanderas están metidas en el agua 9 horas y trabajan 5 días por semana.
¿Cuántas horas semanales están metidas en el agua?
En promedio, las lavanderas están metidas en el agua 45 horas por semana.
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2. Si, en promedio, las mujeres lavan 18 docenas de ropas por día y lo hacen durante 5 días a la semana, ¿cuántas docenas lavan en una semana?
La adopción de la Primera Propuesta (en el intercambio de faxes) podría también haber quedado:
De la manera anterior se pueden ir ensenando los dos sistemas de escritura simultáneamente.
La división, ya en la cartilla (módulo 3) quedó de la siguiente manera:
Zoila tiene tres hijos y repartirá entre ellos los 24 pancitos que preparó. ¿Cuántos panchos dará a cada hijo?
Como son tres hijos:
Si a cada uno da 1 pancito, necesita 3 pancitos;
Si a cada uno da 2 pancitos, necesita 6 pancitos;
Si a cada uno da 4 pancitos, necesita 12 pancitos;
Si a cada uno da 8 pancitos, necesita 24 pancitos;
A cada hijo dará 8 pancitos.
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Dividamos 24 pancitos entre 3 niños y el resultado será 8.
¿Cómo haríamos la siguiente repartición? •
Nos encargan de la distribución de 240 sacos de sal yodada entre 5 establecimientos comerciales.
¿Cuántos sacos de sal yodada recibirán cada establecimiento?
En cada establecimiento podemos entregar yodada.
sacos de sal Ejercitemos la división resolviendo otros
problemas que nos entregue el educador.
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La experiencia del Ecuador muestra cuán difíciles son las innovaciones, sobre todo cuando se intentan a nivel masivo.
Obviamente, toda innovación requiere un componente muy grande de capacitación y seguimiento que, por lo menos inicialmente, no se dio como se hubiera requerido. De ahí que cuando en 1991 asistí a un encuentro informal con supervisores del ministerio, las respuestas eran muy disímiles. Algunos ­afortunadamente una minoría no se había terminado de convencer de las “bondades” de la propuesta. Y si ellos mismos eran los encargados de capacitar en las provincias a los educadores de adultos, las cosas no auguraban mucho éxito.
La apropiación de la propuesta no fue del todo fácil, pues a pesar de que algunos funcionarios del ministerio participaron activamente en la primera etapa del diseño curricular, posteriormente, la elaboración de la parte "menuda" quedó a cargo de los especialistas de las ONG, creándose tensión dado que varios funcionarios no sentían la propuesta (en general y no sólo en relación con las matemáticas) como algo propio. Por consiguiente, había que empezar por limar los problemas creados por una débil capacitación y por el sentimiento de no apropiación, lo que gradualmente se ha venido logrando. El proyecto movilizador de alfabetización y educación básica para todos en El Salvador, Ministerio de Educación de El Salvador
En 1990, en el marco del proyecto PNUD­UNESCO, la Dirección General de Educación de Adultos tiene a su cargo el diseño de los materiales de matemáticas y yo fui contratado en calidad de consultor.*
En El Salvador se presentaban unas condiciones óptimas, pues existía la posibilidad de partir de una investigación que recuperaba los saberes previos de los educandos.
*
Ana Gladys Aparicio se desempeñaba como Coordinadora Adjunta de Educación de Adultos y el
ATP (UNESCO) del Proyecto Movilizador de Alfabetización y Educación Básica era César Picón.
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En el marco de dicha investigación se entrevistó, en el lapso de dos meses, a 192 adultos analfabetos, distribuidos en varias regiones del país y que representaban a cinco áreas de actividad: agropecuaria, comercio, servicios, pesca y artesanía.*
De las 192 personas entrevistadas, 93 habían asistido alguna vez a la escuela y 99 no lo habían hecho nunca; 79 eran hombres y 113 mujeres. De los entrevistados, 122 realizaban sus cuentas mentalmente y el resto utilizando otras formas (solicitando ayuda, utilizando una calculadora, escribiéndolas en un papel).
Los resultados vinieron a confirmar lo hallado en las investigaciones anteriores sobre los sistemas de notación y los algoritmos aritméticos (El Salvador, Ministerio de Educación, diciembre de 1990), agregando valiosa información sobre los sistemas de medida, tanto de longitud como de superficie y peso. Tomando como base la investigación, se procedió entonces a producir los cuadernos de trabajo­cartillas. Se logró imprimir: Guía para el Facilitador.
N° 1 ­ Numeración de 0 a 99
N° 2 ­ Numeración de 999 a 9.999
N° 3 ­ Suma sin llevar
N° 4 ­ Suma llevando una vez
Nº 5 – Suma llevando dos veces y casos especiales
Nº 6 – La resta sin prestar
En el juego de cartillas­cuadernos de trabajo previo se presentaban simultáneamente (para la suma y la resta) los sistemas de escritura que expresaban el algoritmo de los adultos y el algoritmo estatuido.
A continuación presentamos dos páginas con ejemplos: la suma se escribe en notación “expandida” y se realiza de izquierda a derecha y la resta se hace buscando el complemento, lo que le hace falta para…
*
Los investigadores principales fueron Fredy Alfaro, Valentín Cárcamo y Edmundo Salas. Contaron
con el apoyo de José Vásquez y Ana Espinal en la Región Oriental. Nelson Martínez en la Región
Metropolitana, Doris Pineda en la Subregión Central Metropolitana y Raquel Arias, de las
Muchachas Guías de El Salvador.
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cdu + du = cdu
Haga otro ejercicio
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El proyecto llegó a “andar un buen trecho”, desde 1990 hasta 1993. Sin embargo, en el año 1994, la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la
Ciencia y la Cultura (OEI) y el Ministerio de Educación firman un convenio denominado PAEBA (Plan Nacional de Alfabetización y Educación Básica) GOEZ­ESPAÑA­ OEI.
El objetivo de este convenio era diseñar el currículo y los materiales ya no sólo pensando en la alfabetización, sino en toda la educación básica. Por otra parte, se modifica el enfoque, pasando de un tratamiento por áreas a un tratamiento integrado. Gran parte del personal del equipo que había participado en la investigación sobre saberes matemáticos previos es asignado a otras funciones.
En dicho marco, la propuesta consistente en trabajar los saberes de los adultos es olvidada y en los nuevos materiales se introducen las formas tradicionales estatuidas.
Sin embargo, hacia 1994 el equipo es reconstituido y este toma la decisión de incorporar los resultados de la investigación en los módulos que faltaban para el primer nivel, los cuales trabajan la iniciación a la multiplicación y la división, acordándose que se van a revisar, para la impresión final, los módulos donde se presentan la suma y la resta, y en ellos se integrarán los saberes previos.
El equipo reconstituido no sólo logra lo anterior, sino que plantea, tanto para la multiplicación como para la división, sugerencias interesantes, sobre todo en función de la construcción de puentes con los saberes estatuidos.
Para efectuar la multiplicación y la división se presentan paralelamente la estrategia del adulto y las tablas de multiplicar. En la multiplicación, Los Saberes Matemáticos previos de Jóvenes y Adultos: Alcances y Desafios por German Mariño se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribución­No Comercial­Licenciamiento Recíproco 3.0 Unported.
finalmente construye dos tablas: una abreviada (en el caso del algoritmo del adulto) y la tabla “completa” (algoritmo estatuido). Como se puede observar en el ejemplo de la página siguiente:
La tabla abreviada procede de duplicaciones, pero a diferencia de la escritura propuesta en el Ecuador, el resultado final no lo obtiene retomando los resultados parciales (2 + 16), sino que escribe 9 18, lográndose más claridad en la escritura del resultado final.
Ciertamente, la introducción de las tablas resulta un recurso interesante para establecer puentes con los algoritmos estatuidos. Lógicamente, a medida que trabajamos con números más grandes es necesario introducir otros componentes (por ejemplo, multiplicar por decenas), sin que eso implique tener que eliminar la tabla de la multiplicación de las unidades (u x u). Más aún, si se quisiera trabajar con tablas abreviadas efectuando operaciones más complejas, resultará relativamente fácil, puesto que ya se ha consolidado su utilización en los módulos iníciales.
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En los casos de división se procede de la siguiente manera:
Para evitar la erosión del suelo debe hacerse una terraza de 21 metros de largo. Si tres personas hacen la terraza... ¿Cuántos metros hará cada persona?
A MODO DE CONCLUSIÓN
Nuestra pregunta inicial era qué hacer con los saberes propios. Hemos visto el recorrido de tres posibles alternativas (Colombia, Ecuador y El Salvador) y hemos planteado las dificultades que se presentaron.
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Ciertamente, la introducción de cualquier innovación es un proceso largo y complicado, que en no pocas ocasiones fracasa más por problemas de implementación ­tales como deficiente capacitación o cambio de los equipos humanos­ que por los “defectos” inherentes a la propuesta misma.
Pero la vida nos ha enseñado a ser realistas y desde hace mucho tiempo aprendimos que es tan sólo una ilusión, sobre todo cuando se trabaja en los marcos de los ministerios de educación, esperar tener las condiciones ideales para lanzarse a experimentar una innovación. De ahí que “a partir de lo que se tiene” nos hayamos aventurado a lanzarnos al agua.
Somos conscientes de que todavía tenemos un largo camino por recorrer y muchas cosas por mejorar (y seguramente también por modificar) en la propuesta. Sin embargo, somos optimistas, pues pensamos que a pesar de todo, con la colaboración y la creatividad de los funcionarios de los ministerios y los aportes de otras personas (especialistas en educación matemática, administradores, diseñadores de currículo, etc.) que se han comprometido en la tarea, algunas pequeñas utopías podrán salir adelante.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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COLOMBIA, Ministerio de Educación Nacional, Campaña CAMINA. Guía del Alfabetizador, Bogotá (Colombia), El Tiempo, (s.f.).
DICKSON, L. et al., El aprendizaje de las matemáticas, Madrid, Labor, 1991 (traducción del libro publicado en 1984).
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DIMENSIÓN EDUCATIVA, CLEBA Y CEAAL, La enseñanza de las matemáticas con los adultos de los sectores populares, Bogotá (Colombia), CtEBA­
CBAAL­Dimensión Educativa, 1990.
EL SALVADOR, Ministerio de Educación, Producción de materiales educativos de matemática básica para adultos en proceso de alfabetización. (Apuntes de una investigación), Nueva San Salvador, Ministerio de Educación de El Salvador, diciembre de 1990.
MARINO, G., “Analfabetismo funcional, los conocimientos informados y los medios Masivos”, Boletín del Proyecto Principal de Educación en América Latina y el Caribe, N° 32, diciembre de 1993.
______, ¿Cómo opera matemáticamente el adulto del sector popular? (Constataciones y propuestas), Bogotá (Colombia), Dimensión Educativa, 1986.
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PlAGET, J. Y R. GARCÍA, Psicogénesis e historia de la ciencia, México, Siglo XXI Editores, 1982.
SOTO, L, Mathématiques dans la vie quotidienne des paysans chiliens. Tesis doctoral. Universidad Católica de Lovaina (Bélgica), 1992.
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