Capitulo 6. Examen d..
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Álgebra. Ecuaciones simultáneas. Miércoles 12 de mayo del 2010. 1. En la …gura z = x + 10 y x + y = 100. Determina una tercera ecuación que involucre a x, y y z, y resuelve el sistema para encotrar el valor de los tres ángulos. Solución: La tercera ecuación se obtiene de la propiedad de todos los triángulos que la suma de sus ángulos interiores siempre es igual a 180 grados. Es decir, x + y + z = 180 Así que tenemmos las tres ecuaciones z = x + 10 x + y = 100 x + y + z = 180 Debemos resolver ahora este sistema. Lo haremos primero usando la regla de Cramer (determinantes). i) Solución mediante la regla de Cramer. Escribimos primero el sistema en forma canónica, x + z = 10 x + y = 100 x + y + z = 180 Construimos el determinante del sistema, 1 0 1 = 1 1 0 1 1 1 Para calcularlo duplicamos abajo el primer y segundo renglón, 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 y a la suma producto de las diagonales hacía abajo le restamos la suma del producto de las diagonales hacía arriba, 1 0 1 1 1 0 1 1 1 = ( 1) (1) (1) + (1) (1) (1) + (1) (0) (1) (0) (0) (1) ( 1) (1) (0) (1) (1) (1) = 1 1 0 1 1 1 0 Construimos ahora el determinante de la incógnita x, 10 0 1 100 1 0 = x 180 1 1 Para calcularlo duplicamos abajo el primer y segundo renglón, 10 0 1 100 1 0 180 1 1 10 0 1 100 1 0 y a la suma producto de las diagonales hacía abajo le restamos la suma del producto de las diagonales hacía arriba, 10 0 1 100 1 0 180 1 1 = (10) (1) (1) + (100) (1) (1) + (180) (0) (1) (100) (0) (1) (10) (1) (0) (180) (1) (1) = 70 10 0 1 100 1 0 Construimos ahora el determinante de la incógnita y, 1 10 1 1 100 0 = y 1 180 1 Para calcularlo duplicamos abajo el primer y segundo renglón, 1 10 1 1 100 0 1 180 1 1 10 1 1 100 0 y a la suma producto de las diagonales hacía abajo le restamos la suma del producto de las diagonales hacía 1 10 1 1 100 0 1 180 1 = ( 1) (100) (1) + (1) (180) (1) + (1) (10) (0) (1) (10) (1) ( 1) (180) (0) (1) (100) (1) = 1 10 1 1 100 0 Construimos ahora el determinante de la incógnita z, 1 0 10 1 1 100 z = 1 1 180 Para calcularlo duplicamos abajo el primer y segundo renglón, 1 0 10 1 1 100 1 1 180 1 0 10 1 1 100 y a la suma producto de las diagonales hacía abajo le restamos la suma del producto de las diagonales hacía 1 0 10 1 1 100 1 1 180 = ( 1) (1) (180) + (1) (1) (10) + (1) (0) (100) (1) (0) (180) ( 1) (1) (100) (1) (1) (10) = 1 0 10 1 1 100 Aplicamos ahora la regla de Cramer, 70 x x= = = 70 1 30 y y= = = 30 1 80 z z= = = 80 1 En resumen, los angulos son x = 70, y = 30 y z = 80. ii) Solución por sustitución. Para resolver este sistema podemos utilizar la primera para eliminar z en las otras dos ecuaciones, obteniendo x + y = 100 x + y + (x + 10) = 180 que es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Lo simpli…camos x + y = 100 2x + y = 170 Ahora restamos la primera a la segunda y obtenemos x = 70 Usando la primera del sistema original, z = 80 Y …nalmente como la suma de los ángulos debe ser 180, tenemos y = 30 En resumen, los angulos son x = 70, y = 30 y z = 80. arriba, 30 arriba, 80 2. En una muestra aleatoria de 100 personas en edad de votar, se encontraron 10 personas sin partido más que el total de panistas. Se encontró que había seis panistas más que el total de priistas. ¿Cuántas personas hay de cada …liación política? Solución: Denotemos el número de personas sin partido por a. La incógnita b designará al número de panistas. Y …nalmente c será el número de priistas. El total de personas en la muestra es de 100, así que en términos de las variables que acabmos de de…nir, eso quiere decir que a + b + c = 100. Entonces que se hayan encontrado 10 personas sin partido más que el total de panistas, quiere decir que a = b + 10. El que se haya encontrado que había seis panistas más que el total de priistas, se traduce en ecuaciones en b = c + 6. Así que el sistema de ecuaciones que debemos resolver es a = b + 10 b=c+6 a + b + c = 100 Dada la estructura del sistema de ecuaciones, se sugiere como lo más fácil usar el método de sustitución. El valor de a de la primera ecuación lo sustituimos en la segunda y tercera y tenemos b=c+6 (b + 10) + b + c = 100 que al simpli…carse se ve claramente como un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, b=c+6 2b + c = 90 Nuevamente utilizamos sustituición; tomando el valor de b de la primera ecuación y sustituyendolo en la segunda, obtenemos 2 (c + 6)+ c = 90 que se reduce a 3c + 12 = 90 Restando 12 a ambos miembros de la ecuación, 3c = 78 Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre 3, c = 26. Ahora nos vamos regresando. Usamos la ecuación b = c + 6 y sustituimos el valor de c encontrado, para obtener b = 26 + 6 = 32: Finalmente utilizamos la ecuación a = b + 10, para obtener a = 32 + 10 = 42 Hay 42 sin partido, 32 panistas y 26 priistas. 3. En los juegos olímpicos de Sydney 2000, los gringos obtuvieron un total de 97 medallas. Ganaron 14 medallas más de oro que de plata. El número de medallas de bronce obtenidas fue de 17 menos que el doble de la medallas de plata. ¿Cuántas medallas de cada tipo obtuvieron? Solución: Sean o, p y b el número de medallas de oro, plata y bronce respectivamente. Tenemos que el total de medallas fue de 97; es decir, o + p + b = 97 Ganaron 14 medallas más de oro que de plata, se traduce en o = p + 14. El número de medallas de bronce obtenidas fue de 17 menos que el doble la medallas de plata, quiere decir que b = 2p 17. Así que el sistema de ecuaciones es o + p + b = 97 o = p + 14 b = 2p 17 Sustituyendo la segunda y la tercera en la primera, obtenemos (p + 14) + p + (2p 17) = 97 que se reduce a 4p 3 = 97 Sumando 3, 4p = 100 100 = 25 Dividiendo entre 4, p = 4 Pero o = p + 14, así que o = 39: Y b = 2p 17, por tanto b = 33 Obtuvieron 39 de oro, 25 de plata y 33 de bronce. 4. Los boletos para el beisbol cuestan 100, 150 y 200 pesos. Hasta ahora se han vendido 5 veces más boletos de 150 que de 200. El número de boletos vendidos de 100 es igual al número de boletos de 150 vendidos más el doble del número de boletos de 200 vendidos. La venta total asciende a 2,392,500 pesos. ¿Cuántos boletos de cada uno se han vendido? Solución: Sea x el número de boletos de 100. Sea y el número de boletos de 150. Sea z el número de boletos de 200. Dado que la venta total asciende a 2,392,500 pesos, se tiene la ecuación 100x + 150y + 200z = 2392500. Como se han vendido 5 veces más boletos de 150 que de 200, se satisface la ecuación y = 5z. Además, como el número de boletos vendidos de 100 es igual al número de boletos de 150 vendidos más el doble del número de boletos de 200 vendidos, tenemos también x = y + 2z. Así que el sistema de ecuaciones es 100x + 150y + 200z = 2392500 y = 5z x = y + 2z Sustituyendo la segunda ecuación en las otras dos, obtenemos 100x + 150 (5z) + 200z = 2392500 x = 5z + 2z Simpli…cando el sistema nos queda 100x + 950z = 2392500 x = 7z Sustituyendo ahora la segunda en la primera, 100 (7z) + 950z = 2392500 Simpli…cando 1650z = 2392500. Por tanto, z = 1450 De la ecuación, y = 5z obtenemos y = 7250. De la ecuación, x = y + 2z obtenemos x = 10150. Se vendieron 10,150 boletos de 100 pesos, 7,250 boletos de 150 pesos y 1,450 boletos de 200 pesos. 5. Un fabricante de herramientas debe hacer tres tipos diferentes de pinzas, tipos A, B y C. Restricciones en la producción requieren que se hagan 10 unidades más del tipo C que el total de los otros tipos y el doble de unidades del tipo B que unidades del tipo A. Se deben fabricar 490 pinzas por día. ¿Cuántas unidades de cada tipo se deben fabricar cada día? Solución: Sea A el número de pinzas del tipo A fabricadas, B el número de pinzas del tipo B, y …nalmente C el número de pinzas del tipo C. Como restricciones en la producción requieren que se hagan 10 unidades más del tipo C que el total de los otros tipos tenemos C = A + B + 10. También se requiere que se fabrique el doble de unidades del tipo B que unidades del tipo A, o sea B = 2A. Se deben fabricar 490 pinzas por día; es decir, A + B + C = 490. El sistema que nos queda es C = A + B + 10 B = 2A A + B + C = 490 Usamos el valor de B de la segunda ecuación en las otras dos y encontramos que C = A + 2A + 10 A + 2A + C = 490 Que se simpli…ca a C = 3A + 10 3A + C = 490 Sustituyendo ahora la primera en la segunda, 3A + (3A + 10) = 490 Quitando el paréntesis, 3A + 3A + 10 = 490 Reduciendo términos semejantes, 6A + 10 = 490. Restando 10 a ambos miembros de la ecuación, 6A = 480. Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre 6, A = 80. Ahora de la ecuación B = 2A, encotramos que B = 160. Finalmente de la ecuación C = A + B + 10, tenemos C = 80 + 160 + 10 = 250. Así que se deben producir 80 pinzas del tipo A, 160 del tipo B y 250 del tipo C. 6. Compre un carro, un caballo y sus arreos por $20,000. El carro y los arreos costaron $2,000 más que el caballo, y el caballo y los arreos costaron $4,000 más que el carro ¿Cuánto costó cada cosa? Resolverlo mediante sumas y restas. Solución: Sea c el precio del carro, sea h el precio del caballo, y sea a el precio de los arreos. Esas son nuestras incógnitas. Tenemos el carro, caballo y los arreos costaron $20,000; es decir, c + h + a = 20000 Además, el carro y los arreos costaron $2,000 más que el caballo; es decir, c + a = h + 2000 Y, los arreos costaron $4,000 más que el carro; es decir, a = c + 4000 Así que tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: c + h + a = 20000 c + a = h + 2000 a = c + 4000 Sustituimos la tercera en las otras dos para obtener c + h + (c + 4000) = 20000 c + (c + 4000) = h + 2000 que se reduce a 2c + h = 16000 2c h = 2000 Sumando las dos ecuaciones, 4c = 14000 14000 = 3500 ó bien c = 4 De la ecuación a = c + 4000, obtenemos entonces a = 3500 + 4000 = 7500 Despejando h en la ecuación c + a = h + 2000 tenemos h = a + c 2000, ó sea h = 7500 + 3500 2000 = 9000. El carro costo 3,500, el caballo costó 9,000 y los arreos costaron 7,500.
